Rèn kỹ năng giải toán hình học cho học sinh THCS huyện quảng xương nhằm phát triển tư duy sáng tạo, nâng cao chất lượng giáo dục

MỤC LỤC
1. Mở đầu………………………………………………………………………...2
1.1 Lý do chọn đề tài…………………………………………………………….2
1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………………..2
1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………..2
1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….2
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………..3
2.1 Cơ sở lý luận………………………………………………………………...2
2.2 Thực trạng việc dạy và học giải toán hình học trong trường THCS huyện
Quảng Xương…………………………………………………………………....3
2.2.1. Đối với giáo viên …………………………………………………………3
2.2.2. Đối với học sinh ………………………………………………………. …4
2.3 Các giải pháp rèn kỹ năng giải toán hình học cho học sinh THCS huyện
Quảng Xương……………………………………………………………………4
2.3.1 Rèn kỹ năng vẽ hình cho học sinh…………………………………………4
2.3.2 Rèn kỹ năng tính toán…………………………………………………….. 6
2.3.3 Rèn kỹ năng suy luận và chứng minh……………………………………..7
2.3.3.1 Rèn kỹ năng nhận dạng và thể hiện định lý……………………………..7
2.3.3.2 Rèn kỹ năng sử dụng quy tắc suy luận…………………………………..8
2.3.3.3 Rèn kỹ năng suy ngược và suy xuôi……………………………………11
2.3.3.4 Rèn kỹ năng khái quát hóa……………………………………………..12
2.4 Hiệu quả của Sáng kiến…………………………………………………….15
3. Kết luận, kiến nghị…………………………………………………………..15
3.1 Kết luận…………………………………………………………………….15
3.2 Kiến nghị…………………………………………………………………...15
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………..17

1


1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
Thực hiện đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở
(THCS) nhằm nâng cao hiệu quả quá trình dạy học, việc đổi mới phương pháp
dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt, góp phần phát triển tư duy, sáng
tạo… cho học sinh. Việc giải bài toán, toán học là một bộ phận không thể tách
rời của quá trình tri thức và chuẩn bị cho hành động, vì nó đảm bảo cho học sinh
không những hiểu lý thuyết toán học một các vững chắc và có ý thức hơn mà
biết vận dụng những tri thức toán học vào thực hành…
Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp
dạy học môn toán ở trường THCS.
Đối với học sinh có thể nói rằng hoạt động giải toán là hoạt động chủ yếu
trong học tập môn Toán.
Giải toán hình học là một hình thức rất tốt để rèn luyện các kĩ năng: Kĩ năng
tính toán, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học hoá các tình huống.
Việc tìm tòi lời giải các bài toán rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học
trong suy nghĩ, trong suy luận, trong việc giải quyết các vấn đề. Qua đó rèn luyện
trí thông minh sáng tạo, phát hiện năng lực và các phẩm chất trí tuệ của học sinh.
Giáo viên biết lựa chọn các bài toán và chú ý hướng dẫn học sinh giải
toán thì có thể không những truyền thụ được kiến thức, rèn luyện được kĩ năng
mà còn phát huy được tác dụng giáo dục phát triển trí tuệ, bồi dưỡng nhân cách,
rèn kỹ năng sống cho học sinh.
Như vậy trong quá trình giảng dạy, người thầy giáo cần thông qua hệ
thống câu hỏi, hệ thống bài tập để học sinh hiểu và nắm vững được khái niệm,
định nghĩa, tính chất, …của các hình, có kỹ năng thành thạo vận dụng những
kiến thức đã học khi giải, đặc biệt giúp các em tránh được những sai lầm trong
khi giải bài tập. Vì vậy tôi chọn đề tài: "Rèn kĩ năng giải toán hình học cho
học sinh trung học cơ sở huyện Quảng Xương nhằm phát triển tư duy,
sáng tạo nâng cao chất lượng giáo dục "
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu những hạn chế cơ bản của giáo viên và học sinh trong việc

dạy và học giải toán hình học tại các trường THCS huyện Quảng Xương. Đề ra
những biện pháp rèn kỹ năng giải toán hình học cho học sinh THCS nhằm phát

triển tư duy, sáng tạo nâng cao chất lượng giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu quá trình dạy - học phân môn hình học của giáo viên và
học sinh trung học cơ sở (những điểm mạnh, những hạn chế); nêu ra những biện
pháp rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Điều tra
- Phân tích, so sánh
2


