131 câu toán ứng dụng trắc nghiệm có lời giải chi tiết

BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG – THẦY TRẦN TÀI
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Câu 1.

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A
trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách
bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD
mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là
điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển.
Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao
cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách
A một đoạn bằng:

A. 6.5km

B. 6km

C. 0km

D.9km

Hướng dẫn giải
Đặt

x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9]

BC = x 2 + 36; AC = 9 − x

Chi phí xây dựng đường ống là

Hàm

C( x)

C ( x ) = 130.000 x 2 + 36 + 50.000(9 − x )

, xác định, liên tục trên

C '( x ) = 0 ⇔ 13 x = 5 x + 36
2

[0;9]

và

(USD )

 13x

C '( x ) = 10000. 
− 5÷
2
 x + 36


⇔ 169 x 2 = 25( x 2 + 36) ⇔ x 2 =

25
5

⇔x=
4
2

5
C  ÷ = 1.170.000
C (0) = 1.230.000
C (9) ≈ 1.406.165
2
;
;
Vậy chi phí thấp nhất khi
Câu 2.

x = 2,5

. Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí
biển có một cái kho ở vị trí

C

A

cách

có khoảng cách đến bờ biển
B

một khoảng

7km

AB = 5km

.Trên bờ

.Người canh hải đăng có thể

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 1


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

chèo đò từ
đi bộ đến

A

C

đến

M

trên bờ biểnvới vận tốc

với vận tốc

6km / h

4km / h

.Vị trí của điểm

M

rồi

cách B

một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh
nhất?

A.

0 km

B.

7 km

C.

2 5 km

D.

14 + 5 5
km
12

Hướng dẫn giải
Đặt

BM = x( km) Þ MC = 7 - x( km) ,(0 < x < 7)

Ta có: Thời gian chèo đò từ

Thời gian đi bộ đi bộ đến

Thời gian từ
t′ =
Khi đó:

A

C

t=
đến kho
x

4 x 2 + 25

−

A

đến

M

tMC =
là:

.

t AM =
là:

x 2 + 25
(h).
4

7−x
( h)
6

x 2 + 25 7 − x
+
4
6

1
6
, cho

t′ = 0 ⇔ x = 2 5

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi
Câu 3.

x = 2 5( km).

Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm
C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây
điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G
rồi từ G đến C chi phí ít nhất.

A: 40km

B: 45km

C: 55km

D: 60km

Hướng dẫn giải

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 2


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Gọi

BG = x(0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x

Ta có

GC = BC 2 + GC 2 = x 2 + 3600

Chi phí mắc dây điện:
Khảo sát hàm ta được:

f (x ) = 3000.(100 − x ) + 5000 x 2 + 3600
x = 45

. Chọn B.

O
A
C
B
1,4
1,8
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu
mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn
nhất. Hãy xác định vị trí đó ? (
A.
C.

AO = 2,4m

·
BOC

B.

AO = 2,6m

D.

gọi là góc nhìn)

AO = 2m
AO = 3m

Hướng dẫn giải
Với

bài

toán

này

ta

cần

xác

định

OA

để

góc

BOC

lớn

nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,

ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =

=

AC AB
−
OA OA
AC . AB
1+
OA2

=

1,4

x
3,2.1,8
1+
x2

tan AOC − tan AOB
1 + tan AOC .tan AOB

1,4 x
x + 5,76
2

=

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 3


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
1,4 x
x + 5,76
2

Xét hàm số f(x) =

0
f(x)
+

∞

2,4
+
_
84
193

0
0
0
x
f'(x)
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có

f'(x) =

−1,4 x 2 + 1,4.5,76
(x 2 + 5,76)2

, f'(x) = 0

⇔

x=

±

2,4

Ta có bảng biến thiên

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.

A
B
C
FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 4


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
D
E
h


α
Câu 4.

Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng
hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là
v1 và trên đường bộ là v 2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời
gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?

Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.

A

C
D
E
h


α

Thời gian t là: t =

=

h
h
−
tanα + sinα
v1
v2

AC CD
+
v1
v2

=

AE − CE CD
+
v1
v2

=

B

=

 − h.cot α
h
−
v1
v2 sinα

•
•
•
•
A
FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 5


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
B
A1
B1
d
t (α ) =
Xét hàm số

cosα =

v2
v1

 − h.cot α
h
−
v1
v2 sinα

. Ứng dụng Đạo hàm ta được
cosα =

. Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho

v2
v1

t (α )

nhỏ nhất khi

.

Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu

Câu 5.

cùng khởi hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí

hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà
khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải

•
•
•
•
A
B
A1
B1
d
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2
85t 2 − 70t + 25
Suy ra d = d(t) =

.

Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
t=
khi

7
17

≈
(giờ), khi đó ta có d 3,25 Hải lý.

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 6


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng

Câu 6.

Cho hình chữ nhật có diện tích bằng

nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
10cm × 10cm
20cm × 5cm
A.
B.

100(cm2 )

C.

. Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao
25cm × 4cm

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải
x(cm)

y(cm) (x , y > 0).

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:
và
P = 2(x + y) = 2 x + 2y
Chu vi hình chữ nhật là:
100
200
y=
P = 2( x + y) = 2 x +
xy = 100
x >0
x
x
Theo đề bài thì:
hay
. Do đó:
với
P '(x) = 2 −
Đạo hàm:

200 2 x 2 − 200
=
x2
x2

y ' = 0 ⇔ x = 10

. Cho

.
Pmin = 40
x = 10 ⇒ y = 10
Lập bảng biến thiên ta được:
khi
.
10 × 10
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là
(là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy:
Câu 7.

P = 2(x + y) ≥ 2.2 xy = 4 100 = 40.

Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ
được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng

800(m)

. Hỏi anh ta chọn mỗi

kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
200m × 200m
300m × 100m
250m × 150m
A.
B.
C.
D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là:
Diện tích miếng đất:
Theo đề bài thì:

x( m)

y( m) ( x , y > 0).

và

S = xy

2( x + y ) = 800

hay

y = 400 - x

. Do đó:

S = x(400 - x) = - x 2 + 400 x

với

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

x> 0

H.Y 7

BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Đạo hàm:

S '( x) = - 2 x + 400

. Cho

Lập bảng biến thiên ta được:

y ' = 0 Û x = 200

Smax = 40000

khi

.

x = 200 Þ y = 200

Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là

200 ´ 200

.
(là hình vuông).

Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.

Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là

Câu 8.

180

mét

thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của
hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được
rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.

Smax = 3600m2

B.

Smax = 4000m2

C.

Smax = 8100m2

D.

Smax = 4050m2

Hướng dẫn giải
Gọi

x

là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và

giậu, theo bài ra ta có

Ta có:
Dấu
Vậy

x + 2 y = 180

y

là chiều dài cạnh vuông góc với bờ

. Diện tích của miếng đất là

S = y(180 - 2 y )

.

1
1 (2 y + 180 - 2 y) 2 180 2
y(180 - 2 y ) = ×2 y(180 - 2 y ) £ ×
=
= 4050
2
2
4

8

'' = ''

xảy ra

Û 2 y = 180 - 2 y Û y = 45m

Smax = 4050 m2

khi

x = 90m , y = 45m

.

.

x
y
Câu 9.

Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ
động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S,



là độ dài đường



biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương;
mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định,



là nhỏ nhất). Cần

xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động
học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 8


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

x = 4S , y =
A.
x = 2S , y =
C.

S
4

x = 4S , y =

S
2

x = 2S , y =

S
2

B.

S
4

D.

Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
2S
 = 2y + x =
+x
x

'

 (x)

=0

. Xét hàm số

2S
+x
(x) = x

⇔ x 2 − 2S = 0 ⇔ x = 2 S

, khi đó y =

. Ta có
S
x

=

S
2

' (x)

=

−2S
x2

+1=

x 2 − 2S
x2

.

