Bài tập tích phân hàm lượng giác phần 1

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân
Ta xét các trường hợp sau:

b

I = ∫ sin n xdx

hoặc

a

b

b

I = ∫ cosn xdx
a

hoặc

b

Trường hợp 1: n=1.

I = ∫ sin xdx

Trường hợp 2: n=2.

I = ∫ sin 2 xdx

hoặc

I = ∫ cos2 xdx

Trường hợp 3: n=3.

I = ∫ sin xdx

hoặc

I = ∫ cos3 xdx

Trường hợp 4: n=4.

I = ∫ sin 4 xdx

hoặc

I = ∫ cos4 xdx

Trường hợp 5: n=5.

I = ∫ sin 5 xdx

hoặc

I = ∫ cos5 xdx

a

b
a
b

3

a
b
a
b
a

I = ∫ cosxdx
a

b

a
b

a
b
a
b
a

Trường hợp 1: n=1.
•

b

b

Tính tích phân: I = ∫a sin xdx hoặc I = ∫a cosxdx

• Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
2
0

π
2
0

2. I = ∫ sin ( 2 x − π ) dx

1. I = ∫ sin xdx

π

 3π

3. I = ∫02 sin  − x ÷dx
 2


Trường hợp 2: n=2 hoặc n=4.
• Tính tích phân:

•
•
•

b

a

a

b

b

a

a

I = ∫ sin 4 xdx hoặc I = ∫ cos4 xdx

o
•
•

b

I = ∫ sin 2 xdx hoặc I = ∫ cos2 xdx .

o

Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc.
Công thức hạ bậc:
1
cos2 x = ( 1 + cos2x )
2
1
sin 2 x = ( 1 − cos2x ) .
2
2
2
1
2
1

4
2
cos x = ( cos x ) =  ( 1 + cos2x )  = ( 1 + cos2x )
4
2

sin x = ( sin x )
4

•

2

2

2

1
2
1

=  ( 1 − cos2x )  = ( 1 − cos2x ) .
4
2


Bài 2: Tính các tích phân sau:
π

1. I = ∫ 2 sin 2 xdx
0

π

2. I = ∫ 4 sin 2 2 xdx
0

π
x
2π
3. I = ∫02 sin  − ÷dx
2 2

Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
2

0

1. I = ∫ cos xdx
2

π
6
0

2. I = ∫ cos 3 xdx
2

π
x
2π
I
=
3.
∫02 cos  4 − 4 ÷ dx

Bài 4: Tính các tích phân sau:
π
2
0

1. I = ∫ cos xdx
4

π
4

0

2. I = ∫ sin xdx
4

π
4
0

3. I = ∫ sin 4

x
dx
2
1


Trường hợp 3: n=3 hoặc n=5.
• Tính tích phân:
o
o
•

b

b

a

a

b

b

a

a

I = ∫ sin3 xdx hoặc I = ∫ cos3 xdx .
I = ∫ sin 5 xdx hoặc I = ∫ cos5 xdx

Cách giải: Đổi biến số.
b

o Phân tích sin3 x hoặc sin 5 x thành: I = ∫ f ( sin x ) .cosx.dx . Sau đó đặt t = f ( s inx ) .
a
b

o Phân tích cos3 x hoặc cos5 x thành: I = ∫ f ( cosx ) .sin x.dx . Sau đó đặt t = f ( cosx ) .
a

Ta áp dụng hằng đẳng thức thường áp dụng:
sin 2 x = 1 − cos2 x
2
2
• sin x + cos x = 1 ⇒  2
2
 cos x = 1 − sin x
sin 3x=sin 2 x.s inx = ( 1 − cos2 x ) s inx

•  3
cos x = cos2 x.cosx = ( 1 − sin 2 x ) .cosx

sin 5x=sin 4 x.s inx = ( 1 − cos2 x ) 2 sinx
• 
2
5
4
2
cos x = cos x.cosx = ( 1 − sin x ) .cosx
• Lưu ý: f ( s inx ) là một thức theo sinx, f ( cosx ) là một biểu thức theo cosx.
Bài 4: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin3 xdx
0