- Khai quát
- Tổng hợp
- Hội thảo

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Quá trình dạy học là một hệ thống cơ bản gồm:
- Khái niệm khoa học
- Hoạt động dạy.
- Hoạt động học.
* Khái niệm khoa học là nội dung và đối tượng của sự lĩnh hội (học) là yếu
tố khách quan thứ nhất quyết định logic của bản thân quá trình dạy - học về mặt
khoa học ; quá trình khoa học vừa là điểm xuất phát của học vừa là điểm kết
thúc của học.
* Hoạt động dạy là hoạt động của người thầy, có vai trò chỉ đạo với chức
năng tổ chức, điều khiển hoạt động và truyền đạt thông tin. Chức năng “Kép”

Quá trình dạy - học là một quá trình vận động của tư duy và ý thức - một quá
trình diễn ra và trải qua các giai đoạn nhất định, là một quá trình vận động, phát
triển liên tục, nhờ đó mà những kinh nghiệm xã hội, lịch sử kho tàng văn hoá
nhân loại, dần dần hình thành lý tưởng, niềm tin thế giới quan và giá trị văn hoá
riêng của mỗi học sinh. Trên cơ sở đó hình thành những phẩm chất của nhân
cách học sinh .
Các thành tố quá trình dạy – học liên quan chặt chẽ và tác động qua lại với
nhau , chính nhờ tác động này mà quá trình tồn tại và phát triển.
Quá trình dạy học là tác động vào các yếu tố để làm cho quá trình phát triển
theo mục tiêu điều kiện, tuỳ tình hình tuỳ thời gian mà lựa chọn tác động cho
thích hợp tạo hiệu quả giáo dục cao nhất mà giáo viên phải nắm được.
* Hoạt động học: Khi nói đến hoạt động học cần làm rõ khái niệm học và
khái niệm hoạt động học. Trong cuộc sống đời thường con người luôn luôn có
quá trình tích tiếp thu, tích luỹ những kinh nghiệm sống, trên cơ sở đó tạo nên
những tri thức tiền khoa học, làm cơ sở tiếp thu những khái niệm khoa học ở
trong nhà trường. Đó chính là việc học, là cách học theo phương pháp của cuộc
sống thường ngày, giống như con người khi sinh ra đến khi chết học ăn học nói
học gói học mở, đi một ngày đàng học một sàng khôn…Trên thực tế, chỉ có
phương thức đặc thù( phương thức nhà trường) mới có khả năng tổ chức để cá
nhân tiến hành hoạt động đặc biệt đó là hoạt động học, qua đó hình thành ở cá
nhân những tri thức khoa học, năng lực mới phù hợp với đòi hỏi của thực tiễn;
và trong tâm lý học sư phạm, hoạt động học là khái niệm chính được dùng để
chỉ hoạt động học diễn theo phương thức đặc thù, nhằm chiếm lĩnh tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo.
2.2. Thực trạng việc dạy và học giải toán hình học trong trường
THCS của huyện Quảng Xương
2.2.1. Đối với giáo viên
3