.

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của

mương là

x = 2S

,y=

S
2

thì mương có dạng thuỷ động học.

2x
S1
S2
Câu 10.

Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ
a(m) a
nhật, có chu vi là
( chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ
nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác

định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
2a
a
4+π
4+π
A. chiều rộng bằng
, chiều cao bằng

B. chiều rộng bằng
C. chiều rộng bằng

a
4+π

, chiều cao bằng

a(4 + π )

2a
4+π

, chiều cao bằng

2a(4 + π )

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017

H.Y 9


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi

x

là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là
a −π x
cạnh của hình chữ nhật là
. Diện tích cửa sổ là:

π x2
a −π x − 2x
π
π
a
S = S1 + S2 =
+ 2x
= ax − ( + 2)x 2 = ( + 2)x(
− x)
π
2
2
2
2
+2
2

x=
Dễ thấy

S

lớn nhất khi

a

−x
π
+2
2

x=
hay

a
4+π

πx

, tổng ba

.

.(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh

Parabol)

Vậy để

S max

thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng

a
4+π

; chiều rộng bằng

2a
4+π

y
x
x
α
Câu 11.

Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là

a

sao

cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế nào?
a
a
a
a
x= ;y=
x= ;y=
4
2
3
3
A.
B.

x=
C.

a
2a
;y=
6
3

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải
a = 2x + y
là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là
. Ta cần
x
tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính
sao cho diện tích quạt lớn nhất. Dựa
Gọi

x

là bán kính hình quạt,

y

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 10


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

vào công thức tính diện tích hình quạt là
S=
tích hình quạt là:
S=

R
2

S

=
và độ dài cung tròn

2π Rα
360

, ta có diện

. Vận dụng trong bài toán này diện tích cánh diều là:

xy x(a − 2 x) 1
=
= 2 x(a − 2 x)
2
2
4

Dễ thấy

π R2 α
S=
360

.

⇔ 2x = a − 2x ⇔ x =
cực đại

a
a
⇒y=
4
2

. Như vậy với chu vi cho trước, diện tích

của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.
Câu 12.

Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có
tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số

120cm

từ tấm gỗ trên

sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm
gỗ này là bao nhiêu?
A.

40cm

.

B.

40 3cm

.

C.

80cm

.

D.

40 2cm

.

Hướng dẫn giải
Kí hiệu cạnh góc vuông
Khi đó cạnh huyền

AB = x,0 < x < 60

BC = 120 − x

, cạnh góc vuông kia là

S ( x) =
Diện tích tam giác ABC là:
trên khoảng
S,( x ) =
Ta có

1
x. 1202 − 240 x
2

AC = BC 2 − AB 2 = 1202 − 240 x

. Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số này

( 0;60 )
1
1
−240
14400 − 360 x
1202 − 240 x + x.
=
⇒ S ' ( x ) = 0 ⇔ x = 40
2
2
2 2 120 − 240 x 2 1202 − 240 x

Lập bảng biến thiên ta có:

x

0 40 60

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 11


BI GING TON NG DNG THC TIN 2017
S' ( x )

+0
S ( 40 )

S ( x)

Tam giỏc ABC cú din tớch ln nht khi
Cõu 13.

T ú chn ỏp ỏn C

Tỡm din tớch ln nht ca hỡnh ch nht ni tip trong na ng trũn bỏn kớnh

10cm

A.

BC = 80

, bit mt cnh ca hỡnh ch nht nm dc trờn ng kớnh ca ng trũn.

80cm 2

100cm 2

B.

C.

160cm 2

D.

200cm 2

Hng dn gii
Gi

x (cm )

l di cnh hỡnh ch nht khụng nm dc theo ng kớnh ng trũn

( 0 < x < 10)
.

