SKKN cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong chương i vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng

Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƢỜNG THPT SỐ 3 HUYỆN VĂN BÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
CÁCH SỬ DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƢƠNG I-VECTƠ (CTC)
NHẰM GIÚP HỌC SINH DỄ HIỂU, DỄ NHỚ VÀ DỄ VẬN DỤNG.

Họ tên tác giả : Phùng Viết Nguyên
Chức vụ: Phó Hiệu trƣởng
Đơn vị công tác: Trƣờng THPT số 3 huyện Văn Bàn

Văn Bàn, tháng 5 năm 2014

-1-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

MỤC LỤC

Trang

* Đặt vấn đề......................................................................................................4
* Giải quyết vấn đề...........................................................................................6
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................6
2. Thực trạng vấn đề...........................................................................................7
3. Biện pháp tiến hành giải quyết.......................................................................8
4. Hiệu quả sáng kiến........................................................................................16
* Kết luận........................................................................................................ 17
* Danh mục tài liệu tham khảo..................................................................... 18
* Phụ lục........................................................................................................... 19

-2-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn học đòi hỏi người học phải suy luận và sử dụng
nhiều đến trí óc. Hình học là một lĩnh vực nghiên cứu của Toán học, nó được coi
là nội dung khó để đạt được kết quả cao trong hoạt động dạy và học vì tính đặc
thù trừu tượng. Không chỉ học sinh cảm thấy lúng túng khi học môn Hình học
mà kể cả giáo viên gặp không ít khó khăn tìm giải pháp hướng dẫn học sinh tìm
hiểu và lĩnh hội kiến thức này.
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học
hiện đại, là một chủ đề học tập, nghiên cứu tương đối rộng cho nhiều ngành như
đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, ... Hiện nay, khái niệm

vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông
nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học. Do tính
mới của kiến thức, học sinh tiếp cận lần đầu nên ngay từ đầu học sinh cần phải
nắm vững được các khái niệm về vectơ đồng thời hình thành cách thức suy luận
để giải quyết các bài toán liên quan.
Trong những năm trước, tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10
đây là cơ hội để tôi nắm bắt đặc điểm nhận thức của học sinh đầu cấp, dạy học
thực nghiệm một số giải pháp mà bản thân nghiên cứu đã giúp tôi có cách nhìn
nhận, điều chỉnh tốt hơn về phương pháp dạy học.
Hiện nay, tôi công tác tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn. Trong
những lần sinh hoạt chuyên môn trong và ngoài trường, được chia sẻ kinh
nghiệm, trao đổi phương pháp dạy học bài tập Chương I-Vectơ, tôi nhận thấy
chúng tôi cùng có các khó khăn chung khi dạy học phần này. Lý thuyết học sinh
có thể hiểu được tương đối tốt nhưng khi yêu cầu vận dụng để giải bài tập thì
học sinh báo cáo là rất khó khăn, vướng mắc để liên hệ lý thuyết gắn với bài tập
nhất là kĩ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Bởi vậy,
tôi đã bắt tay vào việc tìm tòi giải pháp hay để hướng dẫn học sinh dễ hiểu, dễ
nhớ, dễ vận dụng khi học tập nội dung này. Trong quá trình nghiên cứu qua giải
các bài tập, tôi nhận thấy quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng để
giải quyết rất nhiều bài toán, nếu sử dụng đúng cách các quy tắc này vào bài
toán phân tích vectơ thì có thể đáp ứng giải quyết được những khó khăn của
chúng tôi đã đặt ra. Tôi chọn đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy
tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm
giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” để nghiên cứu được kĩ càng hơn
vấn đề này, đồng thời cũng là định hướng để tôi tiếp tục nghiên cứu mở rộng
hơn với các bài toán có vấn đề liên quan.
Đề tài của tôi đề cập chủ yếu đến vấn đề giải quyết các bài toán phân tích
một vectơ theo hai vectơ không cùng phương hay có thể là những bài toán tương
đương quy được về bài toán này bằng cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình
bình hành thông thường nhưng qua việc nghiên cứu, tham khảo của tôi và đồng

nghiệp chưa có tài liệu nào ghi chép cách làm giống với cách làm như đề tài tôi
nghiên cứu.
-3-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành nhằm định
hướng cho học sinh con đường giải quyết một số bài toán về phân tích vectơ
trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10) trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu hơn
và dễ dàng trong vận dụng giải quyết các bài toán liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Để đánh giá hiệu quả sáng kiến tôi tiến hành trên hai nhóm đối tượng
tương đương về học lực 10A1, 10A2 của trường THPT số 3 huyện Văn Bàn.
Lớp thực nghiệm 10A1 được áp dụng giải pháp thay thế “Cách sử dụng quy tắc
cộng, quy tắc hình bình hành nhằm giải quyết một số bài toán về phân tích vectơ
trong chương I-Vectơ (CTC Hình học lớp 10), lớp đối chứng 10A2 thực hiện
theo cách hướng dẫn thông thường.