2. I = ∫ 4 sin3 2 xdx

π
2
0

4. I = ∫ sin 5

0
π
2

0

3. I = ∫ sin 5 xdx

x
dx
2

Bài 5: Tính các tích phân sau:
π
2
0

π
3
0

x
dx
2
π
x
4. I = ∫ 2 cos5 dx
0
3
2. I = ∫ cos5

1. I = ∫ cos xdx
3

π

3. I = ∫ 2 cos5 xdx
0

Bảng tóm tắt
TT

b

Dạng toán I = ∫ sin n xdx
a

1
2

n=1
n=2 hoặc n=4

hoặc

b

I = ∫ cosn xdx

Cách giải

a

b

b

a

a

I = ∫ sin xdx hoặc I = ∫ cosxdx
b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

I = ∫ sin 2 xdx hoặc I = ∫ cos2 xdx

Áp dụng bảng nguyên hàm
Áp dụng công thức hạ bậc.

I = ∫ sin 4 xdx hoặc I = ∫ cos4 xdx
3

n=3 hoặc n=5

I = ∫ sin3 xdx hoặc I = ∫ cos3 xdx
b

b

a

a

Đổi biến số dạng 1.

I = ∫ sin 5 xdx hoặc I = ∫ cos5 xdx

2


Dạng 2: Tính tích phân
Ta xét các trường hợp sau:

b

I = ∫ sin m x.cosn xdx
a

b

1. TH1: m=n=1.

I = ∫ sin x.cosxdx

2. TH2: m=n=2.

I = ∫ sin 2 x.cos2 xdx

3. TH3: m=n=3.

I = ∫ sin3 x.cos3 xdx

a
b
a
b
a

b

4. TH4: m lẻ và n chẵn.

I = ∫ sin 3 x.cos2 xdx

5. TH5: m chẵn và n lẽ.

I = ∫ sin 2 x.cos5 xdx

a
b
a

b

6. TH6: m ≠ n với m và n cùng chẵn.

I = ∫ sin 2 x.cos2 xdx

7. TH7: m ≠ n với m và n cùng lẻ.

I = ∫ sin x.cos3 xdx

a
b
a

Công thức nhân đôi thường áp dụng:
 sin 2 x = 2sin x.cosx .
1
1
 sin x.cosx= .2sin x.cosx= sin 2 x .
2

2
2
2 1
 1
 sin 2 x.cos2x= ( sinx.cosx ) =  .2sin x.cosx ÷ = sin 2 2 x .
2
 4
3

3 1
 1
 sin3 x.cos3x= ( sinx.cosx ) =  .2sin x.cosx ÷ = sin 3 2 x .
2
 8
4

1
1

 sin x.cos x= ( sinx.cosx ) =  .2sin x.cosx ÷ = sin 4 2 x .
2
 32
4

4

4

b

Trường hợp 1: m=n=1. Ta có: I = ∫a sin x.cosxdx =

1 b
sin 2 xdx
2 ∫a

Bài 6: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin x.cosxdx

2. I = ∫ 4 sin 2 x.cos2xdx

0
π
2
0

0
π
2
0

x
x
3. I = ∫ sin .cos dx
2
2

4. I = ∫ sin
b

2
2
Trường hợp 2: m=n=2. Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx =

1 b 2
sin 2 xdx
4 ∫a

3x
3x
.cos dx
2
2

Cách giải: Hạ bậc.
Bài 7: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin 2 x.cos2 xdx
0
π
2
0

3. I = ∫

2. I = ∫ 4 4sin 2 2 x.cos2 2xdx
0
π
2
0

x
x
8sin 2 .cos2 dx
2
2

x
x
4. I = ∫ 3sin 2 .cos2 dx
3
3

b

3
3
Trường hợp 3: m=n=3. Ta có: I = ∫a sin x.cos xdx =

1 b 3
sin 2 xdx
8 ∫a

Cách giải: Đổi biến số dạng 1.
Bài 8: Tính các tích phân sau:
3


π

π

1. I = ∫ 2 sin3 x.cos3xdx

2. I = ∫ 4 sin3 2 x.cos3 2xdx

0
π
2
0

0
π
2
0

x
x
3. I = ∫ sin3 .cos3 dx
2
2
Trường hợp 4: : m lẻ và n chẵn.
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.

x
x
4. I = ∫ sin3 .cos3 dx
3
3

b

b

a

a

 Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m−1 x.cosn x.s inxdx

 Đặt t=cosx hoặc biểu thức chứa cosx.
Bài 9: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin3 x.cos2 xdx

2. I = ∫ 4 sin 5 2 x.cos4 2xdx

0

0

3 x
6 x
3. I = ∫0 sin .cos dx
2
2
Trường hợp 5: : m chẵn và n lẽ.
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.

