Hình học 7 Bài toán về tam giác vuông

Bài toán về tam giác vuông
Hình học 7

1


Bài tập có hướng dẫn và đáp án
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ tia phân giác trong BD của góc ABC , D thuộc
AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. BD cắt AE tại H, tia ED và BA cắt
nhau tại F.
1) Chứng minh rằng ABD  EBD và AB  BE .
2) Chứng minh rằng BD  AE và H là trung điểm AE.
3) So sánh AD và CD.
4) Chứng minh rằng AF  CE và tam giác BFC cân.
5) Chứng minh rằng AE / /CF và BD  CF .
6) Gọi I là trung điểm CF, chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng.
Hướng dẫn
1) Trước hết do BD là phân giác nên ABD  EBD 

1
ABC .
2

 BD chung

Do đó ta có  ABD  EBD
 ABD  EBD  c.h  g .n  .

0
 BAD  BED  90
Do ABD  EBD  AB  BE .

 AB  BE
2) Từ chứng minh a ta có ABD  EBD  
.
 DA  DE
Như vậy B và D đều cách đều A và E nên BD là trung trực của AE.
Do đó, BD vuông góc AE tại trung điểm AE, mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H
nên H phải là trung điểm AE.
Nói cách khác, BD vuông góc AE tại trung điểm H của AE.
3) Ta đã chứng minh được AD  DE .
Xét điểm D và đường thẳng BC ta có DE là đường vuông góc, còn DC là đường xiên
kẻ từ D tới BC. Do đó DE  DC .
Vậy AD  DE  DC .
4) Xét tam giác ADF và EDC có:
 AD  ED


0
 ADF  EDC  c.g.v  g.n   AF  EC .
 DAF  DEC  90


 ADF  EDC  doi dinh 

 BF  AB  AF
Ta có 
.
 BC  BE  EC

2

Mà từ các chứng minh trên ta có AB  BE; AF  EC suy ra BF  BC hay tam giác
BFC cân tại B.
5) Từ các chứng minh trên ta được BAE và BFC là các tam giác cân có chung góc ở
đỉnh B.
Do đó các góc đáy bằng nhau, hay BAE  BFC 

1800  ABC
.
2

Mà 2 góc này đồng vị nên AE / /CF .
Từ chứng minh 2 đã có BD  AE  BD  CF .
6) Ta có BF  BC và ADF  EDC  DF  DC .
Như vậy B và D đều cách đều F, C nên BD là trung trực FC.
Do đó BD vuông góc CF tại trung điểm CF.
Mà I là trung điểm CF nên BD đi qua I hai B, I, D thẳng hàng.

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. D là chân đường phân giác trong góc B, D thuộc BC.
Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE  BA .
1) So sánh DA và DE.
2) Kẻ đường cao AK của tam giác ABC, K thuộc BC. Chứng minh rằng DE / / AK .
3) Gọi H là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng HA  HE .
4) Tia ED và BA cắt nhau tại F. Chứng minh ADF  EDC .
5) Tam giác BFC là tam giác gì? Vì sao?
6) Chứng minh rằng BD  CF .
Hướng dẫn

3

1) Trước hết do BD là phân giác nên ABD  EBD 

ABC
.
2

 BA  BE

Khi đó ta có  BD chung  ABD  EBD  c.h  c.g .v   DA  DE .

 ABD  EBD
2) Do ABD  EBD  BED  BAD  900  DE  BC .
Mà AK  BC  DE / / AK .

 BA  BE
3) Từ chứng minh 1 ta được 
.
 DA  DE
B, D đều cách đều A, E nên BD là trung trực của AE, suy ra BD phải vuông góc AE
tại trung điểm AE.
Mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H nên H là trung điểm AE hay HA  HE .
4) Xét tam giác ADF và EDC có:
 AD  ED


0
 ADF  EDC  c.g.v  g .n  .
 DAF  DEC  90



 ADF  EDC  doi dinh 

 BF  AB  AF
5) Ta có 
.
 BC  BE  EC
Mà từ các chứng minh trên ta có AB  BE; AF  EC suy ra BF  BC hay tam giác
BFC cân tại B.
6) Ta có ADF  EDC  DF  DC .
Như vậy BF  BC; DF  DC nên BD là trung trực của CF, suy ra BD  CF .

