Giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.83 MB, 62 trang )
NGUYỄN BẢO VƯƠNG.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9
GIỚI HẠN HÀM SỐ
TẬ P 1
2 2 0 BÀI TẬ P TRẮ C GI ỚI HẠN HÀM S Ố CÓ LỜI
GIẢI CHI TI ẾT
/>
A L B A - CHƯ SÊ -GIA LAI
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
i ^Vh g i ớ i
^^^^n h
s
ố
tạp 1
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
A
r
r*
_
r f
\
_
/ k
>
_
r /
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. G i ớ i h ạ n h ữ u h ạ n c ủ a d ã y s ố
1.1. Đ ị n h n g h ĩ a :
• D ãy số (u ) được gọi là có giới h ạn bằng 0 khi n tiến ra dư ơ ng vô cực nếu với m ỗi số dư ơng nhỏ tuỳ ý
cho trước, m ọi số hạng của dãy số , k ể từ m ột số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số
dư ơng đó. Kí hiệu: lim u = 0 .Hay là: lim u = 0 khi và chỉ khi với m ọi £ > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự
nhiên n 0 sao cho: un <£, Vn > n0 .
• lim u = a « lim (u - a) = 0 , tức là: Với m ọi s > 0 nhỏ tù y ý, luôn tồn tại số tự n hiên n sao cho
í —í» n
í —í» n
0
|un - a <£, Vn > n 0 .
D ãy số (u n) có giới h ạn là số thự c gọi là dãy số có giới h ạn h ữ u hạn.
1.2. M ộ t s ố g i ớ i h ạ n đ ặ c b i ệ t
1
• lim ——= 0 vói k e N *
nk
• N ếu |q| < 1 thì lim qn = 0
n—+
n—
—
+OT
n—
—
+OT
C h ú ý : Ta viết lim u
n
= a thay cho cách viết lim u = a .
n—+
2. M ộ t s ố đ ị n h l í v ề g i ớ i h ạ n
Đ ị n h l í 1. N ếu dãy số (u n) thỏa |u I <
Đ ị n h l í 2. C ho lim u
v kể’ từ số hạng nào đó trở đi và lim v = 0 thì lim u = 0 .
= a, lim v = b . Ta có:
• lim (ụn + v n) = a + b
• lim (ụn - v n) = a - b
• lim(wn.vn) = a.b
lim
vn
•
a (b * 0)
b
• N ếu un > 0 Vn thì lim un = a
3. T ổ n g c ủ a C S N l ù i v ô h ạ n
C ho CSN (u ) có công bội q thỏa |q| < 1. Khi đó tổng
S = u +u2 +... + u +.... gọi là tổng vô h ạn của CSN và
S = lim S = lim 1(1 q ’ = - ^ .
n
1- q
1- q
4. G i ớ i h ạ n v ô c ự c
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
CH^^^ ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
H^^N
SỐ TẠP 1
4.1. Đ ịn h nghĩa:
• lim u = +X «
n — +X
n
với m ỗi số dư ơng tuỳ ý cho trước , m oi số hang của dãy số , k ể từ m ôt số hang nào đó
trở đi, đ ều lớn hơn số dương đó .
• lim I = —X « lim (—1 ) = + X .
4.2. M ộ t số k ế t q u ả đặc b iệt
• lim nk = + X với m ọi k > 0
• lim qn = + X với m ọi q > 1 .
4.3. M ộ t vài quy tắc tìm giới h ạ n vô cựC.
Q uy tắc 1: N ếu lim un = ±
X
, lim vn = ± X thì lim ( wn .vn ) được cho n h ư sau;
lim un
lim v n
lim ( u n v n )
+ X
+ X
+ X
+ X
—X
—X
—X
+ X
—X
—X
—X
+ X
Q uy tắc 2: N ếu lim un = ± X , lim vn = l thì lim(wn .vn ) được
cho n h ư sau;
.
D ấu của l
lim un
lim ( u n v n )
+ X
+
+ X
+ X
—
—X
—X
+
—X
—X
—
n
A
+ X
'
^
7
^
u
Q uy tắc 3: N ếu lim un = l , lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ m ột số hạng nào dó trở đi thì lim -
vn
đư ợc coi n h ư sau;
D ấu của l
D ấu của v n
+ X
+
+ X
+ X
—
—X
—X
+
—X
—X
—
+ X
lim
u
vn
V ấn đề 1. T ìm giới h ạ n bằn g đ ịn h n g h ĩa
P h ư ơ n g pháp:
• Để’ chứng m inh lim u = 0 ta chứng m inh với m ọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại m ôt số n sao cho
|u ĩ < a Vn > nI• .
• Để’ chứng m inh lim u = l ta chứng m inh lim ( u - 1) = 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
2
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
H^^N
SỐ TẠP 1
• Đ ể chứng m inh lim u = +X ta chứng m inh với m ọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự n hiên nh
sao cho uỉ > M Vn > nM
t, .
• Để’ chứng m inh lim u = - X ta chứng m inh lim (-u ) = + X .
• M ột dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Các ví d ụ
Lời giải.
1
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > - 1, ta có:
n +2
-1
n +1
1
n +1
Suy ra lim
<
1
n_ +1
n +2
--1
n +1
'• w
< a với
Vn > n
= 0 = lim
n +2
n +1
= 1.
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n >
n2 -1
1
3
2n2 +1
2
n +1
Suy ra lim
<
n2 - 1
1
2n2 +1
2
3
w
n2 +1
=0
- 1, ta có:
^
< a với Vn > n
lim
n2 - 1
1
2n2+1
2
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n >
1 - 2w , 2
77T 2
Suy ra lim
1 - 2n + 2 4 n2 + 1
<
1 - 2n + 2(n + 1)
n2 + 1
1 - 2n
•Ịn2 + 1
+ 2 = 0 ^ lim
- 1 , ta có:
a
n2 + 1
1 - 2n
3
n2 + 1
: < a với Vn > n .
n2 +1
= -2 .
n2 + 1
V í d ụ 2. C hứng m inh rằng dãy số (u ): u = (-1)” không có giới hạn.
Lời giải.
