Giới hạn dãy số Hàm số Hàm số liên tục

Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số
Hàm số liên tục
Giới hạn dãy số
Kiến thức cần nhớ:
Đònh ly ù1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)

1)


Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn.
Đònh ly ù2: (Tính duy nhất của giới hạn)

2)


Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh ly ù3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat).

3)


Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn.



Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn.
Đònh lý 4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới

4)

hạn)



Cho ba dãy số (un), (vn), (wn). Nếu n  N * ta có vn  u n  wn và lim vn = lim
wn = A thì lim un = A.
Đònh ly ù5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).

5)


Nếu hai dãy số (u n ), (vn ) có giới thì ta có:

lim( u n  v n )  lim u n  lim v n
lim( u n .v n )  lim u n . lim v n
lim

u n lim u n

(lim v n  0)
v n lim v n

lim u n  lim u n (u n  0, n  N * )
6)

Đònh lý6: Nếu q  1`thì lim q n  0

7)

Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q  1 là:


S=u1+u2+...+un+...=

u1
1 q

( q  1) .

1


n

8)

 1
Số e: lim 1    e  2,71828
 n

9)

Đònh lý7:

1
 .
un



Nếu lim u n  0(u n  0, n  N * )

thì lim



Ngược lại, nếu lim u n   thì lim

1
 0.
un

Giới hạn hàm số
Kiến thức cần nhớ:
Một số đònh lý về giới hạn của hàm số:
Đònh ly ù1: (Tính duy nhất của giới hạn)

1)


Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh ly ù2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).

2)


Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x  a thì:

lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa

xa

xa

lim  f ( x).g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
xa

lim
xa

xa

xa

f ( x)
f ( x) lim
 xa
, (lim  0)
g ( x) lim g ( x) xa
x a

lim
xa

f ( x)  lim f ( x) , ( f ( x)  0)
xa

Đònh lý 3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một

3)

giới hạn)


Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng K chứa điểm a
(có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó g ( x)  f ( x)  h( x) và
nếu lim g ( x)  lim h( x)  L, thì lim f ( x)  L
x a

x a

x a

2


Đònh lý 4: Nếu khi x  a , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x

4)

đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L  0 (hoặc L  0 ).
Đònh lý 5:

5)


Nếu lim  0 (và f ( x)  0 với mọi x đủ gần a) thì lim



Ngược lại, nếu lim f ( x)   thì

x a

x a

lim
x a

x a

1

f ( x)

1
0
f ( x)

Giới hạn một bên :
Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số

1)

f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho
limxn = a thì limf(xn) = L. Ta viết:

lim  L (hoặc lim f ( x)  L ).

x a 

Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để lim f ( x)  L

2)

x a

x a

là lim f ( x), lim f ( x) đều
x a

x a

tồn tại và bằng L.

Các dạng vô đònh:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần
tìm:






lim

u ( x)
v( x)

mà

lim

u ( x)
v( x)

mà

x  x0
( x  )

x  x0
( x  )

lim u ( x).v( x)

x  x0
( x  )

lim u ( x)  lim v( x)  0 .

x  x0
( x  )

x  x0
( x  )

lim u ( x)  lim v( x)   .

x  x0

( x  )

mà

x  x0
( x  )

lim u ( x)  0 và

x  x0
( x  )

lim v( x)   .

x  x0
( x  )

lim u ( x)  v( x) mà lim u ( x)  lim v( x)  

x  x0
( x  )

hoặc

x  x0
( x  )

x  x0
( x  )

lim u ( x)  lim v( x)   .

x  x0
( x  )

x  x0
( x  )

3


Bài tập áp dụng
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Câu 1. Tính các giới hạn:

1 / lim

2n  1
n2

4 / lim

7 / lim

n2  2 n  3
2n 2  n  n

n 2  2n
3n 2  n  1

2 / lim

3n 2  1
n2  4

3 / lim

5n  1
3n  2

5 / lim

2n n  3
n2  n 1

6 / lim

(n  1)(2n  1)
(3n  2)(n  3)

8 / lim

2n 3
n 4  3n 2  1

9 / lim

(2n n )(3  n )
(n  1)(n  2)

2 / lim

2n  5
2
n n2

3 / lim

n 3  2n
3n 2  n  2

5 / lim

2n 2  n  1
3n 3  2

6 / lim 3 n 3  2n 2  n

Câu 2. Tính các giới hạn:

1 / lim

2n 2  1
n2 1



4 / lim 3 n 2  n 3  n







Câu 3. Tính các giới hạn:



n2 1
2n 2  3n

2 / lim

(n  1) 2 (n  2) 3
n(n  1) 4

3 / lim n 2  n  n 2  1

4 / lim( n  3 3n 2  n 3 )

5 / lim

2n 3  11n  1
n2  2

6 / lim

1 / lim

1
n2  2  n2  4

GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 1. Tính các giới hạn:

x 2  4x  1
x2  x 1

1 / lim (2 x  3)

2 / lim (2 x 3  3x  4)

3 / lim

1  x  2x
4 / lim
x 3
x 1

5 / lim ( x  2  x )

x 2  25
6 / lim
x 5 x  2

x 2

x 2

3

x 1

Câu 2. Tính các giới hạn:

4

x 1




x2  x  6
x2
x2  4
x 3  3x  2
4 / lim 3
x 1 x  x 2  x  1

1 / lim

x 2  16
x  4 x 2  x  20
4  x2
5 / lim 3
x  2 x  8

x 2  4x  3
x 3

x3
x3
6 / lim 2
x  3 x  9

2 / lim

3 / lim

Câu 3. Tính caùc giôùi haïn:

1  2x  1
x 0
2x
x  3x  2
4 / lim
x2
x2  4
1  2x  1
7 / lim
x 0
2x

1 / lim

2 / lim
x 0

4x

3 / lim

9 x 3

x 1

2x  7  3
2 x3

2x  7  x  4
x 1
x3  4x  3
23 x3
9 / lim 2
x 5
x  25

3  2x  x  2
x  1
3x  3
3
4x  2
8 / lim
x2
x2

6 / lim

5 / lim

Câu 4. Tính caùc giôùi haïn:
3

1 / lim
x 1

4 / lim

x 1
x 1
x2  2

x x 2 2
x 4  6 x 2  27
7 / lim 3
x  3 x  3 x 2  x  3
x 2

2

x3  x 2  2x  4
x  1
x 2  3x  4
x2 x 3
5 / lim
x 1
x5 x 4

x 1  x2  x 1
x

2 / lim

3 / lim

8 / lim 3

3x  2  4 x 2  x  2
x 1
x 2  3x  2
x x2
9 / lim
x2
4x  1  3

3
x 0

x 0

6 / lim

1 x2 1

2  x  3 3x  2

Câu 5. Tính caùc giôùi haïn:
3

1 3 1 x

1 / lim
x 0
x
2
x  4x  3
2 / lim
x 3
x3
( x  1)( x 2  1)
3 / lim 3
x 3 x  x 2  x
x 2  3x  2
4 / lim 2
x  2 2 x  x  6
3 5 x
5 / lim
x4
1 5  x

6 / lim
x 1

x2  3  2
3

7 / lim
x 1

8 / lim

x4

x 1

x  2  1 x  x2
x2 1
1  2x  3
x 2

1 3 1 x
x 0
3x
3
x 1
10 / lim
2
x  1
x 32
9 / lim

Câu 6. Tính caùc giôùi haïn:

5


8 x  11  x  7
x2
x 2  3x  2
3
1 x  1 x

2 / lim
x 0
x
x 1  3 x  5
3 / lim
x 3
x3
3

1 / lim

x9  x3
x 1
x 1
3
x6  x6
5 / lim
x  2
x2  x  2
2  x  2x  1
6 / lim
x  1
x2  x  2
3

4 / lim

Câu 7. Tính các giới hạn:

x 2  3x  8

x  x 4  6 x  1
4 x 3  3x  7
7 / lim 2
x  x  3 x  5

x2 1
1 / lim
x   2 x  3
 x3  x  1
2 / lim
x  
x2  2
x5  2x 2  1
3 / lim
x 
x3  1
2 x 2  3x  1
4 / lim
x  3 x 2  x  5
( x  2)(2 x  1)(1  4 x)
5 / lim
x 
(3 x  4) 3

6 / lim

8 / lim

x  3

x 2  2x  3
x3  x  1

4x 2  1
x 
3x  1
2x 2  3
10 / lim 3
x  x  2 x  1
9 / lim

Câu 8. Tính các giới hạn:

1 / lim

x 

x 2  2x  3  1  4x

2 / lim

x 

4x 2  1  2  x

9x 2  x  1  4x 2  2x  1
x 1

Câu 9. Tính các giới hạn:

1 / lim (3 x 3  x 2  x)

5 / lim ( x  3 3 x 2  x 3 )

2 / lim (2 x  1  4 x  4 x  3 )

6 / lim ( x  x 2  1)

3 / lim ( x 2  x  x)

7 / lim ( x 2  x  1  x 2  x  1)

3 
 1
4 / lim 


x 1 1  x
1  x3 


1
1


8 / lim  2
 2

x2 x  3x  2
x  5x  6 



x  

x 

2

x 

x  

x 

Câu 10.

x  

Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:

6


1  cos 3 x
x 0 1  cos 5 x
2  1  cos x
10 / lim
x 0
tg 2 x

tgx  sin x
5 / lim
x 0
x3
x
sin 2
3
6 / lim
2
x 0
x
tg 3 x
7 / lim
x 0 2 x
1  cos 6 x
8 / lim
x 0
x2

sin 5 x
x 0
2x
sin 2 x
2 / lim
x 0
x 1 1
1  cos 2 x
3 / lim
x 0
x sin x

1  cos 4 x
4 / lim
x 0
2x 2

1 / lim

9 / lim

1  sin 2 x  cos x
11 / lim
x 0
sin 2 x


sin  x  
3
12 / lim 

x  1  2 cos x
3

Hàm số liên tục
Kiến thức cần nhớ:
1)

Hàm số liên tục tại một điểm:


Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được

gọi là liên tục tại điểm x0  (a; b) nếu: lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0



Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x o
và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).



Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại
điểm x0 

(a; b) nếu và chỉ nếu lim f ( x)
x  xo

và

lim f ( x) tồn tại

x  x0

và lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

2)

x  x0

Hàm số liên tục trên một khoảng:



Đònh nghóa:



Hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó,
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.



Hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó
là liên tục trên khoảng (a; b) và

lim f ( x)  f (a),

x a 

7

lim f ( x)  f (b) .

x a 




Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên
khoảng đó.

3)

Một số đònh lý về tính liên tục:


Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên
tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó.



Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục
trên tập xá đònh của nó.



Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò
lớn nhất, giá trò nhỏ nhất và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá
trò nhỏ nhất trên đoạn đó.



Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn
tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f(c) = 0.



Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0
thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Câu 1. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
c / y  tgx  cos 5 x.
cot gx  sin 2 x
d/y
.
tg 2 x

a / y  x 3  5 x 2  4 x  3.
b/ y 

2 x 2  5x  4
.
x 2  3x  2

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
 x
 2
Câu 1. Cho hàm số: f ( x)   2
 x  3x  2
 x 2  1

( x  1)
.

( x  1)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1.

8

1  2 x

Câu 2. Cho hàm số f ( x)   4  x 2

 x2

( x  2)
.

( x  2)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2.

3
2

Câu 3. Cho hàm số f ( x)  
 x 1 1
 3 x  1  1

( x  0)
.

( x  0)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 0.

 x2 1


Câu 4. Cho hàm số f ( x)   x  1
5


( x  1)
( x  1)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1.

ax  2

Câu 5. Cho hàm số f ( x)   x 3  1

 x 1

( x  1)
( x  1)

Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1.

( x  2)

1

Câu 6. Cho hàm số f ( x)  1  2 x  3

 2 x

( x  2)

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2.

4 x

a  x  2
Câu 7. Cho hàm số f ( x)  
 1 x  1 x

x

( x  0)
( x  0)

Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 0.

1

ax  4
Câu 8. Cho hàm số f ( x)   3
 3x  2  2
 x  2

( x  2)
( x  2)

Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.

9

 2 2
ax  3
Câu 9. Cho hàm số f ( x)   3
 4x  2
 x 2  3x  2

( x  2)
( x  2)

Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Câu 10.

1

Cho hàm số f ( x)  1  cos x
 x

( x  0)
( x  0)

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Câu 1. CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

a / x 4  3x  1  0
b / x 3  6 x 2  9 x  10  0
c / x 5  10 x 3  100  0
Câu 2. CMR phương trình 2 x 3  6 x  1  0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).

Câu 3. CMR phương trình x 3  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 4. CMR phương trình 3x 4  4 x 3  6 x 2  12 x  20  0 có ít nhất hai nghiệm.
Câu 5. CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:

a / m( x  1)( x  2)  2 x  3  0.
b / m( x 2  9)  x( x  5)  0.

10