Ý tưởng giải Phương Trình vô tỷ

Chuyên đề:

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(Dành cho học sinh THCS)
I.Tác giả:
Lê Việt Hưng – Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng – Quảng Trị
Nguyễn Trung Kiên – Trường THCS Thường Tín – Hà Nội
Nguyễn Đức Thắng – Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển – Cà Mau
I.Các phương pháp giải phương trình vô tỷ:
1. Phương pháp nâng lũy thừa:
Bài Toán 1: Giải phương trình:
x  1  x 1

Lời giải:
Điều kiện: x  1
Phương trình đã cho tương đương với:
x  1  0
x  1
x  1





 x 3
2
2
x  3
 x  1  (x  1)
x  3x  0

Vậy phương trình có tập nghiệm S={3}
Bài Toán 2: Giải phương trình:
x  2x  3  0

Lời giải:
Ta có: x  2 x  3  0  2 x  3  x


x  0

2
2 x  3  x
x  0
 2
x  2x  3  0
x  0

   x  1  x  3
 x  3

Vậy phương trình có tập nghiệm S={3}
Bài toán 2: Giải phương trình:
x  4  1 x  1 2x

Lời giải:
Ta có:

x  4  1  x  1  2x  x  4  1 2x  1 x

1  2 x  0


 1  x  0

 x  4  1  2 x  1  x  2 (1  2 x)(1  x)

1

x

2
1


x  2
 2 x  1  0

(2 x  1) 2  2 x 2  3 x  1
2 x  1  2 x 2  3 x  1




1
 1

x

1
 1
2

2
 x

 2
 x0
2 
x

0

 x2  7 x  0


  x  7

Vậy phương trình có tập nghiệm S={0}


Bài toán 4: Giải phương trình:
x  2  3 x2  4  0

x  2  0

Điều Kiện: 

2
x  4  0



 x  2 (1)

x  2  3 ( x  2)( x  2)  0

PT  x  2. 1  3 x  2   0
 x2 0


 1 3 x  2  0






x  2

 x  17
9


(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được: x = 2
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}
Bài Toán 5: Giải phương trình:
3x  8  3x  5  5x  4  5x  7

Lời giải:
Điều kiện: x 

7
5

Phương trình đã cho tương đương với:
3x  8  5x  7 

5x  4  3x  5

Bình phương 2 vế ta được phương trình:
8x  1  2 15x 2  19x  56  8x  1  2 15x 2  13x  20

 15x 2  19x  56  15x 2  13x  20
 15x 2  19x  56  15x 2  13x  20
 6x  36
x 6

Vậy phương trình có tập nghiệm S={6}
Bài Toán 6: Giải phương trình:
3x  x

3x


Lời giải:
Điều kiện : 0  x  3
Phương trình đã cho tương đương với:
3

3

1 
10
10  1

x  3x  x  3  0   x 


x


3 3 3
3

3

2

3

Vậy phương trình có tập nghiệm S={

10  1
}
3

Bài Toán 7:Giải phương trình:
2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 

2

Lời giải:
Dùng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về:



3

x  2  3x
3



3

0

 3 x  2  3 3x
 x  2  3x
 x 1
Vậy phương trình có tập nghiệm S={1}
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Bài Toán 1: Giải phương trình:
x3 

1  x 
2

3



 x 2 1  x2



Lời giải:
Hướng dẫn: Nhận thấy phương trình có 2 ẩn x và

1 x  nên ta đặt
2

x  a  0 và 1  x2  b  0 và đưa chúng về hệ phương trình 1 cách gọn nhất.
Ta có lời giải đầy đủ như sau:
Đặt: x  a  0 và

3
3

a  b  2ab
1  x  b  0 .Ta có hệ:  2 2

a  b  1

2



 S 1  P   2 P

Đặt: a  b  S và ab  P  0 . Ta có hệ: 