Ta có: u2n = 1 ^ lim u2n = 1; u2n+1 = -1
lim u2n+1 = -1
Vì giới h ạn của dãy số nếu có là duy n hất nên ta suy ra dãy (u n ) không có giới hạn.
V í d ụ 3. C hứng m inh các giới hạn sau:
1. lim
n2 +1
=+x
n
2. lim
2- n
= -X
n
Lời giải.
1. Với m ọi số thự c dương M lớn tù y ý, ta có:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
n +1
CH^^^ƠNG i ^Vb
> M « n2 - Mn +1 > 0 « n >
n
H^^N
SỐ TẠP 1
M w M 2- 4
2
Ta chọn nữ =
Do đó: lim
M w M 2- 4
, _____
n2 +1
s*
thì ta có:
> M , Vn > n
n
n +1
■= + X .
n
2. Với m ọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
2
M +4 M + 8
n - 3 > M » n - M \fũ - 2 > 0 » n >
n
M w M 2+ 8
Ta chọn n0 =
n- 2
thì ta có:
> M , Vn > n
•Ịn
Do đó: lim 2 r n = - X .
n
CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP
Bài 1. Giá trị của lim
1
n +1
băng:
A. 0
B.1
C.2
1
Lời giải. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > - - 1 ta có
1
Bài 2. Giá trị của lim - J
n +1
na + 1
< a Vn > n nên có lim
a
1
= 0.
n +1
-
(k e N*) băng:
A. 0
B.2
Lời giải. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > k
'
Bài 3. Giá trị của lim —
1
<
D. 3
n
n +2
A. 0
a
1
a
ta có
1
<
nk
C.4
D. 5
1
1
n ak
< a Vn > n nên có lim
a
nk
=0 .
băng:
B.3
D. 8
C.5
Lời giải. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > —- 2 ta có si^ n
n +2
^
n +2
n +2
< a Vn > n„ nên có
lim ^ n ìn =0.
n +2
Bài 4. Giá trị của lim (2n +1)
A.
+X
băng:
B. - X
Lời giải. Với m ọi số dư ơng M lớn tùy ý ta chọn nM >
C.0
D. 1
M -1
2
Ta có: 2n +1 > 2nM +1 > M Vn > nM ^ lim (2n +1) = + X .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA 1 4
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Bài 5. Giá trị của lim
1 - n2
H^^N
SỐ TẠP 1
băng
n
A. +1»
B. —»
C.0
Lời giải. Với m ọi số dư ơng M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa
D. 1
n\, —1
M >M
n
M + v M 2 +4
M
Ta có:
n2 —1
n 2 —1
> M Vn > n ^ lim
= +»
n
M
n
Vậy lim 1 - n _
= —» .
n
Bài 6. Giá trị của lim
2
n +1
băng:
A. + »
B. —»
Lời giải. Với m ọi a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n =
2
Suy ra
J
< a Vn > n ^ l i m
=0 .
n+1
a
M+ 1
Bài 7. Giá trị của lim
cos n + sin n
n +1
A. + »
C.0
D. 1
C.0
D. 1
-- 1 +1
2
băng:
B. —»
cos n + sin n
2
, . 1
cos n + sin n
Lời giải. Ta có --------- ------- - < —
“" m à lim ^T = 0 ^ lim ^ ^ ^ - ^ — = 0
„2
n
n
n
n2 + 1
Bài 8. Giá trị của lim —n + 1
n +2
A. + »
băng:
B. —»
C.0
Lời giải. Với m ọi số thự c a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n =
Ta cóý.
n +1
M+ 2
<
1
< a Vn > n ^ lim
n +1
Bài 9. Giá trị của lim
A. + »
a
3n + n
n2
D. 1
Ặ-1+1
n " 1= 0n.
n +:
băng:
B. —»
Lời giải. Với m ọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn nM =
C.0
M
3
D. 1
+1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
5
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Ta có:
3
Vậy lim
H^^N
SỐ TẠP 1
n +n
1
= 3n + > M Vn > nM
n
n
3n3 + n
= +».
2- n
Bài 10. Giá trị của lim
bằng:
n+1
A. +1»
B.
C.0
D. 1
Lời giải. Với m ọi M > 0 lớn tùy ý , ta chọn nM > ^'—+ 3 I - 1
Ta có: n 2 = Vn +1 1+ n
> V1 + n - 3 > M Vn > nt
3
n +1
Suy ra lim 2 n= = - » .
n+1
Bài 11. Giá trị của A = lim — + 1
n- 2
bằng:
B. - »
A. + »
C.2
D. 1
5
Lời giải. Với số thực a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n > + 2 > 2
Ta có:
2n +1
n- 2
- 2
5
n- 2
<
5
n - 2
< a Vn > n_
Vậy A = 2 .
Bài 12. Giá trị của B = lim ^ n + 3
n +1
A. + »
bằng:
C.0
B. - »
D. 1
,
„
2n +3
Lời g iải Với số thực a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n thỏa
a
«
n >-
Ta có:
1 + *ja —4a +13
a
2n + 3
< a Vn > na ^ B = 0 .
n 2 +1
Bài 13. Giá trị của C = lim —n —
n +1
A. + »
bằng:
B. - »
C.0
D. 1
,
„
1
Lời giải. Với số thực a > 0 nhỏ tù y ý, ta chọn n > - 1
Ta có:
Vn2 +1
-1
n +1
n+2
-1
n +1
n +1
< a Vn > n
a
Vậy C = 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Bài 14. Giá trị của A = lim
A.
CH^^^ƠNG i ^Vb
n —2yfn
2n
SỐ TẠP 1
bằng:
B. —X
+X
H^^N
C .1
2
D. 1
C. -3
D. 1
C.0
D. 1
C.0
D. 4
C.0
D. 1
Đ áp án A = 1
Bài 15. Giá trị của B = lim
A.
n sin n - 3n2
bang:
n
B. —X
+X
Lời g iải B = —3
1
Bài 16. Giá trị của C = lim
bằng:
n2 + 2yfn + 7
A.
B. —X
+X
Lời g iải C = 0
4n +1
Bài 17. Giá trị của D = lim
bằng:
y/n2 + 3n + 2
A.