2.2.1.1. Thiên về cung cấp bài giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ
động; chưa chú trọng trong việc dạy học sinh giải toán hình học.
2.2.1.2. Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán hình
học khi tìm được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ
tìm cách giải khác, cách giải hay hơn hoạc khai thác thêm ở bài toán vừa giải để
phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh; thường chú ý số lượng hơn là
chất lượng bài giải.
2.2.1.3. Giáo viên thường chú trọng mặt đề cao kiến thức và coi nhẹ mặt
bảo đảm kiến thức, cái cơ bản theo yêu cầu chuẩn kiến thức của chương trình.
2.2.2. Đối với học sinh:
2.2.2.1. Lúng túng trước đề bài toán hình học; Không biết làm gì, bắt đâù
từ đâu, đi theo hướng nào …
2.2.2.2. Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên
lý luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh
làm giả thiết…
2.2.2.3. Trình bày bài giải hình học không tốt: hình vẽ không chính xác,
không rõ ràng, ngôn ngữ ký hiệu tuỳ tiện, lập luận thiếu căn cứ, khoa học, logic.
2.3. Các giải pháp Rèn kĩ năng giải toán hình học cho học sinh THCS
huyện Quảng Xương
Trong quá trình dạy học giải toán ở trường THCS ta cần đặc biệt chú ý
luyện cho học sinh kĩ năng giải toán.
Các kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh trong việc dạy học giải toán hình
học là:
+ Kĩ năng vẽ hình
+ Kĩ năng tính toán
+ Kĩ năng suy luận và chứng minh
2.3.1. Rèn kĩ năng vẽ hình cho học sinh
Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán. Hình vẽ
chính xác trực quan giúp cho học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán.
Học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình vẽ hình, thông thường

các em vẽ hình theo thứ tự đầu bài đã cho, cho nên nhiều khi hình vẽ không
chính xác hoặc không vẽ hết các trường hợp xảy ra.
Ví dụ1: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có đường cao AH. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh NP là đường
trung trực của đoạn AH và MNPH là một hình thang cân.
Khi giải bài tập này học sinh thường vẽ trường hợp H nằm giữa B và C,
không nói gì đến các trường hợp khác. Trong khi đó điểm H có thể trùng với B
hoặc nằm ra ngoài đoạn BC. Vì vậy, trong khi vẽ hình giáo viên cần hướng dẫn
cho học sinh vẽ đầy đủ cả ba trường hợp có thể xảy ra ( hình 1a, 1b, 1c)

4


A

A

P
B

N
H

A

P

M

C

N

P
C

B

H

M

N

B

M

C

Hình 1a
Hình 1b
Hình 1c
Ví dụ 2.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng một
đường tròn đường kính MC. Nối BM kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường
thẳng DA gặp đường tròn tại S. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc
SCB.
Khi giải bài toán này học sinh thường vẽ một tam giác ABC vuông ở A.
Sau đó lấy một điểm M trên AC và dựng đường tròn đường kính MC. Cách vẽ

như vậy sẽ gặp khó khăn vì không xét hết các khả năng có thể xảy ra.
Với cách vẽ sau đây việc tìm lời giải bài toán sẽ gặp thuận lợi hơn:
Vẽ đường tròn đường kính MC, trên tia CM lấy một điểm A ( M nằm giữa
C và A) và dựng Ax vuông góc với AC, trên Ax lấy điểm B, tuỳ thuộc vào vị trí
của điểm B mà có thể xảy ra các trường hợp sau:
+ Điểm S nằm giữa điểm A và điểm D (Hình 2a)
+ Điểm D nằm giữa điểm A và điểm S (Hình 2b)
+ Điểm D trùng với điểm S ( Hình 2c)

B

B
C

M
A
S

M

A

D

D

B

(Hình 2a)

C
S

(Hình 2b)
A

M

C

S, D
(Hình 2c)
5


2.3. 2. Rèn kĩ năng tính toán
Trong quá trình giải toán, học sinh có thể đi đến kết quả chính xác và
ngắn gọn hay không, điều đó phụ thuộc vào khả năng tính toán.
Nhiều khi các em không biết thiết lập mối liên hệ giữa những đại lượng đã biết
và đại lượng chưa biết, giữa những đại lượng chưa biết với nhau, giữa những đại
lượng đã biết với nhau.
Sau đây là một bài toán tương đối đơn giản, nhưng nhiều học sinh gặp
khó khăn trong quá trình tìm lời giải.
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng đường cao AH, biết rằng AH =
4,8cm, BH = 3,6cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Có thể hướng dẫn học sinh tính diện tích tam giác ABC theo nhiều cách
khác nhau. Chẳng hạn trước hết tính độ dài cạnh huyền BC:
Ta có ( hình 3)
B

