Chuyên đề tích vô hướng hai vecto

BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800
1. Định nghĩa
Lấy M trên nữa đường tròn tâm O Xét góc nhọn  =
sin = y (tung độ )
cos = x (hoành độ )
 tungñoä 


nhñoä
 hoaø
x  hoaø
nhñoä
cot = 

y  tungñoä 

tan =

y
x

xOM

. Giả sử M(x; y).
y

(x  0)

y
-1

O

M
x1

x

(y  0)

Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
– tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800.
2. Tính chất
 Góc phụ nhau
 Góc bù nhau
sin(900   )  cos
cos(900   )  sin
tan(900   )  cot 
cot(900   )  tan

sin(1800   )  sin
cos(1800   )   cos
tan(1800   )   tan
cot(1800   )   cot 

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00

300

450

600

900

1800

sin

0

1
2

2
2

cos

1

3
2

2
2

3
2
1
2

1

0

0

–1

tan

0

3
3

1

3



0

cot



3

1

3
3

0



4. Các hệ thức cơ bản
sin
(cos  0)
cos
cos
cot  
(sin  0)
sin
tan .cot   1 (sin .cos  0)
tan 

sin2   cos2   1
1
1  tan2  

(cos  0)
cos2 
1
1  cot 2  
(sin  0)
sin2 

Chú ý: 0  sin  1;  1  cos  1
Bài 1:
Tính giá trị các biểu thức sau:
-1-


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

a) a sin 00  b cos00  c sin900
b) a cos900  b sin900  c sin1800
c) a2 sin900  b2 cos900  c2 cos1800
d) 3  sin2 900  2cos2 600  3tan2 450
e) 4a2 sin2 450  3(a tan450 )2  (2a cos450 )2
Bài 2:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x  cos x khi x bằng 00; 450; 600.
b) 2sin x  cos2x khi x bằng 450; 300.

Bài 3:
lại:

Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn
1
4

a) sin   ,  nhọn.

b) cos  

1
3

c) tan x  2 2

6 2
. Tinh cos150 , tan150 , cot150 .
4

Bài 4:

Biết sin150 

Bài 5:

Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
1
3

tan x  3cot x  1
.
tan x  cot x

sin  cos

a) sin x  , 900  x  1800 . Tính A 
b) tan  2 . Tính B 

sin3   3cos3   2sin

Bài 6:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin x  cos x)2  1  2sin x.cos x
b) sin4 x  cos4 x  1  2sin2 x.cos2 x
c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
d) sin6 x  cos6 x  1 3sin2 x.cos2 x
e) sin x.cos x(1  tan x)(1  cot x)  1 2sin x.cos x
f)
Bài 7:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) cos y  sin y.tan y
d)

1  cos2 x
1  sin2 x

b) 1  cosb. 1  cosb

 tan x.cot x

e)

c) sin a 1 tan2 a

1  4sin2 x.cos2 x
(sin x  cos x)2

f) sin(900  x)  cos(1800  x)  sin2 x(1 tan2 x)  tan2 x
g) cos10 + cos20 + ............+ cos170 + cos180
Bài 8:
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890
b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Góc giữa hai vectơ
   
  
Cho a, b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a,OB  b .
 
Khi đó  a, b   AOB với 00  AOB  1800.
Chú ý: 

 
+  a, b  = 900  a  b
-2-


b


a
 A
a

O

b

B


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10
 
 
+  a, b  = 00  a, b cùng hướng
 
 
+  a, b  = 1800  a, b ngược hướng
 
 

MINH HIẾU

+  a, b    b, a 
2. Tích vô hướng của hai vectơ


 Định nghĩa: a.b  a . b .cos a , b  .




2

Đặc biệt:
a.a  a2  a .

 Tính chất: Với a , b, c bất kì và kR, ta có:
  
 
 
+ a.b  b.a ; a  b  c   a.b  a.c ;




 ka  .b  k  a.b   a. kb  ; a 2  0; a 2  0  a  0 .
+
+
















   
a2  b2   a  b  a  b  .

 a  b 2  a 2  2a.b  b2 ;  a  b 2  a 2  2a.b  b2 ;
 

a.b > 0   a, b  nhọn
 

a.b = 0   a, b  vuông
 

a.b < 0   a, b  tù

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng


 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a.b  a1b1  a2b2 .

 a  a12  a22 ;

 

cos(a, b) 

a1b1  a2b2
a12  a22 . b12  b22

;

 
a  b  a1b1  a2b2  0

 Cho A( xA; yA ), B( xB ; yB ) . Khi đó: AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2 .

Bài 1:   Cho tam giác ABC
vuông
tại A, AB = a, BC
=2a. Tính các tích vô hướng:
 

 
a) AB.AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Bài 2:   Cho tam giác ABC
đều
các
 
 cạnh bằng a. Tính
 tích
 vô hướng:
a) AB.AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Bài 3:
Cho bốn
D bất
điểm
 A,

 B,
C,
 kì.
a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC.AB  0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài 4:
Cho tam
ba
trung
tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
giác
 ABC
 với
 
 

BC.AD  CA.BE  AB.CF  0 .
Bài 5:
Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao
điểm của hai đường 
thẳng
 AM
và
 BN.
   
a) Chứng minh: AM .AI  AB.AI , BN.BI  BA.BI .
   
b) Tính AM .AI  BN.BI theo R.
Bài 6:
Cho


 tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB
AC
.
 , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CACB
. .
 
