Bai tap ve toa do trong khong gian

Netschool.edu.vn
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0) và A’(0; 0; 3).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD’ sao cho khoảng cách từ
điểm A’ đến mặt phẳng (P) bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P).
b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng A’C sao cho BMD  1200 .
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x  y  2z 2 = 0 và đường thẳng
3. (d):

x y 1 z  2
.


1
2
1

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d), I cách (P) một

khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3.
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A(0; 0; 2), B(3; 0; 5),
C(1; 1; 0), D(4;1; 2). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DH và AB.
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) và
mp(P): x + 2y + z 3= 0. Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một
góc  thỏa mãn:

cos  

3

6

6. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):

x y  3 z 1


1
1
2

và hai điểm A(2;

1; 1), B(0; 1: 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABM
có diện tích nhỏ nhất.
7. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) và đường thẳng
(d):

x y  3 z 1


.
1
1
2

Viết phương trình đường thẳng () đi qua giao điểm của đường

thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường
thẳng (d) một góc  sao cho

cos  

5
.
6

8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và
C(3; 0; 4). Tìm điểm S trên mặt phẳng Oyz sao cho SC vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC
9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho

x  t
x x 1 z  4


hai đường thẳng (d1 ) :  y  1  2t ;(d 2 ) : 
1
2
5
 z  3t


a. Chứng minh (d1) và (d2) cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1) và (d2).
b. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (P) và ba mặt phẳng tọa độ.
10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng (d) có
phương trình:
11.

x 1 y 1 z



.
2
1
1

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với
1
Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn
đường thẳng d.
12.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có
phương trình:

x 1 y 1 z
.


2
1
1

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua

điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
13.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết
S(3;2;4), B(1;2;3), D(3;0;3). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập
phương trình mặt phẳng   chứa BI và song song với AC.
14.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho và mặt cầu
(S): x2  y 2  z 2  2x  4 y  2z  3  0 và hai điểm A(1;0;0), B(1;1;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một hình tròn có
diện tích 3 .
15.
Trong không gian với hệ
toạ
độ Oxyz,
cho
mặt cầu
2
2
2
(S): x  y  z  2x  4 y  6z  11  0 và mặt phẳng (  ): 2x  2 y  z  17  0 . Viết phương
trình mặt phẳng (  ) song song với   và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có chu
vi bằng 6 .
16.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường
thẳng    : x  1 
2

y 1 z
 .
1 2

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () để tam giác MAB

có diện tích nhỏ nhất.
17.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1)
và mặt phẳng (P): x + 5y  7z  5 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
18.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x  1  y  1  z  4
2

3

2

và mặt cầu (S): x + y + z  10x  2z + 10 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
2

19.

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

x y 1 z  2



1
2
1

,

mp(P): 2x + 3y  6z 2 = 0 và điểm A(0;1;3). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua
điểm A, tâm thuộc đường thẳng  và tiếp xúc với mp(P).
20.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(2;1;6) và
mp(P): x + 2y + z 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và tạo với (P)
một góc  thỏa mãn

cos  

3
6

.

21.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;2), mặt cầu (S): x2 + y2
+ z2  4x + 4y  4z  2 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y + 4z  3 = 0 . Viết phương trình
mặt phẳng (Q) đi qua điểm M, vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
2
Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn

22.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1)
và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B,
C và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
23.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4),
C(2; 1; 6) và đường thẳng thẳng (d):

x 1 y  2 z 1
.


2
1
1

Xác định toạ độ điểm M

thuộc (d) sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
24.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết
S(3;2;4), B(1;2;3), D(3;0;3). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập
phương trình mặt phẳng () chứa BI và song song với AC.
25.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có
C(0; 0, 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và C’(0;0; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
B’C’ và AB; P, Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng BD và CD’ sao cho PQ
song song MN. Lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng MN và PQ.
26.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

biết A(3;0; 0), B(0;2; 0),C(0; 0; 1).
27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 2), B(1; 3;
0), C(3; 4; 1) và D(1; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
28.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 3x  3 y  2z  37  0 và các
điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0). Tìm toạ độ điểm M thuộc () để biểu thức sau
đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB  MB.MC  MC.MA .
29.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A  0;1;2 ,B  1;1;0 và mặt phẳng (P):
x  y  z  0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B.
30.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) và đường thẳng (d):
x y  2 z 1


.
1
1
1

31.