2

S  2P  1


 2
2P2
2P
S

S 

2

1 P  
1  P 
S 2  2P  1  2

S  2P  1


2P2

1  P 

S

2

 2 P  1   2 P  1  P 2  2 P  1  0  P  1  2 (vì P  0 )

2P
 1 2
1 P

Vậy, a và b là hai nghiệm của phương trình





X 2  1 2 X 1 2  0

Đến đây bạn đọc tự giải tiếp
Bài toán 2: Giải phương trình:
10x 2  3x+1=(1+6x) x 2  3

Lời giải:
2
Đặt: u  1  6x ;v= x  3

Phương trình đã cho tương đương với:

1 2 2 9
u  v   uv
4
4
2
 u  4uv  4v 2  9

 (u  2v) 2  9
 u  2v  3
Với u  2v  3 thì:


1  6x  2 x 2  3  3
1
 3x  1  x 2  3 ( x  )
3
 x  1(TM )

Với u  2v  3 thì:
1  6 x  2 x 2  3  3
 3x+2= x 2  3 ( x 
x

7 3
(TM )
4
7 3
}
4

Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;
Bài Toán 3: Giải phương trình:



2
)

3



x2  3  x2  2 x  1  2 x2  2

Lời giải:
t  x 2  2 , phương trình đã cho tương đương với:

t 2   2  x  t  3  3x  0
  t  3 t  x  1  0
t  3

t  x  1
x2  2  3  x2  2  9  x   7

Với t  3 ta có:

Với t  x 1 ta có:





x 2  2  x  1 x  0  x 2  2  x 2  2x  1  2x  1  x 

Vậy phương trình có tập nghiệm S={  7 }
3.Phương pháp nhân lượng liên hợp:

1

(Loại)
2


Bài Toán 1: Giải phương trình:
x 2  3x  1  2x  1  0

Lời giải:
Điều kiện: x 

3
2

Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x  1  x  1  0 từ đó dẫn
đến ý tưởng ghép cặp sao cho xuất hiện nhân tử x – 1.

2x  1    0 (1)

Ta cần tìm hệ số  sao cho

Thay x  1 vào (1) ta có:   1

 Ta có lời giải đầy đủ như sau:

x

2

 

 3x  2 







 x 1 x 2 



























 x 1 x 2 
 x 1
 x 1
 x 1

 x 1

 x 1



2x  1  1  0





2x  1  1  0









2 x 1

0
2x  1  1


2
x  2 
0
2x  1  1 




2
 1  0
x  1  

 2x  1  1
 

1  2x  1 
x

1



0

2x  1  1 


2 x 1


x

1

0

2 

2x  1  1 


2 

1
1 
0
2
x

1


x








 x 1  0
x  1
x  1



1
1 
0
 2x 1  x  1  x  2  2

2x 1  x
Vậy phương trình có tập nghiệm S={ 1; 2  2 }
Cách 2: Ngoài ra ta còn có thể làm ngắn gọn hơn như sau:
Để xuất hiện nhân tử x  1 ta cần tìm hệ số  sao cho

2x  1   x  0

Thay x  1 vào (2) ta có:   1
Ta có lời giải đầy đủ như sau:

x

2

 

 2x  1 













2

 x 1 
2

 x 1 





2x  1  x  0



2x  1  x  0

 x  1

2

0

2x  1  x
2 

1
 x  1 1 
0
2
x

1

x



Bài Toán 2: Giải phương trình:

3x  1  5x  4  3x 2  x  3
Lời giải:
Điều kiện: x  

1
3

Hướng dẫn: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x  0 và x  1 từ đó





dẫn đến ý tưởng ghép cặp sao cho xuất hiện nhân tử x x  1 .
Vì vậy ta cần tìm hệ số a,b thỏa mãn
Thay x  0 vào (1) ta có: b  1

3x  1  ax  b  0 (1)


Thay x  1 vào (1) ta có: a  b  2  a  1


Cần thêm bớt

3x  1 với biểu thức x  1
5x  4 với biểu thức x  2

Tương tự ta thêm bớt

 Ta có lời giải đầy đủ như sau:
3x  1  5x  4  3x 2  x  3










  3x  1  x  1    5x  4  x  2   3x 2  3x  0

 

x 1x
x 1x


 3x 1  x  0
3x  1  x  1
5x  4  x  2


1
1
 x 1x 

 3  0

 3x  1  x  1

5x  4  x  2

































x  0

x  1
Vậy phương trình có tập nghiệm S={0;1}
Bài Toán 3: Giải phương trình:
x 3x  2  ( x  1) 5x  1  8x  3