π
5 x
2 x
4. I = ∫0 sin .cos dx
3
3

π

b

b

a

a

 Biến đổi: I = ∫ sin m x.cosn xdx = ∫ sin m x.cosn-1x.cosxdx

 Đặt t=sinx hoặc biểu thức chứa sinx.
Bài 10: Tính các tích phân sau:

π

1. I = ∫ 2 sin 2 x.cos3xdx
0

2 x
3 x
3. I = ∫0 sin .cos dx
2
2
Trường hợp 6: m ≠ n với m và n cùng chẵn.
Cách giải: Hạ bậc.
Bài 11 Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 2 sin 2 x.cos4 xdx
0

Trường hợp 7 m ≠ n với m và n cùng lẻ
Cách giải: Hạ bậc.
Bài 11 Tính các tích phân sau:
π

1. I = 2 sin x.cos3xdx
∫
0

π

5
3. I = ∫0 sin

2x
2x
.cos3 dx
3
3

π

2. I = ∫ 4 sin 4 2 x.cos5 2xdx
0

π
4 x
5 x
4. I = ∫0 sin .cos dx
3
3

π
4 x
2 x
2. I = ∫0 sin .cos dx
2
2

π

x
3 x
2. I = ∫0 sin .cos dx
2
2
π
3 x
5 x
4. I = ∫0 sin .cos dx
3
3

Bảng tóm tắt
4


TT

Cách giải

b

Dạng toán I = ∫ sin m x .cosn xdx
a

1

m=n=1

b

I = ∫ sin x.cosxdx
a

2

m=n=2
m ≠ n với m và n
cùng chẵn.

b

I = ∫ sin 2 x.cos2 xdx
a

C1: Áp dụng bảng nguyên hàm.
C2: Đổi biến số dạng 1.
Áp dụng công thức hạ bậc.

b

I = ∫ sin 2 x.cos2 xdx
a
b

I = ∫ sin 4 x.cos4 xdx
a

b

3

m=n=3.

I = ∫ sin 3 x.cos3 xdx
a
b

I = ∫ sin 5 x.cos5 xdx

Đổi biến số dạng 1.

a

b

I = ∫ sin 3 x.cos2 xdx

m lẻ và n chẵn

a
b

I = ∫ sin 3 x.cos4 xdx
a
b

Đổi biến số.

I = ∫ sin 5 x.cos2 xdx

a

b

I = ∫ sin 2 x.cos3 xdx

m chẵn và n lẽ

a
b

I = ∫ sin 2 x.cos5 xdx
a
b

I = ∫ sin 4 x.cos3 xdx
a

b

m ≠ n với m và n
cùng lẻ.

I = ∫ sin x.cos3 xdx
a
b

I = ∫ sin 3 x.cosxdx
a
b

I = ∫ sin 5 x.cos3 xdx
a

5


b

Dạng 3: Tính tích phân dạng I = ∫a

b
1
1
dx
I
=
dx .
hoặc
n
∫
a
sin x
cosn x

Ta xét các trường hợp sau:

b
1
1

dx hoặc I = ∫
dx .
a
sin x
cosx
b
b
1
1
dx
I
=
dx .
TH 2: n=2. I = ∫a
hoặc
2
∫
a
sin x
cos2 x
b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
TH 3: n=3. I = ∫a
3
a cos3 x
sin x

b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
TH 4: n=4. I = ∫a
4
a cos 4 x
sin x
b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
TH 5: n=5. I = ∫a
5
a
sin x
cos5 x
b
b
1
1
dx
I
=
dx .
TH 6: n=6. I = ∫a

hoặc
6
∫
a
sin x
cos6 x
Công thức thường áp dụng.
1
= 1 + tan 2 x .

2
cos x
1
1
1
1
=
. 2 = ( 1 + tan 2 x ) .

.
4
2
cos x cos x cos x
cos2 x
2
1
1
1
1
=

. 2 = ( 1 + tan 2 x ) .

.
6
4
cos x cos x cos x
cos2 x
3
1
1
1
1
=
.
= ( 1 + tan 2 x ) . 2

8
6
2
cos x cos x cos x
cos x
b

TH 1: n=1. I = ∫a




1
= 1 + cot 2 x .

