ôn tập giới han, tích phân, hàm số, hình học 11

.

TÀI LIỆU DẠY PHỤ ĐẠO
MÔN TOÁN KHỐI 11
NĂM HỌC 2016-2017


Chương 4.GIỚI HẠN
Chủ đề 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
1) Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân:
Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N * được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số) nếu: u là
ánh xạ từ N * vào R : n → u ( n ) ( ứng với mỗi n ∈ N * thì có một giá trị u ( n ) ∈ R ).
Đặt u ( n ) = un và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số ( u )n .

( u )n

là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 = un + d với n ∈ N * , d là hằng số.

( u )n

là cấp số nhân khi và chỉ khi un+1 = un .q với n ∈ N * , q là hằng số.

2) Giới hạn hữu hạn.
lim un = 0 ⇔ |un | có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

x →+∞

Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0
lim vn = a ⇔ lim (vn − a) = 0

x →+∞

x →+∞

3) Giới hạn ra vô tận.
lim un = +∞ ⇔ |un | có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

x →+∞

lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞

x →+∞

x →+∞

4) Các giới hạn đặc biệt.
1
=0
x →+∞ n

lim

lim

lim

n →+∞

x→+∞

1

=0
n

lim C = C(C = const)

n →+∞

(

lim nk = +∞ k ∈ Z +

n = +∞

n→+∞

)

Nếu |q|<1 thì lim q n = 0
n→+∞

|q|>1 thì lim q n = +∞
n→+∞

5) Định lý về giới hạn tiên tới vô cùng.
a/ Nếu lim un = a, và lim vn = ±∞ thì
x →+∞

x →+∞

lim un

x→+∞

lim vn

=0.

x→+∞

(

)

b/ Nếu lim un > a, lim vn = 0 và vn > 0 n ∈ N * thì
x →+∞

x →+∞

lim un

x→+∞

lim vn

= +∞

x→+∞

c/ Nếu lim un = +∞ , và lim vn = a > 0 thì lim ( un .vn ) = +∞
x →+∞

x →+∞

x →+∞

6) Cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân ( un ) có công bội thỏa |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + .... + un =
Trang 1

u1
1−q


BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 1: Chứng minh các giới hạn sau:
2n + 1
=2
n→+∞ n − 3

2) lim

1) lim

2n + 1

n→+∞

=0

n2 + 4n

n + sin 2 n

3) lim

n2 + 2 n

n→+∞

=0

Caâu 2: Tính các giới hạn sau:
2 n2 − n + 3

a) lim

b) lim

3n 2 + 2 n + 1

n→+∞

2n + 1

n→+∞

c) lim

n3 + 4 n 2 + 3

3n 3 + 2 n 2 + n
n3 + 4

n→+∞

Caâu 3: Tính các giới hạn sau:
2n 2 − 2 n + 8
n →+∞ − n 2 + 3 n − 7

4n + 1
n →+∞ 2n − 7

1) lim

3) lim

2) lim

n →+∞

2n3 + 5n − 1
2n 2 − n + 3

Caâu 4: Tính các giới hạn sau:
3 + 4n
n →+∞ 1 + 3.4 n

3n − 4n + 5n
n →+∞ 3n + 4 n − 5n

a) lim

2 n +1 + 3n +1
n →+∞ 2 n + 3n

b) lim

c) lim

Caâu 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim ( n 2 − 2n − 1 − n 2 − 7n + 3)

b) lim ( n 2 + n − n)

n →+∞

n →+∞

4n 2 + 1 − (2n + 1)

c) lim

d) lim

n 2 + 4n + 1 − n

n →+∞

n →+∞

(

3n − 1 − 3n + 21

)

Caâu 6: Tính các giới hạn sau:
a) lim ( 3 n 3 + 1 − n)

b) lim

n →+∞

n →+∞

(

3

n − n3 + n

3

)

c) lim

n →+∞

2 − n3 + n
n2 + 1 − n

Caâu 7: Tính các giới hạn sau:
1) lim 1 + 2 +2... + n

2) lim n 2 +2 4 + ... + 2n
n →+∞
3n + n − 2

n

n →+∞

2

2

2

1 + 2 + ... + n
n →+∞
n3 + 3n + 2

n

2 2
2
1 + +   + ... +  
3

4) lim 3  3 
2
n
n→+∞
1 1
1
1 + +   + ... +  
5 5
5

2

3) lim

Caâu 8: Tính các tổng sau:
n

( −1)
1 1
1) 1 − + 2 − ... + n + ...
3 3
3

2)

7 29
5n + 2n
+ 2 + ... +
+ ...
10 10

10n

Caâu 9: Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn sau đây dưới dạng phân số:
1) 0, 66666...

2) 0, 353535....

Trang 2

3) 1,5454...

4) 0, 241241....


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Caâu 10: Cho dãy số ( un ) với un =
A. Thứ 51 .

Caâu 11: Cho dãy ( un )
A. Thứ 498 .

Caâu 12: Cho dãy ( un )
A. Thứ 10 .

1
1
. Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì un <
?
2n
100

B. Thứ 49 .
C. Thứ 48 .
D. Thứ 50 .
1
1
với un =
. Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì un <
?
2n + 1
1000
B. Thứ 499 .
C. Thứ 500 .
D. Thứ 501 .
1
1
với un = n . Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì un < 10 ?
2
2

B. Thứ 12 .

C. Thứ 11 .

Caâu 13: Cho dãy ( un ) với un = 2n . Để 2 n <

1
+1.
210

D. Thứ

1
thì phải kể từ số hạng thứ mấy trờ đi?
210

A. Không có số hạng nào thỏa mãn.

1
.
2 +1

B. Thứ

10

1
D. Thứ 210 + 1 .
+1.
10
2
Caâu 14: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

C. Thứ

n

4
B. lim   = 0 .
3

A. lim10 − n ≠ 0 .
n

n

n

3
2
C. lim   = lim   = 0 .
4
3

3
D. lim   = 0 .
2
1+ n
Caâu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
bằng:
n

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

Caâu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
A. 1 .

B. 0 .

D. +∞ .

1+ n
bằng:
n

C. 2 .

D. +∞ .
n

Caâu 17: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
A. 0 .

B.

5
.
4

B. −∞ .

3 +2
bằng:
4n

C. +∞ .

Caâu 18: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
A. 1 .

n

D.

3
.
4

− n 2 + 2n − 3
bằng:
n2

C. −1 .

D. 0 .

1
n + 2n
Caâu 19: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim 3
bằng:
3n
1
.
9
C. −∞ .

A. −

2
.
3
D. Một kết quả khác.

B.

Trang 3


Caâu 20: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
A. −3 .

B.

1
.
4

C. −

1 − 3n 2
bằng:
4 − n2

1
.
4

D. 3 .

Caâu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim ( n − n + 1 ) bằng:
A. Không có giới hạn khi n → +∞ .
C. 0 .

B. −1 .
D. Một kết quả khác.

Caâu 22: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. lim

3n 2 − n
= 1.
1 + n2

B. lim

3n 2 − n
= −1 .
1 + n2

C. lim

3n 2 − n
= 3.
1 + n2

D. Không có giới hạn khi n → +∞ .

Caâu 23: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
sin

A. lim

n
sin

C. lim

n

π
n không có giới hạn khi n → +∞ . B. lim

sin
n

π
n = 1.