2 10 2 - x 2 ( cm ) .
Khi ú di cnh hỡnh ch nht nm dc trờn ng trũn l:

Din tớch hỡnh ch nht:
S Â= 2 10 2 - x 2 Ta cú
ộ 10 2

ờx =
ờ
2
S Â= 0 ờ
ờ
ờx = - 10 2
ờ
2
ở

S = 2 x 10 2 - x 2
2x 2
2

10 - x

2

= 2.10 2 - 4 x 2

( thoỷa)
( khoõng thoỷa)

ổ
10 2 ử
ữ
ữ
S ÂÂ= - 8 x ị S ÂÂỗ
= - 40 2 < 0
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ố
ứ

x=
. Suy ra

10 2
2

S ( x)
l im cc i ca hm

.

FILE WORD LIấN H: THY TRN TI 0977.413.341 CHIA S Vè CNG NG NM 2017 H.Y 12


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
S = 10 2. 10 2 -

Câu 14.

10 2

= 100 ( cm 2 )
2

Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi
các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của
trục tọa độ Oxy , nội tiếp dưới đường cong y=e x

. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có

thể được vẽ bằng cách lập trình trên
A. 0,3679 ( đvdt)

B. 0,3976 (đvdt)

C. 0,1353( đvdt)

D 0,5313( đvdt)

Hướng dẫn giải
Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S = xe-x
S '( x ) = e − x (1 − x)

S '( x ) = 0 ⇔ x = 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax =

e −1 ; 0,3679

khi x=1

Đáp án A

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 13


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
Câu 15.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như
hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7

B. 5

C.

7 2
2

D.

4 2

.

Hướng dẫn giải

Ta có

S EFGH

Tính được

Mặt khác

nhỏ nhất

⇔ S = S AEH + SCGF + S DGH

2 S = 2 x + 3 y + (6 − x )(6 − y) = xy − 4 x − 3 y + 36

∆AEH

đồng dạng

∆CGF

2 S = 42 − (4 x +
Từ (1) và (2) suy ra

4 x+
Biểu thức

lớn nhất.

18
x

18

)
x

⇔ 4x =
nhỏ nhất

nên

(1)

AE AH
=
⇒ xy = 6
CG CF

(2)

4 x+
. Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi

18
3 2
⇒x=
⇒ y=2 2
x
2

18
x

nhỏ nhất.

. Vậy đáp án cần chọn là C.

Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích
Câu 16.

(ĐMH)Có một tấm nhôm hình vuông cạnh

12cm.

Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

x(cm)

rồi gấp

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 14


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm
hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
x =6
x =3
A.
B.

x =2

C.

D.

x

để hình

x =4

Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp:

12 − 2 x.

Thể tích cái hộp là:

V '( x) = 12 x − 96 x + 144 x.
3

Ta có:

2

Lập bảng biến thiên ta được
Câu 17.

Diện tích đáy của cái hộp:

V = (12 − 2 x) . x = 4 x − 48 x + 144 x
2

3

2

V '(x) = 0

Cho
Vmax = 128

khi

với

(12 − 2 x)2

.

x ∈ (0;6)

, giải và chọn nghiệm

x = 2.

x = 2.

Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật
có thể tích

3200cm3

, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng

2

. Hãy

xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A.

1200cm2

B.

160cm2

C.

1600cm2

D.

120cm2

Hướng dẫn giải

x , y (x , y > 0)
Gọi

Gọi

lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.

h

là chiều cao của hố ga (

h> 0

). Ta có

h
= 2 => h = 2x ( 1)
x

V = xyh = 3200 => y =
suy ra thể tích của hố ga là :
Diện

tích

toàn

S = 2xh + 2yh + xy = 4x 2 +

phần

3200 1600
= 2 ( 2)
xh
x
của

hố

ga

là:

6400 1600
8000
+
= 4x 2 +
= f (x )
x
x
x

y = f (x ), ( x > 0)

Khảo sát hàm số

1200cm 2

suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng

khi

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 15


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
x = 10 cm => y = 16cm
Suy ra diện tích đáy của hố ga là
Câu 18.