2
sin x
1
1
1
1
= 2 . 2 = ( 1 + cot 2 x ) . 2 .
4
sin x sin x sin x
sin x



2
1
1
1
1
=
. 2 = ( 1 + cot 2 x ) . 2 .
6
4
sin x sin x sin x
sin x



3
1
1

1
1
= 6 . 2 = ( 1 + cot 2 x ) . 2 .
8
sin x sin x sin x
sin x
b

Trường hợp 1: n=1.Ta có: I = ∫a

b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
a
sin x
cosx

Cách giải: Đổi biến số dạng 1:
Ta biến đổi như sau:
b
b s inx
b
1
s inx
dx = ∫
dx
=
dx . Đặt t=cosx.

 I = ∫a
2
∫
a
a
sin x
sin x
1 − cos2 x
b
b cosx
b
1
cosx
dx = ∫
dx = ∫
dx . Đặt t=sinx.
 I = ∫a
2
a cos x
a 1 − sin 2 x
cosx

6


1
1
1
1
1

1
=
=
=
=
.
t
t
t
sin t sin 2. t 2sin t .cos t
t
cos2
tan cos2
t
t


 Hoặc
. Đặt t= tan .
2
2
2
2
2
2
2
 sin .cos ÷.
2  cos2 t
 2
2

1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
.
t
t
cost cos2 t cos2 t − sin 2 t cos2 t − sin 2 t
1 − tan 2 cos2
t
 Hoặc
2
2
2
2
2 .cos2
2
2.
t
2
cos2
2
1
1

1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
.
=
.
t
t
t
t
t
cost cos2 t 1 − 2sin 2 t
cos2
sin 2
cos2
1 − tan 2 cos2
t
1


 Hoặc
2
2

2
2
2
2
2
2
−2
 1 − 2sin ÷.
2  cos2 t
2 t
2 t

cos
cos
2
2
2
Bài 12 Tính các tích phân sau:
π
π
1
1
dx
dx
1. I = ∫π3
2. I = ∫ π8
4 s inx
12 s in2x
π

I = ∫π2

1

π
9
π
12

dx

4. I = ∫

x
sin
2
Bài 13 Tính các tích phân sau:
π
1
I
=
1.
∫π64 cosx dx

3.

3

π

3.

I = ∫π2
3

1

x
cos
2

1
dx
sin3 x

1
dx
cos2x
12
π

2. I = ∫ π8

π

dx

4.

I = ∫ π9

b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx
2
a cos2 x
sin x
Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.
Bài 13 Tính các tích phân sau:

1

x
12 cos
3

dx

b

Trường hợp 2: n=2.Ta có: I = ∫a

1. I = ∫

π
3
π
4

π

1
dx
s in 2 2x

2.
b

Trường hợp 3: n=2.Ta có: I = ∫a

I = ∫π2

b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx
3
a cos3 x
sin x

3

1

x
cos
2

2

dx

Cách giải: Tích phân từng phần.
1

u=

1
1
1

s inx
dx = ∫
. 2 dx . Đặt 
Phân tích: I = ∫a
.
3
a
sin x
sin x sin x
 dv = 1 dx

sin 2 x
1

u=

b

b
1
1
1

cosx
dx = ∫
.
dx . Đặt 
Phân tích: I = ∫a
.
3
2
a cosx cos x
cos x
 dv = 1 dx

cos2 x
b

b

7


1
dx .
3
6 sin x
Không giải được tích phân này bằng cách biến đổi.

π
π
π
π
1
sin 2 x + cos2 x
1
cos2 x
2
2
2
2
I = ∫π
dx = ∫π
dx = ∫π
dx + ∫π
dx
3
3
sin 3 x
6 sin x
6
6 sin x
4 sin x
π

Bài 14: Tính tích phân I = ∫π2

Tính A = ∫

1
dx
sin x

Tính B = ∫

π
π
cos2 x
cos2 x .s inx
cos2 x.s inx
2
2
dx = ∫π
dx = ∫π
dx
2
2
sin 3 x
sin 4 x
6
6 ( 1 − cos x )

π
2
π
6
π
2
π

6

Cách khác:
π

I = ∫π2
6

π
π
1
s inx
s inx
2
2
dx
=
dx
=
dx
π
π
2
3
4
∫
∫
2
sin x
sin

x
1
−
c
os
x
6
6 (
)

