Luận văn hay "VẬN DỤNG MỘT SỐ TRI THỨC CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG"

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH TRỌNG TRUNG

VẬN DỤNG MỘT SỐ TRI THỨC CỦA
PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRUNG


VINH, 2013

2


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đào tạo nguồn nhân lực góp phần phát triển đất nước và hội nhập quốc
tế là nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành giáo dục.
Trong thực tiễn quá trình thực hiện nhiệm vụ đó, việc đổi mới giáo dục nói
chung và đổi mới phương pháp dạy học nói riêng đang trở thành một trong
những yêu cầu bức thiết. Điều 28, Chương II, Luật Giáo dục đã quy định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn

học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh...”.
Lịch sử phát triển của xã hội loài người gắn liền với lịch sử phát triển
của triết học, của khoa học tự nhiên. Trong chiều dài lịch sử đó triết học và
khoa học tự nhiên nói chung, toán học nói riêng luôn luôn gắn bó mật thiết
với nhau, nương tựa và thúc đẩy lẫn nhau. Ang-ghen đã nói: “Cái thúc đẩy
các nhà triết học, hoàn toàn không phải chỉ riêng sức mạnh của tư duy thuần
túy như họ tưởng tượng. Trái lại, trong thực tế, cái thật ra đã thúc đẩy họ tiến
lên chủ yếu là sự phát triển mạnh mẽ ngày càng nhanh chóng và ngày càng
mãnh liệt của khoa học tự nhiên và của công nghiệp”. Luận điểm này đã vạch
rõ về mặt lý luận, quy luật phát triển của triết học sát cánh với khoa học tự
nhiên.
Mỗi hình thức cơ bản của triết học duy vật đều tương ứng với một trình
độ nhất định của khoa học tự nhiên. Logic của sự phát triển bên trong của triết
học duy vật là trùng hợp với logic của sự phát triển bên trong của khoa học tự
nhiên. Sự phát triển của khoa học tự nhiên đến một trình độ nhất định sẽ vạch
ra phép biện chứng khách quan của tự nhiên. Thích ứng với trình độ khoa học
tự nhiên hiện đại là triết học duy vật hiện đại – triết học của chủ nghĩa Mác,
chủ nghĩa duy vật biện chứng và chủ nghĩa duy vật lịch sử. Triết học Mác –
3


Lê Nin ra đời đánh dấu một bước tiến mới về mặt lí luận đồng thời đóng vai
trò quan trọng trong việc tiếp tục thúc đẩy sự phát triển của khoa học tự nhiên
cũng như toán học.
Việc nghiên cứu, vận dụng các nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật của
phép biện chứng duy vật vào dạy học toán là việc làm rất cần thiết và quan
trọng. Nhiều nhà giáo dục, nhà sư phạm với tài năng, tâm huyết của mình đã
nghiên cứu vấn đề này như: Nguyễn Cảnh Toàn với tác phẩm “Phương pháp

luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học”, Đào Tam
quan tâm với khía cạnh “Một số cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận
dụng chúng trong dạy học Toán ở trường phổ thông”, Lê Văn Đoán với vấn
đề “Quan điểm duy vật biện chứng về khả năng phát triển của toán học”,
Phạm Đình Khương với đề tài “Vận dụng cặp phạm trù nội dung - hình thức
để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải toán”,... cùng với
những kết quả nghiên cứu trong một số luận án tiến sĩ của Nguyễn Phú Lộc,
Lê Duy Phát, Nguyễn Thanh Hưng, Nguyễn Chiến Thắng, Đỗ Văn Cường,...
được công bố trong những năm qua đã làm sáng tỏ phần nào được khả năng
to lớn của việc vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật nhằm
nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông, nội dung lớp 11
đóng vai trò rất quan trọng. Học sinh bước đầu tiếp cận với kiến thức giải
tích, tìm hiểu các dạng phương trình, hệ phương trình mới, tiếp cận với toán
ứng dụng, chuyển từ tư duy hình học phẳng sang không gian… Do đó, việc
xem xét các kiến thức toán học trong mối quan hệ biện chứng là rất quan
trọng. Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu cụ thể việc vận dụng một số
tri thức của phép duy vật biện chứng vào dạy học cho học sinh lớp 11 Trung
học phổ thông.
Xuất phát từ những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề nghiên cứu là:
"Vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy vật trong dạy học
môn Toán lớp 11 Trung học phổ thông".
4


2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng một số nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật của phép biện
chứng duy vật vào dạy học môn Toán lớp 11 nhằm nâng cao chất lượng hiệu
quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Một số tri thức của phép biện chứng duy vật
và khả năng vận dụng vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 ở trường
Trung học phổ thông.
3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho học sinh
lớp 11 ở trường Trung học phổ thông.
4. Giả thuyết khoa học
Cần thiết và có thể vận dụng được một số tri thức của phép biện chứng
duy vật gồm các nguyên lý, cặp phạm trù và quy luật vào dạy học môn Toán
lớp 11 cho học sinh Trung học phổ thông, góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1 Làm rõ cơ sở lý luận của việc vận dụng các nguyên lý, quy luật và
cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật vào dạy học môn Toán cho học
sinh Trung học phổ thông.
5.2 Khảo sát thực trạng vận dụng một số tri thức của phép biện chứng
duy vật vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông hiện
nay.
5.3 Nghiên cứu cụ thể việc vận dụng một số tri thức của phép biện chứng duy
vật vào dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông trong các tình
huống dạy học điển hình.
5.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu
quả của nội dung nghiên cứu đã đề xuất, đồng thời kiểm định giả thuyết khoa
học của đề tài.

