tiểu luận trọng trung “Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho THPT thông qua dạy học giải phương trình, bất phương trình ”

Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.

A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. Lí do chọn đề tài:
1.1. Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ nghĩa xã hội
(bổ sung, phát triển năm 2011) đưa ra định hướng phát triển giáo dục và đào tạo
trong thời kỳ quá độ: “Giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển
nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây
dựng nền văn hóa và con người Việt Nam. Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với
phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và
đào tạo là đầu tư phát triển…” điều đó một lần nữa khẳng định giáo dục là quốc
sách hàng đầu và việc cải cách giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm
vụ vừa cấp thiết, vừa lâu dài mà Đảng và nhà nước giao cho ngành giáo dục.
1.2. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình mơn Tốn THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên
suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương
trình cịn là chìa khố để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến
thức về Đại số, Giải tích và Hình học. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến
thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy
định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương
trình cho học sinh THPT có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng
dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
1.3. Tư duy hàm là một khái niệm khơng mới, xuất hiện trong nhiều cơng
trình của nhiều nhà giáo dục nổi tiếng cả trong và ngoài nước, đã được áp dụng
vào thực tiễn dạy học và đạt được những kết quả to lớn. Tuy nhiên thực tiễn giáo
dục tư duy hàm cho học sinh nói chung, học sinh giỏi THPT nói riêng gặp nhiều
khó khăn như : Trình độ học sinh cịn hạn chế, khơng đồng đều, khối lượng kiến
thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ mơn Tốn lại khơng nhiều. Những tri thức

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

1


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
về hoạt động tư duy hàm khơng được qui định rõ ràng trong chương trình nên
khơng được giảng dạy một cách tường minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ
thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầm quan trọng của
nó trong dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tượng tốn học một cách cơ
lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Chưa thấy hết những mối liên hệ phụ thuộc
hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các
bài tốn. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung cịn hạn chế, khó
tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh khơng ít khó khăn.
1.4. Việc đặt các yếu tố toán học trong mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, thiết
lập sự tương ứng, lợi dụng sự tương ứng đó để giải quyết các bài toán là việc làm
cần thiết và quan trọng. Như vậy dù có hiểu về khái niệm tư duy hàm hay khơng
thì chắc chắn học sinh đã sử dụng tư duy hàm trong học tập mơn tốn nói riêng,
các mơn học khác nói chung. Tuy nhiên nhiều học sinh dù là khá giỏi cũng gặp
nhiều khó khăn trong việc tìm tịi phát hiện, sử dụng sự tương ứng của các yếu tố
tốn học. Vì lẽ đó việc phát triển tư duy hàm cho học sinh càng cần thiết, đóng
vai trị quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học và hình thành nhân cách
của học sinh.
Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển tư
duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho THPT thơng qua dạy học giải
phương trình, bất phương trình ”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy
học chủ đề giải phương trình, bất phương trình.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận giáo dục về tư duy hàm đối với việc
nâng cao năng lực học tập của học sinh cũng như việc hình thành nhân cách học
sinh.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

2


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
- Nghiên cứu vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
giải phương trình, bất phương trình.
- Nghiên cứu những ứng dụng hiệu quả của lí luận về phát triển tư duy hàm
đối với việc bồi dưỡng học sinh THPT thông qua chủ đề phương trình, bất phương
trình.
IV: Giới hạn của đề tài:
Đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu dạy học phương trình và bất phương trình
để phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT nhằm nâng cao kết quả học tập.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài người viết ngồi việc tích cực học tập, trau dồi các kiến
thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng
nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học
để áp dụng thực hiện đề tài.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

3

Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.

B. NỘI DUNG
Chương I. Một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:
1.1. Một số quan điểm giáo dục học về tư duy hàm :
Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên không
phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý cịn hàm là một khái
niệm tốn học, hàm ở đây khơng có nghĩa là hàm số mà cịn có thể là một sự
tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư duy
hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là một loại hình
tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tương ứng riêng và
chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ
năng vận dụng chúng) [30].
Cịn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là các
hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay
nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập
hợp đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các
hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt
động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng. Như vậy, tư
duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự
vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của
chúng. Theo nhà tốn học Khinsin : “ khơng có khái niệm nào khác có thể phán
ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và thực tại
như khái niệm tương quan hàm ,khơng có một khái niệm nào có thể thể hiện được
ở trong nó những nét biện chứng của tư duy khái niệm toán học hiện đại như khái
niệm tương quan hàm.Thật vậy bản chất của vật chất là vận động,và sự vận
động diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với khái niệm hàm ,người

ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ khơng phải
trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời
nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