Ta phải giải bằng tích phân từng phần.
π
π
1
1
1
I = ∫π2 3 dx = ∫π2
. 2 dx
6 sin x
6 sin x sin x
1

cosx

u = s inx
 du = − 2 dx
⇒
sin x
Đặt 
 dv = 1 dx  v = − cot x


sin 2 x
π

π
π
π
π
cosx 2
cos2 x
1 − sin 2 x
1
1
2
2
− ∫π2 3 dx = 2 3 − ∫π2
dx
=
2
3
−
dx
+
dx
Khi đó: I = 2
π
π
3
3
∫

∫
sin x π 6 sin x
sin x
6
6 sin x
6 sin x
6

π

Suy ra: 2 I = 2 3 + ∫π2
6

1
dx
sin x

π
π
1
s inx
s inx
2
2
dx
=
dx
=
dx
Tính A= ∫

π
π
2
2
∫
∫
sin x
sin
x
1
−
c
os
x
6
6
Đặt t = cosx ⇒ dt=-sinxdx

π
3
 x = ⇒ t =
6
2
Đổi cận: 
 x= π ⇒ t = 0
 2
π
2
π
6

Khi đó: A =
∫

0

3
2

1
1 23  1
1 
1 t +1
dx = − ∫ 
−
÷dt = ln
2
0
1− t
2
2 t −1
 t −1 t +1 

3
2
0

=

1

3+2
ln
2 2− 3

1
3+2
1
3 +2
⇒ I = 3 + ln
Vậy: 2 I = 2 3 + ln
.
2 2− 3
4 2− 3
π
1
Bài 15: Tính tích phân I = ∫ 3
dx .
0 cos3 x
b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
Trường hợp 4: n=1.Ta có: I = ∫a
4
a cos 4 x
sin x
Cách giải: Đổi biến số dạng 1:
Ta biến đổi như sau:

8


b
b
1
1
1
1
dx
=
.
dx
=
1 + cot 2 x )
dx . Đặt t=cotx.
(
4
2
2
∫
∫
a
a
sin x
sin x sin x
sin 2 x
b
b
b

1
1
1
1
dx = ∫
. 2 dx = ∫ ( 1 + tan 2 x )
dx . Đặt t=tanx.
Phân tích: I = ∫a
4
2
a
a
cos x
cos x cos x
cos2 x
Bài 16 Tính các tích phân sau:
π
π
1
1
8
1. I = ∫ 4
2.
dx
I
=
dx
4
∫
0 cos x

0 cos4 2x
π
π
1
1
I = ∫2
dx
I = ∫2
dx
0
0
3.
4.
4 x
4 x
cos
cos
2
3
Bài 16 Tính các tích phân sau:
π
π
1
1
2
dx
1. I = ∫π
2. I = ∫π4 4 dx
4
4 sin x

8 sin 2x
π
π
1
1
I = ∫π
dx
I = ∫π
dx
x
x
3.
4.
2 sin 4
2 sin 4
2
3
b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx
Trường hợp 5: n=5.Ta có: I = ∫a
5
a
sin x
cos5 x
Cách giải: Tích phân từng phần.
1


u=

b
b
1
1
1

s in3x
dx
=
.
dx
Phân tích: I = ∫a
.
Đặt
.

∫a sin3 x sin2 x
sin 5 x
 dv = 1 dx

sin 2 x
1

u=

b
b

1
1
1

cos3x
dx
=
.
dx
Phân tích: I = ∫a
.
Đặt
.

∫a cos3 x cos2 x
cos5 x
 dv = 1 dx

cos2 x
π
π
1
1
2
dx
dx
Bài 17: Tính tích phân
1. I = ∫π
2. I = ∫π3
5

5
6 sin x
6 cos x
b
b
1
1
dx hoặc I = ∫
dx .
Trường hợp 6: n=6.Ta có: I = ∫a
6
a cos6 x
sin x
Cách giải: Đổi biến số dạng 1:
Ta biến đổi như sau:
b
b
b
2
1
1
1
1
dx = ∫
. 2 dx = ∫ ( 1 + cot 2 x )
dx . Đặt t=cotx.
Phân tích: I = ∫a
6
4
a sin x sin x

a
sin x
sin 2 x
b
b
b
2
1
1
1
1
dx = ∫
.
dx = ∫ ( 1 + tan 2 x )
dx . Đặt t=tanx.
Phân tích: I = ∫a
6
4
2
a
a
cos x
cos x cos x
cos2 x
Bài 18: Tính các tích phân sau:
π
π
1
1
1. I = ∫ 4