-4-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
* Một số định nghĩa về vectơ:
Tổng của hai vectơ: Cho 2 vectơ a và b . Lấy điểm A tùy ý, xác định các
điểm B và C sao cho AB  a , BC  b . Khi đó vecto AC được gọi là tổng của
hai vectơ a và b . Ký hiệu AC  a  b . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi
là phép cộng vectơ. Từ đây, ta có các quy tắc:
Qui tắc cộng
Qui tắc hình bình hành
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, Với ABCD là hình bình hành,
ta có: AB  BC  AC .
AB  AD  AC .
B

B

ta

có:

C

b

a

C

A

A

D

Dễ thấy AB  AD  AB  BC , quy tắc này được
xây dựng dựa trên quy tắc cộng
Tích của một vectơ với một số: Cho vectơ a và số k  R . Khi đó k. a là
một vectơ được xác định cùng hướng với a (nếu k  0 ), ngược hướng với a
(nếu k<0) và có độ dài ka  k a
Điều kiện để hai vectơ a ( a  0 ) và b cùng phương  k  R : b  ka
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ
không cùng phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó h,k duy nhất : x  ha  kb .
b

C

A'

a

x

A

O

Lấy O tùy ý, ta lần lượt dựng OA  a , OB  b ,

OC  x , dựng hình bình hành OB’CA’ như hình
bên. Khi đó nhận thấy: OC  OA'  OB'
= hOA  kOB = ha  kb hay x  ha  kb
Nhận xét: Mọi vectơ x bất kì có thể phân tích qua
hai vectơ không cùng phương a , b .

B B'

* Qua việc nghiên cứu lý thuyết và các bài tập của chương, có thể thấy
rằng việc áp dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành được sử dụng rất nhiều
trong các bài toán như: chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ, thực hiện
phép tính.., việc áp dụng các quy tắc này có thể thuận lợi trong một số trường
hợp. Tuy nhiên, có những trường hợp việc áp dụng các quy tắc này trở nên khó
khăn, nhất là đối với học sinh học lực trung bình hoặc thấp hơn do hướng tiếp
cận để giải quyết bài toán chưa phù hợp (cách hướng dẫn của giáo viên chưa xây
dựng, định hướng được con đường giải quyết bài toán)
-5-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Sau đây là một vài ví dụ:
Bài 2 (SGK-17): Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích các vectơ AB , BC , AC theo hai vectơ u  AK , v  BM .
Bài 3 (SGK-17). Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC, lấy
một điểm M sao cho MB = 3 MC . Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ

u  AB , v  BC .
Với hai bài toán trên, học sinh gặp khó khăn trong hướng đi phân tích từ
một vectơ thành hai vectơ theo yêu cầu bài toán, các vectơ này không có tính
tương tự như vectơ trong quy tắc cộng và quy tắc hình bình hành để học sinh có
thể dựa vào đó vận dụng ngay được. Vậy vấn đề đặt ra là bài toán này sẽ được
tiếp cận giải quyết bằng các quy tắc trên như thế nào để bài toán đơn giản hơn?
để học sinh có thể hình thành xây dựng con đường giải quyết được bài toán này?
2. Thực trạng của vấn đề:
Tại trường THPT số 3 huyện Văn Bàn, qua việc thăm lớp, dự giờ khảo sát
trước tác động, tôi thấy giáo viên dạy học môn Toán nói chung phân môn Hình
học nói riêng gặp không ít khó khăn trong quá trình lên lớp. Về đối tượng học
sinh của vùng tôi công tác, khả năng tư duy, tiếp thu kiến thức về hình học còn
hạn chế ngay từ việc giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận, lĩnh hội kiến
thức để giải quyết bài toán thì việc học sinh phải tự giải được các bài tập sau khi
học tại lớp là điều không đơn giản. Với thực tế trao đổi chia sẻ kinh nghiệm dạy
học chương I-Vectơ cùng với các đồng nghiệp, tôi nhận thấy chúng tôi gặp phải
khó khăn khi dạy học sinh cách giải quyết các bài toán trong chương này mà đề
tài đã đề cập đến.
Năm học 2013-2014, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy khối 10.
Ngay từ đầu năm học sinh được học tập nội dung “chương I: Vectơ” chủ đề này
được xem là nội dung khó đối với học sinh đầu cấp. Trong chương học sinh
được học tập bài “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau
khi học tập các phép cộng vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số
và các tính chất của mỗi phép toán đó. Ngoài ra vectơ còn được áp dụng trong
một số bài tập có nội dung vật lý liên quan đến thực tế dạng toán “Phân tích một
vectơ lực theo hai vectơ lực không cùng phương”.. Nhìn chung, các bài tập
trong chương trình là dạng toán mới và khó đối với các em do các em mới được
học về vectơ, thời gian luyện tập, giải bài tập trong sách giáo khoa còn ít, chưa
phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho các em, nhiều em
lúng túng trong việc tìm cách giải quyết và cách trình bày bài giải.

