T 12g 18 thaytuan tichphanp1 tomtatbaihoc

TÍCH PHÂN (Phần 1)
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Định nghĩa
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích
a

phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

 f(x)dx
b

Chú ý:
a

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước



b

f(x)dx = 0;

a


a

a



f(x)dx = - f(x)dx
b

Vì mọi nguyên hàm của f(x) chỉ khác nhau một hằng số C, do đó trong định nghĩa
trên lấy F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x).

Ví dụ 1: Tính

2

1

a)

 (x

3

+ x 2 +1)dx

b)

0

 sin2t dt
0

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Ví dụ 2: Tính

2

2



a) | x - 1| dx
0

b)

 | sin x | - x  dx
-


2

2


III. PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm và
liên tục trên đoạn [; ] sao cho  () = a,  () = b và a   (t)  b với mọi
t  [; ]. Khi đó,
b



a



 f(x)dx =  f[(t)] '(t)dt.

(Nếu  <  ta xét đoạn [; ])

Ví dụ 3: Tính
1
2

a)


0

2

1
1- x

2

b)

dx

1

 4+x
0

2

dx

Ví dụ 4: Tính

2

a)


4

sin x



 1 + 3 cos x dx

b) cot xdx

6

0

1



c) xe

x 2 +2

3

dx

d)

0

x

2

x 3 + 5dx

-1

2. Phƣơng pháp tính tích phân từng phần
Định lí 2
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b



u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)

a

b

hay

b

b
a

b



- u'(x)v(x)dx
a

b

 udv = uv a -  vdu.
a

a

Ví dụ 5: Tính



2



a) (x - 1) cos xdx
0

e

c)

0

ln x

x
1



b) (x 2 +1)e2x dx

5

dx


2



d) (x + cos 3 x) sin xdx
0