H
AH2 = BH . CH
(4,8)2 = 3,6 . CH ⇒ CH = 6,4(cm)
BC = 3,6 + 6,4 = 10(cm)

C

A
(Hình 3)

Diện tích tam giác ABC là 10 x 4,8 : 2 = 24 (cm2)
Có thể có học sinh tính toán như sau:
2
AB = AH2 + BH2 ⇒AB2 = 4,82 + 3,62 = 23,04 + 12,96 = 36 ⇒AB = 6(cm)
1
1
1
1
1
1
= 2 +
=
+
⇒AC = 8 (cm).
2
2
2
2 . Thay số ta có
4,8
6

AC 2
AH
AB
AC

Diện tích tam giác ABC là 6 x 8: 2 = 24 (cm2).
Ví dụ 4
Cho một góc đỉnh B, trên cạnh thứ nhất của góc đó lấy hai đoạn thẳng BA
và BD ( BA < BD), trên cạnh thứ hai lấy hai đoạn thẳng BC và BE. Xét xem các
đường thẳng AC và DE có song song với nhau không nếu
BD 11
= ;
AD 8

3
BC = .CE
8

D
A
B

C

E

(Hình 4)

6

Điều mấu chốt khi giải bài toán này ( Hình 4) là bằng cách tính được các
tỉ số BA/BD và BC/BE hoặc BA/AD và BC/EC từ các điều kiện đã cho
Để tính được các tỉ số trên nhanh gọn và chính xác học sinh cần biến đổi
thành thạo các tỉ lệ thức.
2.3. 3. Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh
Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan
trọng khá đặc biệt. Vì học sinh cần có kĩ năng này không những chỉ khi giải các
bài toán về chứng minh mà cả khi giải các bài toán về quĩ tích ( Chứng minh
phần thuận và phần đảo); các bài toán về dựng hình ( phần chứng minh) và một
số bài toán về tính toán.
Có thể rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh theo các
hướng sau đây:
- Tăng cường cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng các định lí
và thể hiện định lí.
- Hướng dẫn học sinh suy luận theo qui tắc suy diễn ( qui tắc kết luận) và
qui tắc qui nạp ( hoàn toàn)
- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy ngược và suy xuôi ( suy luận theo
phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp)
- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện.
2.3. 3. 1. Rèn kĩ năng nhận dạng và thể hiện định lí
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh hình học cho học sinh nên
bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lí và thể
hiện định lí.
Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn
khớp với một định lí nào đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một
tình huống học tập ăn khớp với định lí trước.
Ví dụ 5
Cho tam giác ABC. Dựng các tam giác đều MAB, NBC, PCA thuộc miền
ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB .

Trên (hình 5) tam giác ABC có 3 góc
nhọn
P
Để chứng minh MC = NA = PB trước hết
A
M
ta chứng minh MC = NA.
Để chứng minh MC = NA ta xét hai tam
giác MBC và ABN, ta có:
B
C
MB = AB ( tính chất tam giác đều)
∠MBC = ∠ABN ( cùng bằng 600+ ∠ABC)
BC = BN ( tính chất tam giác đều)

N

(Hình 5)

7


Đến đây học sinh sẽ thấy rằng tình huống này ăn khớp với
đinh lí sau (nhận dạng định lí):
Nếu hai tam giác ABC và A/B/C/ có AB = A/B/; ∠A = ∠A/, AC = A/C/ thì
hai tam giác đó bằng nhau.
Muốn chứng minh NA = PB ta củng có thể vận dụng định lí trên.
Chú ý rằng ta chỉ mới xét trường hợp tam giác có 3 góc nhọn. Học sinh
còn phải tiếp tục xét các trường hợp khác: Tam giác ABC có một góc tù và chi
tiết hơn, góc tù đó lớn hơn 1200; bằng 1200; bé hơn 1200.