Thực trạng trên là những điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể phân tích kĩ
lưỡng các nguyên nhân làm cho học sinh khó khăn khi giải quyết bài toán, tích
cực nghiên cứu, tìm tòi các ý tưởng, giải pháp để khắc phục các hạn chế trên.
Năm học 2013-2014, trong quá trình thực nghiệm tôi đã tìm được giải pháp phù
hợp để khắc phục khó khăn của mình, của nhóm chuyên môn, của học sinh và
tôi bắt tay vào việc viết đề tài nghiên cứu. Đề tài sáng kiến “Cách sử dụng quy
tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ
(CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng” là ý tưởng tuy còn
-6-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

nhỏ bé nhưng tôi hy vọng có thể chia sẻ những khó khăn và cách làm của mình
với đồng nghiệp.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
3.1. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp 10A1, 10A2 mỗi lớp 20 học sinh có học lực từ trung bình
yếu trở lên: Lớp 10A1 làm nhóm thực nghiệm, lớp 10A2 làm nhóm đối chứng.
Dùng bài kiểm tra khảo sát đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động để chọn
mẫu. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự tương
đương.
Kiểm tra sau tác động: Bài kiểm tra khảo sát cuối chương I- Vectơ.
3.2. Quy trình nghiên cứu
3.2.1. Chu n củ giáo viên.
Lớp thực nghiệm: vận dụng đề tài “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc

hình bình hành để giải một số bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp
học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ vận dụng”.
Lớp đối chứng: Sử dụng cách dạy thông thường vào các tiết dạy.
3.2.2. Tiến tr nh ạy thực nghiệm.
Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoạch và thời khóa biểu để
đảm bảo tính khách quan. Cụ thể:
Tiết

Nội dung thực hiện

7

Lý thuyết tích của vectơ với một số: Đặt vấn đề phân tích
một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, những khẳng
định cơ bản nhất
Luyện tập: Sử dụng các ví dụ áp dụng để minh họa cho các
khẳng định trên, xác định con đường giải quyết bài toán
Bám sát: Học sinh đã thực hiện các nội dung theo cách
hướng dẫn ở nhà và trình bày tại lớp
Ôn tập: Khảo sát lại kết quả thực nghiệm

8
8
13

Lớp
10A1
10A1
10A1
10A1

3.2.3. Những bài tập sƣu tầm và chỉnh sửa.
Sưu tầm các bài toán vectơ phù hợp để xây dựng con đường giải quyết bài
toán.
3.3. Kế hoạch lên lớp:
Tiết 7: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Trước tiên cần khẳng định được một số nội dung dưới đây để học sinh
hiểu rõ hơn và công nhận kết quả từ những khẳng định này.
Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai
vectơ không cùng phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó h,k duy nhất : x  ha  kb .
Nhận xét:
-7-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

- Luôn có sự phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
- Nếu x cùng phương với a thì k=0; x cùng phương với b thì h=0. Bài
toán này học sinh có thể làm được rất dễ dàng khi được giáo viên định hướng
bằng cách cho học sinh nhận xét mối quan hệ các vectơ x với mỗi vectơ a, b
- Nếu x không cùng phương với a, b thì giá của các vectơ a, b, x đôi một
cắt nhau hoặc đồng quy.
+ Trường hợp 1: a, b, x đôi một cắt nhau, tạo thành tam giác, chẳng hạn là
ABC:
B

x

a
b

C

A

Khi đó từ x  ha  kb được thay tương ứng thành BC = BA + AC (theo
tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướng giải quyết bài toán đi từ quy
tắc cộng BC = BA + AC rồi lần lượt thay thế để có x  ha  kb thì bài toán trở
nên đơn giản hơn.
+ Trường hợp 2: a, b, x đồng quy, thì dựng được hình bình hành, chẳng
hạn là ABC:
B