B. —X
+X
Lời g iải D = 4
Bài 18. Giá trị của lim — = 0
n!
A.
bằng:
B. —X
+X
Lời giải. Gọi m là số tự n hiên thỏa: m + 1 > —I. Khi đó với m ọi n > m + 1
Ta có: 0 < -
a
M à lim
m +1
V
—— — —
1 2 m m+1
—
n
-
m
m!
n —m
I
I
—
m+1
V
y
^n
= 0 . Từ đó suy ra: lim — = 0 .
n!
Bài 19. Giá trị của lim n — với —> 0
A.
/
bằng:
B. —X
+X
C.0
D. 1
ời giải. N ếu —= 1 thì ta có đpcm
Lời
• Giả s ử —> 1. Khi đó: —= 1 + Ịn/——1
> n ịtf——1
Suy ra: 0 < tf——1 < — ^ 0 nên lim tf—= 1
n
• Với 0 < —< 1 thì 1 > 1 ^ lim n — = 1 ^ lim tf—= 1.
—
—
Tóm lại ta lu ô n có: l i m
= 1 với —> 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CH^^^ƠNG i ^Vb
H^^N
SỐ TẠP 1
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
P h ư ơ n g pháp:
Sử d ụ n g các địn h lí về giới hạn, biến đổi đ ư a về các giới h ạn cơ bản.
• Khi tìm lim f — ta thường chia cả tử và m ẫu cho nk, trong đó k là bâc lớn n hất của tử và m ẫu.
g (n)
• Khi tìm lim Lkệ f (n) - ỉ^g(n) J trong đó lim f (n) = lim g(n) = -+» ta thư ờ ng tách v à sử d ụ n g p hư ơ ng p h áp
n h ân lư ợng liên hơn.
Các ví d ụ
V í d ụ 1. Tìm các giới h ạn sau :
1 + 3 + 5 +... + (2n -1 )
1. A = lim
1 + 2 +... + n - n
2. B = lim
2n2 +1
•^l2 + 22 +... + n2 + 2n
Lời giải.
1.
Ta có: 1 + 3 + 5 +... + 2n - 1 = n2
Suy ra A = lim
2.
n
2n + 1
= l i m
=
^
2+4
= 1.
n
= 2
Ta có: 1 + 2 +... + n = n(n + 1 ) ;
1 2 + 2 2 + ... +
Suy ra : B = lim
ề
n2 =
n (n + 1 )(2 n + Ị)
n(n +1)
- n
2
i
n(n + 1)(2n +1)
n2 1 +
+ 2n
- n
2
= lim-
2
-1
+2
In3 í 1 + 4
l
n íl 2 + 1n Ì + 2n
6
r 1
|_ 1 .2
1
2 .3
1
3 .4
+
2. D = l i m
1
1 1 (
1 1]
17
11 (
1. C = lim 11 - X 1 1 - - T 1. ..1 1 - 4 - 1
32J l
Ll
22J 1
n
+
V í d ụ 2. Tìm các giới h ạn sau :
.+
1
1
n ( n + 1)
Lời giải.
1.
1-
Ta có: 1 -
1 _ (k - 1)(k +1) .
=
nên suy ra
k
k
X lí 1 - X I... 11 - 2
3
Do vây C = lim
n +1
2n
y
1 4 1 3 2 4 (n - 1)(n +1)
22 ■32 ■■■
n +1
2n
1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
8
CH ^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
2. Ta có
1
1 1
1
1.2
1
n +1
SỐ TẠP 1
nên suy ra
k(k +1 ) —k _ k + ĩ
Vậy D —lim I 1 -
H^^N
+
1
2.3
1
+
3.4
+... +
1
n(n +1)
1
n +1
—1 —
= 1.
V í d ụ 3. Tìm các giới h ạn sau :
ị ^n+2 2 rỵ n—
1
4 n+1 —5n+1
1. A —lim 4n + 5n
2. B —lim
4n + 7 n+1
Lời giải.
_
_
........... ................
_ J U
—*
,
, 4.
1. C hia cả tử và m ẫu cho 5n ta có: A —lim — —-5 ( do lim
—0 ).
4Ỵ „
(
1 5J
)
+1
4 Ỵ_ 2
36
7_J___ 7_ _ _ 1 _
2. Ta có: B —lim 4 'ì"
— 49
4 ' +7
V í d ụ 4. Tìm giới h ạn sau : C —lim
,
1 ì/
1- — 1
2 2 - ‘1
(
1
..1 1 - —
32J 1
n2
1 ì
Lời giải.
Ta có: 1 -
1 ( k - 1 )(k + 1 ) Ã ...
—
nên suy ra
k
k
J
1
1ì(
1 —1 111 —1
. 22 - 1 32
'
1 V 1 . 3 2 . 4 (n - 1)(n + 1 ) n +1
n2
~ 2n
n _ 22 32
n +1
1
_
2
Do vậy C —lim _
J
2n
CÁC BÀI T O Á N LUYỆN TẬP
2n2 + 3n +1
bằng:
3n - n + 2
Bài 1. Giá trị của A —lim A. +X
B. -X
„
2+
Lời giải. Ta có: A —lim
3
3
D. 1
1
+
n
n
n
n
1 2
3- 1 +4
Bài 2. Giá trị của B —lim
C.
3
3
yỊn2 + 2n
I-
bằng:
3n2 +1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
9
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A.
B. —X
+X
H^^N
C.0
SỐ TẠP 1
1
D.
1 —4 3
n2 + n
1
n
Lời giải. Ta có: B = lim -
Ị+ ^ _ = ^ _
= lim
1——
f j
1-V ĩ
4
9
(2n2 + 1) (n + 2)
Bài 3. Giá trị của C = lim
A.
bằng:
n17 +1
B.
+X
C.16
n 8(2 + - ị ) 4.n9(1 + 2 )9
Lời giải. Ta có: C = lim -
n17(l + - ị )
D. 1
(2 + -1 )4.(1 + ậ 9
= lim
1
1 + 17
Suy ra C = 16 .
n2 +1 —^ 3 n 3 + 2
Bài 4. Giá trị của D = lim
bằng:
ệ 2 n4+ n + 2 —ì
A.