Tìm trên (d) hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng    :

x 1 y 1 z 1



1
2
2

và

mặt phẳng (P): 2x  y  2z  2  0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường
thẳng    và tiếp xúc với hai mặt phẳng: mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P).
32.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

 x  2t
(d):  y  t
 z  1  2t


và mặt

phẳng (P): x  y  z  1  0 . Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ
điểm H thuộc (d’) sao cho H cách điểm K(1; 1; 4) một khoảng bằng 5.
33.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): x  2 y  2  0 và các điểm
A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3; 2). Tìm toạ độ điểm M, biết rằng M cách đều các điểm
Netschool.edu.vn

3


Netschool.edu.vn

và mặt phẳng ().
34.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có
M  5;3;  1 ,P  2;3;  4  . Tìm toạ độ đỉnh Q, biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng
x y  z 60.
35.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm Q đối xứng với điểm
P  2; 5;7  qua đường thẳng đi qua hai điểm M1  5;4;6  , M2  2; 17; 8
36.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm B  1; 3;0  , C 1; 3;0  và
A, B, C

M  0;0;a 

với a  0 . Trên trục Oz lấy điểm N sao cho hai mặt
phẳng  NBC ,  MBC vuông góc với nhau. Hãy tìm a để thể tích khối chóp B.CMN đạt
giá trị nhỏ nhất.
37.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường
thẳng (d) chứa đường kính của mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  2x  6 y  z  11  0 biết rằng (d)
vuông góc vói mặt phẳng (P): 5x  y  2z  17  0 .
38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
x2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  16  0

và đường thẳng (d):

x 1 y  3 z

 .
1

2
2

Chứng minh rằng chỉ

có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và chứa đường thẳng (d). Viết
phương trình mặt phẳng này.
39.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1:

x 1 y 1 z  3
;


1
1
1

 x  1  2t
2:  y  1
.
z  t


Đường thẳng  đi qua điểm I(0;3;1), cắt 1 tại A, cắt 2 tại B. Tính tỷ số
40.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1:
x 1 y 1 z  3



1
7
1

IA
IB

x 1 y z  2


;
2
1
1

1:

. Đường vuông góc chung của 1 và 2 cắt 1 tại A, cắt 2 tại B.

Tính diện tích  OAB.
41.
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x  8y + 7z + 4 = 0 và hai điểm
A(1; 1; 3), B(3; 1; 1). Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (ABC) sao cho tam giác
ABC đều.
42.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x + y  2z + 9 = 0, đường thẳng
(d):

x 1 y 1 z  3


.
1
7
1

Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P) và thỏa

mãn  cắt (d) tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2.
43.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z
– 4 = 0 và hai điểm A(0;0;1), B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B
và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Netschool.edu.vn

4


Netschool.edu.vn
44.

x
1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : 

y  3 z 1


1
2

và hai

điểm A(2;1;1), B(0;1;2). Gọi I là giao điểm của (d) với mặt phẳng (OAB). Viết
phương trình đường thẳng  đi qua I, nằm trong (OAB) và tạo với (d) một góc  biết
cos  

45.