5


6. Phương pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về
phương pháp dạy học Toán, một số tài liệu tham khảo về việc vận dụng một

số tri thức triết học duy vật biện chứng vào dạy học Toán, các cơ sở về tâm lý
học, giáo dục học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo về chương
trình lớp 11 ở trường Trung học phổ thông hiện hành.
6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát, tìm hiểu về việc vận
dụng triết học duy vật biện chứng trong dạy học môn Toán lớp 11 ở trường
Trung học phổ thông qua các hình thức dự giờ, điều tra, phỏng vấn.
6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm
thông qua lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư
phạm bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục.
7. Đóng góp của luận văn
7.1 Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc vận dụng
một số tri thức phép biện chứng duy vật trong dạy học Toán ở trường Trung
học phổ thông phổ thông.
7.2 Thể hiện được khả năng vận dụng một số nguyên lý, cặp phạm trù và quy
luật của phép biện chứng duy vật trong dạy học môn Toán cho học sinh lớp 11
Trung học phổ thông thông qua các tình huống dạy học điển hình.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn được trình bày
trong 3 chương:
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ TRI THỨC CỦA PHÉP
BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 11
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

6


Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Mối quan hệ giữa triết học và toán học
1.1.1 Những thể hiện của triết học trong toán học
Mỗi khoa học có thế giới quan và phương pháp luận riêng. Toán học
được xem là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic
trong thế giới khách quan hay là khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà
người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề. Triết học là
khoa học về những quy luật chung nhất của sự vận động, phát triển của tự
nhiên, xã hội và tư duy. Vì lẽ đó sự tác động qua lại lẫn nhau, thúc đẩy lẫn
nhau cùng phát triển giữa Toán học và Triết học là một sự tất yếu trong đó
Triết học đóng vai trò là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán
học.
Einstein đã nhận xét: “Cái khái quát của triết học cần phải dựa trên các
kết quả khoa học. Tuy nhiên, mỗi khi đã xuất hiện và được truyền bá rộng rãi,
chúng thường ảnh hưởng đến sự phát triển của tư tưởng khoa học khi chúng
chỉ ra rất nhiều phương hướng phát triển có thể có”. Thật vậy, triết học đã
tác động tích cực đến sự phát triển của toán học, trước hết, nó dẫn đến một số
khuynh hướng toán học. Chẳng hạn, những tư tưởng triết học từ lâu đã khẳng
định tính phức tạp trong giới tự nhiên. Điều này dẫn đến toán học sau này có
khuynh hướng đi sâu vào nghiên cứu hệ thống phức tạp đó. Đặc biệt kể từ
giai đoạn toán học hiện đại với tư tưởng về cấu trúc và sự phát triển của xác
suất thống kê, người ta càng thấy rõ những lĩnh vực trong đó không thể khẳng
định “đúng, sai” mà chỉ có thể nói đến một xác suất đúng hay sai nào đó
( 0 ≤ p ≤ 1), chẳng hạn như trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính “sóng, hạt” nên

không thể khẳng định vị trí của một hạt ở một thời điểm xác định mà chỉ có
thể nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó. Từ năm 1965, toán học mờ ra đời chính
nhờ các khái niệm không gian, ánh xạ, hệ nhị phân mà hầu như mọi sự vật
đều có những tọa độ diễn tả ra bằng những dãy 0 và 1. Đó là lĩnh vực toán
học chuyên nghiên cứu về các tập hợp mờ tức là những tập hợp không có ranh

7


giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp
hay không mà chỉ có thể nói đến một xác suất p để phần tử thuộc tập hợp.
Điều này được ứng dụng rất nhiều trong kỹ thuật máy tính điện tử.
Vấn đề cơ bản của Triết học trong Toán học là sự cụ thể hóa vấn đề
về mối quan hệ giữa vật chất và ý thức vào trong toán học. Đó là mối quan hệ
giữa số lượng và hình thức không gian của các sự vật trong thế gới hiện thực
với các tri thức Toán học. Mối quan hệ ấy được thể hiện bằng sơ đồ dưới đây:
Mối quan hệ
Vật chất

Mối quan hệ
số lượng và
hình thức
không gian
sự vật

Ý thức

Mối quan hệ
Tri thức
toán học

Khi giải quyết vấn đề này đã hình thành hai khuynh hướng đối lập nhau,
đấu tranh với nhau là chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy tâm trong Toán học.
Đây cũng là sự thể hiện một cách cụ thể hai trào lưu Triết học là chủ nghĩa
duy vật và chủ nghĩa duy tâm trong Triết học và Toán học.
Chủ nghĩa duy vật trong Toán học cho rằng sự xuất hiện của Toán học là

kết quả của sự phản ánh các sự vật, hiện tượng trong thế giới thực. Những con
số và những kích thước hình học trong Toán học không phải là kết quả sáng
tạo thuần túy của tư duy mà nó là kết quả của sự phản ánh số lượng và hình
dáng của các sự vật ở trong hiện thực. Toán học, không có số lượng chung
chung, thuần túy tách rời các sự vật mà ngay cả kích thước (chiều dài, chiều
rộng, chiều cao ) cũng không phải là sự phản ánh không gian trống rỗng ở bên

8


ngoài các vật thể mà nó là kết quả của sự phản ánh không gian của các vật thể
trong thế giới hiện thực.
Đối lập với quan niệm trên, chủ nghĩa duy tâm trong Toán học lại cho
rằng, trong mối quan hệ giữa Toán học và thế giới hiện thực thì Toán học là
cái có trước, là yếu tố sản sinh ra các đối tượng trong thế giới hiện thực. Điển
hình cho xu hướng ấy là quan niệm của Pitago. Từ chỗ tuyệt đối hóa, trừu
tượng hóa số lượng tách khỏi những sự vật vật chất ông cho rằng các khái
niệm về "con số" là cái có trước thế giới hiện thực, coi quan hệ số lượng là
bản chất của các sự vật, quy định quan hệ tồn tại của các sự vật. Ví dụ: Phải
có khái niệm số 1 rồi mới có 1 con người, 1 cái cây, 1 con vật….. Trên cơ sở
đó, trường phái Pitago đã phát triển thành chủ nghĩa tượng trưng trong Toán
học và chủ nghĩa duy tâm, thần bí, đầy mê tín về các con số. Quan niệm này
còn tồn tại trong dân gian đến tận ngày nay. Chẳng hạn, quan niệm số 0 là số
may mắn, số 13 là số rủi ro…… Trường phái này càng phát triển thì khuynh
hướng duy tâm càng tăng lên.
Tiếp bước trường phái duy tâm Pitago, Platôn lại đẩy lên một mức độ
duy tâm cao hơn. Vì ông cho rằng, không chỉ khái niệm về con số là cái có
trước mà tất cả những khái niệm nói chung và các khái niệm Toán học nói
riêng đều là cái có trước. Khái niệm tồn tại khách quan và ở vị trí giữa thế
giới của những sự vật và thế giới của những ý niệm. Nó tuy là hình ảnh yếu ớt

