Toán chuyên 2

đề thi tuyển vào thpt chuyên toán
Năm học: 2007 2008.
( Vòng 2 )
Thời gian làm bài: 150 phút.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 4 Điểm )
1. Rút gọn
1x
1xx
xx
1xx
xx
M
22
++
+
+

++

=
với
1x0

2. Giải phơng trình:
333
x51x1x
=++
Bài 2: ( 4 Điểm )
1. Giải hệ phơng trình:

=++
=+
=++
14zyx
1zxyzxy
6zyx
222
2. Cho parabol (P):
2
x
4
1
y
=
và đờng thẳng (d):
2x
2
1
y
+=
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao
cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.
Bài 3: ( 4 Điểm )
1. Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số

abc
sao cho
( )





=
=
2
2
2acba
1nabc
với n là số
nguyên lớn hơn 2.
2. Tìm số nguyên tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 là các số nguyên tố.
Bài 4: ( 5 Điểm )
Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên (O) sao cho
NAM


và tổng khoảng cách từ A, B đến MN bằng
3R
.
1. Tính độ dài đoạn MN theo R.

2. Gọi I là giao điểm của hai dây AN và BM, K là giao điểm của AM và BN.
Chứng minh 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đờng tròn, tính bán kính của
đờng tròn đó theo R.
3. Khi M, N thay đổi tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB
Bài 5: ( 2 Điểm )
Cho các cặp số thực ( x; y ) thoả mãn
0
1yx
yyxx
22
22

+
+
tìm cặp số có tổng
x + 2y lớn nhất.