5
.
6

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’A =

a 3
và
2

A’B = A’C = a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C).
46.
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2a và BAD  600 . Gọi M là
trung điểm của A’D’. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDM), biết rằng AC’
vuông góc với mặt phẳng (BDM).
47.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB  3a, BC  2a .
Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của
tam giác BCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi M là trung

điểm SC và E là giao điểm giữa đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Tính thể tích
khối tứ diện ABCE.
48.
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),
ABC  ACB   , AD = a, SDA   với D là trung điểm BC. Mặt phẳng qua A và vuông
góc với SD cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.AMN theo a, α và
.
49.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

x3 y 2 z 2
, mặt


1
1
1

phẳng
(P): x + 2y – z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z =
0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với (P), song song với  và tiếp xúc
với mặt cầu (S).
50.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với
S(1;2;2), B(3;2;1), D(1;0;3). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Lập phương trình mặt phẳng   chứa BI và song song với AC.
51.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;3;2), B(-1;2;3) và
C(-2;0;1). Viết phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng (ABC).
52.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 1 y  2 z 1


và hai điểm A(0;1:2), B(2;1;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc đường
1
1
2

thẳng  sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
53.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =
2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và BC, P là điểm đối xứng với M qua
trung điểm của SA. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và NP.
Netschool.edu.vn

5


Netschool.edu.vn
54.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 600 . Cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính
cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và SB.
55.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; 6; 6), B(4; 4; 4), C( 2; 10;
2) và S(2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC. Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC.
56.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia
Ox, Oy và Oz sao cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2;
3). Xác định tọa độ các điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ
nhất.
57.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z  3 = 0, (Q): y + z +
5 = 0 và điểm A(1;  1;  1) . Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN
vuông góc với giao tuyến của (P), (Q) và nhận A là trung điểm.
58.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1), B(2; 1;0), C(2;4;2) và mặt
phẳng ( ) : x  y  2 z  2  0 . Tìm tọa độ điểm M trên () sao cho biểu thức
T  MA2  MB2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
59.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) và mặt phẳng
(P): 3x  y  z +1 = 0. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho ABC tam giác đều.
60.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm trên mặt
phẳng Oxy và C nằm trên trục Oz. Tìm tọa độ các điểm B, C sao cho H(2; 1; 1) là trực
tâm của tam giác ABC.
61.
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
A(0;1;2), vuông góc với đường thẳng (d ) :

x

3

y

1

2
1

z
và tạo với mặt phẳng (P):
1

2x + y  z +5 = 0 một góc 30 .
62.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(0; 1; 2), N(1; 1; 3) và I(0; 0;
2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và thỏa mãn khoảng cách từ I đến
(P) đạt giá trị lớn nhất.
0

63.

Trong kgOxyz cho A( 1;-1;0) và hai đường thẳng
d:

x

1

2

y

1

1

z

1

2

va d ' :

x
1

y

z

1
2

 CMR: d và d’ chéo nhau
 Viết phương trình đường thẳng  qua A và cắt d và d’
64.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

1
1

x

5
2

y

7
2

z và

điểm M(4 ; 1 ; 6). Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm là M tại hai điểm A, B sao cho
AB = 6. Viết phương trình của mặt cầu (S).
Netschool.edu.vn

6


Netschool.edu.vn

65.

x

1

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : y

2t

z
x

t

d2 : y

1

3t .

z

1

t

t

và

2

t

Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 0; 1) và cắt cả hai đường

thẳng d1 và d2.

66.
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
x

1

d1 : y

2t

z

x

t

d2 : y

1

3t .

z

1

t

t
2

và
t

Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vng góc chung của d1 và d2.
67.
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0
và hai đường thẳng (d1 ) :

x

y

1
2

2
1

z

3
3

;(d2 );

x

y

1
2

z

1
3

2
2

. Viết phương

trình đường thẳng () song
song với (P); vng góc với (d1) và cắt (d2) tại E có hồnh độ bằng 3.
68.
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
(d1 ) :

x

3
1

y
1

z

1

x 2
;(d2 );
2
1

y

2
2

z
. Một đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3),
1

cắt
đường thẳng (d1) tại B và cắt (d2) tại C. Chứng minh rằng B là trung điểm của
đoạn AC
69. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt Phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 ,
đường thẳng (d):

x

1

1

y

2
2

z
và cáC điểm A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2)
1

Viết

phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và song song với (P)
70.
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt Phẳng (P): 3x + 2y - z + 4 =
0 và hai điểm A(4;0;0) và B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của đoan AB. Tìm toạ độ
giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) và xác định toạ độ điểm K sao cho
KI  (P), đồng thời K cách đều gốc toạ độ O và mặt phẳng (P)
71.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :

x

3

1

y

4

2

z

3
và mặt
1

phẳng (P): 2x + y + z = 0 . Gọi A là giao điểm của (d) và mp(P) ,viết phương trình
của đường thẳng () đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng (d) và nằm trong
mặt phẳng (P).
Netschool.edu.vn

7


Netschool.edu.vn
72.

Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, Cho đường thẳng d:

x
1

y

1
2

z

2
1

và

mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I nằm trên d cách (P) một đoạn bằng 2 và
mặt cầu (S) cắt (P) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 2.
73.
Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho các đường thẳng
(d):

x

y

1
1

z

1
2

1
2

và (d’):

x
1

y

1
2

z

3
2

Chứng tỏ rằng (d) và (d’) cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và (d’)
74.
Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d 1: x 1 y 1 z 2 ,
2

2

1

đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 5x – 6y – 6z + 13 = 0 và (Q): x 6y + 6z – 7 = 0
Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
Gọi C là giao điểm (d1) và (d2). Tìm toạ độ các điểm A, B lần lượt thuộc (d1), (d2)
sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng

41
42

75.
Trong khơng gian với hệ truc toạ độ Oxyz, cho các điểm A(-1;-1;0), B(1;-1;2),
C(2;-2;1), D(-1;1;1).

Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Giải sử mp(P) đi qua D và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm M,N,P khác
gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP. Hãy viết phương trình của mp(P).
76.
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau
(d1 ) :

x

y

2
2

3
3

z

4
x 1
; (d2 ) :
5
3

y

4
2

z

4
1

Tìm toạ độ giao điểm của đường vng góc chung d của (d1) và (d2) và lập phương
trình đường góc chung d đó.
77.

x

2

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D): y

2t

z

2

t
2t

Gọi
là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình
chiếu vng góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình
của mặt phẳng (P) có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
78.
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng(d) đi qua

điểm A(3;-2;- 4), song song với mặt phẳng (P): 3x – 2y – 3z – 7 = 0 và cắt đường
thẳng

x

:

y
z

3t

2

2t .

4
1

2t

Netschool.edu.vn

8


Netschool.edu.vn
79.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
80.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 =
0 sao cho MA = MB = MC.
81.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5;4;3;); và cá đường thẳng
(dm ) :

x
2

y
3

z

m
1

và (d ) :

x
2

y
3

z

1
1

.

Tìm điểm B  (d) và số thực m để các điểm thuộc (dm) luôn cách đều A;B
82.
Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng
(d ) :

x

1
2

y

2
3

z

3
1

và (d ') :

x
2

y
3

z

3
1

.

Viết phương trình mặt cầu tâm I (d’), bán kính bằng 3 3 và tiếp xúc với (d)
83. Trong kgOxyz, cho các đường thẳng 1, 2 và mp(P) có pt: 1:
2:

x2 y2 z
, mp(P): 2x  y  5z + 1 = 0


1
5
2

x  1 y 1 z  2
,


2
3
1

1/ Cmr 1 và 2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ấy.
2/ Viết pt đường thẳng  vuông góc với mp(P), đồng thời cắt cả 1 và 2.

2 x  y  1  0
3x  y  z  3  0
và d2: 
x  y  z 1  0
2 x  y  1  0

84. Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d1: 

1/ Cmr d1 và d2 đồng phẳng và viết pt mp(P) chứa d1 và d2.
2/ Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.
x  2  t
x  2z  2  0
và d2:  y  1  t
y 3  0

85. Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d1: 

 z  2t


1/ Cmr d1 và d2 không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau.
2/ Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.