2.
dx
I = ∫8
dx
0 cos6 x
0 cos6 2x
π
π
1
1
2
I =∫
dx
I = ∫2
dx
0
0
3.
4.
x
x
cos6
cos6
2
3
Bài 19: Tính các tích phân sau:
b

Phân tích: I = ∫a

9


1
dx
6
4 sin x
π
1
I = ∫π
dx
x
3.
2 sin 6
2

1
dx
6
8 sin 2x
π
1
I = ∫π
dx
x
4.
2 sin 6
3

π

π

1. I = ∫π2

2. I = ∫π4

Bảng tóm tắt
TT

b
1
1
dx
I
=
dx .
hoặc
n
∫
a
sin x
cosn x
b 1
b
1
=∫
dx hoặc I = ∫
dx .
a sin x

a cosx
b
b
1
1
=∫
dx
I
=
hoặc
∫a cos4 x dx .
a sin 4 x
b
b
1
1
=∫
dx
I
=
hoặc
∫a cos6 x dx .
a sin 6 x
b
b
1
1
=∫
dx hoặc I = ∫
dx .

8
a sin x
a cos8 x
b
b
1
1
=∫
dx hoặc I = ∫
dx .
3
a sin x
a cos3 x
b
b
1
1
=∫
dx hoặc I = ∫
dx .
3
a sin x
a cos3 x
b

Dạng toán I = ∫a

1

2

n=1

I

n=4

I

n=6

I

n=8

I

n=3

I

n=5

I

Cách giải

sin m x.cosn x
dx .
a sinα x.cos β x

Cách giải: Phân tích tử số sau đó đưa về các trường hợp của dạng 3.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
π
1
I
=
1.
∫π63 sin 4 x.cosx dx . Phân tích: 1 = sin2 x + cos2 x .
Dạng 4: I = ∫

b

π

2. I = ∫π2
3. I = ∫
4. I = ∫

3
cos6 x
dx . Phân tích: cos6 x = ( 1 − sin 2 x ) rồi khai triển hằng đẳng thức.
4
sin x

4
3π
8
π
8
π

2
π
6
π
3
π
6
π
4
π
6
π
3
π
4

1
1
dx . Phân tích: 1 = sin 2 x + cos2 x hoặc sin 2 x.cos2 x = sin 2 2 x .
2
sin x.cos x
4
2

cos3 x
dx . Phân tích: cos3 x = ( 1 − sin 2 x ) .cosx .
sinx

5. I = ∫

1
dx . Phân tích: 1 = sin 2 x + cos2 x .
sin x.cosx

6. I = ∫

1
dx . Phân tích: 1 = sin 2 x + cos2 x .
sin x.cos4 x

7. I = ∫

cos2x
dx . Phân tích: cos2x = cos2 x − sin 2 x .
sin 2 x.cos2 x

3

2

b

b

a

a

Dạng 5: Tính tích phân dạng I = ∫ tan n xdx hoặc I = ∫ cot n xdx .
10

Ta xét các trường hợp sau đây:
b

b

a

a

TH1: n=1. I = ∫ tan xdx hoặc I = ∫ cot xdx . Cách giải: Đổi biến số.
b

b

TH2: n=2. I = ∫ tan 2 xdx hoặc I = ∫ cot 2 xdx . Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.
a

b

a

b

TH3: n=3. I = ∫ tan xdx hoặc I = ∫ cot 3 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
3

a

a

b

b

TH4: n=4. I = ∫ tan 4 xdx hoặc I = ∫ cot 4 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

b

a

b

TH5: n=5. I = ∫ tan xdx hoặc I = ∫ cot 5 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
5

a

a

b

b

a

a

TH6: n=6. I = ∫ tan 6 xdx hoặc I = ∫ cot 6 xdx . Cách giải: Đổi biến số.