4


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong những
khái niệm cơ bản nhất của tốn học;nó giữ vị trí trung tâm của mơn tốn ở
trường phổ thơng ,tồn bộ việc giảng dạy tốn ở nhà trường phổ thơng đều xoay
quanh khái niệm này ” ( Trích : Phương pháp giảng dạy Toán Nguyễn Bá Kim –
Nxb GD 1994)
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt
các cơng trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh
mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ mơn trong nhà trường đặc biệt là mơn tốn.
Ngày nay trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng khái niệm hàm đã,
đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng
các khái niệm khác.Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan
trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải
vận dụng tư duy hàm như là một công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương
trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn
cho cả thày và trị trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị
động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân
là do các em chưa hiểu được bản

chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh

nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải tốn ,các em ln đặt ra câu hỏi “
Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy
,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một
điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy khơng chỉ có phương
pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh
tìm hiểu một cách logíc bản chất của tốn học.Từ đó giúp các em có sự say mê
trong việc học mơn Tốn-mơn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên.
Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần thiết đối với các nhà khoa
học, với học sinh học tốn nói riêng mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao
động, nó là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp người lao động tìm ra
quy luật trong tự nhiên, xã hội và tư duy.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

5


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
1.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thơng qua dạy học
phương trình, bất phương trình.
Trong dạy học tốn học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học sinh
khơng có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm
không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển tư
duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó
tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát triển tư duy hàm là mục
đích kép.
Khi dạy học phương trình, bất phương trình cần hình thành cho học sinh
thói quen ln ý thức về diễn biến của tập nghiệm. Sau khi biến đổi thì tập nghiệm
của phương trình, bất phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình, bất
phương trình thu được có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào

xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả năng
sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập nghiệm
của phương trình sau
Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập nghiệm
của phương trình trước
Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập nghiệm
nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để
nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một phương
trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương với
phương trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trình mới
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

6


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Mặc dù vậy, ta vẫn hình
thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phương trình (dù
trong trường hợp này khơng địi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết
qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả
cơng việc, một trong những đức tính cần thiết của người lao động trong thời đại
mới.

Ví dụ 1: Phương trình:

log 2 (x 2 + 5) = log 2 (2x 2 + 1)

⇔ x 2 + 5 = 2x 2 + 1
x = 2
⇔ x2 = 4 ⇔ 
 x = −2
Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ quả của
phương trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho đều là
nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổi phương trình
khơng làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho là tập con của tập
nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần
mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phương trình:

x − 5 = x −1

⇒ x − 5 = x 2 − 2x = 1
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
 x = −1
⇔
(x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép thử
x = 4
phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta
cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này khơng
chỉ có mục đích kiểm tra tính tốn, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi làm bài

mà cịn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

7


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của phương
trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thu được. Khi
đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phương trình đầu, phép
biến đổi phương trình khơng làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi
vào phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác
định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm. Tuy nhiên,
khơng có quy tắc tổng qt cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta
có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2sin x − cos x = 1
Đặt t = tg

(1)

x
(x ≠ π + kπ)
2

Khi đó (1) trở thành:

1
1
2.2t 1 − t 2
⇒
t
=
⇒
x
=
2arctg(
) + 2kπ
−
=
1
2
2
1 + t2 1 + t2

Do thu hẹp tập xác định từ ¡ thành ¡ \ { π + kπ} ; do đó nếu không thử:
x = π + kπ vào (1), ta sẽ gặp hiện tượng mất nghiệm x = π + kπ . Thật vậy: thay
x = π + kπ vào (1) ta được 2sin( π + kπ) − cos( π + kπ) = 1 ⇒ 1 = 1 (ln đúng).
Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2 − 9 = 3x + 9

(2)

⇔ (x − 3)(x + 3) = 3(x + 3)
⇒ x − 3 = 3 hay x = 6
Do thu hẹp tập xác định từ R thành ¡ \ { 3} nên ta cần thử x = 3 vào (2) để
tránh mất nghiệm.
Như vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của

phương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần
phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh làm mất
nghiệm.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

8


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là nghiệm
của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầu trùng với tập
nghiệm của phương trình thu được. Khi đó, ta nói hai phương trình này tương
đương với nhau.
Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = 1

(3)

x
2t
1 − t2
+
= 1 ⇔ t(t − 1) = 0
Đặt t = tg (x ≠ π + kπ) ta được:
2
1 + t2 1 + t2

(4)

Kiểm tra x = π + kπ không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và (4) là

hai phương trình tương đương.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi
Đối với loại biến đổi này phương trình thu được vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phương trình đã cho. Do vậy cần vận
dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các nghiệm
của phương trình thu được có phải là nghiệm của phương trình đã cho khơng, vừa
phải tìm xem những giá trị nào khơng phải là nghiệm của phương trình thu được
nhưng lại là nghiệm của phương trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phương trình, ở đây là các phép
biến đổi tương đương mà học sinh đã được học. Nắm vững các định lý này không
những giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thành phương trình tương
đương đơn giản, dễ giải hơn mà cịn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa các tập
nghiệm của các phương trình trong quá trình biến đổi. Đây là một trong những
điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến đổi phương trình.
Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa, định lý,
tính chất... mà học sinh đã được học dù có thể khơng liên quan trực tiếp đến biến
đổi phương trình. Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo tồn số nghiệm,
thêm nghiệm hay bớt nghiệm.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

9


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 6: Phép chuyển từ phương trình: f (x) k(x) = f (x)g(x) (f (x) ≠ 0)
sang phương trình: k(x) = g(x) làm mất nghiệm (nếu có) của phương trình ban
đầu.
Ví dụ 7: Phép chuyển từ phương trình:

log
f (x) = log
g(x)
k(x)
k(x)
sang phương trình:

f (x) = g(x)

(5)
(6)

và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hố, có thể làm mở rộng tập nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập nghiệm.
Tóm lại: Khi dạy học giải phương trình, ta cần hình thành cho học sinh lập
luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa các
phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu " ⇒ "," ⇐ "," ⇔ " đúng, từ đó
biết được diễn biến của các tập nghiệm sau từng bước biến đổi, dẫn đến xác định
được tập nghiệm của phương trình đầu dựa vào tập nghiệm của phương trình cuối.
Ngồi ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phương trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú
pháp.