10.16 = 160cm 2

Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính

1m

, chiều dài

8m

để được

một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi
cưa xong là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải
Gọi

x 2 + y 2 = 12

x , y(m)

là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta có:
(đường kính của
1m
thân cây là
). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại, nghĩa

là khi

x.y

cực đại. Ta có:

1
x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ xy ≤ .
2

V=
Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong:

Câu 19.

Dấu

"="

1 1
× ×8 = 4m3
2 2

x=y =
xảy ra khi

1
2

.

(tiết diện là hình vuông).

Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là
một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc
thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi
120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích
lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
35 cm; 25 cm

A.

40 cm; 20 cm

B.

50 cm;10 cm

C.

30 cm; 30 cm

D.

Hướng dẫn giải

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 16


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
x ( cm) (0 < x < 60)

Gọi một chiều dài là

60 - x ( cm)

, khi đó chiều còn lại là
r=

có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là

x
; h = 60 - x.
2p

, giả sử quấn cạnh

V = pr 2 .h =

Ta có:

- x3 + 60 x 2
.
4p

f ( x) = - x3 + 60 x2 , x Î ( 0; 60)

Xét hàm số:
éx = 0
f '( x) = - 3 x 2 + 120 x; f '( x) = 0 Û ê
êx = 40
ë
f ( x) = - x 3 + 60 x2 , x Î ( 0; 60 )

Lập bảng biến thiên, ta thấy

lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đó

chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B
Câu 20.

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là
2000π
lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao

nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
1dm
2dm
1m
2m

A.
và
B.
và
C.

2m

và

1m

D.

2dm

và

1dm

Hướng dẫn giải
Đổi

2000π (lit ) = 2π (m3 )

. Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là
V = π x .h = 2π ⇒
2

Ta có thể tích thùng phi

h=

x(m)

và

h(m)

.

2
x2

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm

x

để diện tích toàn phần bé

nhất.
Stp = 2π x 2 + 2π x.h = 2π x( x +

2
2
) = 2π ( x 2 + )
2
x
x

Đạo hàm lập BBT ta tìm đc

f (x )

GTNN tại

x =1

, khi đó

h = 2.

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 17


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
Câu 21.

Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái
phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành
hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn
của hình quạt bằng

A.

π 6

cm

B.

6π 6

cm

C.

2π 6

cm

D.

8π 6

cm

Hướng dẫn giải

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của
hình nón sẽ có độ dài là x.

2π r = x ⇒ r =
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức

x
2π

R −r =

2

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
2

Thể tích của khối nón:

1
π x 
V = π r 2 .H = 
÷
3
3  2π 

R2 −

x2
4π 2

2

.
x2
R −
4π 2
2

.

.

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 18


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
 x2
x2
x2
2
+
+
R
−
2
2
2
2
2 
4π x
x
x
4π 8π 2 8π 2
4π 2
V2 =
. 2 . 2 (R2 −
)
≤


9 8π 8π
4π 2
9 
3



Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

x2
x2
2
=
R
−
8π 2
4π

⇔ x=

3


÷ 4π 2 R 6
.
÷=
9 27
÷
÷


2π
R 6 ⇔ x = 6 6π
3

(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán
sẽ dài hơn)
Câu 22.

Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính

R = 6m

phải làm một cái phễu bằng

cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung
tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
≈ 12,56°
≈ 2,8°
≈ 66°
≈ 294°
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của
hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải
chi tiết như sau:
Gọi

x(m)

là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).

x = 2π r ⇒ r =
Khi đó

x
2π

h = R2 − r 2 = R2 −
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là

Thể tích khối nón sẽ là :

x2
4π 2

1
1 x2
x2
2
V = π r 2h = π
R
−
3
3 4π 2
4π 2

Đến đây các em đạo hàm hàm

V (x )

tìm được GTLN của

V (x )

x=
đạt được khi

2π
R 6 = 4π
3

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 19


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là :
Câu 23.