4


Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, K thuộc BC. Đường phân giác trong
góc B cắt AC tại D. Qua A kẻ đường vuông góc BD tại H và cắt BC tại E.
1) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?
2) Chứng minh rằng DA  DE và DB là phân giác góc ADE .
3) Chứng minh rằng DE / / AK và AE là phân giác góc CAK .
4) Gọi F là giao điểm của tia ED và BA. Chứng minh rằng AC  EF và EF  BC .
5) Chứng minh rằng BD đi qua trung điểm của CF.
Hướng dẫn
1) Do BD là tia phân giác nên ABH  EBH 

1
ABC .
2

 AHB  EHB  900

Khi đó ta có  BH chung
 AHB  EHB  c.g.v  g.n   BA  BE .

 ABH  EBH
Vậy tam giác ABE cân tại B.

 BD chung

2) Từ kết quả chứng minh 1, ta có  BA  BE
 ABD  EBD  c.g.c  .

 ABD  EBD
Suy ra ADB  EDB hay DB là phân giác góc ADE .
3) Do ABD  EBD  BED  BAD  900  DE  BC .
Mà AK  BC  DE / / AK .
Khi đó ta có KAE  DEA (so le trong).
Mà ABD  EBD  DA  DE hay tam giác ADE cân tại D nên DEA  DAE .





Suy ra KAE  DAE  DEA hay AE là phân giác góc KAC .

 BA  BE

4) Ta có  ABC chung
 BAC  BEF  c.g.v  g .n   AC  EF .


0
 BAC  BEF  90
Tam giác ABC vuông tại A nên AC  BC  EF  AC  BC .
5) Do BAC  BEF  BF  BC .

 AD  ED

Mặt khác  DAF  DEC  900  ADF  EDC  c.g .v  g .n   DF  DC .

 ADF  EDC

5


Như vậy, BF  BC; DF  DC nên BD là trung trực của CF, suy ra BD đi qua trung
điểm của CF.

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD và đường cao AK (D thuộc AC,
K thuộc BC). Kẻ DE vuông góc BC, E thuộc BC. Gọi H là giao điểm của AE và BD.
1) Chứng minh tam giác ABE cân và H là trung điểm AE.
2) Chứng minh DE / / AK và AE là phân giác góc KAC .
3) Gọi G là giao điểm của AK và BD. Chứng minh rằng tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng
nhau.
4) Chứng minh GE / / AC .
5) Qua C kẻ đường vuông góc tia BD tại I. Chứng minh rằng 3 đường AB, DE, CI đồng
quy.
Hướng dẫn

 BD chung


1) Ta có  ABD  EBD
 ABD  EBD  c.h  g .n 

0
 BAD  BED  90
Do đó BA  BE; DA  DE hay tam giác ABE cân tại B.
Đồng thời, B, D cách đều A, E nên BD là trung trực AE nên BD vuông góc AE tại
trung điểm AE. Mà theo giả thiết thì BD cắt AE tại H nên H là trung điểm AE.
2) DE / / AK do cùng vuông góc BC.
Khi đó ta có KAE  DEA (so le trong).

6


Mà ABD  EBD  DA  DE hay tam giác ADE cân tại D nên DEA  DAE .





Suy ra KAE  DAE  DEA hay AE là phân giác góc KAC .

GA  GE
3) Do BD là trung trực AE như đã chứng minh nên 
.
 DA  DE
Mặt khác, từ kết quả chứng minh 2 ta có



 AH chung

0
 AHD  AHG  90  AHD  AHG  c.g .v  g .n   AG  AD .

 HAG  HAD  KAC

2
Vậy, AG  GE  DE  AD hay tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau.
4) Ta có H là trung điểm AE hay HA  HE .

 HA  HE

Cùng kết quả chứng minh 3 ta có  AD  EG
 HAD  HEG .