Chương II. Thông qua dạy học giải phương trình, bất phương
trình để phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT.
1. Phát triển tư duy hàm bằng việc thiết lập sự tương ứng thông qua giải tốn
phương trình, bất phương trình.
Theo Nguyễn Bá Kim, một trong những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư
duy hàm đó là: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng

những sự tương ứng trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học.
Các hoạt động như xác định giá trị ra khi biết giá trị vào và ngược lại, nhận
biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong trường hợp có thể) khi đã cho
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

10


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
cặp giá trị vào và giá trị ra tương ứng trong mối liên hệ đó. Nhận biết được đơn trị
của sự tương ứng. Đánh giá được sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra khi
thay đổi giá trị vào và ngược lại dự đoán được sự phụ thuộc lẫn nhau hay các mối
quan hệ nhân quả... Là những hoạt động được cụ thể hoá từ việc nghiên cứu kỹ sự
tương ứng sau khi đã phát hiện và thiết lập được sự tương ứng. Trên cơ sở đó lợi
dụng sự tương ứng để giải quyết các vấn đề mà nội bộ mơn Tốn đặt ra.
Việc nêu ra các bài tốn dưới dạng u cầu tìm giá trị vào hoặc những giá
trị vào khi biết giá trị ra hoặc điều kiện đối với giá trị ra không những giúp học
sinh hiểu rõ các thuật ngữ “phương trình”, “bất phương trình”, “giải phương
trình”... mà cịn rèn luyện và phát triển về mặt tư duy hàm cho học sinh.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3

2x
1 1
+3 +
=2
x +1
2 2x

(1)

Điều kiện: x ≠ 0 vµ x ≠ -1
Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn? Từ đó đưa ra cách giải?
Đặt t =

3

2x
1 1 1
; t ≠0⇒ 3 +
= .
x +1
2 2x t

Lúc đó (1) trở thành:

1
t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0
t

⇔ t = 1 tøc
Việc đặt t =

3

3

(2)

2x
=1⇔ x =1
x +1

2x
với điều kiện t ≠ 0 là ta đã hình thành sự tương ứng
x +1

giữa t và x, đồng thời thông báo tri thức phương pháp “quy lạ thành quen” thơng
qua phương trình trung gian.
Phương trình trên có nghiệm duy nhất x = 1 chứng tỏ sự tương ứng giữa giá
trị x để g ( x ) =

3

2x
1 1
nhận giá trị bằng 2 là đơn trị.
+3 +
x +1
2 2x

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

11


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x = 30
3

(3)

34 − x − 3 x + 1

Rõ ràng, hình thức bài tốn trơng phức tạp, dễ tạo ra sự “ngợp” nhưng nếu
chịu khó để ý, tìm mối quan hệ giữa

3

x + 1 với

3

34 − x và giữa chúng với

phương trình, ta có hướng giải quyết bài tốn.
Hướng dẫn giải:
 u = 3 x + 1 
33 
víi u ≠ v ⇔ x ≠ ÷
Đặt 

2 
 v = 3 34 − x 
Lúc đó (3) trở thành:


3
u
=
v

 u + v = 35
2
⇔
Tøc lµ
 3
3
uv − u v = 30 ( v − u )
u = 2 v

3
3

3

mãn x ≠

33
3
x
+
1
=
34 − x


 x = 26
2
⇔

(thoả
2
x
=
7

3
3
 x +1 =
34 − x

3

33
).
2

Các bài toán kiểu này có mục đích rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm cho học
sinh thơng qua việc tìm giá trị ra của một tương ứng. Ngồi ra, cịn góp phần bồi
dưỡng tư duy biện chứng cho học sinh, thể hiện ở quy luật thống nhất và đấu tranh
giữa các mặt đối lập, cụ thể nếu ta tạm hiểu sự thống nhất thể hiện ở khuynh
hướng chung đó là nhằm vào việc giảm bớt ẩn, bớt số phương trình cịn sự mâu
thuẫn lại thể hiện ở chỗ tăng thêm ẩn, tăng thêm số phương trình.
Nếu khi giải tốn phương trình học sinh luôn nghĩ tới việc rút bớt ẩn, mà
không nghĩ tới điều ngược lại là tăng thêm ẩn thì họ sẽ gặp khó khăn trong nhiều
bài tốn. Sự tăng thêm số ẩn, số phương trình bằng phép thế (ẩn phụ), có thể thay

thế tồn bộ ẩn cũ (như ví dụ 2) nhưng cũng có thể thay thế một phần biểu thức có
mặt trong phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: x = 2007 − 2008 ( 2007 − 2008x 2 )