 x  8 z  23  0
x  2z  3  0
và d2: 
 y  2z  2  0

 y  4 z  10  0

86. Trong kg Oxyz, cho các đường thẳng d1: 

1/ Viết pt mp(α) chứa d1 và song song với d2. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
2/ Viết phương trình đường thẳng  song song với trục Oz và cắt cả d1 và d2.
87. Trong kgOxyz, cho 4 điểm A(0; 1; 1), B(0; 2; 0), C(2; 1; 1), D(1; 2; 1)
1/ Viết pt mp(α) chứa AB và vuông góc với mp(BCD)
2/ Tìm điểm M thuộc đường thẳng AD và điểm N thuộc đường thẳng chứa trục Ox
sao cho MN là đọan vuông góc chung của hai đường thẳng này.
Netschool.edu.vn

9


Netschool.edu.vn
88. Trong kgOxyz, cho đường thẳng d:

x 1 y 1 z  2
và mp(P): x  y  z  1 = 0


2
1
3

1/ Lập pt chính tắc của đường thẳng  đi qua A(1; 1; 2) song song với (P) và vuông
góc với d.
2/ Lập pt mặt cầu (S) có tâm thuộc d, bán kính bằng 3 3 và tiếp xúc với (P).
89. Trong kgOxyz, cho đường thẳng d:

90.

91.

92.

93.

x  5 y  3 z 1
và mp(α): 2x + y  z  2 = 0


1
2
3

1/ Tìm tọa độ giao điểm M của d và (α). Viết pt đường thẳng  nằm trong mp(α) đi
qua M và vuông góc với d.
2/ Cho điểm A(0; 1; 1). Hãy tìm tọa độ điểm B sao cho mp(α) là mặt trung trực của
đoạn thẳng AB.
Trong kgOxyz, cho hình lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O’(0;
0; 4)
1/ Tìm tọa độ các điểm A’, B’. Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, O’.
2/ Gọi M là trung điểm của AB. Mp(P) qua M vuông góc với OA’ và cắt OA, AA’
lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với A’(0;0;0), B’(0;2;0), D’(2;0;0). Gọi M,N, P, Q theo thứ tự là
trung điểm của các đoạn D’C’, C’B’, B’B, AD.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu của C lên AN.

2/ CMR hai đường thẳng MQ và NP cùng nằm trong một mặt phẳng và tính diện
tích tứ giác MNPQ.
HD: GT  C’(2;2;0), A(0;0;2), B(0;2;2), D(2;0;2), C(2;2;2)
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(4;4;4); B(6;-6;6); C(-2;10;-2) và S(-2;2;6).
 Chứng minh OBAC là 1 hình thoi và chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng
(OBAC) (I là tâm của hình thoi)
 Tính thể tích của hình chóp S.OBAC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và
AC
 Gọi M là trung điểm SO, mặt phẳng (MAB) cắt SC tại N, tính diện tích tứ giác
ABMN .
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng 1 :
x
y
z

 ,
1 2 1

2 :

x 1 y 1 z 1


1
1
3

 Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau.
 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1
một góc 300

94. Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng d1 :
và
Netschool.edu.vn

10

x 2 y 3 z 3


1
1
2


Netschool.edu.vn
d2 :

x 1 y 4 z 3
. Chng minh ng thng d1; d2 v im A cựng nm trong


1
2
1

mt mt phng. Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d 1 cha
ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC.
95. Trong khụng gian Oxyz cho ng thng d:

x 1 y 2 z

v mt phng (P): 2x + y
1
1
1

2z + 2 = 0. Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm nm trờn d, tip xỳc vi mt
phng (P) v i qua im A(2; - 1;0)
96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có
ph-ơng trình

x 1 y z 1
. Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song

2
1
3

với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có
ph-ơng trình

x 1 2t

.
y t
z 1 3t


Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và

khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
98. Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho hai ng thng :
(d)

x t

y 1 2t
z 4 5t


v (d)

x t

y 1 2t
z 3t


CMR hai ng thng (d) v (d) ct nhau .
Vit phng trỡnh chớnh tc ca cp ng thng phõn giỏc ca gúc to bi (d) v
(d) .
99. Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z 2 =
0 v hai ng thng : (d)

x 1 2t
x 1 3 y z 2


v (d) y 2 t

1
1
2

z 1 t

Vit phng trỡnh tham s ca ng thng ( ) nm trong mt phng (P) v ct c
hai ng thng (d) v (d) . CMR (d) v (d) chộo nhau v tớnh khong cỏch gia
chỳng .
100. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) v
mt phng (Q):
x + 2y + 3z + 3 = 0. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng gúc vi
(Q).
101. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng 2. Gi M l trung im ca
on AD, N l
tõm hỡnh vuụng CCDD. Tớnh bỏn kớnh mt cu i qua cỏc im B, C, M, N.
102. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) v mt
Netschool.edu.vn