π
n = 0.

D. Cả ba kết quả trên đều sai.

Caâu 24: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
1 1
A. lim  n − n

3 4

 1
= .
 12

 3  n n 
C. lim   + 3  = 0 .
 7 


 7  n
1
B. lim   + sin  = +∞ .
n 
 3 
D. Cả ba kết quả trên đều sai.

Caâu 25: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. lim

1 + 4n 2
= −1 .
1 − 2n

B. lim

1 + 4n 2
= 1.
1 − 2n

C. lim

1 + 4n 2
= −2 .
1 − 2n

D. lim

1 + 4n 2
= 2.
1 − 2n

Caâu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. lim

3n − 7
= +∞ .
n

2n 2
C. lim
= 2.
n +1

B. lim
D. lim

2
= 2.

n

n−7
2
=
.
2n
2

Caâu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
2π
= 0.
n
2π
C. limcos
= −1 .
n

A. limcos

2π
= 1.
n
2π
D. limcos
không có giới hạn khi n → +∞ .
n

B. limcos

Trang 4


Caâu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
2π
A. lim n 2 cos
= +∞ .
n
2π
cos
1
C. lim 2 n = .
n +2 2

cos

B. lim

n

2π
n = +∞ .
2

D. Cả ba kết quả trên đều sai.

Caâu 29: Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây lim

7 − 2n
bằng:

4n + 5

1
.
B. −∞ .
2
C. Không có giới hạn khi n → +∞ .
D. 0 .
Caâu 30: Kết quả nào sau đây là đúng?
A.

u
.
1− q
4
4
B. Cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) có u1 = 4; q = thì S =
= −12 .
4
3
1−
3
4
C. Cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn có u1 = 15; S = 60 thì công bội q = .
3
5
−4
D. Cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn có u1 = −4; q = − thì có tổng mọi số hạng là S =
= −169 .
5

4
1+
4
Caâu 31: Cho cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn có u1 = 50; S = 100 . Năm số hạng đầu của cấp số này là kết
A. Cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) có công bội q thì tổng S =

quả nào sau đây?

A. 50; 25;12, 5; 6,5;3, 25 .
C. 50; 25;12, 5; 6, 25;3,125 .

B. 50; 25,5;12,5; 6, 25;3,125 .
A. 50; 25;12, 25; 6,125;3, 0625 .

Caâu 32: Cho cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn, có u1 = −1; q = x với x < 1 . Tìm tổng S và 3 số hạng đầu
cảu cấp số này. Chọn kết quả đúng:
−1
−1
và −1; x; − x 2 .
B. S =
và −1; x; x 2 .
1+ x
1− x
−1
1
C. S =
và −1; − x; − x 2 .
D. S =
và −1; x; − x 2 .
1− x

1+ x
Caâu 33: Cho cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn, có u1 = − x; q = x 2 với x < 1 . Tìm tổng S và 3 số hạng

A. S =

đầu cảu cấp số này. Chọn kết quả đúng:
−x
; − x; x3 ; − x5 .
2
1− x
−x
C. S =
; − x; − x3 ; − x5 .
2
1+ x
Caâu 34: Kết quả nào sau đây là đúng?

−x
; − x; − x3 ; − x 4 .
2
1− x
−x
D. S =
; − x; − x3 ; − x5 .
2
1− x

A. S =

A. lim

B. S =

5n + 1
= −5 .
1 − 5n

B. lim

C. lim 2 + n2 = 2 .

5n + 1
= −1
1 − 5n

D. lim n 2 − 2 = 2 .
Trang 5


Chủ đề 2.
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Khi tính giới hạn của một hàm số, ta có thể gặp 1 trong 4 dạng vô định sau (bài toán không cho kết quả
∞
0
trực tiếp), đó là: ; ∞ − ∞; ; 0.∞
∞
0

Một số kỹ thuật khử các dạng vô định
∞

P( x )
: L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x →±∞ Q( x )
∞
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng
liên hợp.
2. Dạng vô định ∞ – ∞ : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
1. Dạng vô định

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 35: Tính các giới hạn sau:

(

1) lim 2 x 3 − 3 x
x →+∞

4) lim

x →−∞

)

(

2 ) lim 2 x 3 − 3 x
x →−∞

)

3) lim

x →+∞

5) lim  2 x 2 + 1 + x 
x →+∞ 


x2 − 3x + 4

x2 − 3x + 4

6) lim  2 x 2 + 1 + x 
x →−∞ 


Caâu 36: Tính các giới hạn sau:
3x3 + 4 x − 2

1) lim

x →+∞

2) lim

x3 − 3x2 + 4

3x3 + 4 x − 2

x →−∞

x3 − 3x2 + 4

(

)

3x 2 x2 − 1

3) lim

x →+∞

( 5x − 1) ( x 2 + 2 x )

0
:
0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Caâu 37: Tìm các giới hạn sau:
3. Dạng vô định

1) lim

x3 − x2 − x + 1

2) lim

+

x 2 − 3x + 2
Caâu 38: Tính các giới hạn sau:
x →1

1) lim

x →1

x →1

x4 −1
x3 − 2 x2 + x

3− x
x →9 x − 9

3x + 1 − x + 3

2) lim

x3 − 1

4. Dạng vô định 0.∞ :
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
GIỚI HẠN MỘT BÊN
Chú ý :

lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L

x → x0

x → x0

3) lim

x → x0

Trang 6

x → −1

3) lim

x →1

x5 + 1
x3 + 1

2x − x2 −1
x2 − x


Caâu 39: Tìm các giới hạn:
1) lim=
x →1

2x − 9
x +1

2) lim+
x →1

2x − 9
x +1

3) lim=
x→4

2x − 5
x−4

x 2 − 16
x−4

2

1 − 2x
2x − 5
4) lim+
5) lim+
x →3
x→4 x − 4
x−3
Caâu 40: Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x →2 +

x − 15
x −2

6) lim+
x →4

2) lim

x →2 −

1 + 3x − 2 x 2
x −3
x →3+

x − 15
x −2

3) lim

Caâu 41: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x+3 −2
neáu x > 1

 x −1
a)
khi x → 2 c) f(x) = 
khi x → 1
x 2 − 3x + 1

neáu x < 1

khi x < 2
 4(3x 2 − 5x + 2)
Caâu 42: Tìm giới hạn của các hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x2 − 2x