2

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

12


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Mới nhìn học sinh khơng khỏi “ái ngại” trước hình thức phức tạp của bài
tốn, các hệ số có mặt trong phương trình lớn, phương trình nếu khai triển ra là
phương trình bậc 4, khơng phải dạng phương trình chính quy (khơng có cách giải
tổng qt).
Quan sát phương trình có thể mở rộng thành giải phương trình:
x = a − ( a + 1) a − ( a + 1) x 2  . Bằng việc trừu tượng hố ta có thể tổng qt bài
2

tốn thành giải phương trình: x = a − b ( a − bx 2 )

2

Hướng dẫn giải:
2
 x = a − bu 2

u

=
a
−
bx

⇔
Đặt u = a − bx 2 . Ta thu được hệ 
2
x
=
a
−
bu
( x − u ) 1 − b ( x + u )  = 0


 x − u = 0
 x = u

 2
2
x
=
a
−
bu

bu + u − a = 0
⇔
⇔

 1 − b ( x + u ) = 0
  bx = 1 − bu

 2
2
x
=
a
−
bu
 bu − bu + 1 − ab = 0
 
Việc giải phương trình trên trở nên khá đơn giản, thay a = 2007, b = 2008 vào hệ
phương trình cuối cùng rồi giải. Như vậy, với mỗi cặp số (a; b) cụ thể (giá trị vào)
phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm hoặc vô nghiệm (giá trị
ra tương ứng).
Bây giờ ta xét đến lớp bài tốn: Tìm giá trị vào hoặc điều kiện đối với giá
trị vào để giá trị ra thoả mãn hệ thức cho trước.
Có khi hệ thức cho trước đó chỉ thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm (các
giá trị ra) mà khơng thoả mãn hệ thức đối xứng, có khi thoả mãn hệ thức đối xứng
và bằng một giá trị cụ thể nào đó hoặc thoả mãn một điều kiện nào đó. Khi

giải

loại tốn này thơng thường là vận dụng định lý Viet kết hợp với hệ thức bài cho
nhằm tìm ra giá trị hoặc điều kiện của giá trị vào.
Ví dụ 4: Cho phương trình:

x 2 − 2mx + 2m + 3 = 0

(4)

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

13


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
2
2
Tìm m sao cho biểu thức E = x1x 2 − x 1 − x 2 đạt giá trị lớn nhất, trong đó x 1,

x2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Hoạt động:
+ Tìm giá trị vào là m
+ Giá trị ra là x1, x2 và điều kiện đối với giá trị ra là E đạt giá trị lớn nhất
+ Tìm sự tương ứng
Phương trình (4) có hai nghiệm x1, x2 khi nào?
 m ≤ −1
∆ ' = m 2 − 2m − 3 ≥ 0 ⇔ 
 m≥3
Nhận xét hệ thức E? Tính E theo m dựa vào hệ thức nào?
 x1 + x2 = 2m
Theo định lý Viet 
x1x 2 = 2m + 3
E = x1x 2 − x 21 − x 22 = 3x1x 2 − ( x1 + x 2 ) = 6m + 9 − 4m 2
2

Tương ứng với sự thay đổi giá trị của m ( m ∈ D = ( −∞; − 1] ∪ [ 3; + ∞ ) ) .

Có ảnh hưởng tới giá trị của E khơng? Đánh giá sự biến thiên của giá trị E khi
m ∈ D biến thiên bằng cách nào?
Dựa vào bảng biến thiên:
2
Xét hàm số f ( m ) = −4m + 6m + 9 ( víi m ∈ D = ( −∞; − 1] ∪ [ 3; + ∞ ) )

3
3

f ' ( m ) = −8  m − ÷ = 0 ⇒ m =
4
4

f ( −1) = −1 ; f ( 3 ) = −9

Suy ra biểu thức E đạt giá trị lớn nhất là -1 khi m = -1.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

14


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Cần nhấn mạnh cho học sinh khi vận dụng định lý Viet phải chú ý đến điều
kiện cần của định lý là phương trình có nghiệm, nếu lơ là hoặc khơng ý thức về
điều này, có thể dẫn đến thiếu sót thậm chí sai lầm trong lời giải. Chẳng hạn như
bài tốn trên, học sinh “vơ tư” khi áp dụng định lý Viet để tính E theo m:
2

3  45 45 .


≤
E = −4m + 6m + 9 = −  2m − ÷ +
2
4
4

2

Rồi kết luận E max =

45
3
3
khi m = (Sai lầm! Vì m = phương trình vơ nghiệm).
4
4
4

Đối với phương trình bậc hai thì việc kiểm tra điều kiện cần để áp dụng
định lý Viet là ∆ ≥ 0 nhưng với phương trình bậc 3 hoặc cao hơn thì định lý Viet
khơng được học trong chương trình phổ thơng và việc tìm điều kiện để phương
trình có số nghiệm bằng số bậc phương trình thật khơng đơn giản. Để khắc phục
điều này, cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại với giá trị tham số tìm được
(giá trị vào) thì nghiệm phương trình (giá trị ra) có thoả mãn u cầu bài tốn
khơng? Tức là giải quyết bài tốn dưới dạng: Điều kiện cần và đủ.
3
2
Ví dụ 5: Cho phương trình f ( x ) = x − 3x − 9x + m = 0 . Tìm giá trị của

tham số m để cho phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1 , x 2 , x 3 thoả mãn:
2x 2 = x1 + x3
Thay vì tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta giả sử
phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1 , x 2 , x 3 .
3
2
Khi đó: x − 3x − 9x + m = ( x − x1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 )

