tich vo huong 2 vecto

TRƯỜNG THPT XUÂN DIỆU
I.Góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0
Từ một điểm O nào đó,
ta vẽ các vectơ
OA = a và OB = b.
Khi đó góc AOB
Được gọi là góc
Giữa hai vectơ a và b
Kí hiệu ( a , b )
O
A
B
b
a
Nếu có ít nhất một trong hai vectơ
là vectơ 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ đó
là tuỳ ý (0 –>180 )
Nếu (a , b) = 90 thì ta nói rằng
Hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Kí hiệu a b
o o
o
b
a
Ví dụ 1:
Dựa vào hình bên tính
các góc:
(BA , BC) ; (AB , BC)
(AC , BC)
A

50
o
C
B
A
50
o
II.Định nghĩa tích vô hướng của
hai vectơ
O
O
’
ϕ
F
O’
A = F . OO’ cos
ϕ
Giá tr A g i là tích vô h ng c a ị ọ ướ ủ
hai vect F và OO’ơ
M t l c F không đ i tác d ng lên m t ộ ự ổ ụ ộ
v t làm cho v t di chuy n t đi m O ậ ậ ể ừ ể
đ n O’.Khi đó l c F sinh ra m t công A ế ự ộ
theo công th c.ứ
Từ đó ta rút ra công thức:
tích vô hướng của hai vectơ a và b là một
số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công
thức
a.b = a . b cos(a , b) (1)
a
b

50
o
Tìm tích vô hướng của hai
vectơ a và b
Biết a = 5 ; b = 3
Đs: 9,64
Với vectơ a tuỳ ý, tích vô hướng a.a kí
hiệu là a và được gọi là bình phương vô
hướng của vectơ a.
Từ công thức (1) ta có:
“Bình phương vô hướng của một vectơ
bằng bình phương độ dài của vectơ đó.”
2
a = a . a cos 0 = a
o
Hermann Grassmann
2
2
III.Tích chất của tích
vô hướng
Với 3 vectơ a,b,c tuỳ ý và mọi số thực k
1) a . b = b . a
2) a . b = 0 <=> a b
3) (k.a) . b = a.(k.b) = k.(a . b)
4) a.(b + c)=a . b + a . c
a.(b – c) = a . b – a . c

Ví dụ 2:
Cho 2 vectơ OA, OB.Gọi B’ là hình chiếu
của B trên đường thẳng OA.

CMR: OA . OB = OA . OB’
“Với vectơ OB’ gọi là hình chiếu của
vectơ OB trên đường thẳng OA.
Ta có công thức:
OA . OB = OA . OB’
Đây được gọi là
công thức hình chiếu.”

O
A
B
B’
Ví d 3:ụ
a)
Cho đo n th ng AB , O là trung ạ ẳ
đi m , ch ng minh r ng v i m i M ể ứ ằ ớ ọ
b t kì ta có: ấ
MA . MB = MO – OA = MO - OB
2
A
B
O
M
2 2 2
b)
Cho (O;R), M c đ nh,m t đ ng th ng ố ị ộ ườ ẳ
Thay đ i luôn qua M, c t đ ng tròn ổ ắ ườ
t i hai đi m A và B.CMR:ạ ể
MA . MB = MO - R
2 2

A
B
O
M
C
*G i d = MO, giá tr không đ i:ọ ị ổ
MA . MB = d - R
Đ c g i là ượ ọ
ph ng tíchươ
c a đi m M ủ ể
đ i v i đ ng tròn (O), kí hi u ố ớ ườ ệ P
P = MA . MB = d – R (d=MO)
*Khi M n m ngoài đ ng tròn,ằ ườ
Ti p tuy n MT thì:ế ế
P = MT = MT
2 2
M/(O)
M/(O)
2 2
M/(O)
2
2
IV.Bi u th c t a đ c a ể ứ ọ ộ ủ
tích vô h ngướ
Các h th c quan tr ngệ ứ ọ
Cho hai vect a = (x;y) và b = (x’;y’) :ơ
1) a . b = xx’ +yy’
2) a = x + y
3) cos(a, b) =
Đ c bi t : a b <=> xx’ + yy’ = 0ặ ệ

2
2
xx’ + yy’
x + y
x’ + y’
2 2
2 2
H qu :ệ ả
Trong m t ph ng t a đ , kho ng cáchặ ẳ ọ ộ ả
gi a hai đi m M(x ; y ) và N(x ; y ) là:ữ ể

MN = MN = (x - x ) + (y - y )
2 2
M M
M M
N N
N N