Phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc lên đường thẳng

PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ
PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG
1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng
∆
cố định và
một véc tơ
→
v

≠
0
sao cho
→
v
không là véc tơ chỉ phương của
∆
.Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M
nhận
→
v
làm véc tơ chỉ phương và M’ = d
∩
∆
. Khi đó M’
duy nhất.
1.2.Định nghĩa 1
Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác
định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.
Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)

Điểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M.
Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’. Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì
ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M

M’.
Ví dụ 1: Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo
phương
→
v
lên đường thẳng
∆
.Ta có thể kí hiệu là:
∆
→
v
F
(M) = M’.
Ví dụ 2: Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu
→
v
là véc tơ pháp tuyến của
∆
thì ta
gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng
∆
( Còn gọi là
phép chiếu trực giao). Kí hiệu là:
∆⊥
F

*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình
1
∆
M
M'
Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M’=F(M) với M
∈
H} gọi là ảnh của
hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H’.
1.4.Tích của hai phép biến hình
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H
có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F. Ký hiệu là: H =
F

G.
Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = F

G(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho
tích của một số phép biến hình).
2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG
→
v
LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG)
2.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
và véc tơ
→

v
≠
→
0

không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng
∆
. Phép biến
hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:





∆∈
=
→→
'
'
M
nkMM
(I)
gọi là phép chiếu theo phương
→
v
lên đường thẳng
∆
. Kí hiệu là:
∆
→

v
F
.
KÝ HIỆU
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By + C = 0. Ký hiệu
→
n
= (A; B) là
véc tơ pháp tuyến của
∆
và
→
u
= (B; -A) là véc tơ chỉ phương của
∆
.
-Với mỗi điểm M(x
M
; y
M
), ta ký hiệu
∆
(M) = Ax
M
+ By
M
+ C là số thực khi
thay tọa độ của M vào vế trái

∆
;
-Nếu M
0
(x
0
;y
0
) thì
0
∆
= Ax
0
+ By
0
+ C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (
∆
): =
∆
(M): = Ax + By + C .
2
Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x
0
+ at , y = y
0

+ bt và đường thẳng
∆
: Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và

∆

biết rằng Aa +Bb
≠
0.
Giải: Đặt
→
v
= (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó
→
v
.
→
n
= Aa +Bb
≠
0. Ta cần
xác định giá trị t
0
thỏa mãn : A(x
0
+ at
0
) +B(y
0
+ bt
0
) + C = 0
⇔
(Aa +Bb)t

0
+ (Ax
0
+ By
0
+ C) = 0
⇔
t
0
= -
bBaA
CByAx
+
++
00
= -
→→
∆
nv .
0
.
Thay giá trị t
0
vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm:
x’
0
= x
0
+ at
0

, y’
0
= y
0
+ bt
0
.
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương
→
v

Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
*ĐỊNH LÍ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By +C = 0 và
→
v
= (a;b) sao cho
→
v
.
→
n
= Aa +Bb
≠
0. Khi đó
∆
→
v

F
có biểu thức véc tơ là:
vkMM ='
(Ia)
trong đó k = -
→→
∆
nv .
)(
, (
∆
) = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định
→
n
= (A; B) theo phương trình của
∆
và giữ nguyên nó trong
mệnh đề 1. Chẳng hạn :
∆
: 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy
→
n
=(6; - 9) mà không lấy
→
n

=(2; - 3). Muốn lấy
→
n

=(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng
∆
:
0
3
2
32 =+− yx
.
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương
→
v
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*HỆ QUẢ : Nếu
∆
→
v
F
biến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì :



+=
+=
kbyy
kaxx
'
'
(Ib)
trong đó k = -
→→

∆
nv .
)(
, (
∆
) = Ax + By +C và
→
v
= (a;b).
3
Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và
∆
: 2x – y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu
→
v
=
→
d
u
=(1;-2) và
→
n
=(2; - 1) ta có:
→
v
.
→

n
=4
≠
0. Lấy M
0
(0;1) trên
d
⇒

∆
0
= 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k
0
=-
→→
∆
nv .
)(
0
= -
2
1
Vậy





=−−=
−=−=

2)2(
2
1
1'
2
1
1.
2
1
0'
0
0
y
x
hay d
∆
= (-
2
1
; 2).
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và
∆
: 4x+5y -6 = 0.
Giải
Xét
→
v
=
→

d
u
=(3;-2) và
→
n
=(4; 5)
⇒

→
v
.
→
n
=2
≠
0. Lấy M
0
(1;-1)
∈
d
⇒
∆
0
= -7.
Khi đó k
0
= -
→→
∆
nv .

)(
0
=
2
7
.Vậy





−=−+−=
=+=
8)2(
2
7
1'
2
23
3.
2
7
1'
0
0
y
x
hay d
∆
= (

2
23
;-8).
3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG
3.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
và véc tơ pháp
tuyến
→
n
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:



∆∈
=
'
'
M
nkMM
(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng
∆
. Kí hiệu là:
∆⊥
F
.
*Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc.
4

3.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu vuông góc
*ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
∆
: Ax + By +C = 0. Khi đó
∆⊥
F
biến
M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:
→
MH
=
→
nk
(IIa)
trong đó k = -
2
)(
→
∆
n
, (
∆
) = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai ý:
→
MH
cùng phương với
→

n
(1), và H
∈
∆
(2).Thật
vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M
∈
∆
nghĩa là
∆
(M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIa)
⇒
H
≡
M.
- Nếu M
∉
∆
.Khi đó từ (IIa) suy ra (1). Từ k = -
2
)(
→
∆
n

⇔
k
2
→

n
= - (
∆
) (3). Nhân
vô hướng hai vế của (IIa) với
→
n
và so sánh với (3) ta có :
→
MH
.
→
n
= - (
∆
)
⇔
A(x
H
- x) +B(y
H
- y) = - ( Ax + By +C)
⇔
Ax
H
+ By
H
+C=0
⇒
(2) đúng.

*Chú ý : Trong định lí 1 chọn
→
v
=
→
n
ta có ngay định lí 2.
3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc
*HỆ QUẢ 1: Nếu
∆⊥
F
biến M(x;y) thành H(x
H
;y
H
) thì :



+=
+=
kByy
kAxx
H
H
(IIb)
trong đó k = -
2
)(
→

∆
n
, (
∆
) = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên).
Ví dụ 1: Cho điểm M(1;2) và
∆
: 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc H của M trên
∆
.
Giải: Tính giá trị k
0
=-
2
)(
→
∆
n
o
=-
22
43
12.41.3
+
−+
=-
5
2

.
5