B. —X
+X
C.
1 —^ 3
D. 1
^ 2 —1
n
1 + 4 —.3 3 + -
n
Lời giải. Ta có: D = lim -
1 —^ 3
\
n
^ 2 —1.
i R • + n4 —1
Bài 5. Giá trị của A = lim ( v n2 + 6n —n) bằng:
A.
B. —X
+X
Lời giải. Ta có A = lim ( v n2 + 6n —n)= lim
C.3
D. 1
C.0
D. 3
n + 6n —n
Vn2 + 6n + n
= lim
6n
= lim
yjn2 + 6n + n
=3
1 + 6 +1
f+6
Bài 6. Giá trị của B = lim ( 3 n3 + 9n2 —n) bằng:
A.
+X
B. —X
Lời giải. Ta có: B = lim (3 n3 + 9n2 —n)
____________9 n ____________
= lim 3 (n3 + 9 n2) + n3 n3 + 9 n2 + n2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
= lim -
H^^N
SỐ TẠP 1
■= 3 .
2
1+
3
+ 1+
n
Bài 7. Giá trị của C = lim
n
+1
3.2n - 3n
2n+1+ 3n+1
A. +1»
bằng:
B. —»
C. —
D. 1
C .1
3
D. 1
C.2
D. 1
C.0
D. 1
C.0
D. 1
n
Lời giải. Ta có: C = lim
3.2n —3 " .
3\ 3 )
= lim
2n+1 + 3n+1
( 2Ỵ
\
1
=—
3
( J +3
2
2 2
3
Bài 8. Giá trị của D = lim Ị3 n2 + 2n —3 n3 + 2n2 j bằng
A. + »
B. —»
Lời giải. Ta có: D = lim Ị3 n2 + 2n —nj —lim Ị 3 n3 + 2n2 —nj
2?
= lim -
2 n2
—lim
n2 + 2n + n
3 (n3 + 2n2)2 + n3 n3 + 2n2 +
2
= lim
2
1
3
i( 1 + 2 )2 + f + ĩ + 1
J ĩ+ f +1
Bài 9. Giá trị của A = lim Ị3 n2 + 2n + 2 + n bằng:
A. + »
B. —»
.,2
2
1+ +
+1 = + »
Lời giải. Ta có A = lim n
n
n
, 2 2 „
1+ +
+1 = 2 .
Do lim n = + » ;lim
V-
n
n
Bài 10. Giá trị của B = lim Ị3 2n2 +1 —n bằng:
A. + »
Lời g iải Ta có: B = lim n
B. —»
2 + 1 —1 = + »
n
Bài 11. Giá trị của C = lim
A. + »
3.
= + 1 n— bằng:
2n4 + 3n +1 + n
B. —»
C hia cả tử và m ẫu cho n2 ta có được
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
11
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
4
C = lim
H^^N
SỐ TẠP 1
3 + 1 —1
n
n
-
= 0.
3 1
1
2+ 3 + 4 +“
n
n
n
„
„
a,n +... + a n + an
Bài 12. Giá trị của D = lim k
1
°- (Trong đó k , p là các số nguyên dương; akb ^ 0 )
bpnp +... + b1n +0 bn
bằng:
A. +1»
B. —I»
C.Đáp án khác
D. 1
Lời g iải Ta xét b a trư ờ ng hợ p sau
* k > p . C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim
ak + „ +... + ~k |+ » if a.b > 0
n
n _ )
kp
b
b
) —» if akbp < 0
- Ị V +... + b np—
k
nk
a + ak=L +...+-%
n
nk _ aì_
9 k = p . C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim -
b
bk +... + 3
k
nk
• k < p . C hia cả tử và m ẫu cho np : D = lim -n
b,.
— = 0.
b + ... + b°p
np
Bài 13. Giá trị củA. A = lim ( n3 —2n + 1
bằng:
A. + »
B. —»
C.0
D. 1
, m
( 11
19
Lời giải.T a có: f (—2) = —95 < 0, f (—1) = 1 > 0, f 1—1 1= —1 9 < 0
(
1
Bài 14. Giá trị củA. = lim 1 +
*
x^0
1 —3 x —1 + x —1
= 2 = f (0)
bằng:
A. + »
B. —»
C.0
D. 1
C.Đáp án khác
D. 1
Lời giải. f (0) = 1 > 0, f (2) = —47 < 0, f (10) = 7921 > 0
Bài 15. Giá trị củA. x = 0
với •
bằng:
A. + »
B. —»
Lời giải. f (x) = 0
Bài 16. Giá trị củA. y =
) f (x) khi x
ịk
x0
khi x = x0
bằng:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
12
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A.
i ^Vh g i ớ i
B. —X
+X
^^^^n h
s
ố
tạp 1
C.0
D. 1
C. 3
2
D. 1
C.8
D. 1
C. 1
2
D. 1
Lời g iả i.(—2; —1), ^ 1;—1 l , ^ 1 ; 0 j , (0 ;2 ), (2;10)
Bài 17. Giá trị củA. X = x0 bằng:
A.
B. —X
+X
3 + - 1 —j r _ _ 3
n
Lời giải.T a có: E = lim ____ n
2=2
2 —1 lí 1 + 3
nA
n
Bài 18. Giá trị củA. F = lim
A.
(n —2)7(2n + 1)3
(n2 + 2)5
bằng:
B. —X
+X
1 —2 17 í 2 + ->'■
Lời giải. Ta có: F = lim
=8
1+ -
Bài 19. Giá trị củA. H = lim ( v n2 + n +1 —n) bằng:
A.
B. —X
+X
1+ 1
Lời giải. Ta có: H = lim
n+1
= lim
n2 + n +1 + n
1
12
+1
i1 + n1 + An -
B. —X
A. —-
1
2
n
C.0
1 —n
Lời giải. Ta có: M = lim ■ự(1 —n2 —8n3)2 —2n ^1 —n2 —8n3 + 4n:
D. 1
_Ị_
12
Bài 21. Giá trị củA. N = lim (v 4 n 2 +1 —^ 8 n 3 + n ) bằng:
A.
