Chương I - Bài 3: Phép đối xứng trục

H

ÌNH HỌC
10


PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
I.Định nghĩa
II. Các tính chất của phép đối xứng trục
III. Trục đối xứng của hình


Cho đường thẳng d và một điểm
M.Tìm điểm M’ đối xứng với M
qua đường thẳng d.
Có mấy điểm M’ như vậy. Khi đó d
gọi là gì của MM’ .
M

M’
d




Khi M

∈d

1.Thì có hay khơng điểm M’ đối xứng
với M qua d?

2.M’ được xác định thế nào?


d
M’

M

M

≡

M’


Phép đối xứng trục
Định nghĩa:

d

Định nghĩa: _____________________
________________________________
________________________________
________________________________

Tr
ục

đố

ix

a) Cho đường thẳng d.
Với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ ứng với
điểm M :
- Nếu M∈d thì _______
- Nếu M∉d thì d là đường ________của MM’
M’ được gọi là điểm đối xứng với M M d
qua
d: trục đối xứng

ứn
g

1.

Đd

M
M’

M’


Từ định nghĩa em hãy cho biết phép đối xứng
trục được xác định khi nào?
Cho Đd :M
Vậy: Đd: M

’



M’

 ?

M’

M

d


Phép đối xứng trục
- Phép đối xứng trục xác định nếu ta biết
_____________________Đd biến M thành M’ 
M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trụd
c
M’
Đd
Kí hiệu:Đd:M



M

’

M

M

Đd
M
M’

M’ (Ảnh)


? Cho hình H và phép đối xứng trục Đd.
Hãy xác định H’ là ảnh của H qua Đd

H

H’


b) Cho phép đối xứng trục Đd (trục d), và một hình H.
∀ M∈H M
M’
Đd
H’= { M’ : M’
M}: hình đối xứng với H qua đường
thẳng d
Đd
( H’ là ảnh của H qua phép đối xứng trục Đd hay phép
đối xứng Đd trục biến hình H thành hình H’ )
d

H

H’


Đd: M
Đd: N





M’

d
M

N’

I

N’

N
J

MN, M’N’ ?

SO
SÁNH:

M’


2. Các tính chất của phép đối xứng
trục

Định_lý:________________________
_______________________________
_________________________
Nếu : Đd:
M
’


N
Thì:MN=M’N’

M
N’





Chứng minh:
2

= ( MI + JN ) + IJ
2

M ′N ′ = ( M ' I + JN ') + IJ
2

M

I

2

2

2

M’

N’

N

MN = MN = ( MI + IJ + JN )
= [( MI + JN ) + IJ ] 2
2
2

d

J

( ( MI + JN ) IJ = MI .IJ + JN IJ = 0)

2. Các tính chất của phép đối xứng
trục


Hệ quả 1:
Phép đối xứng trục biến 3 điểm thẳng hàng thành
3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự
của ba điểm thẳng hàng đó.



Chứng minh
A, B, C thẳng hàng
 AB + BC = AC (*)
Mà Đd: A
A’
B



B’

A

d

A’

B
C



C
 C’
⇒ AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’
Vậy (*)  A’B’ + B’C’ = A’C’  A’, B’, C’ thẳng hàng

B’
C’


Hệ quả 2: Phép đối xứng trục:

b. Biến một t đường mộtng thành một
tia thành thẳ tia
a.ếnếnột ộộđotamthẳng thành mt tam ạn bằng
Biếnm một ạn giác thành mộột đo giác
mt
e. Bi Bi m
c.
d. ngm t mộ
đmBiếncó ộngngt góc ng nómB’tt đườcó strịn bằng nó
ườt đườ ẳ dài bằ thành ộ góc ng ố đo
th ộ trịn thànhm ộ
nó,thằng nó đ
ẳng
ộ

B y
b
y’
x
A

M’ M’

N

O

M M

N’

N

N’
a

O

d

a’
O’

x’
O’

A’


PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC


Ví dụ 1:
Cho hai điểm A,B khơng thuộc đường
thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho độ dài
tổng MA+ MB nhỏ nhất .


3.Trục đối xứng của hình


Định nghĩa:

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của
hình H nếu phép đối xứng trục Đd biến hình
H thành chính nó


Trục đối xứng của hình






Tam giác cân có trục đối xứng là đường
thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối
diện
Hình vng có 4 trục đối xứng (các đường
thẳng đi qua trung điểm các cạnh (các đỉnh)
đối diện.
Mọi đường thẳng đi qua tâm đường tròn đều
là trục đối xứng của đường trịn đó


PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Ví dụ 2: Cho hai điểm B,C cố định trên đưòng
tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường
trịn đó. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. CM
H’ nằm trên (O).
b. Tìm quĩ tích trực tâm H.




Nêu cách dựng điểm M’ đối xứng với M qua
đường thẳng d
d
M

H

M’



Minh hoa:




Nêu cách dựng đường tròn tâm O’ đối xứng
với đường tròn tâm O qua d
M
O

d

M’
O’




Nêu Cách dựng ∆A’B’C’ đối xứng với ∆ABC
qua đường thẳng d
B

d

B’

A’

A

C

C’