3

f (x) =  8 − x
4
 x − 16
 x − 2

khi x > 2

 9 − x2

a) f ( x ) =  x − 3 khi x < 3
1 − x khi x ≥ 3

 x2 − 3x + 2
khi x > 1

2
b) f ( x ) =  x − 1
taïi x = 1
− x
khi x ≤ 1
 2

taïi x = 3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Caâu 43: Cho hàm số f ( x ) =

x +1
. Chọn dãy số nào trong các dãy sau để có lim f ( xn ) = −1 với
n →+∞
x −1

xn → 0 .
n

n

5
A. Dãy số ( xn ) ; xn =   .
4

1
B. Dãy số ( xn ) ; xn =   .
2

C. Dãy số ( xn ) ; xn = 2n .

D. Dãy số ( xn ) ; xn = n .

Caâu 44: Cho hàm số f ( x ) =

−2 x
. Chọn dãy số nào trong các dãy sau để có lim f ( xn ) = −1 với

n →+∞
x +1

xn → 1 .
m

A. Dãy số ( xn ) ; xn = 1 .

B. Dãy số ( xn ) ; xn = ( −1) .
m

3
D. Dãy số ( xn ) ; xn =   .
2

1
C. Dãy số ( xn ) ; xn = .
n

Caâu 45: Cho hàm số f ( x ) = x + 5 thì lim
f ( x ) bằng :
x →4
A. 9

B. 3

C. 4

D. 0

Trang 7


Caâu 46: Cho hàm số f ( x ) = 2 − x . thì xlim
f ( x ) bằng :
→−∞
A. 0

B. −∞
Caâu 47: Chọn kết quả đúng dưới đây?
x +1
x +1
A. lim
B. lim
= 1.
= 0.
x →1 x − 1
x →−1 x − 1
Caâu 48: Chọn kết quả đúng dưới đây?
A. lim 2 x − 1 = −2 . B. lim 2 x − 1 = 0 .
x →−

1
2

x→

1
2

Caâu 49: Cho hàm số f ( x ) =
A. 3 .

Caâu 50: Cho hàm số f ( x ) =
A. 0 .

Caâu 51: Cho hàm số f ( x ) =
A. +∞ .

B. 1 .

Caâu 52: Cho hàm số f ( x ) =
A. 0 .

C. +∞
C. lim
x→2

D. 2 .
x +1
= −3 .
x −1

C. lim

x →−∞

D. lim

x →−2

2 x − 1 = +∞ . D. lim

x →+∞

2x2 − x − 1
thì lim f ( x ) bằng :
x →1
x −1
1
B. .
C. 1 .
2
x3 + 1
thì lim f ( x ) bằng
x →−1
x +1
B. +∞ .
C. −3 .
2
x − 3x + 2
thì lim f ( x ) bằng :
x →+∞
x −1
1
C. .
3
x − 4 . Thì lim f ( x ) bằng.

x + 1 −1

.
=
x −1 3

2 x − 1 = −∞ .

D. +∞ .

D. +3 .

D. Cả A, B, C đều sai.

x →−∞

B. Không tồn tại giới hạn

C. +∞ .

D. Một kết quả khác.

Caâu 53: Cho hàm số f ( x ) = − x + 7 . thì xlim
f ( x ) bằng :
→+∞
2

A. +∞ .

B. −∞ .

C. 0 .

D. Cả A, B, C đều sai.

Caâu 54: Cho hàm số f ( x ) = 4 − x . Thì xlim
f ( x ) bằng :
→−∞
3

A. −∞ .

B. 4 .

C. +∞ .

2x − 3
thì lim− f ( x ) bằng.
n →1
x −1
C. +∞
D. Một kết quả khác.
2x − 3
. thì lim+ f ( x ) bằng
( x) =
n →1
x −1
C. +∞ .
D. −∞ .
1
( x ) = x 2 sin . Kết quả nào sau đây là đúng?
x

1
B. lim x 2 sin = 0 .
x→0
x
1
D. lim x 2 sin = 1 .
x→0
x
x
( x ) = . Kết quả nào dưới đây là đúng?
2x
x 1
= .
B. lim+
x →0 2 x
2
x 1
= .
D. lim−
x →0 2 x
2

Caâu 55: Cho hàm số f ( x ) =
A. −∞

B. 2 .

Caâu 56: Cho hàm số f
A. −2 .

B. 2

Caâu 57: Cho hàm số f
1
≤ x2 .
x
1
C. lim x 2 sin = +∞ .
x→0
x

A. 0 ≤ x 2 sin

Caâu 58: Cho hàm số f
A. lim+
x →0

C. lim−
x →0

x
2x
x
2x

= +∞ .
= −∞ .

D. Cả A, B, C đều sai.

Trang 8


cos π x
. Chọn kết quả đúng?
π (1 + x )

Caâu 59: Cho hàm số f ( x ) =
cos π x
1
=− .
x →1 π (1 + x )
2

B. lim

cos π x
1
=−
.
x →1 π (1 + x )
2π

cos π x
1
=
.
x →1 π (1 + x )
2π

D. lim

A. lim

cos π x 1
= .
x →1 π (1 + x )
2

C. lim

2 x − 1 x ≥ 0
. Kết quả nào sau đây là đúng?
x<0
2

Caâu 60: Cho hàm số f ( x ) = 

A. lim− f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 .
x →0

x →0

B. lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 x − 1) = 1 .
x →0

C. lim− f ( x ) = lim− 2 = 2 .
x →0

x →0

D. lim f ( x ) = 2 .
x →0

x →0

2 x − 1 x < 1
Caâu 61: Cho hàm số f ( x ) = 
. Kết quả nào sau đây là đúng?
x ≥1
2

A. lim+ f ( x ) = lim+ 2 = 1 .

B. lim− f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = −3 .

C. lim+ f ( x ) = lim+ 2 = 2 .

D. lim f ( x ) = −1 .

x →1
x →1

x →1

x →1

x →1

x →1

x →1

2 x + 1 x ≤ 1
. Kết quả nào sau đây là đúng?
x >1
3

Caâu 62: Cho hàm số f ( x ) = 
A. lim+ f ( x ) = lim+ 3 = 3 .

B. lim f ( x ) = lim ( 2 x + 1) = −1 .

C. lim f ( x ) không có giới hạn.

D. lim f ( x ) = −3 .

x →1

x →1

x →1

x →1

x →1

x →1

Caâu 63: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim

x →3
A.

6
.
5

B. −

6
.
5

C. −

5
.
6

Caâu 64: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
x →1
1
A. − .
3

D. 0 .

x2 − 4 x + 3
bằng.
x2 + 4 x − 5

3
D. .
5
2
x − 6x + 8
Caâu 65: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
bằng.
x→4
x −2

A. 4 .

B.

1
.
3

x2 − 9
bằng.
x2 + x + 6

3
C. − .
5

B. 8 .

C. 12 .

Caâu 66: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: lim
x →5

D. 16 .
5− x
bằng.
x 2 − 25

1
1
.
D. −
.
20 5
20 5
−3x 2 + 2 x − 5
Caâu 67: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: nlim
bằng.
→+∞
2 x2 − 7
A. −20 5 .

A.

3
.
2

B. 20 5 .

B.

2
.
3

C.