C
x

a
b

A

D

Khi đó từ x  ha  kb được thay tương ứng thành AC = AB + AD (theo
tính chất hai vectơ cùng phương). Vậy ta có hướng giải quyết bài toán đi từ quy
tắc hình bình hành AC = AB + AD rồi lần lượt thay thế để có x  ha  kb thì bài

toán trở nên đơn giản hơn.
Như vậy, có thể đưa ra khẳng định chung là: Bài toán phân tích một vectơ
theo hai vectơ không cùng phương được áp dụng giải quyết bằng quy tắc cộng
và quy tắc hình bình hành. Đây là khẳng định mang tính định hướng cho học
sinh khi giải quyết loại bài toán này hoặc bài toán tương tự cần tập trung vào
cách vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành sao cho phù hợp nhất.
Tiết 8: LUYỆN TẬP
Vấn đề được đặt ra tiếp theo là “vận dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình
hành sao cho phù hợp nhất”. Để học sinh có cái nhìn rõ hơn tôi đưa ra bài toán
sau:

-8-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
BC. Hãy phân tích vectơ MN theo hai vectơ AB , NC

B
N

M

C

A

* Phân tích: Học sinh bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích
vectơ MN theo hai vectơ AB , NC . Chủ yếu hướng suy nghĩ của các em tập trung
vào 3 vectơ trên với công cụ là các quy tắc đã được học mà rất ít em nghĩ đến
các đối tượng xung quanh 3 vectơ này. Cho nên thường là các em bắt đầu bằng
MN để phân tích
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 1 đã khẳng định, bài toán này phải
đi từ quy tắc cộng rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng các vectơ
theo yêu cầu bài toán (nghĩa là tìm được tam giác thỏa mãn). Bây giờ học sinh đi
vào tìm kiếm tam giác bắt đầu cho việc viết ra quy tắc cộng mà các vectơ trong
hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo yêu cầu bài toán. Giáo viên sử dụng
phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy
giá của ba vectơ này nằm trùng với đường thẳng nối các cạnh của tam giác nào
đó. Đến đây học sinh tìm ra được tam giác MBN để viết quy tắc cộng:
MB  BN  MN
1
Tiếp theo, thay thế các vectơ: MB  AB , BN  NC
2
1
Từ MB  BN  MN  MN  AB  NC (Bài toán đã được đơn giản hóa, giải
2

quyết ngắn gọn và dễ hiểu)
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB
BC và AC. Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ GP , NC

B
N

M
G
A

P

C

* Phân tích: Học sinh bắt đầu gặp khó khăn trong lời giải tìm sự phân tích
vectơ AB theo hai vectơ GP , NC . Sau khi nghiên cứu bài toán 1 trên, hướng suy
nghĩ của các em đã được mở rộng hơn nhưng lại tập trung nhiều hơn vào cách
vận dụng quy tắc cộng trong trường hợp này, các em bắt tay vào tìm kiếm tam
giác bắt đầu cho quy tắc cộng mà công việc này là rất khó.
* Giải pháp thay thế: Theo trường hợp 2 đã khẳng định, bài toán này phải
đi từ quy tắc hình bình hành rồi lần lượt thay thế các vectơ trong hệ thức bằng
các vectơ theo yêu cầu bài toán (nghĩa là tìm được hình bình hành thỏa mãn).
-9-

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Bây giờ học sinh đi vào tìm kiếm hình bình hành bắt đầu cho việc viết ra quy tắc
hình bình hành mà các vectơ trong hệ thức có thể thay thế bằng các vectơ theo
yêu cầu bài toán. Giáo viên tiếp tục sử dụng phấn màu khác để vẽ đậm các vecơ
theo yêu cầu bài toán dụ ý cho học sinh thấy giá của ba vectơ này đồng quy tại
một điểm là đỉnh thứ nhất của hình bình hành. Đến đây học sinh tìm ra được

hình bình hành BNPM để viết quy tắc hình bình hành với đỉnh B chung:
BP  BN  BM
1
2