= x 3 − ( x1 + x 2 + x 3 ) x 2 + ( x1x 2 + x 2 x 3 + x 3x1 ) x − x1x 2 x 3
 x1 + x 2 + x 3 = 3

⇔ x1x 2 + x 2 x3 + x3 x1 = −9
 x x x = −m
 1 2 3

( 5)

(Phát hiện sự tương ứng)

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

15


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Mặt khác: 2x 2 = x1 + x 3 thay vào (5) ta được x2 = 1. Lúc đó f(1) = 0 ⇔ m = 11 ,
đây mới là điều kiện cần. Kiểm tra lại điều kiện đủ, khi m = 11 phương trình trở
thành:
x 3 − 3x 2 − 9x + 11 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2x − 11) = 0

Phương trình có 3 nghiệm x = 1, x = 1 − 2 3 , x = 1 + 2 3 thoả mãn điều kiện đủ.
Vậy m = 11.
Đối với loại tốn này, được ra với phương trình bậc hai là phổ biến. Tìm giá trị
(điều kiện) tham số để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn hệ thức cho
trước. Nếu hệ thức bài toán ra thoả mãn hệ thức đối xứng như

1 1 x1 x 2
+ ;
+
x 1 x 2 x 2 x1

; x13x 2 + x32 x1 thì hồn tồn có thể biểu diễn chúng theo tổng và tích các
nghiệm dựa vào hệ thức Viet. Việc giải chúng để tìm giá trị vào (giá trị tham số)
khơng có gì khó khăn. Nhưng đối với các hệ thức bài ra khơng đối xứng thì sao?
Không lẽ đi giải các nghiệm x1, x2 theo công thức nghiệm rồi thay vào hệ thức để
tìm giá trị của tham số? Vì mục đích đi tìm giá trị tham số.
Cơng việc này rõ ràng gặp nhiều khó khăn phức tạp và nghiệm của phương
trình bậc hai chứa căn thức (trong trường hợp tổng quát) khá cồng kềnh, rắc rối.
Do đó phương pháp tổng quát là kết hợp giữa hệ thức Viet và hệ thức bài tốn ra,
tìm ra nghiệm x1 (hoặc x2) là nghiệm thì nó thoả mãn phương trình đã cho ta tìm
được giá trị tham số. Tuy nhiên, dựa vào đặc điểm cụ thể của từng bài ra mà có
thể có cách làm ngắn gọn, độc đáo hơn.
Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x:
3cos4 x − 5cos3x − 36sin 2 x − 15cosx + 36 + 24m − 12m 2 ≥ 0

(7)

Hoạt động:
+ Tìm giá trị vào là m
+ Điều kiện đối với giá trị ra: Với ∀x thì (7) đúng

+ Tìm sự tương ứng: Trên cơ sở sin 2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin 2 x = 1 − cos2 x .
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

16


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Đặt t = cosx thì sin 2 x = 1 − t 2 và t ∈ [ −1; 1] chính dựa vào việc phát hiện và thiết
lập sự tương ứng trên tới chuyển đổi bài toán về dạng quen thuộc, đơn giản hơn.
Hướng dẫn:
4
3
2
2
Biến đổi ( 7 ) = 3cos x − 20cos x + 36cos + 24m − 12m ≥ 0

Đặt t = cosx , t ∈ [ −1; 1] . Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình:
f ( t ) = 3t 4 − 20t 3 + 36t + 24m − 12m 2 ≥ 0 với ∀t ∈ [ −1; 1]
f ( t ) = 12t ( t 2 − 5t + 6 )
t

Bảng biến thiên:

f ( t)
f ( t)
'

0

-1
-

0

1
+

Min f ( t ) = f ( 0 ) = 24m − 12m 2 .
Để

f ( x ) ≥ 0 víi ∀x th× min f ( t ) ≥ 0
(Sự tương ứng).
−1 ≤ t ≤ 1

⇒ 24m − 12m 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 .
Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình:

( m − 2 ) x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m = 0

(8)

Phương pháp chung để giải học sinh đã được làm quen trong nội dung
chương trình học, đó là dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = x 2 (Điều kiện t ≥ 0 ) đưa
phương trình (8) về dạng quen thuộc:
f ( t ) = ( m − 2 ) t 2 − 2 ( m + 1) t + m = 0

(9)

Bước làm này học sinh bình thường có thể làm được nhưng nếu khơng nhận

thức được sự tương ứng giữa nghiệm của phương trình (8) và nghiệm của phương
trình (9) do mối quan hệ giữa x và t mang lại thì rất có thể việc “Giải và biện luận

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

17


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
4
2
phương trình ( m − 2 ) x − 2 ( m + 1) x + m = 0 ” chính là việc “Giải và biện luận
2
phương trình f ( t ) = ( m − 2 ) t − 2 ( m + 1) t + m = 0 ” ở ví dụ 9.