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Bài 7:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
-3-


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10
   
 

 

 

MINH HIẾU

a) AB.AC
b) ( AB  AD )(BD  BC)
c) ( AC  AB)(2AD  AB)
 

     
d) AB.BD
e) ( AB  AC  AD )( DA  DB  DC)
HD: a) a2
b) a2
c) 2a2
d) a2
e) 0
Bài 8:
Cho

 tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA.
 
b) Gọi G là trọng tâm của ABC.
Tính
   AG
.BC
. 
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA .
 

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra
AD.
 

3
2

HD: a) AB.AC   , cos A  

1
4

 

b) AG.BC 


d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB 

5
3

c) S  

29
6

 3  2 
54
AB 
.DC  AD  AB  AC , AD 
5
AC
5
5

Bài 9:
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.

a) Tính BC, AM.
   

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA  IB  0, JB  2JC .
HD: a) BC = 19 , AM =

7
2

b) IJ =

2
133
3

Bài 10:
Cho tứ giác ABCD.
 
a) Chứng minh AB2  BC2  CD 2  DA2  2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB2  CD 2  BC2  DA2 .
Bài 11:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
 

MH .MA 

1
BC2 .
4

Bài 12:
Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
   
2
a) MA  MC2  MB2  MD 2
b) MA.MC  MB.MD
   
c) MA2  MB.MD  2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Bài 13:
Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng
tam giác
 ABC.

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 14:
Cho

 tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên 
Ox đểAOKB

 là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0
-4-


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
Bài 15:
Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
   
 
a) MA2  2MA.MB
b) ( MA  MB)(2MB  MC)  0
   
   
c) ( MA  MB)( MB  MC)  0
d) 2MA2  MA.MB  MA.MC
Bài 16:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
   
   
a) MA.MC  MB.MD  a2
b) MA.MB  MC.MD  5a2
    
c) MA2  MB2  MC2  3MD 2
d) ( MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2

Bài 17:
Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp
   

1
2

điểm M sao cho: MA.MB  MC.MD  IJ 2 .
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC=3a, đáy nhỏ

Bài 18:
AD=2a.

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a2  b2  c2  2bc.cos A ;
b2  c2  a2  2ca.cosB ;
c2  a2  b2  2ab.cosC
2. Định lí sin
a
b
c



 2R
sin A sin B sin C

3. Độ dài trung tuyến
ma2

2(b2  c2 )  a2
;

4

mb2

2(a2  c2 )  b2
;

4

4. Diện tích tam giác
1
1
1
aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A  ca sin B  ab sin C

2
2
2
abc
=
4R
= pr

S=

-5-

mc2

2(a2  b2 )  c2

4


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

= p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
A
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 BC2  AB2  AC2 (định lí Pi–ta–go)
 AB2  BC.BH ,

AC2  BC.CH
B H
C

 AH 2  BH .CH ,

1
AH

2



1
2

AB



1
AC2

 AH .BC  AB.AC
 b  a.sin B  a.cosC  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cosB  b tan C  b cot C
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
 Từ M vẽ hai cát tuyến
MAB, MCD.
   

PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2
 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) = MT 2  MO2  R2

T
B
A

R
O

M
C

D

Bài 1:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a  b.cosC  c.cosB
b) sin A  sin B cosC  sin C cosB
3
4

d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c2 )

c) ha  2Rsin B sin C
e) S ABC 
Bài 2:

  2

1
AB2 .AC2   AB.AC 
2

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu b + c = 2a thì

2
1 1
 
ha hb hc

b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C  sin2 A, hbhc  ha2

c) A vuông  mb2  mc2  5ma2
Bài 3:
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
1
2

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S  AC.BD.sin .
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Bài 4:
Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a) Chứng minh AH  a.sin B.cosB, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B .
b) Từ đó suy ra AB2  BC.BH , AH 2  BH .HC .
Bài 5:
Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH   .
a) Tính các cạnh của OAK theo a và .

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và .
c) Từ đó tính sin2 , cos2 , tan2 theo sin , cos , tan .
Bài 6:
Giải tam giác ABC, biết:
a) c  14; A  600; B  400
b) b  4,5; A  300; C  750
c) c  35; A  400; C  1200
d) a  137,5; B  830; C  570
-6-


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

Bài 7:
Giải tam giác ABC, biết:
a) a  6,3; b  6,3; C  540
b) b  32; c  45; A  870
c) a  7; b  23; C  1300
d) b  14; c  10; A  1450
Bài 8:
Giải tam giác ABC, biết:
a) a  14; b  18; c  20
b) a  6; b  7,3; c  4,8
c) a  4; b  5; c  7

d) a  2 3; b  2 2; c  6  2
$ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II $

Bài 1:
a)

Chứng minh các đẳng thức sau:
sin x
1  cos x
2


1  cos x
sin x
sin x

b)

sin3 x  cos3 x
 1  sin x.cos x
sin x  cos x

2

 tan2 x  1 
cos2 x  sin2 x
1
 1  tan2 x
c) 
d) 4
 1
 
2

2
4
2
 2tan x  4sin x.cos x
sin x  cos x  sin x
2
2
sin x
cos x
e)

 sin x  cos x
cos x(1  tan x) sin x(1  cot x)

cos x  
sin x 
1
f)  tan x 
 .  cot x 

1  sin x  
1  cos x  sin x.cos x


g) cos2 x(cos2 x  2sin2 x  sin2 x tan2 x)  1
Bài 2:

Biết sin180 

5 1

. Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080,
4

tan720.
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x
b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x

Bài 4:
Cho các vectơ a, b .
 
   
 
  
a) Tính góc  a, b  , biết a, b  0 và hai vectơ u  a  2b, v  5a  4b vuông góc.


 
 
b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 .
 
 
   
 
c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b)  (7a  5b), (a  4b)  (7a  2b) .


 
 

 
d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b)  1200 .
 
 
 
 
 
e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b)  (a  3b) .
Bài 5:
Cho

 tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính AB.AC và cosA.


2  
3

3 
4

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM  AB, AN  AC . Tính MN.
0
Bài 6:
Cho
bình

 hình
 
 hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD  60 .

a) Tính AB.AD, BA.BC .
 
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos AC, BD  .
Bài 7:
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác
vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI  DE.
Bài 8:
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là
trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

-7-


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

Chứng minh HK  IJ.
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên


3 
4

đường chéo AC lấy điểm N sao cho AN  AC .
a) Chứng minh
góc
DN
vuông

 
 với MN.
b) Tính tổng DN.NC  MN.CB .
Bài 10: Cho
hợp
các điểm
tam
 giác ABC. Tìm tập 
 
 M sao cho:
a) AB
b) AB
 AC.AM  0
 AC.AM  0
.AM
 
.AM
   
c) ( MA  MB)( MA  MC)  0
d) ( MA  MB  2MC)( MA  2MB  MC)  0
Bài 11:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
2
2
a) b  c  a(b.cosC  c.cosB)
b) (b2  c2 ) cos A  a(c.cosC  b.cos B)
b) sin A  sin B.cosC  sin C.cosB  sin( B  C)
Bài 12:
Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc thì A  600 .

b3  c3  a3
b) Nếu
 a2 thì A  600 .
b c a

c) Nếu cos( A  C)  3cos B  1 thì B  600 .
d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) thì A  600 .
Bài 13:
Cho ABC. Chứng minh rằng:
b2  a2
 b cos A  a cos B thì ABC cân đỉnh C.
2c
sin B
b) Nếu
 2cos A thì ABC cân đỉnh B.
sin C
c) Nếu a  2b.cosC thì ABC cân đỉnh A.
b
c
a


d) Nếu
thì ABC vuông tại A.
cosB cosC sin B.sin C

a) Nếu

e) Nếu S  2R2 sin B.sin C thì ABC vuông tại A.
Bài 14:

Cho ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN
vuông góc với nhau là: b2  c2  5a2 .
Bài 15:
Cho ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho
BM = 2, BK = 2. Tính MK.
5
9

b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC  DAC , DA = 6, BD 
chu vi tam giác ABC.
HD:

a) MK =

8 30
15

b) AC = 5, BC =

25
, AB = 10
3

Bài 16:
Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x2  x  1; 2x  1; x2  1 .
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 1200 .
Bài 17:
Cho ABC có B  900 , AQ và CP là các đường cao, S ABC  9SBPQ .

-8-

16
. Tính
3


BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10

MINH HIẾU

a) Tính cosB.
b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
HD:

a) cosB 

1
3

b) R 

9
2

Bài 18:
Cho ABC.
a) Có B  600 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp ACI.
b) Có A  900 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn

ngoại tiếp BCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp BCM.
HD:

a) R = 2

b) R 

5 13
6

c) R 

8 23
3 30

Bài 19:
Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một
đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B
nằm giữa A và N). Đặt AO1C   , AO2D   .
a) Tính AC theo R và ; AD theo r và .
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD.
HD:





2

2

a) AC = 2Rsin , AD = 2r sin

b) Rr .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a,
CAB   , CAD   .
a) Tính AC.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , .

Bài 20:

HD:

a
a) AC =
sin(   )

a2 cos(    )
b) S 
.
2sin(   )

Bài 21:
Cho ABC cân đỉnh A, A   , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho
BC = 3BD.
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính

1
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
2

m
11
a) BC = 2msin , AD =
b) cos   .
5  4cos
2
3
16

cos để bán kính của chúng bằng
HD:

_____________Hết___________
* Learning is the eye of the mind *

-9-