Tiếp theo, thay thế các vectơ: BP  3GP , BM   AB , BN  NC
1
2

Từ BP  BN  BM  3GP  NC   AB  AB  2NC  6GP (Bài toán đã được
đơn giản hóa, giải quyết ngắn gọn và dễ hiểu)
Nhận xét: Qua gợi ý, phân tích, định hướng học sinh đã hình thành được
lối suy nghĩ để giải quyết bài toán đó là việc khéo léo vận dụng quy tắc cộng và
quy tắc hình bình hành vào bài toán. Để khẳng định mang tính hệ thống hơn, tôi
đã yêu cầu học sinh phát biểu rút ra từ lời giải các bài toán trên thành các bước
tiến hành giải quyết rõ ràng, thuật tiện cho các em tự học ở nhà và có thể làm
được bài tập.
Bước 1: Dùng mực khác màu kẻ các vectơ trong sự phân tích để nó tạo ra
được hình tam giác (nếu 3 đường đôi một cắt nhau), hình bình hành (nếu 3
đường đồng quy, lấy điểm đồng quy là một đỉnh của hình bình hành, 3 đường
kia là các cạnh và đường chéo xuất phát tại điểm đó)
Bước 2: Viết quy tắc cộng với tam giác được tạo thành hoặc quy tắc hình
bình hành với hình bình hành được xác định.
Bước 3: Thay thế lần lượt các vectơ trong quy tắc đã viết thành các vectơ
theo yêu cầu bài toán rồi suy ra sự phân tích của vectơ theo yêu cầu.
Như vậy có thể thấy rằng, cách đặt và giải quyết vấn đề có cơ sở logic,
gọn gàng, rõ ràng thành các bước cơ bản có thể giúp cho học sinh dễ hiểu, dễ
nhớ, dễ dàng vận dụng kể cả đối tượng học sinh có học lực trung bình yếu mà
giáo viên không phải phân tích giảng giải nhiều.
Lưu ý: Vận dụng linh hoạt để không phải dựng hình bình hành trong một

số trường hợp đặc biệt, ví dụ:

B

C
x

O

a
b

A

D

Ta có: AB  AD  AC  AB  AD  2AO như vậy vectơ AO được thay thế
trực tiếp với vectơ x .

- 10 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Tiết 8 (chủ đề ám sát): BÀI TOÁN PHÂN TÍCH VECTƠ
Bài tập học sinh vận dụng tƣơng tự ở lớp:

Bài toán (VD-SGK 16): Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là
1
5

trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho AK= AB
a) Hãy phân tích AI, AK, CI, CK theo CA, CB
(trong lời giải của SGK, học sinh đọc cũng khó có thể hiểu phần đầu được
(tại sao phải làm như thế) cho nên việc xác định con đường giải quyết bài toán là
rất khó, thiếu tính chủ động trong tư duy). Sau khi được định hướng tiếp cận về
cách giải quyết trên, học sinh có thể làm được bài tập này dễ dàng. Học sinh có
lời giải như sau:
+ Phân tích AI theo CA, CB

A
K
I
G
C

D

B

Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác ACD: CA  AD  CD ;
1
1
1
1
AD  3AI , CD  CB . Nên CA  AD  CD  CA  3AI  CB  AI  CB  CA
2

2
6
3
+ Phân tích AK theo CA, CB

A
K
I
G
C

D

B

Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác ABC: CA  AB  CB ;
1
1
AB  5AK . Nên CA  AB  CB  CA  5AK  CB  AK  CB  CA
5
5
+ Phân tích CI theo CA, CB

A
K

F

I
G

C

E

D

B

Cách 1: CI  CA  AI (lấy AI đã có kết quả phân tích trên thay vào)

- 11 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CEIF
2
3

AF AI
1
), CE  CB (do

AC AD
6

1
1 1
2
1
CE  CD  ( CB) ). Nên CI  CE  CF  CI  CA  CF
3
3 2
3
6
+ Phân tích CI theo CA, CB

(IF//CB, IE//AC): CI  CE  CF ; CF  CA (do

A
K

N
I
G
C

M

B

D

Cách 1: CK  CA  AK (lấy AK đã có kết quả phân tích trên thay vào)
Cách 2: Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành CMKN
4

5

(KN//CB, KM//AC): CK  CM  CN ; CN  CA (do

AN AK
1
), CM  CB (do

AC AB
5

BM BK
1
4
). Nên CK  CM  CN  CK  CB  CA

BC BA
5
5

Bài toán học sinh về nhà tự làm:
Bài 2 (SGK 17) Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u  AK , v  BM .
B
K
G
A