Các công thức thường áp dụng.
sinx
o t anx=
.
cosx
cosx
o cot x =
.
sinx
1
o 1 + t an 2 x=
.
cos2 x
1
o 1 + cot 2 x =
.
sin 2 x
Các cách biến đổi.
s inx
o tan x =
+0.
cosx
1
o tan 2 x = 1 + tan 2 x − 1 =
−1.
cos2 x
o
o

o
o

1
− t anx .
cos2 x
1
tan 4 x = tan 4 x + tan 2 x − t an 2 x=tan 2 x ( 1+tan 2 x ) − t an 2 x=tan 2 x.
− t an 2 x .
2
cos x
1
tan 5 x = tan 5 x + tan3 x − t an 3x=tan3 x ( 1+tan 2 x ) − t an 3x=tan 3x.
− t an 3x .
cos2 x
1
tan 6 x = tan 6 x + tan 4 x − t an 4 x=tan 4 x ( 1+tan 2 x ) − t an 4 x=tan 4 x.
− t an 4 x .
2
cos x
tan3 x = tan3 x + tan x − t anx=tanx ( 1+tan 2 x ) − t anx=tanx.

b

b

TH1: n=1. I = ∫ tan xdx hoặc I = ∫ cot xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

a

b

b

Ta phân tích I = ∫a tan xdx = ∫a

s inx
dx . Đặt t=cosx.
cosx

Bài 20: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 4 t anxdx

2. I = ∫ 6 tan 2 xdx

3. I = ∫ cot xdx

4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

0
π
4
π
6

b

b

a

a

TH2: n=2. I = ∫ tan 2 xdx hoặc I = ∫ cot 2 xdx . Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.
Ta phân tích tan và cot bằng cách công thêm 1 và bớt 1.

11


b
1
− ∫ 1dx .
2
a
cos x
b
b
b
b

b
b
1
2
2
2
−
1dx
• I = ∫a cot xdx = ∫a ( 1 + cot x − 1) dx = ∫a ( 1 + cot x ) dx − ∫a 1dx = ∫a
sin 2 x ∫a
Bài 21: Tính các tích phân sau:

I = ∫ tan 2 xdx = ∫ ( 1 + tan 2 x − 1) dx = ∫ ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ 1dx = ∫

•

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

π

π

1. I = ∫ 4 t an 2 xdx

2. I = ∫ 6 tan 2 2 xdx

2
3. I = ∫ cot xdx

2
4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

b

0
π

4
π
6

b

TH3: n=3. I = ∫ tan 3 xdx hoặc I = ∫ cot 3 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

a

b

Ta phân tích I = ∫ tan xdx bằng cách công thêm tanx và bớt tanx rồi đặt thừa số chung.
3

a

I = ∫ tan 3 xdx = ∫ ( tan 3 x + t anx − t anx ) dx = ∫ t anx. ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t anxdx = ∫ t anx.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ t anx dx
2
cos x a

b

Ta phân tích I = ∫ cot 3 xdx bằng cách công thêm cotx và bớt cotx rồi đặt thừa số chung.
a

I = ∫ cot 2 xdx = ∫ ( cot 2 x + cot x − cot x ) dx = ∫ cot x. ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot xdx = ∫ cot x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
−
cot xdx
sin 2 x ∫a

Bài 22: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 4 t an3 xdx

2. I = ∫ 6 tan3 2 xdx

3
3. I = ∫ cot xdx

3

4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

b

0
π
4
π
6

b

TH4: n=4. I = ∫ tan 4 xdx hoặc I = ∫ cot 4 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

a

b

Ta phân tích I = ∫ tan xdx bằng cách công thêm tan2x và bớt tan2x rồi đặt thừa số chung.
4

a

I = ∫ tan 4 xdx = ∫ ( tan 4 x + t an 2 x − t an 2 x ) dx = ∫ t an 2 x. ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 2 xdx = ∫ t an 2 x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
−
t an 2xdx
2
∫
a
cos x

b

Ta phân tích I = ∫ cot 4 xdx bằng cách công thêm cot2x và bớt cot2x rồi đặt thừa số chung.
a