B. —X
+X
C.0
D. 1
Lời giải. Ta có: N = lim (v 4 n 2 +1 —2 n )—lim (^ 8 n 3 + n —2n)
Mà: lim (v 4 n 2 +1 —2n) = lim
lim (^ 8 n 2 + n —2n) = lim
= -------= 0
4n2 +1 + 2n
n
=0
ợ(8n2 + n)2 + 2n V8n2 + n + 4n2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CH^^^ƠNG i ^Vb
H^^N
SỐ TẠP 1
Vậy N = 0 .
Bài 22. Giá trị củA. K = lim Ị 3 n3 + n2 —1 - 3>/4n2 + n +1 + 5nj bằng:
A. + »
B. —»
C. —
5
12
D. 1
Ị
j Ịv 4n2 + n +1 —2n j
Mà: lim Ị^ n3 + n2 —1 —n j = —; lim Ịv 4n2 + n +1 —2n j = —
Lời giải. Ta có: K = lim 3 n3 + n2 —1 —n —3 lim
Do đó: K = - —3 = ——
3 4
12
Bài 23. Giá trị củA. A = lim — + 1 bằng:
1 —3n
A. + »
B. —»
C. —
D. 1
C .4
9
D. 1
Lời g iải A = —2
Bài 24. Giá trị củA. B = lim
A. + »
4n2 + 3n +1
(3n —1)2
bằng:
B. —»
,■ 4
Lời g iải B =
Bài 25. Giá trị củA. C = lim
A. + »
n +1
bằng:
n(2n + 1)2
B. —»
C.
1
4
D. 1
Lời g iải C = —
Bài 26. Giá trị củA. D = lim
A. + »
n3 —3n2 + 2
n4 + 4n3 +1
bằng:
B. —»
C.0
D. 1
C.0
D. 1
Lời g iải D = 0
Bài 27. Giá trị củA. E = lim
A. + »
n + 2n +1
bằng:
n +2
B. —»
Lời g iải E = -+»
Bài 28. Giá trị củA. F = lim
4 n —2n +1 + 2n , à
bằng:
3 3n3 + n —n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
14
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A.
B. —X
+X
H^^N
3
C.
SỐ TẠP 1
D. 1
^ 3 —1
Lời g iải F =
3
^ 3 —1
Bài 29. Giá trị củA. M = lim Ị v n2 + 6n —nj bằng:
A.
B. —X
+X
Lời g iải M = lim
C.3
D. 1
C.0
D. 1
6n
=3
Vn2 + 6n + n
Bài 30. Giá trị củA. N = lim Ị 3 n3 + 3n2 +1 —nj bằng:
A.
B. —X
+X
3n2 +1
Lời g iải N = lim
=1
ự (n3 + 3n2 + 1)2 + n.3 n3 + 3n2 +1 + n2
Bài 31. Giá trị củA. H = lim n Ị^ 8 n 3 + n —V4n2 + 3 j bằng:
A.
B. —X
+X
C. —2
3
Lời g iải H = lim n Ị ^ 8 n 3 + n —2 n j—lim nỊV 4n2 + 3 —2nj:
D. 1
2
3
3.2n —3n
Bài 32. Giá trị củA. K = lim 2 ^+1 _|_^ n+1 bằng:
B. —X
A. —1
3
C.2
D. 1
C.2
D. 1
C.0
D. 1
n
—1
Lời g iải K = lim -
1
n
—3
+3
Bài 33. Giá trị củA. A = lim
A.
2n3 + sin2n —1
n3 +1
B. —X
+X
2+
Lời g iải A = lim -
bằng:
sin2n —1
n
1+
=2
1
n3
Bài 34. Giá trị củA. B = lim
bằng:
V « 3 + 2n
A.
B. —X
+X
Lời g iả i. Ta cỏ :
ự n!
n3 + 2n
<
n nn
n3 + 2n
=
n
->0 ^ B = 0
n 3 + 2n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
15
CH ^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
H^^N
SỐ TẠP 1
3.3n + 4 n
3 n+1 + 4n +1 b ằn g :
Bài 35. Giá trị củA. C = lim
B. 1
A. +1»
C.0
2
D. 1
Lời g iải C = 1
n+1
Bài 36. Giá trị củA. D = lim
bằng:
n2(sl3n2 + 2 —V 3n2 —1)
A. + »
B. —»
D. 1
C\ l
Lời g iải D =
2yf33
3
Bài 37. Giá trị củA. E = lir l(V n2 + n + 1 —2 n ) bằng:
A. + »
B. —»
C.0
D. 1
C.0
D. 1
C.Đáp án khác
D. 1
C .1
D. 1
Lời g iải E = —»
Bài 38. Giá trị củA. F = lir .ị-Jn +1 + n
bằng:
B. —»
A. + »
Lời g iải F = -+»
Bài 39. Giá trị củA. H = li i( ■ựn2 +1 —ự n 2 —1) bằng:
A. + »
B. —»
Lời giải. Xét các trư ờ ng hợp
TH1: k > p ^ H = —»
T H 2: k < p ^ H = +»
T H 3: k = p ^ H = 0 .
í ỊV n2 + 1 —n
A. + »
bằng:
B. —»
2
Lời g iải K = 1
„
1
1
1
Bài 41. Tính giới h ạn của dãy số u =
+
+... +
■
n 2 1+ 2 3 2 +2 3
(n + 1) n + n n +1
A. + »
B. —»
1
Lời giải. Ta có:
=
(k +1) k + k k +1
+1
Suy ra u = 1 —
C.0
1
k
D. 1
1
—
k +1
lim u = 1
4n + 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
16
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Bài 42. Tính giới h ạn của dãy số u =
A.
Suy ra un =
3n + n +2
n(n + 1)2
C. 9
n(n +1)
Lời g iải Ta có: l 3 + 23 +... + n3 =
SỐ TẠP 1
(n + 1)Vl3 + 23 +... + n 3 _
B. —X
+X
H^^N
D. 1
2
lim I =
" 9
3(3n + n + 2)
Bài 43. Tính giới h ạn của dãy số u = (1 —— )(1 — 1 )...(1 — 1 ) trong đó T = n(n + 1 ). :
T'
A.