C. −

2
.
3

Trang 9

D. −

3
.
2


Chủ đề 3.
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng khi hàm số y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] khi hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
lim f ( x ) = f (a), lim f ( x ) = f (b)
x →a+

x →b−

4. • Hàm số đa thức liên tục trên R.
• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f ( x)
• Hàm số y =
liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
g( x )
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
c∈ (a; b)

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 68: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
x +3

a) f ( x ) =  x − 1
−1

c)

khi x ≠ 1 taïi x = −1
khi x = 1

 x +3 −2
khi x ≠ 1

taïi x = 1
b) f ( x ) =  x − 1
1
khi x = 1
 4

 x−5
khi x > 5

f ( x) =  2 x − 1 − 3
taïi x = 5
( x − 5)2 + 3 khi x ≤ 5


Caâu 69: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 2
khi x < 1
a) f ( x ) =  x
2
mx
−
3
khi x ≥ 1


taïi x = 1

 x3 − x2 + 2x − 2

b) f (x) = 
x −1
3x + m

khi x ≠ 1 taïi x = 1
khi x = 1

Caâu 70: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 x3 + x + 2
 3
a) f ( x ) =  x + 1
4
 3

khi x ≠ −1
khi x = −1

 x2 − 2

b) f ( x ) =  x − 2

2 2

Caâu 71: Xác định m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1.
 x3 − x2 + 2x − 2

f (x) = 

x −1
3x + m

khi x ≠ 1
khi x = 1

Caâu 72: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x 5 − 3 x + 3 = 0

b) x 5 + x − 1 = 0
Trang 10

khi x ≠ 2
khi x = 2


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Caâu 73: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số y = x3 + 2 x 2 − 5 x + 7 liên tục trên tập ℝ .
3x + 5
B. Hàm số y =
liên tục trên toàn bộ tập ℝ .
x +1
−4 x
C. Hàm số y = 2
liên tục trên toàn bộ tập ℝ .
x +1
D. Hàm số y = sin x liên tục trên toàn bộ tập ℝ .

Caâu 74: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y = x − 1 liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
B. Hàm số y = cos x liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
C. Hàm số y = x 2 + 1 liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ khác −1 .
D. Hàm số y = tan x liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .

Caâu 75: Kết quả nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = tan x liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
B. Hàm số y = tan x liên tục tại mọi x khác kπ ( k ∈Z ) .

π
+ kπ ( k ∈ Z ) .
2
D. Hàm số y = cot x liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
C. Hàm số y = tan x liên tục tại mọi x khác

Caâu 76: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
1
liên tục tại mọi x ≠ 0 .
x
−1
B. Hàm số y = 2
liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
x +2
x +1
C. Hàm số y =
liên tục tại mọi x ≠ −1 .
3

A. Hàm số y =

D. Hàm số y = x 2 + 1 − 3 liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
3x + 5
Caâu 77: Cho hàm số f ( x ) =
x −1
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. lim f ( x ) = 1 .
B. lim f ( x ) = −5 .
x →−1

x →0

C. lim f ( x ) = 8 .

D. lim f ( x ) = +∞ .

x →1

x →+∞

Caâu 78: Cho hàm số f ( x ) = x − 2
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. lim f ( x ) = 2 .
B. lim f ( x ) = −2 .
x→4

x →1

C. lim f ( x ) = 1 .

D. lim f ( x ) = +∞ .

x→2

Caâu 79: Cho hàm số f ( x ) =

x →−∞

3x
x

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. lim+ f ( x ) = 0 .

B. lim− f ( x ) = 0 .

C. lim f ( x ) = 0 .

D. Hàm không liên tục tại x = 0 .

x →0

x →0

x →0

Trang 11


Caâu 80: Cho hàm số f ( x ) =

A. lim f ( x ) = 3 .
x→2

3x
x

. Kết quả nào sau đây là sai?

B. lim f ( x ) = 3 .

C. lim f ( x ) = 3 .

x →1

2
x − 2

x →−2

D. lim f ( x ) = −3 .
x →−1

x<0

Caâu 81: Cho hàm số f ( x ) = 

x≥0

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. f ( 0 ) = 2 .

B. lim+ f ( x ) = lim+ 2 = 2 .
x →0

C. lim− f ( x ) = lim− 2 = 2 .
x →0

x →0

D. Hàm liên tục tại x = 0 .

x →0

 x2 − 1 x > 1
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1 .
x ≤1
a

Caâu 82: Cho hàm số f ( x ) = 
A. a = −2 .

B. a = 1 .
a − 2
Caâu 83: Cho hàm số f ( x ) =  π
sin x
A. a = 3 .

C. a = 2 .

D. a = 0 .

x>2
x≤2

. Giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 2 .

B. a = 2 .

C. a = −2 .
D. a = −3 .
 ax + 2 khi x ≥ 1
Caâu 84: Cho hàm số y = f ( x ) =  2
. Kết quả nào sau đây là sai?
 x − 2 khi x < 1
A. y = ax + 2 liên tục với mọi x ≥ 1.
B. Tại x = 1 hàm số liên tục với a = −3 .
C. Với x < 1, ta có f ( x ) = x 2 − 2 nên hàm số liên tục.
D. Hàm số liên tục tại x = 1 với mọi a thuộc ℝ .
Caâu 85: Với hàm số cho ở câu 84. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:
A. lim+ f ( x ) = −1 .

B. lim− f ( x ) = −1 .

x →1

x →1

C. Hàm số không xác định tại x = 1 .
D. Với a = 1 hàm liên tục tại x = 1 .
2
− x + 3x

Caâu 86: Cho hàm số f ( x ) =
chưa xác tại x = 0 . Cần phải gán cho f ( 0 ) giá trị bao nhiêu
x
để hàm số liên tục tại x = 0 .
A. f ( 0 ) = −2 .

B. f ( 0 ) = −3 .

Caâu 87: Cho hàm số f ( x ) =

C. f ( 0 ) = 2 .

D. f ( 0 ) = 3 .

x2 − 5x
chưa xác tại x = 0 . Cần phải gán cho f ( 0 ) giá trị bao nhiêu để
x

hàm số liên tục tại x = 0 .

A. f ( 0 ) = −5 .

B. f ( 0 ) = 5 .

C. f ( 0 ) = 6 .

D. f ( 0 ) = −6 .

 x 2 − 16
x≠4

Caâu 88: Cho hàm số f ( x )  x − 4
. Chọn khẳng định sai.
7
x=4


A.Với x ≠ 4 thì f ( x ) = x + 4 .
B. Với x = 4 thì f ( 4 ) = 7 .
C. Hàm liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
D. Phải gán cho f ( 4 ) = 8 thì hàm mới liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ .
Trang 12


cos π x
Cho hàm số f ( x ) =  2
a + 1

Caâu 89:
A. a = 1 .

B. a = −1 .
cos π x
Caâu 90: Cho hàm số f ( x ) =  2
a − 2

x ≤1
x >1

. Kết quả nào sau đây là đúng?

C. Mọi a thuộc ℝ .
D. Không có giá trị nào của a .
x ≤1
. Với giá trị nào của a thì hàm liên tục tại x = 1 .
x >1

A. Mọi a thuộc tập ℝ .
B. a = ±3 .
C. a = ±2 .
3
Caâu 91: Cho hàm số f ( x ) = 3x + 3x − 2 . Kết quả nào dưới đây là sai?

D. a ± 1 .

A. Phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong ( −1;1) .
B. Phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong ( 0;1) .
C. Phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm trong ( 0;1) .
D. Phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất là 3 nghiệm.