Ví dụ 6
Cho H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H ’ là điểm đối xứng với H qua
AC. Chứng minh rằng: H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trên ( hình 6) tam giác ABC có 3 góc nhọn
Để chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
tức là bốn điểm H ’, A, B, C cùng nằm trên một đường tròn, ta cần
chứng minh ∠A1 = ∠C2 (1) (nhận dạng định lí).
Quĩ tích các điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước một
góc AMB có số đo không đổi bằng α ( 00 < α < 1800) là hai cung tròn đối xứng
nhau qua AB gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB .
Ta lại có ∠C1 = ∠C2 ( Tính chất đối xứng)
Để chứng minh (1) ta cần chứng minh ∠C1 = ∠A1
(2).
Để chứng minh (2) ta cần chứng minh tứ giác
AKTC nội tiếp .
Điều này học sinh dễ nhận thấy vì K và T cùng
nhìn AC dưới một góc vuông. ( hoặc ∠C1 = ∠A1
góc có cạnh tương ứng vuông góc)

A
K 1

I

H
B

1

T

C

2

H’

2.3. 3. 2. Rèn kĩ năng sử dụng qui tắc suy luận
Khi dạy giải bài tập, giáo viên nên chú ý dạy cho học sinh các qui tắc suy luận.
Trong quá trình giải toán, ta thường gặp hai qui tắc suy luận sau:
- Qui tắc suy diễn là suy luận từ cái chung đến cái riêng, từ qui luật tổng
quát đến trường hợp cụ thể.
- Qui tắc qui nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ trường hợp
cụ thể rút ra kết luận tổng quát.
Qui tắc suy diễn thường gặp nhất là qui tắc kết luận. Qui tắc kết luận có sơ đồ
sau:
A ⇒ B. A
B

A ⇒ B được gọi là tiên đề lớn, A được gọi là tiên đề nhỏ, B được gọi là
kết luận.
8


Ví dụ 7:
Chứng minh rằng trong một tam giác cân hai trung tuyến ứng với hai cạnh
bên thì bằng nhau.
Gọi tam giác cân là ABC ( AB = AC) và hai trung tuyến ứng với hai cạnh
bên là BM và CN ( Hình 7)
Để giải bài toán này ta dùng qui tắc kết luận:

* Tiên đề lớn
Nếu hai tam giác ABC và A/B/C/ có AB = A/B/; ∠A = ∠A/; AC = A/C/ thì hai
tam giác đó bằng nhau.
* Tiên đề nhỏ: Tam giác BCN và tam giác CBM có BC chung,
∠B = ∠C, BN = CM
Kết luận: ∆BCN = ∆CBM
* Tiên đề lớn:
A

Nếu hai tam giác bằng nhau thì các cạnh
tương ứng bằng nhau
N

*Tiên đề nhỏ:
∆BCN = ∆CBM
Kết luận: BM = CN
B

M
C

(Hình 7)

Qui tắc qui nạp thường dùng là qui tắc qui nạp hoàn toàn. Khi ta sử dụng
qui tắc qui nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. Trong
quá trình giải toán nhiều khi ta cần phải phân chia ra các trường hợp riêng,
nhưng hầu hết học sinh chỉ xét trong một trường hợp rồi đi đến kết luận hoặc có
phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá trình dạy học
giải toán giáo viên cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân chia ra các
trường hợp riêng.

Ví dụ 8
Cho tam giác ABC, Điểm E nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh rằng
AE nhỏ hơn đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng AB và AC.
Không mất tính tổng quát giả sử AB < AC ta cần chứng minh AE < AC.
Kẻ AH vuông góc với BC. Để giải bài toán này ta cần xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: góc B bằng 900 (Hình 8a)
Trường hợp 2: góc B lớn hơn 900 (Hình 8b).
Trường hợp 3: góc B nhỏ hơn 900 (Hình 8c).