T
B. —X
+X
Lời giải. Ta có: 1 —
1
T
D. 1
C.
.
2 _ ( k —1)(k + 2)
= 1—
=
k(k +1)
k(k +1)
c
_1 n+2
_1
Suy ra u = .
^ lim u = .
y
n
3
n
n
3
23 —1 33 —1 n3 —1
Bài 44. Tính giới h ạn của dãy số u =
.
....
.
n 23 +1 33 +1 n3 +1
A.
B. —X
+X
, k 3 —1
Lời giải. Ta có
k3 +1
Suy ra ^ I =
y
n
D. 1
2 n + n +1
2
.
^ lim I =
3 (n —1)n
" 3
2 k —1
k=1
2
k
B. —X
+X
Lời giải. Ta có: u — u =
1
C.3
(k —1)(k2 + k +1)
n
^
D. 1
(k + 1)[(k—1)2 + (k —1) +1]
Bài 45. Tính giới h ạn của dãy số u = ' y
A.
C. 3
1
2
+
í1
1
12
22
-+
+ ... + -
1 ì
2n —1
2n +1
—
^ lim I = 3.
« 2
2n+1
n
I =
3
Bài 46. Tính giới h ạn của dãy số u = q + 2q2 +... + nqn với |q| < 1
A.
B. —X
+X
C.
q
( 1 —q )2
D.
q
(1 +q)2
Lời giải. Ta có: u —qu = q + q2 + q3 +... + qn —nqn+1
^ (1—q)un = q
—nqn + 1. Suy ra lim u n =
1—q
q (1 —q)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
17
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
H^^N
SỐ TẠP 1
n
n
k=1 n2 + k
Bài 47. Tính giới h ạn của dãy số u = ^
A.
B. —X
+X
n ^
^
n
n +n
n2 + 1
—n
n2 + 1
Lời giải. Ta có: n 2
^
í
<
u —1 <
—1
n2 + 1
^ 0 ^ lim I = 1.
—1
a. .nk + a, —k 1 +... + a— + an
k—
1
1 0 với a bk p* 0
A = lim k
bp—p + bp—
1 np 1 +... + b—
1 + bn
0
Bài 48. Tính giới h ạn của dãy số
A.
D. 1
C.3
B. —X
+X
D. 1
C.Đáp án khác
Lời giải. Ta chia làm các trư ờ ng hợp sau
t k ak—1 + ... + a 0
n
nk
T H 1: n = k , chia cả tử v à m ẫu cho nk, ta được A = lim bp- 1, +
b0
p n ... + nk
« 1
+
k
+ ... + a0
n
nk___
T H 2: k > p , chia cả tử v à m ẫu cho nk, ta được A = lim bp + bp—
.1 + + b
nk—
p nk—
p+1 ... nk
I+X khi a.b > 0
1
kp
1I —X khi a.b
k p <0
ak + ak—
1 Ị
a0_
p
np—
k
n
p—
k+1
T H 3: k < p , chia cả tử v à m ẫu cho np , ta được A = lim
= 0.
b ,
b
b + - p—
1 +... + b n
np
'■
• ■■ '•
Bài 49. Tính giới h ạn của dãy số
A.
B = lim
3 n 6 + n + 1 —4 / n 4 + 2 n —1
(2n + 3)2
B. —X
+X
C.3
D.
—3
4
Lời giải. C hia cả tử và m ẫu cho n2 ta có được:
2
1
1
1
„
33 1 + —
+ ^ —4 1 + 4 ---- 1
n
na
n
n
3
B = lim ■
1 —4
2
3
T " = 4'
2+-
C = lim Ịv 4 n 2 + n +1 —2nj
Bài 50. Tính giới h ạn của dãy số
A.
+X
Lời giải. Ta có: C = lim
B.
n +1
44n2 + n +1 + 2n
D. 1
4
C.3
X
1
1+ -
n
= lim
1
4
4 + 1 + -T + 2
n
n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
18
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
i ^Vh g i ớ i
Bài 51. Tính giới h ạn của dãy số
A.
s
tạp 1
ố
D = lim ( v n2 + n +1 - 2<ựn3 + n —1 + n |
B. —X
+X
^^^^n h
D. 1
C. —
Lời giải. Ta có: D = lim ( v n2 + n + 1 —n | —2 lim ( 3 n3 + n2 —1 —n |
n +1
Mà: lim ( v n2 + n + 1 —n | = lim
= lim
n2 + n +1 + n
n
_ 1
=
2
1 +1
1 + n + n2
2
l i mi(I \ể
n + n —1 —n || = lim
lim ^
n lz ì
= lim
.ự(n3 + n2 —1)2 + n.3 n3 + n2 —1 + n2
^
1 ---—
=—n2
1 1 ^2
y 1 + n4 —n6 J
1 1
=1
3
f + n " n3 + 1
1 2
1
Vậy D = 1 —2 = —1 .
J
2 3
6
Bài 52 . C ho các số thự c a,b thỏa \a\ < 1;|b| < 1. Tìm giới hạn I = lim
A.
B. —X
+X
C.
1 + a + a +... + a
1 + b + b2 +... + bn
1 —b
1 —a
Lời giải. Ta có 1, a,a ,..., an là m ột cấp số n h ân công bội a 1 + a + a +... + an =
Tương tự
1 + b + b +... + bn =
D. 1
1 —a
1 —a
1 —bn
1 —b
1 —an+1
—b
Suy ra lim I = lim 1 —a = 1—
1 —bn+1 1 —a
1 —b
( Vi |a| < 1,|b < 1 ^ lim an+1 = lim bn+1 = 0).
„
1
2
Bài 53. Cho dãy số (x ) xác địn h bởi x1 = , x 1 = x + x , Vn > 1
_
1 1
1
m
Đ ặt s = —-— I---- ----- 1----- 1---- -— . Tính l i m S .
" X.+1
X n +1
"
1 2 A. • 1
A.
B. —X
+X
C.2
D. 1
Lời giải. Từ công thức tru y hồi ta có: x +1 > x , Vn = 1,2,...