của những ý niệm, nhưng cùng với những ý niệm sáng tạo ra thế giới hiện
thực.
Đối lập với quan niệm của Plantôn là quan niệm của Arixtôt. Ông cho
rằng, những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa thế giới
hiện thực. Nó là cái có sau thế giới hiện thực. Các sự vật tồn tại trong thế giới
hiện thực là cái có trước, nó tồn tại khách quan. Nhờ có tư duy trừu tượng của
con người mà hình thành nên các khái niệm Toán học.
Trong lịch sử phát triển của Triết học, cuộc đấu tranh giữa quan niệm của
Platôn và Pitago với quan niệm của Arixtôt đã diễn ra quyết liệt trong thời kỳ
cổ đại. Đó là sự thể hiện một cách sinh động và phức tạp việc giải quyết các
vấn đề cơ bản của triết học trong Toán học. Cuộc đấu tranh giữa những tư
tưởng, quan điểm của các nhà triết học cũng như các nhà toán học cũng đều

9


xoay quanh mối quan hệ giữa vật chất và ý thức mà cụ thể là mối quan hệ
giữa các khái niệm, các tri thức của Toán học với thế giới hiện thực.
Đồng tình và ủng hộ cho quan điểm của Arixtôt, các nhà duy vật trong
Toán học đã chứng minh rằng, những quy luật và những khái niệm, những lý
thuyết Toán học đều là những điều ghi chép lại, những "phản ánh" thu được
do kết quả của sự trừu tượng hóa từ các vật thể cụ thể và từ những tính chất
của chúng. Ngược lại, các nhà toán học duy tâm lại cho rằng, các khái niệm,
quy luật, lý thuyết toán học là cái có trước hiện thực. Trong đó chủ nghĩa duy
tâm khách quan cho rằng, những khái niệm Toán học tồn tại bên ngoài sự vật,
có trước sự vật và đối lập với tư duy của con người. Chủ nghĩa duy tâm chủ
quan cho rằng các khái niệm, các định luật và lý thuyết Toán học là sản phẩm
sự sáng tạo thuần túy của tư duy. Đặc biệt, đến thời kỳ ra đời và phát triển của
Toán học hiện đại, họ cho rằng những khái niệm và những con số ở trong
Toán học cũng tương tự như những ký hiệu mà con người đã đặt ra trong

Toán học để thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người chứ không
phản ánh một đối tượng có thực nào cả.
Như vậy, cuộc đấu tranh giữa chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy tâm
không chỉ diễn ra trong Triết học mà nó còn diễn ra trong Toán học. Cuộc đấu
tranh giữa các trường phái ấy diễn ra trong suốt chiều dài lịch sử của Toán
học, từ khi Toán học chưa tách rời khỏi Triết học cho đến khi Toán học tách
khỏi Triết học và cho đến tận ngày nay. Chủ nghĩa duy tâm chủ quan hay
khách quan đều giải quyết sai lầm về vấn đề cơ bản của Triết học trong Toán
học. Đó là mối quan hệ giữa Toán học và thế giới hiện thực. Chỉ có chủ nghĩa
duy vật, cụ thể là chủ nghĩa duy vật biện chứng mới giải quyết một cách đúng
đắn vấn đề triết học cơ bản của Toán học.
1.1.2 Những thể hiện của toán học trong triết học
Triết học được xem là thế giới quan và phương pháp luận cho sự phát
triển của Toán học, ngược lại Toán học phát triển đã tác động tích cực đến
Triết học, đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển của triết học.
1.1.2.1. Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
Những thể hiện của Toán học trong triết học được thể hiện trước hết ở
chỗ, Toán học giúp cho Triết học khái quát và trừu tượng từ các đại lượng, số
lượng và hình thức không gian để tìm ra được những quy luật vận động và
10


phát triển chung của những đối tượng ấy; cung cấp cho các bộ môn khoa học
cụ thể những phương pháp và cách thức tính toán một cách chính xác, mang
tính định lượng về quy luật vận động và sự phát triển của những đối tượng mà
các khoa học cụ thể có phản ánh. Đồng thời nó giúp cho Triết học và khoa
học tăng cường tính lôgic, hệ thống chặt chẽ.
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy
rằng, kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ
thuộc vào việc sử dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó.

Ngày nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán
học không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học
nói chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị nhận thức luận
to lớn. Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nội
dung khách quan của chúng quy định.
Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư
duy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan. Song,
trên thực tế họ lại luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mình
bằng cách sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toán
học đưa ra. Giải thích việc sử dụng hệ thống này, các nhà triết học duy tâm
cho rằng, đối tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luật
phát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký hiệu thì ngày càng được
sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách
quan. Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa chọn từ
trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của
mình. Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá
trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm
về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa
của các ký hiệu toán học.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được
sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong

11


số học các số tự nhiên, các ký hiệu 1, 2,3,... biểu thị đặc điểm về lượng của
nhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối tượng. Các ký hiệu > , = , < biểu
diễn những sự tương quan, chẳng hạn 1< 2 (1 bé hơn 2). Đồng thời, người ta
còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như: + , − , × , : để biểu thị những
mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả các ký hiệu nói trên cho

phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các
số tự nhiên. Ví dụ, ký hiệu (4 × 6) − 10 = 7 × 2 biểu diễn một mệnh đề số học.
Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như
a, b, c,..., x, y, z,... để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên.