11


Netschool.edu.vn
phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần
lượt có phương trình:
x y 1 z  2
(P): 2x  y  2z  2 = 0;
(d):



1
2
1
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một
khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P)
một góc nhỏ nhất.
104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có
phương tŕnh là
(S ) : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  5  0, ( P) : 2 x  2 y  z  16  0 .

Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn
thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.
105. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). T́ m tọa độ điểm D thuộc đường thẳng
AB sao cho
độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.
106. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 2 điểm M  0;0;1 ; N  0; 2;0  và tạo với
mặt phẳng    : x  y  z  1  0 một góc 30 .
x  1 y  2 z 1


,
2
1
3
và mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  d   đi qua A,

107. Trong không gian Oxyz cho điểm A  3; 1; 2  , đường thẳng  d  :

song song với mp  P  và vuông góc với đường thẳng  d  .
108. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;0);B(0;2;0) ; C(1;3;1). CMR :
A,B,C không thẳng hàng và tìm toạ độ trực tâm ∆ABC.
109. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;0);B(0;2;0) ; C(1;3;1). CMR :
A,B,C không thẳng hàng và tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vecto a = (3 ; 1 ; 2), b = (1 ; 1 ;
2). Tìm vecto đơn vị đồng phẳng với a , b và tạo với a góc 60o.
111. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(1 ; 2 ; 1), B(2 ; 1
; 3), C(4 ; 7 ; 5). Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B.
112. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng :
Netschool.edu.vn

12


Netschool.edu.vn
 x  2y  2  0

1 : 

 x  2z  0

2 :

x 1 y z
 
1 1 1

 Chứng minh 1 và 2 chéo nhau.
 Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai
đường thẳng 1 và 2.
113. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng :
 x  2y  2  0

1 : 

 x  2z  0

2 :

x 1 y z
 
1 1 1

 Chứng minh 1 và 2 chéo nhau.
 Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai
đường thẳng 1 và 2.
114. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho honhf hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
có A trung với gốc tọa độ, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) với a, b > 0. Gọi M
là trung điểm cạnh CC’. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b và xác định tỉ
số

a
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b

115. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1 ; 6 ; 6), B(3 ; 6 ; 2).

Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ;
2 ; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
 Viết phương trình đường thẳng OG.
 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.
 Viết phương trình các mp vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
117. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ;
2 ; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
 Viết phương trình đường thẳng OG.
 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.
 Viết phương trình các mp vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
118. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 mp :
(P): 5x – 2y + 5z – 1 = 0 và (Q): x – 4y – 8z + 12 = 0
Lập phương trình mp () đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mp (P) và hợp với mp
(Q) một góc 45o.
119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :

Netschool.edu.vn

13


Netschool.edu.vn

d1 :

x y 1 z 1



2
1
1

d2:

x  1 t

 y  1  2 t
z  2  t


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d 1 và d2. Tìm tọa độ
các điểm M trên d1, N trên d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng.
120. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
biết A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), A’(0 ; 0 ; 1). Lập phương trình mp() chứa
đường thẳng CD’ và tạo với mp(BB’D’D) một góc nhỏ nhất.
121. Lập phương trình mp () đi qua hai điểm A(2 ; 1 ; 0), B(5 ; 1; 1) và khoảng cách


1





từ điểm M  0; 0;  đến mp() bằng
2

7
6 3

.