N ên dãy (x ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồ n tại lim x = x
Với x là nghiệm của p hư ơ ng trìn h : x = x2 + x « x = 0 < x vô lí
Do đó dãy (x ) không bị chặn, hay lim x = + X .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
1
M ặt khác:
1
Xn+1
.
1
Suy ra
Xn
s
D ẫn tới:
xn (xn
1
1
+1)
xn
H^^N
SỐ TẠP 1
1
Xn
+1
1
Xn
+1
CH ^^^ƠNG i ^Vb
= —-
Xn+1.
— =2-
— ^ lim s = 2 - lim — = 2
Bài 54. Cho dãy (X ) được xác địn h n h ư sau: X =
1 2
k
+ + ••• +
2! 3!
(k +1)!
Tìm lim u n với un = nh 1n +2xn + ••• + X
A. +1»
B. - »
k
Lời giải. Ta có:
(k +1)!
Suy ra X - X i =
y
k
k+
C. 1 - -
1
2012!
1
2012 !
D. 1 + -
1 1
1
nên X = 1 - k ! (k +1)!
(k +1)!
1
1
<0^ X
(k + 2)! (k +1)!
k
11
Ma: X2Q22 < n X2 + X2 + ••• + X'221 < n 2 0 ĨĨX2ũll
M ặt khác: lim X
= lim n 2011x
=X
= 1-
1
2012!
Vậy lim u = 1 -
1
2012!
u = 2011
Bài 55. Cho dãy số (u ) được xác địn h bởi:
3
1 • T ìm li m — •
Mn+ 1. = un + 2„
u;
A. + »
B. - »
n
C.3
D. 1
Lời giải. Ta thấy u > 0, Vn
Ta có: u V, = u3 + 3 + 4 - + 4
n
u 3n
n
(1)
u 6n
Suy ra: u 3 > u 3_j + 3 ^ u3 > u3 + 3 n (2)
T ừ (1) và (2), suy ra: u 3 2 < u 3 + 3 +
1
u3 + 3 n
(u03 + 3n)
2
,3 _ 1
1
+
n
3n 9 n2
Do đó: u 3 < u3 + 3n + - y - + - y - 1 (3)
n
0
3 Ể í k 9 t í k2 K ’
c
1
„
1
1
1
Lại có: y
< 1+
+
+ ••• +
=2— < Ẻ 1 Ẻ ể - o / 2 n
Ếí k
L 2 2^3
(n - 1) n = 2 - 1n < ; • Ố
k
t í k2 ^
Nên: u + 3 n < u < u + 3n +
2
9
+
2n
3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
20
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
u3 u
u3
Ha y 3 + - 4 < ^ < 3 +
n
Vậy lim
n
n
2
42
+
9n 3 n
+ —
H^^N
SỐ TẠP 1
.
ú
=3.
n
Bài 56. Cho dãy số (u ) xác địn h bởi : u = 4n + 2 —2sịn + 1 + 4n .
Đ ặt m = 4 . Tìm
3
A. +1»
C. 1 —4 2
B. —X
D. 1
Lời giải. Ta có: u = (^/n+"2 —4'.n + 1 ) —(V n + 1 —>/n)
f(x )= f (x ) = f í x ■ )■ -= f (I
N ên Sn =
n
-1 —
1
^ lim Sn = 1 —n
+1
n + 2 + n +1
Bài 57. Cho dãy x > 0 xác địn h n h ư sau: f(x ) =
'
A. + »
B. —»
Lời giải. Ta có un+1 —un = - n
2010
«
u
^ = 2010. í 1
un+1
l uị
C.2010
un+1
, —un
D. 1
un
un+1, ú n
2010u,.
1 )
un+1)
1
u
Ta có Y — ^ == 2010(— —
u n+1
■vTTT-1
x -------- . Tìm (ũ; + » )
x
1
ux
u
M ặt khác ta chứng m inh được: lim u = + » .
u
N ên lim ( Y —^ ) = 2010.
u n+1
Bài 58. Cho dãy số x = 0 với f(0 ) = 3m + 1 . D ãy (s ) được cho bởi lim f (x) = lim (2x2 + 3m + 1 ) = 3m + 1 .
X^ 0“
X^ 0'
1
1
Tìm x = 0 « 3m +1 = « m = — .
2
6
A. + »
B. —X
C.2
D. 9
4n + 9
Lời giải. Bằng quy n ạp ta chứng m inh được: s = 9 —
2n
M à lim n = 0 ^ lim sn = 9 .
Bài 59. Cho dãy số f (—1) = —1, f (0) = 1 ^ f (—1).f (0) = —1 < 0 được xác địn h bởi: f (x) = 0 .
Tính giới h ạn sau nếu tồn tại: (—1 ;0 ).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
21
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A.
B. —X
+X
H^^N
C.
SỐ TẠP 1
D. 1
5
, . . ,.
,
(m + 2 y-(u - 2 )
Lời giải. Ta chứng m inh được: u > 3; V h e N , do đó u 1- u = —-----"------> 0
T ừ đó thấy (u ) tăng.
Giả sử (u ) bị chặn, khi đó tồ n tại giới gạn h ữ u hạn, giả sử lim u = a và ta có:
a = -a(a + 1) 2
—8
5
Do đó lim u
■« a3 + 2a2 —4a —8 = 0 « a = +2 (loại)
= +X
u (u + 1)2 —8
Ta lại thấy rằng: u +1 = n n
u1 1—
-22
1
1
,
^ —n^——= — ---------- -— ,V h e N
un +1
un + 2 wn + 1. + 2
^ u. —2
Vì vậy nên: lim V í
= lim
■
n^ X I=1u2ị +1 n^ X
Bài 60. Tìm lim u biết u =
A.
ĩ. 1 + 3 + 5 +... + (2n —1)
2 n2 +1
B. —X
+X
C. 1
D. 1
2
Lời giải. Ta có: 1 + 3 + 5 +... + 2n —1 = n2 nên lim u =
Bài 61. Tìm lim u biết f (x) =
A.
3 x —2 + 2x —1
khi x ^ 1
x —1
3m —2
khi x = 1
B. —X
+X
C.2
D.