M

C

+ Phân tích AB theo AK , BM :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGB: AB  BG  AG ;
BG 

2
2
2
2
2
2
BM , AG  AK . Nên AB  BM  AK  AB  AK  BM
3
3
3
3
3
3

+ Phân tích BC theo AK , BM :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGK: BG  GK  BK ;
2
1
1
2
1
1
BM , GK  AK , BK  BC . Nên BG  GK  BK  BM  AK  BC
3

3
2
3
3
2
1
2
 BM  AK  BC
3
3
BG 

+ Phân tích CA theo AK , BM :
Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AGM: AG  GM  AM ;
AG 

2
1
1
BK , GM  BM , AM   CA .
3
3
2

- 12 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Nên AG  GM  AM 

Sáng kiến kinh nghiệm

2
1
1
1
2
BK  BM   CA   BK  BM  CA
3
3
2
3
3

Bài 3 (SGK 17) Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy
một điểm M sao cho MB  3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và
AC .
Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC :

B
M

P
A

C

Q

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành APMQ
1
4

(MQ//AB, MP//AC): AM  AP  AQ ; AP  AB (do

BA BM
3
), AQ  AC (do

BP BC
4

CQ CM
1
3
). Nên AM  AP  AQ  AM  AB  AC

CA CB
4
4

Bài 4 (SGK 17) Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC và D là trung điểm
của đoạn AM. Chứng minh rằng: 2DA  DB  DC  0
Gợi ý: 2DA  DB  DC  0  2DA  DB  DC chứng tỏ sự phân tích đúng

B
M

D
C

A

Ta có: DB  DC  2DM  DB  DC  2DA  DB  DC  2DA  0
Bài 7 (SGK 17) Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho MA  MB  2MC  0
Gợi ý: MA  MB  2MC từ hệ thức suy ra ba vectơ MA, MB, MC nằm trên
đường thẳng hai cạnh bên và đường chéo của hình bình hành có đỉnh là M.
Bài 8 (VD1-SBT 25) Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD
và EF. Phân tích các vectơ AI, AG, DE, DC theo hai vectơ AE, AF

- 13 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

B
F

D
I
G

A

E

C

+ Phân tích AI theo AE , AF :
1
1
2
2
1
1 3
3
+ Phân tích AG theo AE , AF : ta có AI  AD  ( AG)  AG
2
2 2
4
4
4 1
1
2
1
 AG  AI  ( AE  AF)  AE  AF
3
3 2
2
3
3
+ Phân tích DE theo AE , AF : Dễ thấy DE cùng phương AF nên

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có AE  AF  2AI  AE  AF  AI

DE = 0.AE  AF

+ Phân tích DC theo AE , AF : Dễ thấy DC  FE nên FE = FA  AE 
DC = AF  AE

Bài tập học sinh tự rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt
1
3
a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ AB, AF ;

là các điểm thoả BE  2BD , CF  CD .

b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ AB, AE ;
1
2

c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AJ  JC . Hãy biểu diễn
vectơ IF theo hai vectơ JB, JC .
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác D là điểm đối
xứng của B qua G. Hãy phân tích các vectơ AB , AC theo hai vectơ AG và AD .
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Điểm E là trung điểm của CD. Hãy phân
tích AE theo hai vectơ AD và AB .
Bài 4: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: MB  3MC ,
NA  3NC , PA  PB  0 . Hãy tính PN, PM theo hai vectơ AB và AC .
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm F là trung điểm cạch CD, điểm E
là điểm xác định bởi AB  2EA .

a. Hãy phân tích vectơ EF theo hai vectơ AB và AC .
b. Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ DG theo hai vectơ
AB và AD .
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi D và I là các điểm xác định bởi các đẳng
thức vectơ: 3DB  2DC  0 , IA  3IB  2IC  0 . Phân tích vectơ AD theo hai vectơ
AB và AC .
- 14 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, điểm D là trung
điểm của BC, điểm N là điểm thuộc AC sao cho CN  2NA . K là trung điểm của
MN.
1
4

1
6

1
4

1
3

Chứng minh: AK  AB  AC ; KD  AB  AC
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD, điểm G là
trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo AB và AD
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các BC và BD theo
vectơ AB và AF
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, điểm M là một điểm trên cạnh BC
sao cho MB = 3MC
1
4