2π R − 4π

⇒α =

2 6π − 4π
3600 ≈ 66 0
2 6π

Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng

2

m. Nam muốn mắc một bóng

điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh
sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức
C =c

sin α
l2

(

α

là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ

phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) . Khoảng cách
nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là
A. 1m

B. 1,2m

C. 1.5 m

D. 2m

Hướng dẫn giải

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ
lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ)
sin α =

Ta có
C ' ( l ) = c.

h
l

h =l − 2
2

và

6 − l2
l 4. l 2 − 2

C (l ) = c

2

(

, suy ra cường độ sáng là:

> 0 ∀l > 2

(

C '( l ) = 0 ⇔ l = 6 l > 2

l2 − 2
(l > 2)
l3

.

)

)

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 20


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi

l= 6

, khi đó

h=2

Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2017 , ông A quyết định mua tặng vợ một

Câu 24.

món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình
vuông và không có nắp . Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị
của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp , biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi
điểm trên hộp là như nhau . Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là
. Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của
A.

x = 2; h = 4

B.

h; x

x = 4; h =

x = 4; h = 2

C.

h; x

phải là ?
3
2

D.

x = 1; h = 2

Hướng dẫn giải

Ta có

ìï S = 4 xh + x 2
ïï
32
128
ïí
Þ S = 4 x. 2 + x 2 =
+ x2
V
32
2
ïï V = x h ® h =
x
=
x
ïïî
x2 x2

, để lượng vàng cần dùng là nhỏ nhất

thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có
S=

128
128
+ x 2 = f ( x) ® f ' ( x) = 2 x - 2 = 0 Þ x = 4
x

x
h=2

,

Chọn đáp án B
Câu 25.

Một người có một dải ruy băng dài 130cm, người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh
một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt
nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây duy băng có thể bọc được
hộp quà có thể tích lớn nhất là là nhiêu ?

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 21


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017
4000p cm 3

1000p cm 3

A.

2000p cm 3

B.

1600p cm 3

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi

x (c m ); y(c m )

(x , y > 0; x < 30)

lần lượt là bán kính đáy và chiều của hình trụ

Dải dây duy băng còn lại khi đã thắt nơ là:
Ta có

120 c m

(2x + y ).4 = 120 Û y = 30 - 2x

Thể tích khối hộp quà là:

V = px 2 .y = px 2 (30 - 2x )

Thể tích V lớn nhất khi hàm số
f '(x ) = - 6x 2 + 60x

, cho

f (x ) = x 2 (30 - 2x )

với

0 < x < 30

đạt giá trị lớn nhất.

f '(x ) = - 6x 2 + 60x = 0 Þ x = 10

Lập bảng biến thiên, ta thấy thể tích đạt giá trị lớn nhất là
Câu 26.

.

V = 1000p(cm 3 )

.

Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các
hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là
của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể
tích của chúng là V2.

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 22

BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Khi đó, tỉ số

V1
V2

là:

A. 3

B. 2

1
2

C.

D.

1
3

Hướng dẫn giải

2πR1 = 3 ⇒ R 1 =
.Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

2πR 2 = 1 ⇒ R1 =
. Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

3
27
⇒ V1 = πR12 h =
2π
4π

1
9
⇒ V2 = 3πR12 h =
2π
4π

Vậy đáp án là A.
Câu 27.

Cho hình chóp
trung điểm của

N .Gọi

A.

3
8

V1

S .A BCD

SC

có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là

, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và

V1
là thể tích của khối chóp

B.

1
3

S .A MPN

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

C.

2
3

D.

V

?