^6
2
Lời giải. Ta có: 1 + 2 +... + n = n í t t Ị ) và 1 + 2 ' +... + n = n ín + ạ g n +1
N ên lim u = ^ 6
2
Bài 62. Tìm lim u biết f (x) =
3 x +1 —1
x
khi x > 0
2x + 3m +1 khi x < 0
A.
+X
B. —X
D. 1
C.2
,
1
1
1
11
Lời giải. Ta có:
=
—
Suy ra u = 1 —
^ lim u = 1
-Jn + 1
g
(k + 1)Vk+ W k T ĩ 4 k ự k ++ 1ĩ
"
"
3 2x —4 + 3
Bài 63. Tìm lim u biết f (x) =
x +1
khi x > 2
trong đó x ^ 1.
khi x < 2
x —2mx + 3m + 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
22
CH^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
B. —X
A. + X
H^^N
C.
SỐ TẠP 1
D. 1
3
2 _ ( k —1)(k + 2)
_1 n+ 2
_1
=
Suy ra u = .
^ lim u = .
k(k +1)
k(k +1)
y
n 3 n
n 3
1
Lời giái. Ta có: 1 — = 1 —
T
Bài 64. Tìm lim u biết f (x ) =
3 x —2
+ 2 x —1
x —1
B. —X
A. + X
C.
D. 1
C.3
D. 1
Lời giái. Ta có • Suy ra f (0) > 0
Bài 65. Tìm lim Uu biết 3 \ ỊlỊ
A. + X
B. —X
Lời giái. Ta có: g (x ) = f (x ) —x g .
với X = 1
Bài 66. Tìm lim«,, biết
B. —X
A. + X
*
C.
D. 1 —
*
(1 —* )2
(1 —* )2
Lời giái. Ta có: [0; +x ) ^ (1 —*)u = * ——* —n*n+1. Suy ra lim u =
n
1 —*
n (1 —*)
n
A. + X
B. —X
n
Lời giái. Ta có: n 2
n
+
.
<
n
C.3
—n
n- n
| n2 +1
n2 +1
^
„ , —1
—1 < n +1
D. 1
,
—1 <
n
->0 ^ lim I = 1.
+1
n
2
Bài 68. Tìm lim u biết u = V
----n
n V
2 7
k=1 n + k
A. + X
B. —X
1
Lời giái. Ta có:
<
n2 + n
n
M à lim
1
<
n2 + k
n
= lim
í n2 + n
1
C.3
D. 1
n
, k = 1,2,..., n Suy ra
n2 +1
nn
+
<
n
u
<
n
-Jn2 + 1
= 1 nên suy ra lim u = 1.
n2 +1
Bài 69. Tìm lim « (J biết nn =
K
------- V*------ J
n d a u can
A. + X
B. —X
C.2
D. 1
1+T+...+T 1—
Í1ì
_
1-T1Ị
Lời giái. Ta có: u -= 2T 22 2” = 2 ^2' ,nên lim u n= lim 2 ^2' = 2.
Bài 70. Gọi g(x)
A.
+X
^
0,
Vx <
2 là dãy số xác địn h bởi • . Tìm lim f (x ) = lim (3 2x —4 + 3 ) = 3.
X-+ 2“
I ^2
B. —X
4
C. —
3
„
D. 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
23
CH ^^^ƠNG i ^Vb
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Lời giải. Ta có 0 < u < u2 ^ u3 = -
4
+
8
H^^N
SỐ TẠP 1
4 8
3 u << -— ++
3u2 = u3 nên dãy (u ) là dãy tăng
9 9
~
4
.
4
Dê dàng chứng m inh đư ợc u < —, V h e N .Từ đó tính đư ợc lim u = — .
3
3
^—x2x2 + *2 j + 1 X1 x2 + 3 > 0 được xác địn h n h ư sau « x = x2 •
Bài 71. Cho dãy số A = ^ xị + —x3x2j
3
Đ ăt x < —• Tìm « x3 + 2x - 3^3 - 2x - 4 = 0 •
2
A.
B. - X
+X
Lời g iải Ta có: u + 1= 7 (U + 3unĩũ
=
un + 3un
+ 3un + 2) +1 =yjU + 3un + 1)2
+1
Suy ra: u n+i + 1 = (u n + 1 )(u n + 2 ) ^
Suy ra:
D. 1
C. —
2
1
1
1
un+1 + 1
un + 1
un + 2
1
un + 2
un + 1 un+1 + 1
n
Do đó, suy ra: V = ^
í=1 Vui + 1
1
u i+1 + 1J
u1+ 1
1
u n+1 + 1
1
2
u n+1 + 1
M ăt khác, từ u +1 = u2 + 3u +1 ta suy ra: u J > 3n
1
N ên lim
1
= 0 • Vậy lim V = •
+1
ậy
n 2
Bài 72. Cho a,b e N*,(ữ,b)
]
= 1;«E
; n e jữfc + l,ữfc + 2/ ...j . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) e N* X N* sao cho
r
1
n = au + bv • Tìm lim n =
n^ x n ab
A.
B. - X
+X
Lời giải. Xét p h ư ơ ng trình
0;
n -1
n
D. ab - 1
C. —
ab
(!)•
Gọi (u0, V0) là m ột nghiệm n guyên dư ơng của (1 ) Giả sử (u,v) là m ột nghiệm n guyên dư ơ ng khác (u0, V0)
của (1)
Ta có
a u
+ bv0 = n, au + bv = n suy ra a(u - u0) + b(v -
u = u0 + kb, V =
V
) = 0 do đó tồn tại k n guyên dư ơ ng sao cho
^
V
-
ka • D o v là số n guyên dư ơng nên V
-
ka > 1 «
k<
Vn - 1
a
Ta n h ận thấy số nghiệm n guyên dư ơng của p hư ơ ng trìn h (1) bằng số các số k n guyên dư ơng cộng với 1 Do
đó r = V0 - 1 + 1 =
a
n u0 1"
ab b a
+ !•
Từ đó ta th u đ ư ợc bất đẳn g thứ c sau:
n u 0 1
n u I
■< r
1
a
+1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9 ĐỂ ĐẶT MUA
24