I = ∫ cot 4 xdx = ∫ ( cot 4 x + cot 2 x − cot 2 x ) dx = ∫ cot 2 x. ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 2 xdx = ∫ cot 2 x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ cot 2 xdx
2

sin x a

Bài 23: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 4 t an 4 xdx

2. I = ∫ 6 tan 4 2 xdx

4
3. I = ∫ cot xdx

4
4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

0
π
4
π
6

12

b

b

TH5: n=5. I = ∫ tan 5 xdx hoặc I = ∫ cot 5 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

a

b

Ta phân tích I = ∫ tan xdx bằng cách công thêm tan3x và bớt tan3x rồi đặt thừa số chung.
5

a

I = ∫ tan 5 xdx = ∫ ( tan 5 x + t an 3x − t an 3x ) dx = ∫ t an 3x. ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 3xdx = ∫ t an 3x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ t an 3xdx
2
a
cos x

b

Ta phân tích I = ∫ cot 5 xdx bằng cách công thêm cot3x và bớt cot3x rồi đặt thừa số chung.
a

I = ∫ cot 5 xdx = ∫ ( cot 5 x + cot 3 x − cot 3 x ) dx = ∫ cot 3 x. ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 3 xdx = ∫ cot 3 x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ cot 3 xdx
2
sin x a

Bài 24: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 4 t an 5 xdx

2. I = ∫ 6 tan 5 2 xdx

5
3. I = ∫ cot xdx

5
4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

b

0
π
4
π
6

b

TH6: n=6. I = ∫ tan 6 xdx hoặc I = ∫ cot 6 xdx . Cách giải: Đổi biến số.
a

a

b

Ta phân tích I = ∫ tan 6 xdx bằng cách công thêm tan4x và bớt tan4x rồi đặt thừa số chung.
a

I = ∫ tan 6 xdx = ∫ ( tan 6 x + t an 4 x − t an 4 x ) dx = ∫ t an 4 x. ( 1 + tan 2 x ) dx − ∫ t an 4 xdx = ∫ t an 4x.

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ t an 4x dx
2
cos x a

b

Ta phân tích I = ∫ cot 6 xdx bằng cách công thêm cot4x và bớt cot4x rồi đặt thừa số chung.
a

I = ∫ cot 6 xdx = ∫ ( cot 5 x + cot 4 x − cot 4 x ) dx = ∫ cot 4 x. ( 1 + cot 2 x ) dx − ∫ cot 4 xdx = ∫ cot 4 x.
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

b
1
− ∫ cot 4 xdx
2
sin x a

Bài 25: Tính các tích phân sau:
π

π

1. I = ∫ 4 t an 6 xdx

2. I = ∫ 6 tan 6 2 xdx

6
3. I = ∫ cot xdx

6
4. I = ∫ cot 2 xdx

0
π
2
π
3

0
π
4
π
6

Dạng 5: Các dạng khác.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
π

1. I = ∫ 2 cos2x ( sin 4 x + cos4 x ) dx . HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy .

2

0

π

2. I = ∫ 2 ( 1 + cos3x ) sin 2 xdx . HD: Áp dụng công thức nhân đôi.
0
π
4
0

2
sin4x
dx . HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy .
4
sin x + cos x
π
cos2x
4. I = ∫ 4
dx . HD: Áp dụng công thức nhân đôi.
0 sinx + cosx + 2
π
sin2x
5. I = ∫ 2
dx . HD: Đặt t= cos2 x .
0 1 + cos 4 x
π
sin 3 x
6. I = ∫ 4

dx . HD: cos 2 x = 2 cos2 x − 1
0 1 + cos2x
π
cos3 x
2
I
=
7.
∫π6 cos2x-1 dx . HD: cos 2 x = 1 − 2sin 2 x .
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

3. I = ∫

4

13


3sinx + 4cosx
dx . HD. Phân chia tích phân và áp dụng hằng đẳng thức đưa về tp đổi biến.
0 3sin 2 x + 4cos 2 x
π
1
I
=
2.
∫π43 sin 2 x dx .
• Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin2x chuyển về tích phân đổi biến với t=cos2x.
• Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Biến đổi tử số về sin 2 x + cos2 x chia thành 2 tích phân.
• Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx.

• Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Nhân tử mẫu cho sinx. Đặt t=cosx.
π

1. I = ∫ 2

π

3. I = ∫ 3 s inx.tanxdx . HD: Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx.
0
π
3
π
6

1
dx .
cosx.sin 2 x
• Cách 1: Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx.
• Cách 2: Biến đổi tử số về sin 2 x + cos2 x chia thành 2 tích phân.
π
sin3 x
3
5. I = ∫
dx . HD: Đặt t=cosx.
0 sin 2 x + 3
4. I = ∫

14