Chẳng hạn, trong phương trình ax 2 + bx + c = 0 , mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất
kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử
dụng các ký hiệu về đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng
quát các quy luật của đại số và cả các quy luật của các lý thuyết toán học
khác. Chẳng hạn như: a − b − c = a − (b + c) , a b c = (a b) c = a (b c)
Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau của
cùng một tiêu đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượng
của lý thuyết thay đổi, mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa
chúng cũng thay đổi. Chẳng hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu
> , = , < , + , − , × , : sẽ có ý nghĩa khác nhau tuỳ theo ký hiệu 1, 2,3,... biểu thị

các số tự nhiên về lượng hay về thứ tự. Ví dụ, ký hiệu 3< 4 nếu biểu thị về
lượng thì có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự thì có nghĩa là 3
đứng trước 4.
Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô
đọng và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ
thông thường. Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dung
của chúng. Đồng thời, các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệu
quả trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng
phản ánh được những tương quan về lượng và những hình dạng không gian
nhất định của thế giới hiện thực. Chính vì vậy, trước khi sử dụng những ký
12


hiệu vào những lập luận của mình, nhà toán học cần chỉ rõ mỗi ký hiệu như

thế biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà các
ký hiệu muốn nói và khi đó mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tục
tiến hành. Chỉ khi ý nghĩa của các ký hiệu đã được thiết lập một cách chính
xác, chúng ta mới có khả năng hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.
Với cách diễn đạt nội dung của nó bằng lời. Rõ ràng, việc phát biểu công
thức này bằng lời sẽ dài dòng hơn rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minh
bất đẳng thức trên bằng ký hiệu với cách chứng minh bằng lời thì chúng ta
càng nhận thấy sự thuận tiện của việc sử dụng các ký hiệu toán học.
Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn
một cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác. Các ký hiệu toán
học sẽ không thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ
là những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ dài dòng hơn. Chẳng
hạn, việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các vectơ để
diễn tả chuyển động. Theo đánh giá của Albert Einstein, ở đây toàn bộ công
việc đã làm chỉ là chuyển những sự kiện đã được thừa nhận từ trước thành
một ngôn ngữ phức tạp và kỳ lạ. Nhưng, theo ông, chính cái ngôn ngữ kỳ lạ là
vectơ ấy đã dẫn đến những điều khái quát quan trọng mà trong đó vectơ giữ
vai trò nòng cốt.
1.1.2.2.Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới
quan duy vật
Ở thời kì cổ đại, toán học mới chỉ ở giai đoạn toán học sơ cấp mộc mạc và
cùng với nó là triết học duy vật thô sơ, chất phác. Những kiến thức toán học
mới chỉ là những phát kiến rời rạc, hầu như chưa có hệ thống đang hòa lẫn
trong kho tàng các kiến thức triết học. Đó là hình học của Euclide, là những
kiến thức về đại số ( cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, dùng công cụ logarit
để tính toán gần đúng), về số học (số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội
chung nhỏ nhất, phương trình Diophante), lượng giác. Lúc này triết học và
toán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới giữa chúng. Các nhà triết gia
13

cũng đồng thời là các nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…Những tư
tưởng, quan niệm toán học đã ảnh hưởng đến thế giới quan triết học của các
ông, dù còn nhiều hạn chế nhưng ít nhiều chứa đựng những quan điểm duy
vật biện chứng khá sâu sắc.
Pythagore (547 – 471 TCN): là nhà toán học nổi tiếng thời cổ đại với
những phát kiến về tổng các góc trong tam giác, quan hệ giữa bình phương
các cạnh trong tam giác vuông, về số vô ước, số bè bạn, số hoàn chỉnh…
Khi nghiên cứu toán học, Pythagore cho rằng con số là khởi nguyên của
thế giới. Đối với ông, mọi cái trên thế giới đều là hiện thân của những con số,
một vật tương ứng với một con số nhất định. Chẳng hạn, điểm hình học được
coi là đơn vị đơn giản nhất tương ứng với số 1, đường thẳng coi như số 2, mặt
phẳng xem như số 3…Thậm chí linh hồn con người cũng đươc tạo thành từ
các con số. Chúng đóng vai trò quyết định tính đa dạng của các hiện tượng tự
nhiên và đẳng cấp trong xã hội.
Quan niệm ấy của các ông đã thể hiện lập trường duy tâm khi thần thánh
hóa các con số nhưng nó lại có điểm hợp lí ở chỗ nhấn mạnh vai trò quan
trọng của các con số và nhận thức toán học. Hơn nữa, ông còn có nhiều quan
điểm biện chứng sâu sắc về mối quan hệ giữa số chẵn và số lẻ, số hữu hạn và
số vô hạn, giữa tính thống nhất và tính nhiều vẻ, vận động và đứng yên.
Zenon (490 – 430TCN): đã làm toát lên những tư tưởng về phép biện
chứng bằng cách phản chứng. Những nghịch lý “phân đôi”, “Asin và con
rùa”, “mũi tên bay” đặt ra nhiều vấn đề biện chứng sâu sắc về mối quan hệ
giữa tính thống nhất của thế giới, giữa vận động và đứng yên, giữa tính gián
đoạn và tính liên tục của thời gian và không gian, giữa tính hữu hạn và vô
hạn.
Ở thời kỳ đầu này, toán học đã góp phần hình thành cơ sở của logic hình
thức nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình
thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học, ví dụ từ quan hệ a = b và b = c
suy ra a = c .

14


Toán học từ chỗ “toán học kinh nghiệm” tức là mới dừng lại ở đong, đo
trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Hình
học xuất hiện lý luận về so sánh hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng
hay góc nào đó, quy tắc tính diện tích, thể tích một số hình đơn giản. Đại số
xuất hiện các công thức, phương trình để tìm các ẩn số theo các số đã biết.
Tuy những lý luận này mới chỉ hạn chế ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ
có tính quy luật (được phát biểu bằng các định lí, các công thức) trong những
sự vật, hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ nhưng đây cũng là bước tiến rất lớn từ cái
đơn nhất, ngẫu nhiên lên cái phổ biến, tất nhiên. Toán học đã thông qua cơ
học và thiên văn học góp phần vào cuộc cách mạng của Copecnic thay hệ địa
tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của thế giới quan mới gắn liền với cuộc
cách mang mà Copecnic đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư
tưởng mới về chất ra đời .
Cũng ở thời kỳ này, những thành tựu của số học, hình học cũng đã tạo ra
mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng. Chẳng hạn,
mối quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn…
Như vậy là, toán học đã có những đóng góp nhất định vào sự hình thành và
phát triển một số yếu tố biện chứng, tuy chỉ dừng lại ở việc góp phần hình
thành và củng cố thế giới quan duy vật siêu hình máy móc.
Thời kỳ Phục hưng, nhu cầu nghiên cứu các vận động cơ học, vật lý đẩy
toán học sang một giai đoạn mới. Trọng tâm của toán học hướng vào nghiên
cứu sự biến thiên của các hàm số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm,
tích phân cùng với phương pháp toạ độ của Decartes ra đời làm nền tảng cho
lý thuyết các hàm số thực và phức, lý thuyết các phương trình vi phân thực và
phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các chuỗi hình học giải tích, hình học
vi phân cùng với các phép biến đổi hình học. Vận động thực sự tràn vào toán
học. Như F.Enggen đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Decartes đã đánh dấu

bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán
học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.
15


Toán học cũng đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình
“mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự
nhiên”. Nó đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức
về các hiện tượng, sự vật. Toán học đã góp phần phát hiện ra định luật vạn vật
hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII,
thuyết tương đối của Einstein cũng là nhờ sự phát triển từ trước của hình học
phi Euclide. Vậy là, một cách gián tiếp, toán học đã thông qua vật lý học đóng
góp vào cuộc cách mạng thế giới quan thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy
móc dựa trên cơ học Newton bằng chủ nghĩa duy vật biện.
Trong thời kỳ này, sự ra đời của tư tưởng xác suất – thống kê. Đây là một
thành tựu khá quan trọng. Tư tưởng này khẳng định sự tồn tại khách quan của
cái ngẫu nhiên bên cạnh cái tất nhiên và mối quan hệ biện chứng giữa chúng.
Tư tưởng xác suất – thống kê cho ta một quan niệm mới về sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt hẳn quan điểm coi sự
phụ thuộc, liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên
thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Như vậy, các tư tưởng vận động, liên
hệ và xác suất – thống kê đã góp phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ
sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng.
Sự rà soát lại tác phẩm “Cơ bản” của Euclide đã làm nảy sinh ra phương
pháp tiên đề hiện đại. Khi muốn tiên đề hóa một lý thuyết toán học nào đó,
người ta chọn ra trong các khái niệm của lý thuyết đó một số vừa đủ khái
niệm không định nghĩa gọi là khái niệm cơ bản, từ đó mọi tính chất khác đều
phải chứng minh chặt chẽ bằng suy luận logic dựa trên các tiên đề và các tính
chất đã được chứng minh trước đó. Do các khái niệm cơ bản không được định
nghĩa nên muốn tưởng tượng chúng thế nào cũng được miễn là thỏa mãn hệ

tiên đề cho trước nên hệ tiên đề đặc trưng một cái gì đó trừu tượng gọi là cấu
trúc toán học như cấu trúc “không gian Euclide”, “không gian Lobasepxki”,
cấu trúc “nhóm”, “vành”, “trường”…

16


Toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hóa khoa
học. Nó góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự
tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận
sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho
thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới.
Như vậy ta có thể mạnh dạn khẳng định từ khi mới hình thành và trong
quá trình phát triển của mình, toán học luôn tạo ra cơ sở thế giới quan duy vật
biện chứng bằng cách trực tiếp hay gián tiếp.
Toán học thời kỳ đầu tức là đến thời kỳ toán học sơ cấp là cơ sở cho sự ra
đời của chủ nghĩa duy vật máy móc, siêu hình. Nó cũng góp phần khẳng định
thế giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.
Sang thời kỳ toán học cao cấp, khi mà trọng tâm toán học chuyển sang
nghiên cứu các đại lượng biến đổi trước hết là tư tưởng vận động, toán học là
một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình
thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên
vô sinh.
Toán học hiện đại hoàn thiện sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng
trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần củng cố, hoàn
thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng.
1.1.2.3. Toán học thúc đẩy triết học tiến lên
Toán học đã làm rõ thêm, sâu sắc thêm về quan điểm tính thống nhất của
thế giới, không chỉ thể hiện ở khía cạnh định tính mà còn ở khía cạnh định
lượng. Ở khía cạnh định tính thì khoa học càng tiến lên, loài người càng thấy

rõ rằng đâu đâu trong vũ trụ thì vật chất cũng được cấu tạo từ các hạt cơ bản
và các hạt này ở đâu cũng tuân theo cùng những quy luật biến đổi, tương tác
như nhau. Ở khía cạnh quan hệ về số lượng thì ngay trước khi loài người
khám phá ra các cấu trúc toán học, các nhà khoa học đã rất chú ý đến hiện
tượng cùng một dạng phương trình đại số hay phương trình vi phân lại diễn tả
được quan hệ số lượng trong những hiện tượng rất đa dạng của thế giới khách
17


quan. Ví dụ, phương trình dạng y = a x + b diễn tả mối quan hệ giữa hai đại
lượng biến thiên x và y khi mà chúng có các số gia tỉ lệ thuận với nhau như
thời gian và đoạn đường đi được, như chi phí bỏ ra mua sắm và số lượng hàng
hóa cần mua.
Đối với mối liên hệ phổ biến, toán học làm rõ tính khách quan và tính
phổ biến của các mối liên hệ ngay trong nội bộ toán học. Toán học càng phát
triển, ranh giới giữa các chuyên ngành toán học cũng khó được xác định rạch
ròi. Chẳng hạn, trong hình học vi phân, trong xác suất thống kê đều sử dụng
các cấu trúc đại số nhóm, vành, trường. Decartes sáng tạo ra hình học giải tích
như là một công cụ nghiên cứu hình học thông qua các phép biến đổi đại số.
Hơn nữa, tất cả các khái niệm, định lý trong toán học đều chứa đựng những
mặt trái ngược nhau, rời rạc và liên tục, vi phân và tích phân, số âm và số
dương, số vô tỉ và số hữu tỉ, chiều thuận và chiều nghịch của định lý, hữu hạn
và vô hạn,… là những khái niệm luôn song hành, tồn tại khách quan, tác động
lẫn nhau tạo thành mâu thuẫn biện chứng thống nhất với nhau và xuất hiện ở
mọi lúc, mọi nơi trong toán học.
Đối với nguyên lý về sự phát triển, toán học đã làm rõ ràng rằng sự phát
triển toán học là kết quả của quá trình thay đổi dần về lượng dẫn đến sự thay
đổi về chất, là quá trình diễn ra theo đường xoắn ốc. Giai đoạn toán học sơ
cấp, vận động chưa vào trong toán học vì cơ học, vật lý chưa phát triển nhưng
sự biến thiên đã tiềm ẩn trong cái tĩnh tại. Khi người xưa tính chu vi, diện tích