9


A

A

C

HB

(Hình 8a)

B

E

(Hình 8b)

A

B

C

H

E

C

(Hình 8c 1)
- Trường hợp 3: Góc B nhỏ hơn 900
Trong trường hợp này có ba khả năng sau:
+ Điểm E nằm giữa hai điểm H và C (Hình 8c1).
+ Điểm E trùng điểm H (Hình 8c2).
+ Điểm E nằm giữa hai điểm B và H (Hình 8c3).
A

A

B

B
E
H

(Hình 8c2)

C

E

H

C

(Hình 8c 3)

Ví dụ 9
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác dựng
hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACD. Chứng minh rằng BD = CE ( tài
liệu chuyên toán lớp 6 - 7)
Khi giải bài toán này, phải xét 3 trường hợp:
10


-

Góc A là góc nhọn( hình 9a)
Góc A là góc vuông( hình 9b)
Góc A là góc tù( hình 9c)

E

A

B

D

C

E

A
D

Hình 9a

D

B

E
C
A
B

Hình 9b

C
Hình 9c

Sau khi xét cả 3 trường hợp ta mới kết luận.
2.3.3.3. Rèn kĩ năng suy ngược và suy xuôi
Khi giải các bài toán về chứng minh, phép suy ngược thường được dùng
để tìm lời giải, phép suy xuôi thường được dùng khi trình bày lời giải. Vì vậy
trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng
suy ngược và suy xuôi.

Ví dụ 10
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung
điểm của cạnh CD. Chứng minh hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC
thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
Gọi giao điểm của DE và BF với đường
chéo AC là M, N ( hình 10)
A
E
B
Ta phải chứng minh: AM = MN = NC
M
Trước hết ta tìm cách chứng minh AM =
N
MN. Ta dùng suy ngược để tìm lời giải. Để
chứng minh AM = MN ta hãy chứng minh
D
C
F
EM // BN (1)
(Hình 10)
Để chứng minh (1) ta hãy chứng minh tứ giác DEBF là hình bình hành
(điều này dễ thấy).
Ta có lời giải như sau ( suy xuôi)
Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC nên ta có: EB = DF.

11


Tứ giác EBFD là hình bình hành. Suy ra ME // BN. E là trung điểm của AB nên
ME là đường trung bình của tam giác ABN hay nói cách khác M là trung điểm

của AN: AM = MN
2.3. 3.4. Rèn kĩ năng khái quát hoá
Muốn rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy luận và chứng minh, trong một
số trường hợp có thể hướng dẫn cho học sinh khái quát hoá các bài toán.
Có hai dạng khái quát hoá thường gặp là:
+ Khái quát từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát
+ Khái quát từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn
Ví dụ 11
Cho tam giác ABC và gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng
có độ dài AD = 2cm và BD = 4cm. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B
đến cạnh AC
Lời giải
Từ B và D kẻ BH và DK vuông góc với
AC ( hình 11). Ta có: BH // DK
Áp dụng định lí Talét ta có:
Vì tỉ số giữa DK và BH bằng tỉ số giữa AD
và AB vì vậy ta có thể khái quát hoá bài
A
toán trên như sau:

B
D
C
K

H
Hình 11

Bài toán 1.
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có

độ dài AD = a và BD = 2a. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh
AC ( Ta có đáp số DK / BH = 1/3)
Ta cũng có thể khái quát bài toán trên một cách khác như sau:
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có
độ dài AD = m và BD = n. Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh
AC ( Ta có đáp số DK / BH = m/m+n).
Ví dụ 12.
Trên cạnh của hình vuông ABCD và ở miền ngoài của hình vuông đó, vẽ
bốn hình vuông. Chứng minh các tâm đối xứng của chúng là đỉnh của một hình
vuông khác.
Lời giải tóm tắt: ( hình 12)
12