Caâu 92: Chọn khẳng định đúng dưới đây.
A. Phương trình x 3 + x + 1 = 0 vô nghiệm trên tập ℝ .
B. Phương trình x 3 + x − 1 = 0 vô nghiệm trên khoảng ( 0;1) .
C. Cả hai phương trình x 3 + x + 1 = 0 và x 3 + x − 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( −2;1) .
D. Cả A, B, C đều sai.
cos x
Caâu 93: Cho hàm số f ( x ) =
− x . Kết quả nào sau đây là đúng?
π +x
A. Hàm số có tập xác định với mọi x thuộc ℝ .
B. f ( 0 ) . f ( π ) > 0 .

C. Phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong ( 0; π ) .
cos x
= x vô nghiệm.
π+x
Caâu 94: Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 + x 2 − 2 . Khẳng định nào sau đây là sai?

D. Phương trình

A. Hàm số đã cho liên tục trong ℝ .
B. Phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 0; 2 ) .
C. Ta có f ( −2 ) f ( 2 ) > 0 nên phương trình vô nghiệm trên khoảng ( −2; 2 ) .
D. Phương trình x 4 + x 2 − 2 = 0 có tối đa 4 nghiệm trong ℝ .
Caâu 95: Cho phương trình x 4 − x = 3 .
Khoảng nào dưới đây để phương trình có ít nhất một nghiệm trong đó?

A. ( 0;1) .

B. ( −1;0 ) .

Caâu 96: Cho hàm số f ( x ) =

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2;3) .

1
. Kết quả nào sau đây sai?
x − 4x − 5
2

A. TXĐ của hàm số: D = ( −∞, −1) ∪ ( −1,5 ) ∪ ( 5, +∞ ) .
C. Hàm không liên tục tại x = −5 .
x
Caâu 97: Cho hàm số y =
.Chọn kết quả sai.
( x − 1) 3 − x

B. Hàm liên tục tại x = 2 .
D. Hàm liên tục tại mọi x thuộc tập xác định.

A. Hàm không liên tục tại x = 1, x = 3 .

B. Hàm liên tục tại x = 4 .

C. Hàm liên tục tại x = 0 .

D. Hàm liên tục tại mọi x ∈ ( −∞,1) ∪ (1,3) .
Trang 13


ĐẠO HÀM
VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
I. Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ∈ ( a; b ) .
Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 , ký hiệu là: y ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) , được tính bằng công thức:
f ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )

x → x0

•

x − x0

.

Chú ý: Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x − x0 và ∆y = f ( ∆x + x0 ) − f ( x0 ) ta có:

f (∆x +x0 ) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x
Trong đó: ∆x : số gia của đối số (biến số); ∆y : số gia của hàm số tương ứng với đối số x .
• Chú ý:
sin u ( x )
sin x
tan x
=1
lim
=1
Giới hạn hàm lượng giác: lim
lim
=1
x →0
x →0
u ( x )→0 u ( x )
x

x
f '( x0 ) = lim

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 98: Tính đạo hàm các hàm số sau bằng định nghĩa:
x +1
tại x0 = 2
x −1

1) f ( x ) = x 2 − 2 x + 4 tại x0 = −5

2) f ( x ) =

3) f ( x ) = x 2 + x + 1 tại x0 = 2

4) f ( x ) = cos x tại x0 = −

6

6) f ( x ) = x + 1 tại x0

5) f ( x ) = cos 2 x tại x0
7) f ( x ) =

π

2

2x −1
tại x0

3x + 2

8) f ( x ) =

2
tại x0
x +1
2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
π
Caâu 99: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x; x0 = ; ∆x . Chọn số gia tương ứng
3

 2π 
 2π 
A. ∆y = sin 
 + ∆x − sin 
.
 3 
 3 
π

 2π 
C. ∆y = sin 2  + ∆x  − sin 
.
3

 3 

∆y dưới đây cho thích hợp.

 2π 
B. ∆y = sin 2 x + ∆x − sin 
.
 3 
π

 2π 
D. ∆y = sin  + ∆x  − sin 
.
3

 3 

Caâu 100: Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 3; x0 = −1; ∆x . Chọn số gia tương ứng ∆y dưới đây cho thích hợp.
2

A. ∆y = ( ∆x ) − 10 .
2

C. ∆y = ( −1 + ∆x ) − 10 .

Caâu 101: Cho hàm số f ( x ) =
1 + ∆x 1
− .
∆x + 2 2
x
1
C. ∆y =

+ ∆x − .
x +1
2

A. ∆y =

2

B. ∆y = ( −1 + ∆x ) + 2 .
2

D. ∆y = ( −1 + ∆x ) − 1 .
x
; x0 = 1; ∆x . Chọn số gia tương ứng ∆y dưới đây cho thích hợp.
x +1

B. ∆y =

∆x
1
− .
∆x + 1 + 1 2

D. Một kết quả khác.

Trang 14


Caâu 102: Cho hàm số f ( x ) = 1 − 3 x ; x0 =

−1
; ∆x .
2

Chọn số gia tương ứng ∆y dưới đây cho thích hợp.

A. ∆y =

5
5
−
+ 3∆x .
2
2

5
 −1 
B. ∆y = 1 − 3∆x − 1 − 3   = 1 − 3∆x −
.
2
 2 
5
5
 −1

 −1 
C. ∆y = 1 − 3  + ∆x  − 1 − 3   =
− 3∆x −
.
2

2
 2

 2 
5
 −1 
D. ∆y = 1 − 3 + ∆x − 1 − 3   = 1 − 3 + ∆x −
.
2
 2 
2

Caâu 103: Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1) + 1; x0 = 1; ∆x . Chọn số gia tương ứng ∆y dưới đây cho thích
hợp.
2

2

A. ∆y = ( ∆x ) − 1 .
2

C. ∆y = ( ∆x ) .

B. ∆y = ( ∆x ) + 1 .
D. ∆y = ∆x .

Caâu 104: Cho hàm số f ( x ) = 2; x0 = 1; ∆x . Chọn ∆y và
∆y
= 1.
∆x

∆y 2 + ∆x
C. ∆y = 2 + ∆x;
.
=
∆x
∆x

A. ∆y = 2 + ∆x − 2 = ∆x;

∆y
dưới đây cho thích hợp.
∆x

B. ∆y = 2 − 2 = 0;
D. ∆y = 2;

∆y
=0.
∆x

∆y
2
.
=
∆ x ∆x

π

Caâu 105: Cho hàm số f ( x ) = sin x; x0 = ; ∆x . Chọn ∆y và
2

∆y
dưới đây cho thích hợp.
∆x

∆y ∆x
π

A. ∆y = sin  + ∆x  − 1;
=
= 1.
∆x ∆x
2

π
 π
sin  + ∆x  −
π
 π ∆y
2
 2.
B. ∆y = sin  + ∆x  − ;
=
∆x
2
 2 ∆x

π

sin  + ∆x  − 1

∆y
π

2
 .
C. ∆y = sin  + ∆x  − 1;
=
∆x
∆x
2

π

sin  + ∆x 
π
∆
y


2
.
D. ∆y = sin  + ∆x  ;
=
∆x
2
 ∆x

Caâu 106: Cho hàm số f ( x ) = x − 2 ; x0 = 2; ∆x . Chọn ∆y và
∆y ∆x
=

+1.
∆x ∆x
∆y ∆x − 2
=
C. ∆y = ∆x − 2 ;
.
∆x
∆x

A. ∆y = ∆x ;

∆y
dưới đây cho thích hợp.
∆x

∆y
= 1.
∆x
∆y ∆x
=
D. ∆y = ∆x ;
.
∆x ∆x

B. ∆y = ∆x;

Trang 15


II. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC

1) Các qui tắc tính đạo hàm:
( u + v ) ' = u '+ v '