hình tròn bằng cách nội tiếp đa giác đều rồi cứ gấp đôi mãi số cạnh của đa
giác thì chính là đã thay đổi sự biến thiên liên tục bằng một dãy những đột
biến: khi đi trên một cạnh của đa giác đều nội tiếp thì phương không thay đổi,
khi đã đến một đỉnh rồi tiếp tục đi trên cạnh tiếp theo thì phương thay đổi đột
ngột.
Như vậy, trong việc tính chu vi, diện tích hình tròn đã manh nha nguyên
tắc của phép tính vi tích phân. Tư tưởng về các đại lượng biến thiên đã được
tích lũy dần nhưng mãi đến khi nhu cầu nghiên cứu các vận động cơ học và
18


vật lý đặt ra mạnh mẽ cộng thêm sự ra đời phương pháp toạ độ của Decartes
thì phép tính vi tích phân mới chính thức ra đời.
Tóm lại, qua sự phân tích ở trên ta thấy rằng toán học trong quá trình
phát triển đã góp phần rất quan trọng vào sự phát triển tiến lên của triết học.
Đó là toán học đã cung cấp cho triết học những dữ kiện, dữ liệu giúp cho triết
học xây dựng nên lý luận cho mình; những thành tựu của toán học là minh
chứng hùng hồn cho sự đúng đắn của các học thuyết triết học duy vật tiến bộ,
làm phong phú, sâu sắc thêm những tư tưởng triết học. Có thể nói, toán học
góp phần hình thành, phát triển và củng cố, hoàn thiện chủ nghĩa duy vật biện
chứng – cơ sở phương pháp luận của thế giới quan khoa học.
1.1.3 Tác động giữa triết học và toán học
1.1.3.1. Sự cần thiết của mối liên minh giữa Triết học và Toán học
Những thành tựu của khoa học tự nhiên nói chung, Toán học nói riêng gần
đây cho thấy bất kỳ nhà khoa học nào dù muốn hay không đều phải tiến tới
các kết luận chung về mặt lý luận. Nền lý luận vững chắc của toán học cũng
như tất cả các ngành khoa học khác chỉ có thể là triết học duy vật biện chứng
vì nó là phương pháp luận chung nhất của nhận thức khoa học.
Với ý nghĩa ấy, Toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư duy triết
học duy vật biện chứng vào quá trình nghiên cứu cũng như dạy và học toán

học. Các nhà toán học cũng phải là những nhà triết học thông thái.
Những nhà toán học dù có thái độ thế nào đi nữa thì họ cũng vẫn bị triết
học chi phối. Vì vậy, vấn đề là họ phải được trang bị một triết học duy nhất
đúng đắn - triết học duy vật biện chứng để được hướng dẫn một con đường
đúng đắn đi tới đích một cách nhanh nhất. Các nhà toán học phải liên hệ chặt
chẽ, bắt tay góp sức cùng với các nhà duy vật chống lại những quan điểm duy
tâm sai lầm.
Mỗi khi Toán học đạt được thành tựu nào đó, nó phải tiến tới các kết luận
chung về lý luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm những quan
điểm Triết học.
19


Theo F.Enggen, tư duy lý luận của mỗi thời đại, tức là kể cả tư duy lý luận
của thời đại chúng ta, là một sản phẩm lịch sử mang những những hình thức
rất khác nhau trong những thời đại rất khác nhau, và do đó có một nội dung
rất khác nhau. Thế cho nên cũng như bất kỳ khoa học nào khác, khoa học về
tư duy là một khoa học lịch sử, là khoa học về sự phát triển lịch sử của tư duy
con người. Điều đó có một ý nghĩa quan trọng ngay cả với việc ứng dụng thực
tế tư duy vào lĩnh vực kinh nghiệm. Bởi vì trước hết, lý luận về các quy luật
của tư duy hoàn toàn không phải là một chân lý vĩnh viễn một khi đã có là cứ
mãi mãi không thay đổi.
1.1.3.2. Triết học luôn luôn chi phối các nhà toán học
Dù những nhà toán học có thái độ như thế nào đi chăng nữa thì họ cũng
vẫn bị triết học chi phối. Vấn đề là ở chổ, họ muốn bị chi phối bởi một thứ
triết học sai lầm hay họ muốn được hướng dẫn bởi một hình thái tư duy lý
luận dựa trên sự hiểu biết về lịch sử tư tưởng và những thành tựu của nó.
Những nhà khoa học tưởng rằng họ thoát khỏi Triết học khi họ không để ý
đến nó hoặc phỉ báng nó. Nhưng vì rằng không có tư duy thì họ không thể
tiến được một bước, và muốn tư duy thì họ cần phải có những phạm trù logic,

mà những phạm trù ấy thì họ tiếp thu một cách không phê phán, hoặc trong
cái ý thức chung, thông thường của những người gọi là có học thức, cái ý thức
bị thống trị bởi những tàn tích của những hệ thống triết học đã lỗi thời.
F.Enggen trong tác phẩm “Chống Đuyrinh”, NXB Sự thật, Hà Nội, 1960,
tr.60 đã khẳng định: “Một quan niệm vừa biện chứng vừa duy vật về tự nhiên
đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên”
Triết học muốn xây dựng các quan điểm của mình thì không được tồn tại
một cách đơn độc mà tài liệu của nó được phân bố trong các ngành khác nhau
của khoa học trong đó có vai trò quan trọng của toán học. Vì vậy, một chứng
minh về mặt triết học có thể hiểu theo hai nghĩa hoặc là đối chiếu những tiền
đề triết học với các quy luật đã được xác định của các ngành khoa học khác
nhau hoặc là thể nghiệm việc vận dụng lý luận đó.
20


