Tìm nguyên hàm bằng pp từng phần

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

2017

Phương pháp:
Nếu hai hàm số u ( x ) và v ( x ) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, thì trên khoảng hay

)v′ ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx
∫ u ( x=

đoạn đó:
Hay

∫ udv=

du = f ′ ( x ) dx
u = f ( x )
Chú ý: Đặt 
⇒
=
) dx G ( x ) + C
dv g ( x ) dx =
v ∫ g ( x=

uv − ∫ vdu

Ta thường chọn C = 0 ⇒ v = G ( x )
Các dạng cơ bản: Cho P ( x ) là một đa thức
☻ Dạng 1:

u = P ( x )
.
Đặt
P
x
ax
+
b
dx
sin
(
)
(
)

∫
=
dv sin ( ax + b ) dx

☻ Dạng 2:


∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx . Đặt=
dv

u = P ( x )
cos ( ax + b ) dx


P ( x)

u =
☻ Dạng 3: ∫ P ( x ) e ax +b dx . Đặt 
ax + b
dv = e dx

=
u ln ( ax + b )
☻ Dạng 4: ∫ P ( x ) ln ( ax + b ) dx . Đặt 
dv = P ( x ) dx
☻ Dạng 5: ∫ e ax +b sin ( a′x + b′ ) dx hoặc ∫ e ax +b cos ( a′x + b′ ) dx
Dùng tích phân từng phần hai lần với u = e ax +b

Bài 1 : Tìm các nguyên hàm
a) ∫ x sin xdx

b) ∫ x cos xdx

c) ∫ xe x dx

d)

∫ x ln xdx

Hướng dẫn giải
a) ∫ x sin xdx .
Vậy

=
u x=
du dx

Đặt 
⇒
dv = sin xdx v = − cos x

∫ x sin xdx= ∫ udv=

uv − ∫ vdu

=
− x cos x + ∫ cos xdx =
− x cos x + sin x + C

b) ∫ x cos xdx
Vậy ∫ x sin xdx
=

=
u x=
du dx
Đặt 
⇒
=
=
xdx v sin x
dv cos

∫ udv=

uv − ∫ vdu = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C

1 | Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo)
Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook
Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ


Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

c)

=
u x=
du dx
⇒
Đặt 

x
=
dx v e x
dv e=

x
∫ xe dx

Vậy

2017

∫ xe dx= ∫ udv=
x

uv − ∫ vdu = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C

dx

du =

u = ln x

x
d) ∫ x ln xdx Đặt 
⇒
dv
=
xdx
1

v = x 2 dx

2
Vậy

∫ x ln xdx=

∫ udv= uv − ∫ vdu=

x2
x
x2
x4
=

ln x − ∫ dx
ln x − + C
2
2
2
4

Bài 2 : Tìm các nguyên hàm:
a)

∫x

2

b) ∫ ln xdx

sin xdx

c) ∫ 2 x ln ( x − 1) dx

d)

∫ ( ln x )

2

dx

Hướng dẫn giải:
a)

u = x 2
du = 2 xdx
⇒
Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x

2
∫ x sin xdx

− x cos x + ∫ 2 x cos xdx
∫ x sin xdx =
♥ Tính ∫ 2 x cos xdx

Vậy:

2

2

x
u 2=
du 2dx
Đặt 
⇒
=
=
xdx v sin x
dv cos

∫ 2 x cos xdx = 2 x sin x − 2∫ sin xdx = 2 x sin x + 2 cos x + C
Tóm lại: ∫ x sin xdx =
− x cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C

Vậy:

2

2

dx

u = ln x du =
Đặt 
⇒
x
dv = dx v = x


b) ∫ ln xdx

Vậy: ∫ ln xdx
= x ln x − ∫ dx
= x ln x − x + C
c) ∫ 2 x ln ( x − 1) dx

1

dx
=

u ln ( x − 1) du =
Đặt 
⇒
x −1
dv = 2 xdx
v = x 2


x2
dx
x −1
1 

= x 2 ln ( x − 1) − ∫  x + 1 +
 dx
x −1 


Vậy ∫ 2 x ln ( x − 1=
) dx x 2 ln ( x − 1) − ∫

= x 2 ln ( x − 1) −

d)

∫ ( ln x )

2

dx

x2
− x − ln x − 1 + C
2

2 ln x

u = ( ln x )2
dx
du =
Đặt 
⇒
x
v = x
dv = dx

2 | Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo)
Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook
Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ


Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
Vậy

x ) dx x ( ln x )
∫ ( ln=
2

2

− 2∫ ln xdx

2017

1

u = ln x du = dx
Đặt 
⇒
x
dv = dx v = x


♥ Tính ∫ ln xdx

Vậy ∫ ln xdx
= x ln x − ∫ dx
= x ln x − x + C

dx x ( ln x )
∫ ( ln x )=
Bài 3 : Tính ∫ e sin xdx
2

Tóm lại:

2

− 2 x ln x + 2 x + C

x

Hướng dẫn giải
x
u e=
du e x dx
=
⇒
Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x

A = ∫ e sin xdx
x

A=
uv − ∫ vdu =
−e x cos x + ∫ e x cos xdx (1)
x
u e=
du e x dx
=
⇒
♥ Ta tính: B = ∫ e cos xdx
Đặt 
=
=
xdx v sin x
dv cos
x

B = uv − ∫ vdu = e x sin x − ∫ e x sin xdx= e x sin x − A

Thay vào (1), ta có:
A=
−e cos x + e sin x − A
x

x

ex
Vậy: A=
( sin x − cos x ) + C
2

3 | Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo)
Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook
Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