3
4

a. Chứng minh rằng: AM  AB  AC .
b. Gọi N là điểm trên cạnh CD thỏa ND = 2 CN. Tính các AN, MN theo
vectơ AB, AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB.
a. Chứng minh: AA1  BB1  CC1  0 .
b. Tính BC,CA, AB theo BB1 , CC1
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.
a. Biễu diễn OA theo hai vectơ AB và AD
b. Biễu diễn BD theo hai vectơ AB và AC
Bài 13: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
MB  kMC(k  1) . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC .
Bài 14: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng
    1
BC khi và chỉ khi tồn tại các số ,  sao cho 



AM   AB  AC

3.4. Hiệu quả của SKKN:
So sánh điểm trung nh ài iểm tr trƣớc và s u tác động
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình sau tác
6,80
5,85
động
Kết quả kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm, điểm trung bình là:
6,80 kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng, điểm trung bình là:
5,85. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là: 0,95; Tỉ lệ học sinh có điểm tăng
lên rõ rệt ở lớp thực nghiệm. Điều đó cho thấy điểm của hai nhóm thực nghiệm
và nhóm đối chứng đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có tỉ lệ điểm trên
trung bình và điểm trung bình cộng cao hơn lớp đối chứng.

- 15 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

KẾT LUẬN
1. Kết luận:
Đề tài “Cách sử dụng quy tắc cộng, quy tắc hình bình hành để giải một số
bài toán trong Chương I-Vectơ (CTC) nhằm giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ

vận dụng” đã được áp dụng trong dạy học tại nhà trường, qua khảo sát có thể
thấy được cách làm này có hiệu quả tốt, góp phần nâng cao kết quả học tập môn
Toán của học sinh lớp 10 trường THPT số 3 huyện Văn Bàn khi học xong
chương I- Vectơ.
Giải pháp này sử dụng nhiều đến bài toán được sưu tầm và phân theo từng
dạng toán liên quan làm nâng cao kết quả học tập môn Toán của học sinh lớp 10
trường THPT số 3 huyện Văn Bàn khi học xong chương I -Vectơ. Tuy đề tài chỉ
có phạm vi h p trong một chương áp dụng với đối tượng học sinh có học lực
trung bình yếu trở lên nhưng nó đã giải quyết được vấn đề khó khăn mà nhiều
giáo viên gặp phải khi lên lớp nội dung này. Đây cũng là hướng phát triển của
đề tài mà mỗi giáo viên cần lưu ý, khi lên lớp cần quan tâm đến cách cho học
sinh tiếp cận giải quyết bài toán để học sinh được hình thành lối tư duy. Đề tài
có thể ứng dụng rộng rãi kết quả nghiên cứu trong các phần kiến thức khác của
môn Toán, để làm được điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải đầu tư nhiều
thời gian, công sức, biết thiết kế bài học cho phù hợp sao cho đơn giản hóa bài
toán, phải có kĩ năng phân tích khai thác bài toán để hình thành phát triển lối tư
duy cho học sinh.
2. Khuyến ngh :
Đối với giáo viên: Tích cực tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp
vụ đặc biệt là phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư duy cho học sinh,
khi giải quyết một chủ đề kiến thức cần phải nghiên cứu kĩ lưỡng hướng cho học
sinh tiếp cận, hình thành được lối tư duy để giải quyết bài toán, biết khai thác
thông tin trên mạng Internet để học tập, tham khảo, nghiên cứu.
Với phạm vi và kết quả nghiên cứu của đề tài tôi mong rằng các đồng
nghiệp quan tâm chia sẻ, đặc biệt là với các bộ môn tương tự có thể ứng dụng đề
tài này vào giảng dạy ở một số phần kiến thức phù hợp nâng cao kết quả học tập
của học sinh.
Trong một khoảng thời gian nghiên cứu không dài, áp dụng đề tài với đơn
vị kiến thức trong chương trình Toán THPT chắc chắn không tránh khỏi thiếu
sót. Rất mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến.

- 16 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 10 CTC – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách bài tập Hình học 10 CTC – Nhà xuất bản giáo dục.
3. Chu n kiến thức, kĩ năng môn Toán 10 chương trình chu n.
4. Một số bài tập Hình học 10 được sưu tầm trên các trang web

- 17 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

PHỤ LỤC
1. Đề kiểm tra khảo sát hiệu quả áp dụng của lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng:
ĐỀ KIỂM TRA
Môn: Hình học 10

Câu 1 (3.0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho
2IC  3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .
Câu 2 (4.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm
1
2
a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB và AC
b) Phân tích vectơ IN theo hai vectơ AB và AC .
1
3

trên các cạnh AB và CD sao cho AM  AB , CN  CD .