( u − v ) ' = u '− v '
( u.v ) ' = u '.v + v '.u
( k .u ) ' = k .u '
 u  u '.v − u.v '
 ' =
v2
v

2) Bảng công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm các HS sơ cấp cơ
bản.
(C)’ = 0
(x)’= 1
(xn)’ = n.xn – 1

Đạo hàm các HS hợp [ u = u(x)
]
(un)’ = n.un – 1.u’

'

'

1
1
  =− 2
x

x
'
1
x =
2 x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = – sinx
1
(tanx)’ =
cos 2 x
1
(cotx)’ = – 2
sin x

1
1
  = − 2 .u '
u
u
'
1
u =
.u '
2 u
(sinu)’ = cosu .u’
(cosu)’ = – sinu .u’
1
.u '
(tanu)’ =
cos2 u

1
(cotu)’= – 2 .u '
sin u

( )

( )

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 107: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
3

3

2
− x + x x.
3
x

a) y = 2x 4 − x 3 + 2 x − 5

b) y =

d) y = (x 2 − 1)(x 2 − 4)(x 2 − 9)

e) y = (x 2 + 3x)(2 − x)

2

c) y = (x3 − 2)(1 − x 2 )
f) y =

(

 1

x +1 
− 1
 x


)

Caâu 108: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3

2

a) y = (2x − 3x − 6x + 1)
d) y =

2

 2x + 1 
c) y = 

 x −1 

2 5

b) y = (1 − 2x )

(x + 1)2

1

e) y =

(x − 1)3

3

f) y = ( 3 − 2x 2 )

(x 2 − 2x + 5)2

4

Caâu 109: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

2

b) y = x + 1 − 1 − x

a) y = 2x − 5x + 2

(

3

) (

)

d) y = x 2 − x + 1 . x 2 + x + 1

2

e) y =

4 + x2
x

Trang 16

2

1 

c) y =  x −

x

2 

f) y =  x + 2 
x 


7

2


Caâu 110:
1 2 3
+ + . Tính f ' ( −1)
x x2 x3
1 1
2) Cho f ( x ) = +
+ x 2 . Tính f ' (1)
x
x
5
3
3) Cho f ( x ) = x + x − 2 x − 3 . Tính f ' ( −1) + f ' (1) + 4 f ( 0 )
1) Cho f ( x ) =

x

4) Cho f ( x ) =

4 − x2

. Tính f ' ( 0 )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Caâu 111: Đạo hàm của y = −2.x 7 + x là kết quả nào sau đây?

A. y ' = −14 x 6 + 2 x .
C. y ' = −14 x 6 +

1
2 x

2
.
x

B. y ' = −14 x 6 +

.

D. Một kết quả khác.

Caâu 112: Đạo hàm của y = ( x 3 − 5 ) . x là kết quả nào sau đây?
7 5
5
x −
.
2
2 x
5
C. y ' = 3x 2 −
.
2 x

A. y ' =

B. y ' = 3x 2

−3 x 2 − 6 x + 1

C. y ' =

1 − 6x2

( x + 1)
( x − 1)

2

2

1
.
−4 x

C. y ' =

1

x +1

.

2 x (1 − 2 x )

.

là kết quả nào sau đây?
B. y ' = 1 − 6 x 2 .
D. Một kết quả khác.

x
là kết quả nào sau đây?
1 − 2.x

B. y ' =

2

.

Caâu 115: Đạo hàm của y =
A. y ' =

x (1 − 3.x )

.

Caâu 114: Đạo hàm của y =
A. y ' =

2 x

D. Một kết quả khác.

Caâu 113: Đạo hàm của y =

A. y ' =

1

1 + 2x
2 x (1 − 2 x )

2

.

D. Một kết quả khác.
1
là kết quả nào sau đây?
x − 2x + 5
2

1
.
2x − 2

C. y ' = ( 2 x − 2 ) ( x 2 − 2 x + 5 ) .

B. y ' =

2x − 2

(x

2

− 2 x + 5)

2

.

D. Một kết quả khác.

Trang 17


Caâu 116: Đạo hàm của y =
A. y ' =
C. y ' =

1

( x − 1)( x − 3)

1
.
2x + 2

B. y ' =

2x + 2

(x

2

là kết quả nào sau đây?

+ 2 x − 3)

2

.

1
.
( 2 x + 2 ) ( x 2 + 2 x − 3)

D. Một kết quả khác.
4

Caâu 117: Đạo hàm của y = ( 7 x − 5 ) là kết quả nào sau đây?
3

3

A. y ' = 4 ( 7 x − 5 ) .

B. y ' = 28 ( 7 x − 5 ) .

C. y ' = 28 x .

D. Một kết quả khác.

Caâu 118: Đạo hàm của y = 1 − 2 x 2 là kết quả nào sau đây?
1

A. y ' =

2 1 − 2x2
−2 x
C. y ' =
.
1 − 2 x2

.

B. y ' =

C. y ' =

1 − 2x2
2 1 − 2x2
2x

(1 − 2 x )
2

C. y ' =

2

1 − 2x2

− 2 x + 5)

2

C. y ' =

D. y ' =

x2 + 1

(x

+ 1)

1 − 2 x2

.

B. y ' =

2x + 2

(x

2

− 2 x + 5)

D. y ' =

.

x −1
x2 + 1

2

.

C. f ' ( 2 ) =

−2
.
3

3

.

có đạo hàm là kết quả nào sau đây?

1+ x
2

+ 1)

3

.

D. Một kết quả khác.

Caâu 122: Với f ( x ) = 1 − x 2 thì f ' ( 2 ) là kết quả nào sau đây?
A. Không tồn tại.

.

( x 2 − 2 x + 5)

(x
3

.

−4 x + 4

B. y ' =

2 ( x + 1)
2

2 1 − 2x2
−4 x 2

1
là kết quả nào sau đây?
x − 2x + 5

−2 x + 2
.

x − 2x + 5

.

−2 x 2

2

2

2x

là kết quả nào sau đây?

.

Caâu 121: Đạo hàm của y =
A. y ' =

1 − 2 x2

B. y ' =

−2 x − 2

(x

1

.

Caâu 120: Đạo hàm của y =
A. y ' =

.

1 − 2 x2

D. Một kết quả khác.

Caâu 119: Đạo hàm của y =
A. y ' =

−4 x

B. f ' ( 2 ) =
D. f ' ( 2 ) =

−2
.
−3

Trang 18

2
.
3


Caâu 123: Với hàm số y = −2 x 4 + 3x3 − x + 2 thì y ' là kết quả nào sau đây?

A. −8 x 2 + 9 x − 1 .

B. −16 x 3 + 9 x 2 − 1 .

C. −8 x 3 + 27 x 2 − 1 .

D. −18 x 3 + 9 x 2 − 1 .

Caâu 124: Với hàm số y = (1 − x )( 2 x + 1) thì y ' là kết quả nào sau đây?
A. −4 x + 1 .