0
 AHD  EHG  90
Mà hai góc này so le trong nên GE / / AD .
5) Ta có DE  BC; BA  CD; CI  AD nên AB, DE, CI là 3 đường cao của tam giác
BCD. Do đó 3 đường này đồng quy tại 1 điểm.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK (K thuộc BC). Trên cạnh BC lấy điểm
E sao cho BE  BA . Qua E kẻ đường vuông góc BC cắt cạnh AC tại D.
1) Chứng minh rằng BD là tia phân giác góc ABC và DB là tia phân giác góc ADE .

7


2) Gọi H, G lần lượt là giao điểm của AE, AK với BD. Chứng minh tam giác ADG cân

và H là trung điểm DG.
3) Chứng minh GE  AB và tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau.
4) So sánh độ dài 3 đoạn AD, CD và DE.
5) Biết AB  5cm và góc ABC  600 . Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn

 BA  BE

1) Ta có  BD chung
 BAD  BED  c.h  c.g .v  .

0
 BAD  BED  90
Do đó ABD  EBD hay BD là phân giác góc ABC và ADB  EDB hay DB là phân
giác góc ADE .
2) Ta có DE / / AK do cùng vuông góc BC nên GAH  DEA (so le trong).
Mặt khác, do BAD  BED  DA  DE hay tam giác ADE cân tại D nên





DEA  DAH . Suy ra KAH  GAH  DEA .

 AH chung

Như vậy, ta có  AHD  AHG  900  AHD  AHG  c.g .v  g .n  .

 DAH  GAH
Suy ra AD  AG hay tam giác ADG cân tại A.

 BA  BE
3) Từ các chứng minh trên, ta có 
nên BD là trung trực của AE.
 DA  DE
Do đó BD vuông góc AE tại trung điểm AE, chính là điểm H theo giả thiết.
Đồng thời, AHD  AHG  HD  HG .

 HA  HE

 AHD  EHG  2c. g.v  .
Như vậy  HD  HG

0
 AHD  EHG  90
Suy ra HEG  HAD mà 2 góc so le trong nên GE / / AD .
Mà AD  AB  GE  AB .
Ta đã chứng minh được DA  DE; AD  AG .
Mà AHD  EHG  AD  GE .
Vậy AD  AG  EG  DE hay tứ giác ADEG có 4 cạnh bằng nhau.
4) Ta đã chứng minh AD  DE .
Tam giác DEC vuông tại E nên DE  CD .
8


Vậy AD  DE  CD .
5) Lấy F là điểm đối xứng với B qua A.

CA chung


Ta có CAB  CAF  900  CAB  CAF  2c.g .v   CB  CF .
 AB  AF

Suy ra tam giác BCF cân tại C. Mà góc ABC  900 nên CBF là tam giác đều.
Do đó BC  2.BA  2.5  10cm .

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC  600 . Tia phân giác trong góc B cắt AC
tại D. Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E, cắt tia BA tại F.
1) Chứng minh tam giác ABE đều và BD vuông góc AE.
2) Chứng minh rằng tam giác BCD cân và EB  EC .
3) Chứng minh rằng DF  DC và tính góc BCF .
4) Gọi I là trung điểm CF. Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng.
5) Biết rằng AB  6cm . Tính các cạnh BC; BE; AC .
Hướng dẫn

 BD chung

1) Ta có  BAD  BED  ABD  EBD  c.h  g .n   BA  BE .

 ABD  EBD
Do đó tam giác ABE cân tại B, mà góc ABC  600 nên trở thành tam giác đều.

9


 BA  BE
Đồng thời ABD  EBD  
nên BD là trung trực AE, suy ra BD  AE .
DA


DE

2) Ta có ABC  600  DBC 

1
1
ABC  .600  300 .
2
2

Mặt khác, DCB  900  ABC  900  600  300 .
Vậy DBC  DCB  300 nên tam giác BCD cân tại D, suy ra DB  DC .

 DE chung

Khi đó ta có  DEB  DEC  900  DEB  DEC  c.h  c.g .v   EB  EC .
 DB  DC


 DA  DE

3) Ta có  DAF  DEC  900  ADF  EDC  c.g .v  g .n   DF  DC .

