Sáng kiến kinh nghiệm Toán THCS

Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chän ®Ị tµi:
- Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công
nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại.
Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác đònh giáo dục là
quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan
tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại
học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực.
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng,
là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn
toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy
mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là
cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để
giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được
đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một
bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc
giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo
của học sinh.Với ý nghó như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức
bunhiacopxki vào giải một số bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số
và hình học, hoặc giải một số bài toán cực trò đại số và hình học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
1
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ
thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp
giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là
việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về
các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các
loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một
số bài toán cực trò đại số và hình học.
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong
khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp
trình tự từ đơn giản đến phức tạp.
III. ĐỐI TƯNG
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9.
IV. MỤC ĐÍCH
Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng
học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh
có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng
tạo cho học sinh.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
2
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC.
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người

mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy
mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là
cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vò và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó
mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng
thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các
bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học
sinh.
2. ĐỐI TƯNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
A. ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ĩ chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc
I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
3
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi
phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là
3 kỹ thuật thường gặp:
 Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
 Dồn phối hợp.
 Kỹ thuật nghòch đảo.
1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại .
Ví dụ 1: Cho

2
=+
ba
, a,b
∈
R
Chứng minh rằng:
≥+
44
ba
2
Lời giải:
Ta viết a
4+
b
4
=
( )( )






++
22
2
222
)(11
2

1
2
1
ba
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
( )
22.
8
1
2
1
4
4
22
==+≥
ba
(đfcm)
Ví dụ 2: cho
3
4
)1()1()1(
≤−+−+−
ccbbaa
Chứng minh rằng:
41
≤++≤−
cba
Lờigiải:
Tư øgiả thiết ta có:

)())(111(
3
1
)()1()1()1(
3
4
222222222
cbacbacbacbaccbbaa
++−++++=++−++=−+−+−≥
B.C.S
( )
)(
3
1
2
cbacba
++−++≥

( )
04)(3
2
≤−++−++⇒
cbacba
0)4)(1(
≤−+++++⇔
cbacba
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
4
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
≤++≤−⇔
cba
Ví dụ 3: cho x,y
R
∈
. Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì
2
25
)
1
()
1
(
22
≥+++
y
y
x
x
Lời giải:
Ta sử dụng
)(2)(
222
baba
+≤+
2
)(
2

22
ba
ba
+
≥+⇔
Khi đó ta có:
2222
)
1
1(
2
1
)
11
(
2
1
)
1
()
1
(
xyy
y
x
x
y
y
x
x

+=+++≥+++
mà
4
1
4
1
4121
≥⇒≤⇒≥⇒≥+=
xy
xyxyxyyx
vậy
2
25
)41(
2
1
)
1
()
1
(
222
=+≥+++
y
y
x
x
2. Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng:
743

22
≥+
yx
Lời giải:
Ta viết
{ }
49)43()2(3)43(
22222
=−≥−++
yxyx
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng
qpqbpa
c
qapc
b
cqbp
a
+
≥
+
+
+
+
+
3
..
Lời giải
)(. qcpba
qcpb
a

a
+
+
=
)(. qapcb
qapc
b
b
+
+
=
)(. qbpac
qbpa
c
c
+
+
=
Gọi S là vế trái ta có:
{ }
))(()()()()(
2
cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba
+++=+++++≤++
(2)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
5
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mà
2
)(
3
1
cbacabcab
++≤++
(3)
Vì (3)
2
222222
2
)(
222))(()(2)(3
)()(3
cba
cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab
cbacabcab
++=
+++++++≤+++++=++
++≤++⇔
Từ (2), (3)
22
).(
3
1
).()( cbaqpScba
+++≤++⇒
qp
S

+
≥⇒
3
(đpcm)
Ví dụ 3:
Cho
0
>≥≥
zyx
Chứng minh rằng:
222
222
zyx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++
(1)
Lời giải : Xét hai dãy số:
y
xz
x
zy
z
yx
,,
và

x
yz
z
xy
y
zx
,,
Ta có:
2222
222222
)()).(( zyx
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++++
(2)
Xét hiệu
0))()()((
1
(
1

232323232323
222222
≥++−−−=
−−−++=−−−++=
zxyzxyxzzyyx
xyz
yzxyzxxzzyyx
xyzx
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
A
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy

z
yx
222222
++≥++⇒
(3)
Từ (2), (3) suy ra đpcm
3. Kỹ thuật nghòch đảo
Dạng 1
2
1
2
1
2
1
)())((
∑∑∑
===
≥
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
x
y

x
y

0
>∀
i
y
Chứng minh:
Ta viết
∑ ∑∑ ∑∑∑
= == ===
=≥=
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i

i
n
i
i
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
1
2
1
2
2
2
1 1
2
2
1
2
1
)()).(()(.)()((
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
6