Do đó “một quan niệm vừa biện chứng, vừa duy vật về tự nhiên đòi hỏi
người ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên. Triết học không hề có
quyền được tồn tại đơn độc. Nó thu thập các tài liệu của mình từ trong các
nghành khác nhau của khoa học thực chứng” ( theo Nguyễn Hữu Vui, về mối
quan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên, trang 196)
1.1.3.3. Sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật
biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất yếu lịch sử của
thời đại
Thế giới đang phát triển với một tốc độ như vũ bão đặt ra vô số vấn đề cần
phải giải quyết. Nhu cầu thực tiễn ấy đòi hỏi các ngành khoa học cũng phải
phát triển kịp thời để đáp ứng. Vì vậy, sự liên minh giữa các nhà toán học và
các nhà triết học duy vật biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là một
tất yếu lịch sử của thời đại.
Sự liên minh ấy cũng cho thấy rằng, một điều không kém phần quan trọng
đó là những đại biểu của các nhà toán học hiện đại cần phải có can đảm để

bảo vệ và truyền bá chủ nghĩa duy vật, chống những quan điểm triết học duy
tâm chủ nghĩa và hoài nghi chủ nghĩa duy vật.
Nếu không làm tròn nhiệm vụ ấy một cách triệt để thì chủ nghĩa duy vật
không thể đứng vững được. Các nhà bác học lớn cũng sẽ bất lực trong những
kết luận và khái quát triết học của họ vì khoa học tự nhiên đang tiến bộ nhanh,
đang trải qua một thời kỳ đảo lộn cách mạng sâu sắc trong tất cả mọi lĩnh vực,
đến nỗi nó tuyệt đối không thể không cần đến những kết luận triết học.
Theo V.I.Lênin, Về tác dụng của chủ nghĩa duy vật chiến đấu. Toàn tập,
trang 33, nhà xuất bản sự thật, Hà Nội, “…Chúng ta cần hiểu rằng nếu không
có một cơ sở triết học vững vàng, thì tuyệt nhiên không có khoa học tự nhiên
nào hay chủ nghĩa duy vật nào có thể chống nổi sự lấn bước của những tư
tưởng tư sản và sự phục hồi của thế giới quan tư sản. Muốn đương đầu được
trong cuộc đấu tranh ấy và đưa nó đến thành công, nhà bác học phải là một

21


nhà duy vật hiện đại, một đồ đệ tự giác của chủ nghĩa duy vật mà Mác là
người đại diện, nghĩa là nhà bác học ấy phải là một nhà duy vật biện chứng.
Không lúc nào trong thời đại chúng ta, mối quan hệ biện chứng giữa các
ngành trí tuệ lại khăng khít như vậy mà bề ngoài tưởng chừng như có vẻ rất
khó hiểu. Ví dụ, có ai ngờ phép đếm nhị phân lại liên quan chặt chẽ với dịch
thuật thông qua máy tính.
1.1.3.4. Mối liên hệ, tác động qua lại giữa triết học và toán học đòi hỏi
phải áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu,
dạy và học toán học.
Đổi mới phương pháp dạy và học toán học đang là vấn đề được đặt ra cấp
bách đối với ngành giáo dục và được sự quan tâm của toàn xã hội. Đổi mới
phương pháp dạy và học toán cũng là một trong những vấn đề lớn vì chúng ta
đều biết rằng toán là một môn học vô cùng quan trọng đối với mọi học sinh

và chiếm thời lượng lớn trong chương trình phổ thông.
Mặc dù bộ đã chỉnh lý sách giáo khoa và thay đổi phương pháp dạy nhưng
cách dạy toán phổ biến hiện nay đa phần giáo viên đưa kiến thức (khái niệm,
định lý) rồi giải thích, chứng minh; trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm,
nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công
thức, các định lý càng nhiều càng tốt. Nhiều học trò giỏi thường thắc mắc
không biết giả thiết và kết luận của các bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu
tiên và làm thế nào mà nghĩ ra được. Nhà trường không hề dạy cho họ cách
“phát hiện vấn đề” để tự đề xuất ra các bài toán nên khi họ làm xong bài toán,
chân trời của họ ít được mở rộng.
Thay đổi cách dạy và học hiện nay là đặt người học ở vị trí trung tâm, tự
mình phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề và đánh giá kết quả đã đạt được.
Có thế qua lao động tìm tòi, sáng tạo ấy, không những tư duy của họ được
phát triển mà họ còn có thêm lòng tự tin, sự hứng thú, ham muốn tìm tòi sáng
tạo. Giáo viên lúc này đóng vai trò hướng dẫn quá trình lao động ấy.
1.2 Phép biện chứng duy vật

22


1.2.1 Vai trò của phép biện chứng duy vật trong triết học
Định nghĩa khái quát về phép biện chứng duy vật, Ph. Ăngghen cho
rằng : “ Phép biện chứng …là môn khoa học về những quy luật phổ biến của
sự vận động và phát triển của tự nhiên, của xã hội loài người và của tư duy”.
Các nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác – Lê Nin còn có một số định
nghĩa khác về phép biện chứng duy vật. Khi nhấn mạnh vai trò của nguyên lý
về mối liên hệ phổ biến, Ph. Ăngghen đã định nghĩa : “ Phép biện chứng là
khoa học về sự liên hệ phổ biến ” ; còn khi nhấn mạnh vai trò của nguyên lý
về sự phát triển (trong đó có bao hàm học thuyết về sự phát triển của nhận
thức) trong phép biện chứng mà C.Mác đã kế thừa từ triết học của Hêghen,