 ADF  EDC
Đồng thời ADF  EDC  AF  EC , mà BA  BE  BF  BC .
Như vậy tam giác BFC có BF  BC và góc FBC  600 nên là tam giác đều.
Vậy BFC  600 .

 BF  BC
4) Từ các chứng minh trên ta có 

nên BD là trung trực của CF.
 DF  DC
Do đó BD vuông góc CF tại trung điểm CF; mà I là trung điểm CF theo giả thiết nên
BD đi qua I, hay B,I, D thẳng hàng.
5) Tam giác BFC đều nên BC  BF  2.BA  2.6  12cm .
Từ kết quả chứng minh 2 ta có EB  EC 

BC 12

 6cm .
2
2

Áp dụng định lý Pytago, ta được AC  BC 2  AB 2  122  62  108  6 3cm .

10


Bài tập tự luyện
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC  600 và AB  6cm . Tia phân giác của góc
B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.
1) Chứng minh ABD  EBD .
2) Chứng minh ABE là tam giác đều.
3) Tính độ dài cạnh AC.
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, có ACB  300 và AB  5cm . Tia phân giác góc B
cắt AC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC.
1) Chứng minh ABD  EBD .
2) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?
3) Tính độ dài cạnh BC.
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BC (D thuộc cạnh AC). Kẻ AE

vuông góc BE tại E, cắt BC tại K.
1) Chứng minh rằng tam giác ABK cân.
2) Chứng minh rằng DK vuông góc BC.
3) Kẻ AH vuông góc BC. Chứng minh AK là tia phân giác góc HAC.
4) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng IK song song AC.
Câu 10.

Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc CAB  600 . Tia phân giác trong góc A

cắt cạnh BC tại E. Kẻ tia Ex vuông góc AB tại K và tia By vuông góc AE tại D.
Chứng minh rằng:
1) AK  KB .
2) AD  BC .
Câu 11.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường phân giác BC (D thuộc AC). Kẻ

AE vuông góc BD tại E. Đường thẳng AE cắt BC tại K.
1) Chứng minh rằng ABK là tam giác cân.
2) Cho DC  10cm; KC  8cm , tính độ dài đoạn DK.
3) Vẽ tia Ax sao cho AK là phân giác của góc Cax, tia Ax cắt BD tại I. Chứng minh rằng
KI  AB .

Câu 12.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D thuộc AC). Kẻ DE

vuông góc BC tại E. Gọi F là giao điểm của tia BA và ED. Chứng minh rằng:
1) BD là trung trực của AE.
2) DF  DC .

3) AD  DC .
4) Kẻ BM vuông góc CF tại M. Chứng minh rằng B, D, M thẳng hàng.

11


Câu 13.

Cho tam giác ABC vuông tại A. BD là đường phân giác góc B, D thuộc BC.

Kẻ DE vuông góc BC, E thuộc BC. Gọi F là giao điểm của ED và BA. Chứng minh
rằng:
1) BD là trung trực của AE.
2) DF  DC .
3) AD  DC .
4) AE / / FC .
Câu 14.

Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC. Từ D kẻ

DE  AC, E  AC .
1) Chứng minh rằng BD  DE; AB  AE .
2) ED cắt BA tại F, chứng minh rằng BDF  EDC .
3) Chứng minh rằng AFC là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng AD vuông góc FC.
Câu 15.

Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc CAB  600 . Tia phân giác của góc

BAC cắt BC ở E, kẻ EK vuông góc AB, K thuộc AC, kẻ BD vuông góc AE, D thuộc

AE. Chứng minh rằng:
1) AK  KB .
2) AD  BC .
3) 3 đường AC, EK và BD đồng quy.
Câu 16.

Cho tam giác MNP vuông tại M, tia phân giác góc N cắt MP tại D. Kẻ DE

vuông góc NP, E thuộc NP.
1) Chứng minh rằng MND  END .
2) Chứng minh rằng ND là trung trực của ME.
3) Gọi F là giao điểm của MN và DE. Chứng minh tam giác NFP cân và ND đi qua
trung điểm PF.
4) So sánh DM và DP.

12