Học sinh phải nhận thức được việc đặt t = x 2 chính là việc thiết lập tương
ứng giữa t và x. Từ đó có kết luận:
- Với nghiệm t < 0 thì sẽ vơ nghiệm x
- Với nghiệm t = 0 thì có nghiệm x = 0
- Với nghiệm t > 0 thì sẽ có 2 nghiệm x phân biệt là x = ± t
Khi đã nắm bắt được mối quan hệ này kết hợp với kiến thức “Giải và biện
luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 ”, học sinh khơng khó khăn đưa ra các
trường hợp giải và biện luận phương trình (8) nói riêng và giải và biện luận
phương trình dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0 nói chung.
Cần phải khẳng định ở đây ta không đi rèn luyện kỹ năng giải toán “Giải và
biện luận” mà qua đây cho học sinh thấy được bức tranh tổng quát về mối quan hệ
phụ thuộc giữa giá trị vào và giá trị ra cũng như số giá trị ra. Sau khi “Giải và biện
luận” xong có thể yêu cầu học sinh trả lời nhanh (không giải) cho biết nghiệm, số
nghiệm của phương trình khi tham số nhận giá trị cụ thể để học sinh thấy rõ mối

quan hệ này. Hoặc chỉ rõ các bài tốn: Tìm m để phương trình (8) có 1 nghiệm, 2
nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm là các trường hợp riêng của bài toán “Giải và biện
luận”. Loại bài tốn này u cầu tính giá trị vào khi biết điều kiện đối với số giá trị
ra. Tổng quát hóa ta có bài tốn sau:
Tìm điều kiện các hệ số a, b, c của phương trình trùng phương
ax 4 + bx 2 + c = 0 để phương trình đó:
a. Vơ nghiệm

d. Có 3 nghiệm

b. Có 1 nghiệm

e. Có 4 nghiệm

c. Có 2 nghiệm
Hoạt động:
+ Tìm điều kiện đối với giá trị vào a, b, c
+ Biết điều kiện đối với số giá trị ra.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

18


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 8: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2a x +6 + 2 4 x+3a = ( 4 − a 2 ) x + 3a − 6
2

Hoạt động:

- Tìm giá trị vào là a
- Biết điều kiện đối với số giá trị ra (số nghiệm) là duy nhất.
x
- Tìm sự tương ứng: Trên cơ sở lợi dụng tương ứng hàm f ( x ) = a + x đồng

biến có f(x) = f(y) thì x = y và phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất khi và
chỉ khi a ≠ 0 .
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Quan sát tìm mối quan hệ giữa các số hạng có trong phương trình và biến đổi:
2a x +6 + a 2 x + 6 = 2 4x +3a + 4x + 3a
2

(10)

Có nhận xét gì về hàm vế trái và hàm vế phải của phương trình?
x
Có dạng f ( x ) = 2 + x
x
Hàm số f ( x ) = 2 + x có tính chất gì?
'
Ta có: f ( x ) =

2x
+ 1 > 0 ∀x ∈ ¡ nên f(x) đồng biến trên ¡ .
2 ln x

Lợi dụng tính chất này mà ta có:

( 10 ) ⇔ f ( a 2x + 6 ) = f ( 4x + 3a ) ⇔ a 2x + 6 = 4x + 3a ⇔ ( a 2 − 4 ) x = 3a − 6
Từ việc giải quyết bài toán đối với phương trình mũ ta đưa về giải quyết bài

tốn đối với phương trình dạng đơn giản ax + b = 0. Phương trình có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi a 2 − 4 ≠ 0 . Bên cạnh các bài toán xác định giá trị ra khi biết giá
trị vào được ra ở dạng tường minh , đơn giản (đơn giản ở đây không phải là đơn
giản ở cách làm mà ở cách hiểu, cách xác định yêu cầu bài tốn)
Thơng qua giải tốn phương trình, cần tập luyện cho học sinh xác định giá
trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi biết giá trị ra đối với tập hợp
số thực và tập hợp điểm trên mặt phẳng. Điều này được thể hiện rõ khi u cầu
học sinh giải tốn phương trình bằng đồ thị.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

19


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 9: Với giá trị nào của tham số a thì phương trình sau có 4 nghiệm phân
biệt:
x 2 − 4x +3

1
 ÷
5

= a4 − a2 + 1

(13)

2

1 3


Do a − a + 1 =  a 2 − 2 ÷ + > 0 ( ∀a ∈ ¡
a  4

4

2

)

nên:

( 14 ) ⇔ x2 − 4x + 3 = log 1 ( a 4 − a 2 + 1)
5

4
2
2
Dựng đồ thị (C): y = x − 4x + 3 và đường thẳng (d): y = log 1 ( a − a + 1) . Khi
5

đó số nghiệm của phương trình chính là

f( x) = ( x⋅x-4⋅x) +3
8

số giao điểm của hai đồ thị (Sự tương
ứng 1:1 giữa số nghiệm và số giao điểm

y

6

(C)

của hai đồ thị).