Lời giải:
Điều kiện: x 

2
3

Hướng dẫn:
Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x  1 và x  2 từ đó dẫn đến ý







tưởng ghép cặp sao cho xuất hiện nhân tử x  1 x  2 hay x 2  3x  2

x





3x  2  x   x  1





5x  1  x  1  2x 2  6x  4  0

 x 2  3x+2 
  x 2  3x  2 
2
 x 
   x  1 
  2  x  3x  2   0
 3x  2  x 
 5x  1  x  1 
x
x 1


 ( x 2  3x  2)  2 

0

3x  2  x
5x  1  x  1 

Nhận thấy:
x
x
 1
3x  2  x x
x 1
x 1

1
5x  1  x  1 x  1
Vì đẳng thức không xảy ra nên:
x
x 1

2
3x  2  x
5x  1  x  1
x
x 1
 2

0
3x  2  x
5x  1  x  1
Ta có:







x 2  3x  2  0  x  2 x  1  0

 

 x  1, 2

Bài Toán 4: Giải phương trình:
4 x  2  22  3x  x 2  8

x  2  0
22
 2  x 
Điều kiện xác định: 
3
22  3x  0
Ta biến đổi tương đương:


4 x  2  22  3 x  x 2  8




 



4
1
3 x  2  x  4  3 22  3 x  x  14  x 2  x  2
3
3







4 x2  x  2



3 3 x2 x4



 3 3

x2  x  2
22  3 x  x  14



 x2  x  2


4
1
 x  x  2 1 

 3 3 x  2  x  4 3 3 22  3 x  x  14






2



 




0



 x2  x  2  0

4
1


1

0
 3 3 x  2  x  4 3 3 22  3 x  x  14




Để ý rằng 1 

 





4

3 3 x2  x4



 3 3

1
22  3 x  x  14



 0  2  x 

22
3

Vậy nghiệm của phương trình là nghiệm của x 2  x  2  0 hay S  2; 1
4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
Bài toán 1: Giải phương trình:

3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2
Lời giải:
Ta nhận thấy rằng:





2





2

  3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  3 x  1  4  5 x  1  9  4  9  5

(1)



2
Và 4  2x  x  5  x  1

Từ (1) và (2) suy ra:



2

 5 (2)

3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2  5
 x  1

Bài Toán 2: Giải phương trình:

4x 4  x2  3x  4  3 3 16x3  12x
Lời giải:


Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số dương ta có:
3 3 16x 3  12x  3 3 2.2.(4x 3  3x)  2  2  4x 3  3x=4x 3  3x+4

 4x 4  x 2  3x  4  4x 3  3x  4
 4x 4  4x 3  x 2  0

 (2x 2  x)2  0
x 

1
2

1
Vậy phương trình có tập nghiệm S={ }
2

Bài Toán 3: Giải phương trình:
2x  1  17  2x  x 4  8x 3  17x 2  8x  22
Lời giải:
1
17
x
2
2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:

Điều kiện:

2x  1  17  2x 

2 (2 x  1).9 2 (17  2 x).9 2x  1  9  17  2x  9 36



6
6
6
6
6

(1)
Mặt khác ta lại có:

x 4  8x 3  17x 2  8x  22  ( x2  4x)2  ( x  4) 2  6  6 (2)
Từ (1) và (2) ta có: VT  VP  6  x  4
Vậy phương trình có tập nghiệm S={4}
Bài Toán 4:Giải phương trình:
2x  5  2 7  x  3x2  8 3x  19 3

Lời giải:

5
x7
2
Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Cốp xki ta có:
Điều kiện:




2x  5  2 7  x

 
2



2x  5  2 14  2 x



2

 3  2x  5  14  2x   27

 3x 2  8 3x  19 3  3 3
 3( x  4)2  0
 x  4(TM )
Vậy phương trình có tập nghiệm S={3}

Hẹn các bạn ở phần tiếp theo…