Các tam giác cân ABO1; BCO2; CDO3; ADO4
O1
bằng nhau. Có thể chứng minh được rằng:
A
B
A thuộc đoạn thẳng O1O4
D thuộc đoạn thẳng O3O4
O4
O2
C thuộc đoạn thẳng O2O3
C
D
B thuộc đoạn thẳng O1O2
0
O3

∠AO1B = ∠BO2C = ∠CO3D = 90 . Do đó
O1O2O3O4 là một hình vuông.
Hình 12
Ta có thể khái quát hoá bài toán trên bằng cách
thay “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật
Trên hình 12, ta thay giả thuyết hình vuông ABCD bằng hình chữ nhật
ABCD”
ABCD và kết luận như cũ ta có bài toán mới)
( Với lời giải tương tự cho ta điều phải chứng minh)
*Bằng cách tiếp tục thay đổi giả thuyết bài toán ta sẽ được những bài toán
mới bằng kỹ năng "khái quát hoá"
VD: Ta thay giả thuyết hình vuông ABCD bằng hình thoi ABCD( Hoặc hình
bình hành ABCD) và kết luận như cũ ta có bài toán mới.
Sau đây xét hướng dẫn giải cho trường hợp ABCD là hình bình hành
∆O4AO1 = ∆O2BO1 vì O4A = O1B,
∠O4AO1 = ∠O2BO1; AO1 = BO2.
Từ đó suy ra: O4O1 = O1O2
Tương tự ta có:
O1O2 = O2O3 = O3O4
Suy ra O4O1O2O3 là một hình thoi.
Có thể chứng minh được rằng:
∠O4O1O2 = 900
Từ đó suy ra O4O1O2O3
là một hình vuông.

01

B

A

o4

C

D

02

o3

(Hình 13)
Kết luận: Qua nghiên cứu "Kĩ năng khái quát hoá" áp dụng cho việc
thay đổi giả thuyết các bài toán trên cho ta các bài toán mới đòi hỏi kỹ năng tư
duy theo mức độ khái quát hóa bài toán mức độ tăng dần về sự mở rộng hình
học ( hạn chế về giả thuyết)

13


Ngoài việc thay đổi giả thuyết bài toán bằng "Kĩ năng khái quát hoá" ta còn
khai thác kỹ năng " Tổng quát hóa" bằng cách áp dụng hệ thống bài tập này kết
hợp ví dụ 9.
Cho ta bài toán: Cho tứ ABCD và ở miền ngoài của tứ giác đó, vẽ bốn hình
vuông. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tâm đối xứng của các hình vuông
vừa dựng là đỉnh của một hình vuông khác.
N
Cách suy luận:
Áp dụng ví dụ 9
M

O1

A

O4
C
I

B

( Hình 14)
Bằng việc áp dung kết quả Ví dụ 9 Gọi I là trung điểm của BC kết hợp
thêm tính chất đường trung bình trong tam giác ( ∆ BMC và ∆ BNC) ta suy ra
O4 I = O1 I và O4 I vuông góc với O1 I . Vậy ∆O4 IO1 vuông cân tại I.
Phát truyển cách giải này vào bài toán vừa xây dựng:

14


O1

A

O4

B

K
I

D

O2
O3

C

( Hình 15)
Để giải bài toán ( Hình 15)
Ta áp dụng kết quả chứng minh tượng tự trên ( Với K là trung điểm của AC, I là
trung điểm của BD)ta có: 4 tam giác là: ∆O1KO2 ; ∆O2 IO3 ; ∆O3 KO4 ; ∆O4 IO1 Đều là
các tam giác vuông cân tại I; K ⇒ điều kiện để tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông
thì I trùng K. Hay tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường ( ABCD là hình bình hành)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Sau khi nghiên cứu, chỉ đạo áp dụng giảng dạy ở 10 trường THCS của
huyện nhà, bản thân và đồng nghiệp thấy ở các trường, nhiều giáo viên đã thực
hiện tốt những cách luyện trên, thể hiện tốt ở tiết luyện tập, đã thực sự dạy học
sinh giải toán hình học theo những cách đã nêu. Ngay cả yêu cầu phát huy trí
thông minh, tìm tòi nhiều cách giải, phân tích hết các trường hợp có thể xảy ra
và cách khai thác bài toán, kết quả đạt được thật đáng khích lệ. Học sinh đã biết
vẽ hình chính xác, biết phân tích đầu bài và ghi giả thiết, kết luận của bài toán
theo ngôn ngữ thông thường và ngôn gữ hình học. Đặc biệt các em đã biết vận
dụng quy tắc suy luận để hoàn thành lời giải bài toán…. Đạt được kết quả như
vậy là bản thân mỗi thầy giáo, cô giáo phát huy tốt tinh thần trách nhiệm trong
giảng dạy và đầu tư suy nghĩ trong việc chuẩn bị bài giảng… Trình độ học
sinh được nâng lên rõ rệt, các em đã biết lựa chọn phương pháp giải phù hợp để
tìm lời giải cho một bài toá. Đặc biệt giúp học sinh tránh được những sai lầm
15

đáng tiếc như: Hình vẽ không chính xác, rõ ràng, ngôn ngữ ký hiệu tuỳ tiện,
không gắn gọn, tường minh, lập luận thiếu khoa học, ngộ nhận trong suy luận …
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu bản thân thấy rằng dựa chủ yếu vào sách giáo
khoa đang dạy ở trường THCS và tham khảo một số sách khác trong quá trình
giảng dạy toán hình học có thể rèn luyện cho học sinh các kĩ năng suy luận,
chứng minh nhất là trong quá trình dạy học giải toán hình học ở trường THCS.
Qua quá trình nghiên cứu dạy học toán ở trường THCS và cùng trao đổi
với các đồng chí giáo viên toán của tổ tự nhiên của 10 trường THCS trong
huyện, chúng tôi thấy rằng nếu chú ý đến việc lựa chọn các bài tập theo yêu cầu
dạy học đã đề ra thì có thể không ngừng nâng cao hiệu quả giáo dục, tạo niềm
say mê học tập môn toán của học sinh.
3.2. Kiến nghị
- Đối với nhà trường
Cán bộ quản lí nhà trường : từ Hiệu trưởng, Phó Hiệu trưởng, tổ trưởng
chuyờn mụn phải thường xuyên đổi mới phương pháp dạy học. Luôn có tư duy
mới, cách nghĩ cách làm mới, năng động sáng tạo, lấy hiệu quả công việc làm
thước đo đánh giá cá nhân. Tăng cường kiểm tra, đánh giá đôn đốc, giám sát
mọi hoạt động chuyên môn trong nhà trường theo kế hoạch. Công tác đổi mới
phương pháp dạy học phải được tiến hành thường xuyên, liên tục, diễn ra cả quỏ
trỡnh trong suốt năm học và những năm tiếp theo.
- Đối với Phòng GD&ĐT
Tổ chức chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học, chỉ đạo kịp thời bằng
văn bản các hoạt động giáo dục để các trường chủ động xây dựng và bổ sung kế
hoạch năm học.
Trong quá trình nghiên cứu, trình bày, không tránh được thiếu sót rất
mong được sự giúp đỡ chân thành của bạn đọc nhằm bổ sung cho đề tài ngày
một tốt hơn góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục.

Tôi xin cam đoan đây là
sáng kiến kinh nghiệm của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Quảng Xương, ngày 20 tháng 4 năm
2016.
Người thực hiện
Xác nhận của Phòng GD&ĐT
TRƯỞNG PHÒNG
Lê Hữu Quang

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học lớp 8 - NXBGD.
2. Nguyễn Văn Bàng – Nguyễn Khắc An - Bài tập hình học 8
NXBGD.
3. Sách giáo viên hình học 8 - NXBGD.
4. Hình học 9 – NXBGD.
5. Hình học 7 – NXBGD.
6. Tài liệu chuyên toán hình học 6 – 7 NXB – T. Phố HCM.
7. Một số vấn đề phát triễn hình học 8 – 9; NXBGD.

17