B. −4 x − 1 .

Caâu 125: Với hàm số y =
A. y ' =

3 1
− .
x 4 x3

B. y ' =

−1
2
+ 3.
2 x x

D. 4 x − 1 .

1 1

thì y ' là kết quả nào sau đây?
−
x3 x 2
−3 2
− .
x 4 x3

C. y ' =

−3 2
+ .
x 4 x3

D. y ' =

−3 1
+ .
x 4 x3

1
1
− 2 thì y ' là kết quả nào sau đây?
x x

Caâu 126: Với hàm số y =
A.

C. 4 x + 1 .

B.

−1
2
− 3.
2 x x

C.

1
2
+ 2.
2x x x

D.

−1
2
+ 2.
2x x x

Caâu 127: Với hàm số y = −3x3 + 25 có y ' = 0 thì x nhận giá trị nào sau đây?
5
A. x = ± .
3

3
B. x = ± .
5

C. x = 0 .

D. Cả A, B, C đều sai.

Caâu 128: Với hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − 5 có y ' = 0 thì x nhận giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x .
C. x = −1 hoặc x =

5
.
2

B. x = 0 hoặc x = 1 .
5
D. x = −1 hoặc x = − .
2

Caâu 129: Với hàm số y = 4 x − x có y ' = 0 thì x nhận giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x .
C. x =

1
.
64

B. x =

1
.
8
D. x = −

1
.
64

Caâu 130: Cho hàm số y = −2 x + 3x . Để y ' > 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
A. ( −∞; +∞ ) .

1

B.  −∞;  .
9


1

C.  ; +∞  .
9


D. ∅.

Caâu 131: Cho hàm số y = −4 x3 + 4 x , để y ' > 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
 1 1 
B.  −
,
.
 3 3

A.  − 3, 3  .

(

)

C. −∞, − 3  ∪  3, +∞ .

1   1


D.  −∞, −
 ∪  , +∞  .
3  3



Trang 19


Caâu 132: Cho hàm số y = 3x3 + 4 x 2 + 1 , để y ' > 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
 2 
A.  − , 0  .
 9 

 9 
B.  − , 0  .
 2 

2


C.  −∞, −  ∪ [ 0, +∞ ) .
9


D. Một kết quả khác.
3

Caâu 133: Cho hàm số y = ( 2 x 2 + 1) , để y ' ≥ 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
B. ( −∞, 0].

A. Không có giá trị nào của x .
C. [ 0, +∞ ) .

D. ℝ .

Caâu 134: Cho hàm số y = 4 x 2 + 1 ; y ' ≤ 0 khi x nhận các giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x .

B. ( −∞, 0 ) .

C. ( 0, +∞ ) .

D. Một kết quả khác.

Caâu 135: Cho hàm số y =

3
, để y ' < 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
1− x

A. 1.

B. 3.

C. Không có giá trị nào của x .

Caâu 136: Cho hàm số y =

D. Mọi x thuộc tập ℝ .

x2 + x
đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
x−2

A. y/(1) = –4

B. y/(1) = –5

Caâu 137: Hàm số y =

(x − 2)
1− x

− x 2 + 2x
A. y =
(1 − x ) 2

D. y/(1) = –2

2

có đạo hàm là:

x 2 − 2x
B. y =
(1 − x ) 2

/

C. y/(1) = –3

/

x 2 + 2x
D. y =
(1 − x ) 2

C. y = –2(x – 2)
/

/

2

1− x 
 . Đạo hàm của hàm số f(x) là:
Caâu 138: Cho hàm số f(x) = 

1
+

x


A. f / ( x ) =

− 2(1 − x )

C. f / ( x ) =

2(1 − x )

(1 + x )

B.

3

x (1 + x )

f / (x) =

D. f / ( x ) =

2

− 2(1 − x )
x (1 + x ) 3

2(1 − x )
(1 + x )

Caâu 139: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x – 5. Phương trình y/ = 0 có nghiệm là:
A. {–1; 2}

B. {–1; 3}

C. {0; 4}

D. {1; 2}

2


1 
Caâu 140: Hàm số f(x) =  x −  xác định trên D = (0;+∞ ) . Có đạo hàm của f là:
x


A. f/(x) = x +

1
–2
x

B. f/(x) = x –

1
x2

C. f/(x) =

Trang 20

x−

1
x

D. f/(x) = 1 +

1
x2


ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 141: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 sin x 
a) y = 

 1 + cos x 

2

d) y = cot 2x

b) y = x.cosx

c) y = sin3 (2x + 1)

e) y = sin 2 + x 2

f) y = sin x + 2x

Caâu 142: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
1 − cos x
1 − sin x
cos x
sinx + cos x
d) y =
e) y =
f) y =
1 + sin x
sin x + cos x
sin x − cos x
cos x
π 
π 
Caâu 143: Cho hàm số f ( x ) =
. Tính f ' ( 0 ) + f ' (π ) − 8 f '   + f '  
1 + sin x
2
4
a) y = x cot ( x 2 − 1)

b) y = cot 3 2 x + 3cot 2 x

Caâu 144: Cho hàm số f ( x ) =

cos 2 x
π 
. Tính f   − 3 f
2
1 + sin x
4

c) y =

π 
' 
4

Caâu 145: Chứng minh rằng:
a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y '− y 2 − 1 = 0 .
b) Hàm số y = cot 2 x thoả mãn hệ thức y '+ 2 y 2 + 2 = 0

Caâu 146: Cho hàm số y = 3sin 2 x + 4 cos 2 x + 12 x . Hãy giải phương trình y ' = 2 .
Caâu 147: Cho f ( x ) = sin 3 2 x và g ( x ) = 4 cos 2 x − 5sin 4 x . Giải phương trình: f ' ( x ) = g ( x ) .
Caâu 148: Cho f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 3 và g ( x ) = x3 +

x2
− 3 . Giải bất phương trình: f ' ( x ) > g ' ( x ) .
2

Caâu 149: Cho hàm số y = x 2 − 3x − 10 . Giải bất phương trình: y ' ≤ 0 .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Caâu 150: Với f ( x ) =

−3 x + 4
thì f ' (1) bằng giá trị nào sau đây?
2x +1

1
1
.
C. −5 .
D. − .
5
5
5x −1
Caâu 151: Với f ( x ) =
thì f ' ( x ) < 0 khi x nhận các giá trị nào sau đây?
2x

A. 5 .

B.

A. Không có giá trị nào của x .
C. ( −∞;0 ) .

B. Mọi x .
D. ( 0; +∞ ) .

x2 − 1
Caâu 152: Với f ( x ) = 2
; Tập nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là:
x +1

A. ∅ .

B. ℝ .

C. {0} .
Trang 21

D. Một kết quả khác.


Caâu 153: Với f ( x ) =

1 − 3x + x 2
. Tập nghiệm của BPT f ' ( x ) > 0 là:
x −1

A. ℝ .

B. ∅ .

Caâu 154: Với hàm số f ( x ) =

C. (1; +∞ ) .

D. ℝ \ {1} .

x3
. Tập nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là:
x −1

 2
A. 0;  .
 3

2
3

 3

B. 0; −  .
C. 0;  .
D. 0; −  .
3
2

 2

x
Caâu 155: Với hàm số f ( x ) = 3 . Tập nghiệm của bất phương trình f ' ( x ) ≤ 0 là:
x +1


1
A.  −∞,
.
2


 1


B.  , +∞  .
 2


Caâu 156: Với hàm số f ( x ) =


1
C.  −∞, 3  .
2


x
. Tập nghiệm của bất phương trình f ' ( x ) > 0 là:
x +1

A. ( −∞;1) \ {−1;0} .

B. (1; +∞ ) .

C. ( −∞; −1) .

D. ( −1; +∞ ) .

Caâu 157: Với hàm số f ( x ) =
A. {−1; −3} .