4

Dựa vào đồ thị ta dễ dàng suy ra kết
2

luận: (13) có 4 nghiệm phân biệt khi và
chỉ khi đường thẳng (d) phải nằm trong

(d)

-5

băng tạo bởi hai đường thẳng (d 1): y = 0

5

x 10

-2

và (d2): y = 1. Tức là:
0 < log 1 ( a 4 − a 2 + 1) < 1 ⇔
5

1
 −1 < a < 1
< a4 − a2 + 1 < 1 ⇔ 
5
a ≠ 0

Nhận thấy bài toán này là trường hợp riêng của bài toán: Biện luận theo a số
nghiệm của phương trình. Bằng đồ thị việc biện luận số nghiệm của phương trình
nhận ra dễ dàng và trực quan.
Ví dụ 10: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
 x 2 + 2x + a ≤ 0
 2
x − 4x − 6a ≤ 0
Hoạt động tìm lời giải:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

20


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
a ≤ −x 2 − 2x

- Biến đổi hệ về dạng tương đương: 
x 2 − 4x
a
≥



6
2
Dựng đồ thị (C1): f ( x ) = −x − 2x và

a
6

x 2 − 4x
đồ thị (C2): g ( x ) =
trên cùng hệ trục
6

g ( x) =

x⋅x-4⋅x

4

6

(d)
2

toạ độ xoa.
- Các điểm M(x; a) thoả mãn hệ khi

-5

5

x

-2

nào?

+

Khi điểm M(x; a) nằm trong miền

-

-

+

-4

f( x) = -x⋅x-2⋅x

gạch.
- Hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng a = α cắt miền gạch tại một điểm
duy nhất, tức là từ đồ thị suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi a =1 hoặc a = 0.
2.2. Xét tính chất của tương ứng hàm thơng qua giải tốn phương trình, bất
phương trình.
Khi phương trình (kể cả phương trình hàm) học sinh thường loay hoay với
các thủ thuật như: Biến đổi, phân tích, đặt ẩn phụ để giải chúng, có khi cho kết
quả ngắn gọn, nhanh chóng có lại khi phức tạp, thậm chí bế tắc. Giáo viên cần
hình thành ở học sinh thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau.

Đặc biệt giúp họ đoán nhận và giải quyết bài tốn phương trình bằng việc sử dụng
cơng cụ hàm số, ánh xạ, dựa vào đặc điểm phương trình. Chẳng hạn nhận thấy hai
vế phương trình hoặc các biểu thức thành phần của phương trình là các hàm số
khác biệt nhau (giống nhau) về loại hình, tính chất. Nói cách khác, đặt phương
trình và giải quyết bài tốn phương trình theo quan điểm hàm.
Việc xét tính chất của tương ứng hàm, có ý nghĩa to lớn khi giải tốn
phương trình, bất phương trình, khơng những rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm mà
còn rèn luyện, bồi dưỡng tư duy linh hoạt cho học sinh khi giải toán về chủ đề
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

21

10


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
này. Do đó học sinh cần nắm vững và vận dụng tốt các tính chất của tương ứng
hàm như tính liên tục, tính chẵn lẻ, tính tuần hồn, tính đơn điệu, tính chất của
hàm hằng, hàm hợp và tính chất của một số hàm số quen thuộc đôi khi kết hợp với
miền giá trị của tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất
phương trình.
Ví dụ 1: Cho phương trình:
a 2002 x 2002 + a

2000

x2000

+ ... + a 4 x 4 + a 2 x 2 + 1 = 0

(1)

Phương trình trình này có thể có đúng 1001 nghiệm phân biệt được hay
khơng?
ý tưởng giải phương trình rồi từ đó đến số nghiệm phương trình là khơng
khả thi vì:
Thứ nhất: Số nghiệm phương trình cần kiểm tra khá lớn (1001 nghiệm)
Thứ hai: Bậc của phương trình lại cao, khơng đưa về các dạng phương trình đã
có cách giải.
Ngồi ra, nếu giải được thì bài tốn lại ra dưới dạng “Giải phương trình”.
Buộc phải nghĩ tới việc lợi dụng tính chất của tính chất hàm để giải quyết bài toán
này, đặt:
f ( x ) = a 2002 x 2002 + a 2000 x 2000 + ... + a 4 x 4 + a 2 x 2 + 1
Hướng 1: Hàm số f(x) là hàm đa thức, xác định và liên tục trên ¡ . Do đó để
chứng minh phương trình f(x) = 0 có thể có 1001 nghiệm phân biệt, thì trên ¡ ta
phải chỉ ra có đoạn [a; b] sao cho tồn tại các số chia đoạn [a; b] thành 1001
khoảng:
f(a).f(T1 ) < 0

f(T1 ).f(T2 ) < 0
a < T1 < T2 < … < T1000 < b thoả mãn: 
.....
f(T1000 ).f(b) < 0
Hoặc ngược lại thì phải chỉ ra khơng tồn tại đoạn [a; b] thoả mãn điều kiện trên.
Công việc này quả thật không dễ chút nào!
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

22

Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phng trỡnh, bt phng trỡnh.
TXĐ : R đối xứng qua x = 0
Hướng 2: Nhận thấy: 
f( −x) = f(x) ∀x ∈ R
Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên ¡ , ta có f(0) = 1 ≠ 0 nên x = 0 khơng phải
là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì f(x) là hàm chẵn nên phương trình f(x) =
0 có nghiệm x0 thì - x0 cũng là nghiệm mà x = 0 không phải là nghiệm. Do đó f(x)
= 0 nếu có nghiệm thì số nghiệm phải là số chẵn tức là (1) không thể không thể có
đúng 1001 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
1
≥ 1 + m2
x
2

(2)

Điều kiện cần: Giả sử (2) có nghiệm là x0 thì - x0 cũng là nghiệm của (2). Vậy (2)
có nghiệm duy nhất khi x0 = - x0 ⇔ x0 = 0.
Thay x0 = 0 vào (2) ta được: m = 0 là điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Với m = 0, (2) có dạng:
1
x
≥ 1 ⇔ 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0 là nghiệm duy nhất.
x
2
Vậy m = 0, bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của a, b để phương trình:

3

(ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 a 2 x 2 − b 2 = 3 b có nghiệm duy nhất.