V.I.Lênin đã khẳng định : “ Trong số những thành quả đó thì thành quả chủ
yếu là phép biện chứng duy vật, tức là học thuyết về sự phát triển dưới hình
thức hoàn bị nhất, sâu sắc nhất và không phiến diện, học thuyết về tính tương
đối của nhận thức của con người, nhận thức này phản ánh vật chất luôn luôn
phát triển không ngừng” (V.I.Lênin toàn tập, NXB tiến bộ, Matxcơva,
1980)
Phép biện chứng là một khoa học triết học, xét trên nhiều phương diện,
nó là hiện tượng có ý nghĩa thế giới quan rộng lớn như bản thân triết học. Như
vậy phép biện chứng hình thành, phát triển từ khi triết học ra đời, mà đỉnh cao
là triết học Mác – Lênin. Phép biện chứng duy vật Mác – Lênin dựa trên
truyền thống tư tưởng biện chứng của nhiều thế kỉ, vạch ra những đặt trưng
chung nhất của phép biện chứng khách quan, nghiên cứu những quy luật phổ
biến của sự vận động và phát triển của tự nhiên, của xã hội loài người và của
tư duy.
Phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mac – Lênin có hai đặc trưng
cơ bản sau đây :
Một là, phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mac – Lênin là phép
biện chứng được xác lập trên nền tảng của thế giới quan duy vật khoa học.
Với đặc trưng này, phép biện chứng duy vật chẳng những có sự khác biệt căn

23


bản với phép biện chứng duy tâm cổ điển Đức, đặc biệt là với phép biện
chứng của Hêghen ( là phép biện chứng được xác lập trên nền tảng thế giới
quan duy tâm) mà còn có sự khác biệt về trình độ phát triển so với nhiều tư
tưởng biện chứng đã từng có trong lịch sử triết học từ thời cổ đại (là phép
biện chứng về căn bản được xây dựng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật
nhưng đó là chủ nghĩa duy vật còn ở trình độ trực quan, ngây thơ và chất
phác).

Hai là, trong phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác – Lênin có
sự thống nhất giữa nội dung thế giới quan (duy vật biện chứng) và phương
pháp luận (biện chứng duy vật), do đó nó không dừng lại ở sự giải thích thế
giới mà còn là công cụ để nhận thức thế giới và cải tạo thế giới. Mỗi nguyên
lý, quy luật trong phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác – Lênin không
chỉ là sự giải thích đúng đắn về tính biện chứng của thế giới mà còn là
phương pháp luận khoa học của việc nhận thức và cải tạo thế giới. Trên cơ sở
khái quát các mối liên hệ phổ biến và sự phát triển, những quy luật phổ biến
của các quá trình vận động, phát triển của tất thảy mọi sự vật, hiện tượng
trong tự nhiên, xã hội và tư duy, phép biện chứng duy vật của chủ nghĩa Mác
– Lê nin cung cấp những nguyên tắc phương pháp luận chung nhất cho quá
trình nhận thức thế giới và cải tạo thế giới, đó không chỉ là nguyên tắc
phương pháp luận khách quan mà còn là phương pháp luận toàn diện, phát
triển, lịch sử - cụ thể, phương pháp luận phân tích mâu thuẫn nhằm tìm ra
nguồn gốc, động lực cơ bản của các quá trình vận động, phát triển,…Với tư
cách đó, phép biện chứng duy vật chính là công cụ khoa học vĩ đại để giai cấp
cách mạng nhận thức và cải tạo thế giới.
Với những đặc trưng cơ bản đó mà phép biện chứng duy vật giữ vai trò
là một nội dung đặc biệt quan trọng trong thế giới quan và phương pháp luận
triết học của chủ nghĩa Mác – Lênin, tạo nên tính khoa học và cách mạng của
chủ nghĩa Mac – Lênin, đồng thời nó cũng là thế giới quan và phương pháp
luận chung nhất của hoạt động sáng tạo trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa
học.
1.2.2 Một số tri thức của phép biện chứng duy vật
24


1.2.2.1. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến
* Nội dung của nguyên lý :
Mọi sự vật hiện tượng của thế giới đều nằm trong mối liên hệ phổ biến

không có sự vật hiện tượng nào tồn tại một cách biệt lập mà chúng tác động
lẫn nhau, rằng buộc quy định và chuyển hoá lẫn nhau, các mối liên hệ trong
mỗi tổng thể của nó quy định sự biến đổi của sự vật, khi các mối liên hệ thay
đổi tất yếu sẽ dẫn đến thay đổi sự vật .
Quan điểm biện chứng duy vật còn khẳng định tính khách quan và đa
dạng hoá của mối liên hệ giữa các sự vật, hiện tượng. Mối liên hệ là khách
quan, là thống nhất vật chất của thế giới. Tính đa dạng của mối liên hệ trực
tiếp và gián tiếp; có mối liên hệ chung bao quát toàn bộ thế giới, có mối liên
hệ bao quát một số lĩnh vực hoặc một lĩnh vực riêng biệt của thế giới đó, có
mối liên hệ bản chất và không bản chất, có mối liên hệ tất yếu và ngẫu
nhiên…. các loại liên hệ khác nhau có vai trò khác nhau đối với sự vận động
và phát triển của sự vật về mối liên hệ cũng đòi hỏi phải thừa nhận tính tương
đối trong sự phân loại của các mối liên hệ.
* Ý nghĩa của nguyên lý :
Từ nghiên cứu quan điểm duy vật biện chứng về mối liên hệ phổ biến
và có thể rút ra phương pháp luận khoa học để nhận thức và cải tạo hiện
thực.Vì bất cứ sự vật hiện tượng nào trong thế giới đều tồn tại trong mối liên
hệ với các sự vật khác và mối liên hệ rất đa dạng phong phú, do đó khi nhận
thức về sự vật, hiện tượng chúng ta phải có quan điểm toàn diện, tránh quan
điểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiện tượng ở một mối liên hệ đã vội vàng kết
luận về bản chất hay về tính quy luật của chúng.
Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta nhận thức về sự vật trong mối
liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, giữa các mặt của chính sự
vật và trong sự tác động qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác, kể cả mối
liên hệ trực tiếp và mối liên hệ gián tiếp. Chỉ trên cơ sở đó mới có thể nhận
thức đúng về sự vật. Chẳng hạn, khi giải một bài toán hình học không gian
25