122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(3 ; 1 ; 2), B(1 ; 3 ; 0), C(4
; 0 ; 3) và D(2 ; 2 ; 1).
Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (BCD).
Tiềm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD).
Viết phương trình mp (P) đi qua B và vuông góc với đường thẳng CD.
Tìm tọa độ điểm K là trực tâm của tam giác BCD.
123. Cho 3 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0; c) với a, b, c là ba số dương thay đổi
và luôn thỏa mãn a 2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0
; 0; 0) đến mp(ABC) là lớn nhất.
124. Cho 2 điểm A(1 ; 2 ; 3), B(1 ; 4 ; 2) và hai mp :
(P): 2x – 6y + 4z + 3 = 0
(Q): x – y + z + 1 = 0
Tìm tọa độ giao điểm K của đường thẳng AB với mp(P). Tìm tọa độ điểm C nằm trên
mp(Q) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
125. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M(9; 1; 1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B, C sao cho OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.
126. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A,
B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
127. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần
lượt có phương trình:
x y 1 z  2


(P): 2x  y  2z  2 = 0;
(d):

1
2
1
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một
khoảng bằng 2 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một
góc nhỏ nhất.
128. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
Netschool.edu.vn

14


Netschool.edu.vn
D1 :

x 2 y 1 z

,
1
1
2

x 2 2t

D2 : y 3
z t


Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca D 1 v D2

129. Trong khụng gian vi h ta 0xyz cho ng thng d

x 2 y z 1


4
6
8

v

hai im A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tỡm im I trờn ng thng d sao cho IA +IB t
giỏ tr nh nht
130. Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu
(S ) : x2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 .
Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v(1;6; 2) , vuụng gúc
vi mt
phng ( ) : x 4 y z 11 0 v tip xỳc vi (S).
131. Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu
(S ) : x2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 .
Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v(1;6; 2) , vuụng gúc
vi mt
phng ( ) : x 4 y z 11 0 v tip xỳc vi (S).
132. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) v
mt phng (Q):
a.
x + 2y + 3z + 3 = 0. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng
gúc vi (Q).
133. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng 2. Gi M l trung im ca
on AD, N l

a.
tõm hỡnh vuụng CCDD. Tớnh bỏn kớnh mt cu i qua cỏc im B, C, M,
N.
134. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có
ph-ơng trình

x 1 y z 1
. Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song

2
1
3

với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
135. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có
x 1 2t
ph-ơng trình y t
. Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
z 1 3t


và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
136. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng :

x 1 y 3 z


1
1
4

v im
M(0 ; - 2 ; 0). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M song
song vi ng thng ng thi khong cỏch gia ng thng v mt phng
Netschool.edu.vn

15


Netschool.edu.vn
(P) bằng 4.
137. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1:
;

d 2:

x 1 y 1 z 1


2
1
1

x 1 y  2 z 1
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết


1
1
2

phương trình chính tắc của đường thẳng , biết  nằm trên mặt phẳng (P) và  cắt
hai đường thẳng d1 , d2 .
138. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) và hai đường thẳng
x  t

1 :  y  4  t
 z  1  2t


x
1

; 2 : 

y2 z

3
3

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt cả hai đường thẳng
1 và  2
Viết phương trình mặt phẳng(  ) qua điểm I , song song với 1 và  2
139. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:
2 x  y  1  0
3x  y  z  3  0 .Chứng
( ) 
; (') 
x  y  z 1  0
2 x  y  1  0

minh rằng hai đường thẳng (  ) và

(  ' ) cắt nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các
góc tạo bởi (  ) và (  ' ).
140. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và
đường thẳng d có phương trình

 x  2  3t
.

 y  2t (t  R)
 z  4  2t


Tìm trên d những điểm M sao cho

tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.
141. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C(
4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z  2  0 . Gọi A’là
hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C,
D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
142. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P : x  2 y  z  5  0 và đường thẳng
(d ) :

x3
 y  1  z  3 , điểm A( -2; 3; 4). Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua
2

giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên  điểm M sao cho

khoảng cách AM ngắn nhất.
143. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:
(P): 2x – y + z + 1 = 0,
(Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đường thẳng  1 :

x2
y 1
z
=
= . Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q).
2
3
1

Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng  1 ,
2 .
Netschool.edu.vn

16


Netschool.edu.vn
144. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)
x
1

và hai đường thẳng (d ) : 

y 1 z


2
3

x
1

và (d ') : 

y 1 z  4

2
5

Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt
phẳng đó.
145. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng

x  t

 :  y  2t
z  1


và điểm

A(1, 0 ,  1)

Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF là tam giác
đều.

146. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : x  12  y 2  z  22  9 .
Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a :

x y 1 z
và


1
2
2

cắt

mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 .
147. Cho đường thẳng (d) :

x  t

 y  1
z   t


và 2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z

+7=0
a.
Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P)
b.
Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P) và (Q)

x  1

148. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng:  d1  :  y  4  2t và
z  3  t


 x  3u

 d 2  :  y  3  2u
z  2


Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và
(d2).
149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1).
Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ
nhất.
150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng có phương trình:
151. d1 :

x2
z 3
 y 1 
3
2

x  3  t

d 2 :  y  7  2t

z  1 t


Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
152. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
Netschool.edu.vn

17


Netschool.edu.vn
(d)

x  t

 y  1  2t
z  4  5t


và (d’)

x  t

 y  1  2t
z  3t


CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi
(d) và (d’) .

153. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
a.
b.

x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d)

x 1 3  y z  2


1
1
2

và (d’)

 x  1  2t

y  2  t
z  1  t


Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả
hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa
chúng .
154. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai
đường thẳng
d1: x  1  y  1  z  2 , d2: x  2  y  2  z
2

3

1

1

5

2

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d 1
và d2.
155. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: x  3  y  2  z  1 và mặt phẳng (P): x
2

1

1

+ y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng
 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ
M tới  bằng 42 .
156. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng
BM vuông góc với B’C.
157. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho Cho mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z 1  0 và các đường thẳng

d1 :

x 1 y  3 z
x 5 y z 5

 , d2 :
 
.
2
3
2
6
4
5

Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
x
1

159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : 
(d 2 ) :

x  1 y z 1
 
.
2
1
1

Netschool.edu.vn

18

y z

và
1 2


Netschool.edu.vn
Tỡm ta cỏc im M thuc (d1 ) v N thuc (d 2 ) sao cho ng thng MN song
song vi mt phng P : x y z 2010 0 di on MN bng 2 .
160. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Vit phng trỡnh mt phng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z
3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
161. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, hóy xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ng
trũn ngoi tip tam giỏc ABC, bit A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
x 1 2t

x y z
162. Trong khụng gian oxyz cho hai ng thng d1 : ; d2 y t
v
1 1 2
z 1 t

im M(1;2;3).
1.Vit phng trỡnh mt phng cha M v d1 ; Tỡm M i xng vi M qua d2.
2.Tỡm A d1; B d2 sao cho AB ngn nht .
163. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d và d lần l-ợt có

y2
x2
z 5
.
z và d :
y 3
1
2
1
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d một góc 300

ph-ơng trình : d : x

164. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d và d lần l-ợt có
ph-ơng trình : d : x

y2
z
1

và

d :

x2
z 5
.
y 3
2
1

Chứng minh rằng hai đ-ờng thẳng đó vuông góc với nhau. Viết ph-ơng trình mặt
phẳng ( ) đi qua d và vuông góc với d
165. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng:
d1 :

x 4 y 1 z 5
x2 y3 z


d2 :


3
1
2
1
3
1

Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d1
v d2
166. Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tỡm ta im O
xng vi
qua (ABC).
167. Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng sau:
x 1 2t
x y 1 z 2

d1 :

;
d2 : y 1 t
2
1
1
z 3

168. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d:
Netschool.edu.vn

19


Netschool.edu.vn
x 1 y 1 z
.Viết


2
1
1

phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và

vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
169. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) vµ ®-êng
x 1 y  2 z
th¼ng  :


 .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn  sao cho: MA2  MB2  28
1

1

2

Netschool.edu.vn

Netschool.edu.vn

20