Đối với bài tốn này, hình thức phức tạp, phương trình dạng vơ tỷ có hai tham
số nhưng nếu quan sát và xem xét kỹ vế trái của phương trình:
VT = f(x) =

3

(ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 a 2 x 2 − b 2 . Xác định trên ¡ và f(x) = f(-

x) nên VT là hàm số chẵn thì ta có thể vận dụng tính chất hàm số chẵn để giải bài
toán một cách dễ dàng. Thu được kết quả a ≠ 0 , b = 0 hoặc b = 1.
Qua các ví dụ trên cho thấy: Nếu khai thác và lợi dụng tính chất chẵn lẻ của
hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình thật hiệu quả đặc biệt là loại
tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, hoặc có một số
các nghiệm nào đó .
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

23


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình :
sin2x > sin4x
(3)
Thơng thường, học sinh biến đổi tương đương, thực hiện lời giải sau:
(3) ⇔ sin4x - sin2x < 0 ⇔ sinx.cos3x < 0

 sinx > 0

cos3x < 0
⇔
 sin x < 0

 co3x > 0
Trường hợp 1:
2kπ < x < π + 2kπ
2kπ < x < π + 2kπ
sinx > 0


⇔ π
⇔  π 2kπ

3π
π
+
2k
π
<
3x
<
+
2k
π
+
<
x

<
+ 2kπ
cos3x < 0
 2
 6
2
3
2
π
π

 5π

⇔  + 2kπ < x < + 2kπ ÷ hoặc 
+ 2kπ < x < π + 2kπ ÷
2
6

 6


( ∗)

Trường hợp 2:
π + 2kπ < x < 2 π + 2kπ
sinx < 0

 π

⇔ π

⇔  − + 2kπ < x < 2kπ ÷

π
 6

cos3x > 0
− 2 + 2kπ < 3x < 2 + 2kπ
 5π

hoặc  − + 2kπ < x < π + kπ ÷
 6


( ∗∗)

Kết hợp ( ∗) và ( ∗∗) suy ra nghiệm là:
π
π

5π
 6 + kπ < x < 2 + kπ ÷ hoặc + kπ < x < π + kπ
6


Tuy nhiên, nếu lợi dụng tính chất của tương ứng hàm dựa vào đặc điểm
riêng của bất phương trình, ta có cách làm ngắn gọn hơn nhiều.
Hướng dẫn: Đưa bất phương trình về dạng f(x) = sin4x - sin2x < 0

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

24


Phát triển tư duy hàm để nâng cao kết quả học tập cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải phương trình, bất phương trình.
Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của hàm số f(x) = sin4x - sin2x?
Do y = sin4x và y = sin2x là các hàm số tuần hồn có chu kỳ lần lượt là
π
, π nên f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ π .
2
Hàm f(x) là hàm tuần hồn chu kỳ π , có gợi cho ta cách giải bất phương
trình trên khơng?
Thay vì giải bất phương trình f(x) < 0 trên ¡ , ta giải bất phương trình trên

[ 0; π]

sau khi tìm được nghiệm riêng, ta suy ra nghiệm tổng quát bằng cách cộng

vào nghiệm riêng lượng kπ, k ∈ ¢ .
Bây giờ, ta giải bất phương trình (3) trên [ 0; π] :
x ≠ 0,x ≠ π
(3) ⇔ sinx.cos3x < 0 ⇔ 
(vì 0 < x < π thì sinx > 0, còn sin0 =sin π =
cos3x < 0
0)
x ≠ 0,x ≠ π
π

π
 5π


⇔  π
⇔  < x < ÷ hoặc 
< x < π ÷.
3π 
5π
2
6
 6

 2 < 3x < 2 ữ hoặc ( 6 ) 3x < 3π)


Vậy nghiệm của bất phương trình (3):
π
π

 5π

 6 + kπ < x < 2 + kπ ÷ hoặc  6 + kπ < x < π + kπ ÷




Qua bài toán trên, ta thấy được “lợi thế” của việc lợi dụng tính chất tuần hồn
của hàm số để giải phương trình, bất phương trình; đặc biệt là phương trình, bất
phương trình lượng giác (Dù bất phương trình lượng giác trong chương trình mới
hiện nay được giảm tải nhưng chúng tôi vẫn đưa nội dung này vào để thấy tác
dụng to lớn của việc vận dụng tính chất tuần hồn khi giải tốn bất phương trình).
Tiếp đến, ta xét tính chất liên tục của hàm số trong việc vận dụng giải phương

trình, bất phương trình, tiêu biểu là dạng tốn: Chứng minh phương trình có
nghiệm hoặc vơ nghiệm. Trước hết, xuất phát từ hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán

25