Câu 3 (3.0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả
2
5

mãn AM  2AB , AN  AC .
Hãy phân tích các vectơ MN theo hai vectơ AB và AC .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA
Môn: Hình học 10
Câu

Nội ung
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho
2IC  3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .

Điểm

B
I

N

C
1

A

M

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành
2
5

AMIN (IM//AB, IN//AC): AI  AM  AN ; AM  AC (do

1.0

CM CI
3
BN BI


), AN  AB (do
). Nên AI  AM  AN
CA CB
5
BA BC
2
3

 AI  AC  AB
5
5

1.0
1.0

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên
2

1
3

1
2

các cạnh AB và CD sao cho AM  AB , CN  CD .

- 18 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

Sáng kiến kinh nghiệm

a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB và AC

N

D

A

C

B

M I

Giá của 3 vectơ đồng quy, ta có thể dựng hình bình hành
1
2

ANCI (CN//AB, CI//AN): AC  AN  AI . Nên AC  AN  AB

0.75+0.75
0.5

1
 AC  AB  AN
2

b) Phân tích vectơ IN theo hai vectơ AB và AC .

N

D

A

C

B

M I

Dễ thấy IN = BC , giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam
giác ACB: AB  BC  AC ; BC  IN . Nên AB  IN  AC 
IN  AC  AB

1.0
1.0

Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả mãn
AM  2AB , AN 

2
AC .
5

Hãy phân tích các vectơ MN theo hai vectơ AB và AC .
M

B

3
C
A

N

Giá của 3 vectơ đôi một cắt nhau, ta có tam giác AMN:
2
AC , AM  2AB . Nên
5
2
2
AN  NM  AM  AC  MN  2AB  AC  2AB  MN
5
5

AN  NM  AM ; NM  MN , AN 

1.0
1.0+1.0

2. Kết quả kiểm tra theo bảng ƣới đây:
- 19 -

Phùng Viết Nguyên


Trường THPT số 3 huyện Văn Bàn

LỚP ĐỐI CHỨNG 10A2
Trƣớc
STT
Họ và tên

TĐ
Lương Quang Ánh
5
1

Sáng kiến kinh nghiệm

Sau
TĐ
6

LỚP THỰC NGHIỆM 10A1
Trƣớc Sau
STT
Họ và tên
TĐ
TĐ
Hoàng Ngọc Ân
6,5
7
1

2

Bàn Tòn Nhất

3

2,5

2

Vàng Thị Chính

4

5,5

3

Lự Văn Chức

5

6

3

Lương Thị Chính

4

6

4

La Văn Cương

7

6,5

4

Hoàng Thị Dương

6

7

5

La Văn Dần

6

6,5

5

Ma Thị Giang

5,5

7

6

Giàng A Dơ

3

4

6

Giàng Thiên Hà

4

5,5

7

La Thị Du

6

6

7

La Thị Hằng

5

7

8

La Thị Duyện

6

6

8

Sầm Thị Hiền

5

6,5

9

Hoàng Thị Điệp

7,5

8

9

Chảo A Hóa

3

4,5

10

Hoàng Thị Hà

5

7

10

Lương Việt Hoàn

4

5,5

11

La Thị Hiền

5

5,5

11

Hà Thị Huê

7

8,5

12

La Thị Huyền

7

6,5

12

Hoàng Trọng Hùng

7

8

13

Vàng A Khánh

4

4

13

Lưu Tuấn Hưng

8

9

14

Lự Chiến Sỹ

3,5

4

14

Ma Thị Hương

6

6,5

15

Hoàng Văn Lịch

5

5

15

Lương Thị Liên

6

7,5

16

Hoàng Thị Màu

6

5,5

16

Trần Nhật Linh

8

8

17

Bàn Mùi Mấy

6

6,5

17

Đàm Thị Linh

7

7,5

18

La Văn Mưu

7

7,5

18

Hoàng Thị Mai

4

6

19

Lương Thị Nghĩa

7

7

19

Hoàng Văn Mong

5,5

6,5

20

Hoàng Thị Nguyện

6,5

7

20

Vương Văn Nghiệp

6

7

- 20 -

Phùng Viết Nguyên