1

8

FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 23


BI GING TON NG DNG THC TIN 2017

Hng dn gii

x =
t

SM
SN
;y =
, (0 < x , y Ê 1)
SD
SB

V SA BC = V SA DC = V SA B D = V SBCD =
khi ú ta cú :

Ta
V1
V

V
2

cú

=

V SA MPN
V

V1
V

=

=

V SA MP + V SA NP
V

V SA MPN
V

Li cú :

T (1) v (2) suy ra :

=

V SA MN
2V SA B D

=

+

V SA MP
2V SA DC

V SA NP

+

V SMNP
2V SB CD

2V SA BC

:
1ổ
SM SP
SN SP ử
1
ữ
ữ
= ỗ
.
+
= ( x + y ) ( 1)
ỗ
ữ
ữ 4
2ỗ
SB SC ứ
ốSD SC

1ổ
1 ử 3
ữ= xy ( 2)
= ỗ
ỗxy + xy ữ
ữ
2ỗ
2 ữ
ố
ứ 4

1
3
x
x + y ) = xy ị y =
(
4
4
3x - 1

0 < y Ê 1 =>
do

ổ
3
3
x
3x 2
3

1
= .xy = .x
=
= f (x ), ỗ
ÊÊx
ỗ
ỗ
V
4
4 3x - 1 4 ( 3x - 1)
4
ố2

x
Êị
1
3x - 1

x

1
2

ử
ữ
1ữ
ữ
ữ
ứ

V1

T (2) suy ra

ổ
1
y = f (x ), ỗ
ỗ ÊÊx
ỗ
ố2

ử
ữ
1ữ
=>
ữ
ữ
ứ

Kho sỏt hm s
Cõu 28.

Cho hỡnh chúp

S .A BCD

cú ỏy

mt phng ỏy v gúc gia
ng trờn cnh

Khi im

M

CD

v

H

SC

min
f (x ) =
ổ
ử

ữ
ỗ1 Ê x Ê 1ữ
xẻ ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ

A BCD

ổử

V
2
4
1
ữ
fỗ
= => 1 =
ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
V
3
ố3 ứ 9

l hỡnh vuụng cnh

vi mt phng

(SA B )

bng

l hỡnh chiu vuụng gúc ca

di ng trờn cnh

CD

S

a, SA

300.

vuụng gúc vi

Gi

M

l im di

trờn ng thng

thỡ th tớch ca khi chúp

S .A BH

BM .

t giỏ tr ln

nht bng?

A.

a3 2
3

B.

a3 2
2

C.

a3 2
6

D.

a3 2
12

Hng dn gii

Ta cú gúc gia SC v mt phng (SAB) l

ã
CSB
= 300

FILE WORD LIấN H: THY TRN TI 0977.413.341 CHIA S Vè CNG NG NM 2017 H.Y 24


BÀI GIẢNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017

Trong tam giác SBC có
Trong tam giác SAB có

SB = BC .cot 300 = a 3

SA = SB 2 - A B 2 = a 2

V S .A BH =
Thể tích khối chóp S.ABH là:
HA 2 + HB 2 = A B 2 = a 2

Ta có
2

2

và theo bất đẳng thức AM-GM ta có

2

a = HA + HB ³Þ£
2.HA .HB

Đẳng thức xảy ra khi
V S .A BH
Khi đó

1
1 1
a 2
S A BH .SA = . HA .HB .a 2 =
HA .HB

3
3 2
6

HA .HB

a2
2

·
HA = HB Û A BM = 450 Ûº M

D

a 2
a 2 a2
a3 2
=
HA .HB £
. =
6
6 2
12

Nhóm 4: Bài toán lãi suất ngân hàng
Câu 29.

Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng
cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối
thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp

ba lần số tiền ban đầu.

A. 8

B. 9

C. 10

D.11

Hướng dẫn giải
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03

Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là:

A ( 1 + 0, 03 )

n

ycbt ⇔ A ( 1 + 0, 03 ) = 3A ⇔ n = log1,03 3 ≈ 37,16
n

.

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.
FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 25