 1

D.  3 , +∞  .

 2


x2 + x − 5
. Tập nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là:
x−2

B. {1;3} .

C. {−1;3} .

D. {1; −3} .

Caâu 158: Hàm số y = sin  − 3x  có đạo hàm là:
π

6



π

π

A. y ' = cos  − 3 x  .
B. y ' = 3cos  − 3 x  .
6

6


π

π

C. y ' = −3sin  − 3 x  .
D. y ' = −3cos  − 3 x  .
6

6

−3
Caâu 159: Hàm số y = sin 7 x có đạo hàm là:
2
21
−21
cos 7 x .
B. y ' =
cos x .
2
2
21
C. y ' = − cos 7 x .
D. Một kết quả khác.
2
Caâu 160: Hàm số y = sin 3x − cos 2 x có đạo hàm là:

A. y ' =

A. y ' = 3cos 3 x + sin 2 x .
C. y ' = 3cos 3 x + 2sin 2 x .

B. y ' = 3cos 3 x − 2 sin 2 x .
D. y ' = 3cos 3 x + 2 cos 2 x .

Caâu 161: Hàm số y = 2 cos x 2 có đạo hàm là:
A. y ' = −2 sin x 2 .

B. y ' = −4 cos x 2 .x .

C. y ' = −2 sin x 2 .x .

D. y ' = −4.x.sin x 2 .

Caâu 162: Hàm số y =

−1  π

sin  − x 2  có đạo hàm là:
2
3


1
π

A. y ' = sin  − x  .x .
2 3


B. y ' =

1
π

cos  − x  .x 2 .
2
3


Trang 22


1
π

cos  − x 2  .x .
2
3


C. y ' =

π

D. y ' = x.cos  − x 2  .
3


Caâu 163: Hàm số y = x tan 2 x có đạo hàm là:
A. y ' =

2x
.
cos 2 2 x

B. y ' = tan 2 x +

2x
.
cos 2 2 x

2x
.
D. Một kết quả khác.
cos 2 x
1
Caâu 164: Hàm số y = cot x 2 có đạo hàm là:
2

C. y ' = tan 2 x +

−x
.
sin 2 x 2
−x
C. y ' =
.
sin x 2

−x

.
2 sin x 2
−x
D. y ' =
.
sin 2 x

A. y ' =

B. y ' =

1
2

Caâu 165: Hàm số y = cot 3x − tan 2 x có đạo hàm là:
−1
1
−
.
2
sin x cos 2 2 x
−3
1
C. y ' =
+
.
2
sin 3 x cos 2 2 x

A. y ' =

−3
1
−
.
2
sin 3 x cos 2 2 x
−3
x
D. y ' =
−
.
2
sin 3 x cos 2 2 x

B. y ' =

π 
y ' 
π
Caâu 166: Với y = cos  − 2 x  thì  8  có giá trị nào sau đây?
π 
4

y ' 
3
2
2
.
C. −

.
2
2
π 1
Caâu 167: Với y = sin  − x  thì phương trình y ' = 0 có nghiệm là:
3 2 

A. 0 .

A. x =

B.

π
3

C. x = −

− k 2π .

B. x =

π

π

D. x =

π

3

− k 2π .

+ k 2π .

3
6

+ k 2π ( k ∈ ℤ ) .

Caâu 168: Với y = cos 

2π

+ 2 x  thì phương trình y ' = 0 có nghiệm là:
 3


A. x = −
C. x =

π
3

π
3

+k

+k

π
2

π
2

.

.

Caâu 169: Với hàm số y = cot 2
A. 2π + kπ .
C. 2π + k 4π .

B. x = −
D. x = −

π
3

π
3

+ kπ .

+ k 2π .

x

thì nghiệm của phương trình y ' = 0 là:
4

B. π + kπ .
D. Một kết quả khác.

Trang 23

D. Một kết quả khác.


VI PHÂN
df ( x ) = f ' ( x ) dx hay dy = y ' dx

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Caâu 170: Tính vi phân các hàm số sau:
1) y = x 2 + 1

2) y =

x +1
x −1

3) y =

x 2 − 3x + 5
x −1

4) y = sin x

5) y = 2 x + 1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
π

Caâu 171: Cho hàm số y = 5sin 2 x vi phân của hàm số tại x =
A. dy = 5dx .

B. dy = 10 cos 2 xdx .

Caâu 172: Cho hàm số y =
A. dy =

1
dx .
7

3

là:

C. dy = −10 cos 2 xdx .

D. dy = −5dx .

x+3
, vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1 − 2x
1
C. dy = − dx .

7

B. dy = 7 dx .

D. dy = −7 dx .

Caâu 173: Cho hàm số y = sin ( sin x ) vi phân của hàm số tại x là:
A. dy = cos ( sin x ) dx .

B. dy = sin ( cos x ) dx .

C. dy = cos ( sin x ) .cos xdx .

D. dy = cos ( sin x ) .sin xdx .

Caâu 174: Cho hàm số y = tan x vi phân của hàm số tại x là:
A. dy =

1
dx .
2 x .cos x

B. dy =

1
dx .
2 x .cos 2 x

C. dy =

1
dx .
2 x .cos 2 x

D. dy =

1
.
2 x .cos xdx

Caâu 175: Cho hàm số y = cos 2 2 x vi phân của hàm số tại x là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .

B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .

C. dy = −4 cos 2 x sin 2 xdx .

D. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .

Caâu 176: Cho hàm số y =
A. dy =

−4
2 2

(1 + x )

dx .

1 − x2

vi phân của hàm số tại x là:
1 + x2

B. dy =

−4 x
2 2

(1 + x )

dx .

C. dy =

− dx
2 2

(1 + x )

.

D. dy =

−4
dx .
1 + x2

 x2 − x x ≥ 0
Caâu 177: Cho hàm số f ( x ) = 
. Kết quả nào dưới đây là đúng?

x<0
2 x
A. f ' ( 0

x2 − x
B. f ' ( 0 ) = lim+
= lim+ x − 1 = −1 .
x →0
x →0
x
D. df ( 0 ) = − dx .

) = lim ( x − x ) = 0 .
C. f ' ( 0 ) = lim 2 x = 0 .
+

+

2

x → 0+

−

x → 0−

sin x
x

Caâu 178: Cho hàm số f ( x ) = 

A. f ' ( 0+ ) = 1 .

B. f ' ( 0− ) = 1 .

x≥0
x<0

. Khẳng định nào dưới đây là sai?

C. df ( 0 ) = dx .
Trang 24

D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .