Thuật toán trong hình học không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải các bài toán về góc – khoảng cách – thể tích

THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Phần 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học không gian luôn là một phần toán rất khó đối với việc dạy và học.
Học sinh khi tiếp cận học vấn đề này luôn thấy trìu tượng, khó tưởng tượng được
hướng giải và các bước giải. Đặc biệt khi gặp các bài toán tính thể tích, tính khoảng
cách, tính góc luôn là là phần toán học sinh khó hình dung và nhận ra được các
bước giải. Ta đều biết việc tính thể tích khối đa diện hay các bài toán tính khoảng
cách từ một điểm đến mặt phẳng – hai mặt phẳng song song – hai đường thẳng
chéo nhau, tính góc đều dẫn đến bài toán tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt
phẳng. Việc hướng dẫn cho học sinh nắm được hướng tư duy và cách tiếp cận bài
toán này một cách bài bản theo trình tự các bước là rất khó khăn. Bởi vậy, tôi đưa
ra thuật toán trong các dạng toán này để giải các dạng toán trong hình học không
gian đều dựa vào nội dung cơ bản của phần toán chứng minh đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng.
Trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi đại học cao đẳng luôn có câu hình
học không gian tính thể tích, góc, khoảng cách. Mà để giải được các dạng toán này
đều phải dùng đến quan hệ vuông góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
II.

PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nội dung này tôi đã và đang giảng dạy cho các học sinh lớp 11, lớp 12, ôn
thi đại học cao đẳng tại trường THPT Tĩnh Gia 1.
Bên cạnh đó, nội dung SKKN này cũng là chuyên đề thảo luận mà tôi đã
trình bày trong sinh hoạt chuyên môn của tổ toán và được đánh giá có tính ứng

dụng trong việc giảng dạy toán hình học không gian trong trường THPT.
III.

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Với cách dạy cho học sinh thực hiện từng bước dựng chiều cao của hình
chóp, hình lăng trụ, các bài toán khoảng cách, góc, chứng minh quan hệ vuông góc
làm cho học sinh định hướng cho mình cách suy nghĩ và hướng tiếp cận bài toán để
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 1


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

tìm ra những vấn đề cần phải tìm đó là cách dạy thuật toán trong các định nghĩa
hay định lí. Khi đó tôi nhận ra học sinh hình thành được kỹ năng tự đọc tài liệu và
chủ động tiếp cận bài toán hình thành các bước suy luận và giải.
Với cách dạy thông qua thuật toán trong hình học thành các bước có trình tự,
giáo viên dễ dàng giúp học sinh dễ nhận ra dạng toán và giáo viên dễ soạn giáo án.
Đây chính là lý do để tôi viết SKKN về để tài “Thuật toán trong hình học
không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải các bài toán về góc –
khoảng cách – thể tích”
IV.

ĐIỂM MỚI TRONG NGHIÊN CỨU

Nắm được hướng tiếp cận cho dạng toán này, tôi đã tìm tòi, giảng dạy theo
hướng thuật toán được thực hiện trong các định lý, các bài toán dựng góc, khoảng

cách theo các bước thành trình tự của một thuật toán.
Với hướng tiếp cận này học sinh có được các bước giải cho từng dạng toán

Phần 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Việc tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng thực chất là vấn đề chứng
minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để chứng minh được đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng có nhiều cách giải quyết được vấn đề nay. Khi chứng
minh được đường thẳng thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta dựng được góc –
khoảng cách – tìm được chiều cao của hình chóp hay hình lăng trụ để tính thể tích
khối đa diện. Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra ba cách sau chứng
minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Cách thứ nhất là cách cơ bản nhất chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng trong sách giáo khoa lớp 11. Đó là “Nếu đường thẳng d vuông góc với
hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
vuông góc với (P)” (Định lý 1 trang 97 sách hình học nâng cao 11).
Cách thứ hai là là một các cách rất hiệu quả khi dựa vào một định lý cơ bản
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 2


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

của sách giáo khoa lớp 11. Đó là “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau và bất cứ đường thẳng a nào nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) thì vuông góc với mặt phẳng (Q)” (Định lý 3 trang 106 sách
hình học nâng cao 11).
Cách thứ ba là “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba” (Hệ quả 2
trang 107 sách hình học nâng cao 11).
Từ ba cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này là cơ sở
để tôi đưa ra thuật toán các dạng toán cơ bản trong giải toán hình học không gian.
B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Thực tế khi dạy và học đối với hình học không gian, ta luôn phải giải quyết
các vấn đề chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng
vuông góc, giáo viên luôn muốn có một định hướng cụ thể các bước giải cho học
sinh để học sinh suy nghĩ được hướng chứng minh. Ta biết học sinh luôn lúc túng
không tìm ra được trình tự suy luận và hướng giải bài toán.
Trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, đại học cao đẳng nhiều năm trở lại đây
đều có bài toán tính thể tích khối chóp, khoảng cách, góc. Muốn tính được thể tích
khối chóp, ta phải tìm được chiều cao. Việc tìm được hình chiếu của đỉnh lên mặt
phẳng đáy luôn làm cho học sinh lúng túng khi dựng hình và cũng làm cho giáo
viên khó định hướng cho học sinh suy luận tại sao lại phải làm như vậy. Đó là một
câu hỏi khó cho học sinh. Việc dựng được góc hay khoảng cách đều dẫn đến chỉ ra
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đó cũng gần giống như đi tìm hình chiếu
của một điểm lên một mặt phẳng. Câu trả lời cho việc giải bài toán này và làm cho
học sinh chủ động tiếp thu, hứng phấn khi học tập rất đơn giản, ta chỉ cho học sinh
những thuật toán giống như các bước giải trong một công thức đại số cho từng
dạng toán cụ thể.
C. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 3


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Chương 1: CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều cách, ta sẽ thấy
hiệu quả khi vận dụng các cách thể hiện qua các thuật toán sau:
Phương pháp 1: Nếu a ⊂ ( P ) , a ⊥ ∆ , b ⊂ ( P ) , b ⊥ ∆ , a ∩ b = O thì ∆ ⊥ ( P ) (1).
Phương pháp 2: Nếu ( P ) ⊥ ( Q ) , ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ , a ⊂ ( P ) , a ⊥ ∆ thì a ⊥ ( Q ) (2).
Phương pháp 3: Nếu ( P ) ⊥ ( R ) , ( Q ) ⊥ ( R ) , ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ thì ∆ ⊥ ( R ) (3)
Bài 1: Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại B và hai mặt phẳng

( SAB )

và ( ABC ) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAB ) .

Phân tích bài toán: Khi hướng dẫn học sinh tư duy và phân tích bài toán, ta chỉ
cho học sinh thấy được ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên theo thuật toán (2), ta cần tìm giao
S
SAB
ABC
(
)
(
)
tuyến của hai mặt phẳng
và
A
là đường thẳng AB. Mà BC ⊂ ( ABC )
và BC ⊥ AB nên ta được điều chứng minh.
Bài giải: Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC ) và ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB . B

C

Mà BC ⊂ ( ABC ) và BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB )

Bài 2: Cho hình chóp S . ABC có tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC không cân tại đỉnh C. Gọi H là
S
trung điểm AB và K là hình chiếu của điểm B lên
đường thẳng HC. Chứng minh đường thẳng
BK vuông góc với mặt phẳng ( SHC ) .
Phân tích bài toán: Dựa vào thuật toán (2)
và hướng suy luận giống như bài toán 1,

B

H
A

học sinh dễ dàng nhận ra được SH ⊥ AB và

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

K
C
Trang 4


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB

nên nhận ra được SH ⊥ ( ABC ) . Khi đó có nhiều cách

chứng minh BK ⊥ ( SHC ) nhưng theo thuật toán (2), học sinh nhận ra được

( SHC ) ⊥ ( ABC )

và SK ⊥ HC , HC là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SHC ) và

( ABC ) . Vậy chứng minh xong bài toán.
Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB , tam giác SAB cân tại S và H
là trung điểm của AB để SH ⊥ AB nên SH ⊥ ( ABC ) . Mà SH ⊂ ( SHC )
⇒ ( SHC ) ⊥ ( ABC ) . Vì ( SHC ) ∩ ( ABC ) = HC và BK ⊥ HC nên BK ⊥ ( SHC )
Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là thoi ABCD và

( SAD ) ⊥ ( ABCD ) . Chứng minh rằng:

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ,

BD ⊥ ( SAC ) .

Phân tích bài toán: Điều đầu tiên khi giải bài toán của hình chóp, học sinh
S
thường phải tìm đường thẳng đi qua
đỉnh của hình chóp là điểm S vuông
góc với mặt phẳng đáy. Dựa vào thuật
toán (3) của phương pháp 3 ta nhận ra
được SA ⊥ ( ABCD ) . Khi đó ta nhận ra

A

D

được SA ⊥ BD . Mà ABCD là hình thoi
nên AC ⊥ BD . Căn cứ vào thuật

B
toán (1) học sinh dễ dàng có được BD ⊥ ( SAC ) .

C

Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) và ( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA nên
SA ⊥ ( ABCD ) . Mà BD ⊂ ( ABCD ) nên SA ⊥ BD . Vì ABCD là hình thoi nên
AC ⊥ BD . Ta có SA ⊂ ( SAC ) , AC ⊂ ( SAC ) nên BD ⊥ ( SAC )
II.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU.

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 5


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau có nhiều cách xong, tôi nêu
ra cách cơ bản sau: Nếu a ⊂ ( P ) và a ⊥ ( Q ) thì ( P ) ⊥ ( Q ) (4)
Việc vận dụng thuật toán (2) vào chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với
nhau khá hiệu quả khi giải bài toán 2 và thể hiện rõ hơn nữa qua bài toán 4 sau.

Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , SA = a
và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi H là trung điểm của SB. Chứng minh ( SBC ) ⊥ ( AHC ) .
Phân tích bài toán: Dựa vào hai thuật toán (2) và (4), định hướng cho học sinh
thấy được rằng muốn dùng được thuật toán (2) cần phải chỉ ra hai mặt phẳng
vuông góc với nhau nên dùng thuật toán (4) để suy luận và chứng minh. Khi có
được hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Dùng thuật toán (2) để chỉ ra đường
S
thẳng vuông góc với mặt phẳng. Khi đó
dùng thuật toán (4), ta chứng minh được
hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Qua đó,

H

học sinh đã định hướng được tư duy trong

A

D

đầu của mình là chứng minh được

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) . Mà

BC ⊥ AB nên

B

C
BC ⊥ ( SAB ) . Khi đó chỉ ra ( SAB ) ⊥ ( SBC ) . Vì dễ dàng chỉ ra AH ⊥ SB nên
AH ⊥ ( SBC ) . Lúc này theo thuật toán (4) ta được điều chứng minh.

Bài giải: Do

SA ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB .

và

SA ⊂ ( SAB )

nên

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) .

Mà

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC . Vậy

BC ⊥ ( SAB ) . Do BC ⊂ ( SBC ) nên ( SBC ) ⊥ ( SAB ) . Vì SA = AB = a và H là trung
điểm của SB nên

AH ⊥ SB . Do

AH ⊂ ( SAB )

nên

AH ⊥ ( SBC ) . Mà

AH ⊂ ( AHC ) nên ( AHC ) ⊥ ( SBC ) .
Chương 2: KHOẢNG CÁCH

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 6


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng đoạn MH với H
là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P). Kí hiệu: d ( M , ( P ) ) = MH .
Dựa định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chính là tính
độ dài đoạn thẳng MH. Việc tìm ra độ dài đoạn thẳng này chính là đi tìm hình chiếu
của điểm M trên mặt phẳng (P). Công việc đó thực tế là tìm điểm M trên (P) sao
cho MH ⊥ ( P ) . Trong thực tế, học sinh lúc túng khi tìm điểm H và giáo viên cũng
khó định hướng được cho học sinh thực hiện các bước tư duy để tìm được điểm H.
Việc vận dụng thuật toán (2) sẽ dễ dàng giải quyết được vấn đề này. Ta đã thấy
được thuật toán (2) phải dựa vào thuật toán (4). Nên tôi đưa ra một cách tìm được
hình chiếu này như sau: Khi đề chưa cho rõ hình chiếu của điểm M lên (P).
Bước 1: Tìm ra mặt phẳng (Q) sao cho M ∈ ( Q ) và ( Q ) ⊥ ( P )
Bước 2: Tìm giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 3: Dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆ sao cho hai đường
thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó MH ⊥ ( P ) và d ( M , ( P ) ) = MH .
Bài 5: Cho hình chóp S . ABC có SA = a 3 , SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại
B và AB = a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích bài toán: Cần chỉ ra rằng cần tính

S

được khoảng cách từ điểm A đến (SBC) thực
H

chất là tìm cho được mặt phẳng đi qua điểm
A và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vận
dụng thuật toán tính khoảng cách từ một

C

A

điểm đến một mặt phẳng ta sẽ dựng được

B
khoảng cách. Chính vì hướng tiếp cận theo thuật toán này, học sinh chủ động
tìm ra được ( SBC ) ⊥ ( SAB ) do BC ⊥ ( SAB ) . Dựng đường thẳng AH vuông góc

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 7


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

với SB khi H ∈ SB . Nên AH ⊥ ( SBC ) . Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH . Tính độ dài
đoạn AH ta giải xong bài toán.
Bài giải: Do SA ⊥ ( ABC ) và SA ⊂ ( SAB ) nên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Mà

( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB
( SBC ) ⊥ ( SAB ) .

và AB ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAB ) . Do BC ⊂ ( SBC ) nên

Kẻ AH ⊥ SB với H ∈ SB . Do

AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH .

Do

( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB

SA ⊥ ( ABC )

nên

SA ⊥ AB

nên
nên

1
1
1
1
1
4
= 2+

= 2 + 2 = 2 . Vậy d ( A, ( SBC ) ) = 3a .
2
2
AH
SA
AB
3a
a
3a
2
Thực tế khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta luôn sử
dụng tính chất của phép chiếu để tìm mối liên hệ về hình chiếu của một điểm lên
mặt phẳng đáy và thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thực
chất là sử dụng thuật toán (2). Việc thực hiện bước 1 là tìm mặt phẳng (Q) đi qua
điểm M và vuông góc với (P) có thể thực hiện cụ thể trong các bước tiếp theo.
Bước 1: Tìm trong (P) một đường thẳng a sao cho đường thẳng a vuông góc với
đường thẳng b đi qua điểm M.
Bước 2: Từ điểm M tìm một đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a. Khi đó
b ⊂ ( Q ) , c ⊂ ( Q ) và a ⊥ ( Q ) nên ( Q ) ⊥ ( P ) .
Bước 3: Tìm giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 4: Dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆ sao cho hai đường
thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó MH ⊥ ( P ) và d ( M , ( P ) ) = MH .
Bài 6: Cho hình chóp S . ABCD có tam giác SAB đều
S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với ( ABCD ) , tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi H là trung điểm
K
của AB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Phân tích bài toán: Dựa vào công thức (2)
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1
B

A
H

D
TrangE 8

C


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

học sinh nhận ra được SH ⊥ ( ABCD ) .
Theo thuật toán tính khoảng cách từ một
điểm tới một mặt phẳng, ta cần tìm một đường
thẳng nằm trong (SCD) vuông góc với đường
thẳng đi qua điểm H. Dễ dàng nhận ra cặp đường thẳng đó là CD và SH. Khi đó
dựng đường thẳng đi qua H và vuông góc, cắt CD. Đó là đường thẳng HE với E
là trung điểm của CD. Nên CD ⊥ ( SHE ) . Dẫn đến ( SHE ) ∩ ( SCD ) = SE . Kẻ
HK ⊥ SE với K ∈ SE nên HK ⊥ ( SCD ) . Nên d ( H , ( SCD ) ) = HK . Khi tính
được KH là xong bài toán.
Bài giải: Do tam giác SAB đều và H là trung điểm của AB nên SH ⊥ AB . Mà

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) . Nên

SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD . Do ABCD là hình vuông nên

gọi E là trung điểm của CD nên HE ⊥ CD . Vậy CD ⊥ ( SHE ) . Mà CD ⊂ ( SCD )
nên ( SCD ) ⊥ ( SHE ) . Mà ( SCD ) ∩ ( SHE ) = SE . Kẻ HK ⊥ SE với K ∈ SE nên

HK ⊥ ( SCD ) . Khi đó d ( H , ( SCD ) ) = HK .Vì AB = a nên SH = 3a . Do ABCD
2
là hình vuông nên HE = a . Vì SH ⊥ ( ABCD )

nên SH ⊥ HE . Khi đó

1
1
1
7 . Nên
21a . Vậy
21a .
=
+
=
HK =
d ( H , ( SCD ) ) =
2
2
2
2
HK
SH
HE
3a
7
7
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung
của hai đường thẳng a và b lần lượt cắt các đường thẳng a, b tại M và N.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng đoạn thẳng MN.
Kí hiệu: d ( a, b ) = MN .

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 9


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Hai trong các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b thường dùng một trong hai cách là:
- Cách 1: Tìm mặt phẳng (P) sao cho b ⊂ ( P ) và a // ( P ) . Khi đó:
d ( a, b ) = d ( a, ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) với M ∈ a .
- Cách 2: Tìm cặp mặt phẳng (P) và (Q) sao cho a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q ) sao cho

( P ) // ( Q ) . Khi đó: d ( a, b ) = d ( ( Q ) , ( P ) ) = d ( M , ( P ) )

với M ∈ ( P ) .

Theo các cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo thực tế là tính
koangr cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Lúc này thuật toán (1), (2) và (3) được
sử dụng thông qua thuật toán tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Bài 7: Cho hình chóp S . ABCD có tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tứ giác ABCD là hình chữ nhật với
AD = 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Phân tích bài toán: Khi gặp dữ kiện ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ta thường hướng dẫn
học
sinh nghĩ đến thuật toán (2) và tìm ra được đường thẳng vuông góc với AB là

đường SH (với H là trung điểm của AB) tức là SH ⊥ ( ABCD ) . Thứ hai, khi

S

đường thẳng SA và BD nằm trong
mặt phẳng đáy nên ta thường hướng
dẫn học sinh sử dụng cách 1 là dựng
K

mặt phẳng chứa đường thẳng nằm

mặt phẳng đáy. Dựng được đường

D

M

trong mặt phẳng đáy và song song
với đường thẳng không nằm trong

A
H

E

B

C

thẳng đó rồi và dựa vào cách 1 học sinh nhận ra được khoảng cách giữa hai

đường thẳng SA và BD bằng hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 10


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

( SAE )

bởi vì phải chuyển về tính khoảng cách từ điểm H ta đã có cặp đường

thẳng AE và SH đã vuông góc với nhau. Dựa vào thuật toán tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh biết dựng HM vuông góc với AE với
M ∈ AE để chỉ ra AE ⊥ ( SHM ) và ( SAE ) ⊥ ( SHM ) . Khi đó học sinh biết dựng

HK ⊥ SM với K ∈ SM để SK ⊥ ( SAE ) . Tính xong SK là giải xong bài toán.
Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB , tam giác SAB đều. Gọi H
là trung điểm đoạn AB nên SH ⊥ AB . Khi đó SH ⊥ ( ABCD ) . Dựng hình bình
hành AEBD. Nên BD//AE ⇒ BD// ( SAE ) . Khi đó d ( BD,SA ) = d ( BD, ( SAE ) )
= d ( B, ( SAE ) ) . Mà H là trung điểm đoạn AB nên d ( B, ( SAE ) ) = 2d ( H, ( SAE ) ) .
Kẻ HM vuông góc với AE với M ∈ AE . Do HS ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AE . Khi đó
AE ⊥ ( SHM ) . Mà AE ⊂ ( SAE ) nên ( SAE ) ⊥ ( SMH ) . Do ( SAE ) ∩ ( SHM ) = SM .
Dựng SK ⊥ SM với K ∈ SM nên HK ⊥ ( SAE ) . Vậy d ( H , ( SAE ) ) = HK .
Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH =

a 3
. Ta có ∆MAH : ∆BAE (g.g) nên

2

HM AH ⇒ MH = AH .BE
5a . Vì SH ⊥ ABCD
(
) ⇒ SH ⊥ HM nên
=
=
2
2
BE
AE
5
BE + AB
1
1
1
19
3 . Vậy
2 57a .
=
+
=
a
d ( SA, BD ) =
2
2
2
2 ⇒ HK =
HK

SH
HM
3a
19
19
Bài 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của
·
cạnh SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM biết SBA
= 600 .
Phân tích bài toán: Dựa vào cách chứng minh thứ 3 của đường thẳng vuông
góc

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 11


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

với mặt phẳng nhờ giả thiết

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( ABCD )

nên ta có

SA ⊥ ( ABCD ) . Do cả hai đường thẳng SB và CM đều không nằm trong mặt
phẳng đáy (ABCD) nên nhờ dựa vào thuật toán tính khoảng cách tính khoảng
S

cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
K
tôi hướng dẫn và giải thích cho học
M
sinh sử dụng phương pháp dựng cặp
mặt phẳng song song với nhau lần lượt
chứa từng đường thẳng. Chính vì vậy,
dựng hình bình hành ABEC ta chứng

A

N

D

O
C

B

E
minh được ( ACM ) // ( SBE ) với SB ⊂ ( SBE ) và CM ⊂ ( CMA ) . Khi đó học sinh
theo thuật toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và thuật toán
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng giúp học sinh chỉ ra được
d ( SB,CM ) = d ( ( ACM ) , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) ) . Với cách chọn điểm A thể hiện
trong thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là do
SA ⊥ BE . Nên học sinh kẻ AN ⊥ BE với N ∈ BE nên

( SBE ) ⊥ ( SAN ) .

Kẻ

AK ⊥ SN với K ∈ SN nên AK ⊥ ( SBE ) . Tính AK là giải xong bài toán.
Bài giải: Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) . Dựng hình
bình hành ABEC. Khi đó AC // BE nên AC // ( SBE ) . Vì ABCD là hình vuông nên
điểm C là trung điểm đoạn ED. Mà M là trung điểm đoạn SD nên MC // SE nên
MC // ( SBE ) . Khi đó ( SBE ) // ( MAC ) . Nên d ( SB, MC ) = d ( ( MAC ) , ( SBE ) )
= d ( A, ( SBE ) ) . Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BE . Kẻ AN ⊥ BE với N ∈ BE . Nên
BE ⊥ ( SAN ) ⇒ ( SBE ) ⊥ ( SAN ) . Do

( SBE ) ∩ ( SAN ) = SN .

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Kẻ AK ⊥ SN với

Trang 12


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

K ∈ SN nên AK ⊥ ( SBE ) . Vậy d ( A, ( SBE ) ) = AK . Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD nên BO ⊥ AO . Mà AN ⊥ BE , AO // BE nên tứ giác ANBO là hình chữ
1
a
nhật nên NA = BO = BD =
. Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AN và SA ⊥ AB nên
2
2

SA = a 3 và

1
1
1
7
21a
=
+
=
.
2
2
2
2 . Nên d ( SB, CM ) = AK =
AK
SA
AN
3a
7
Chương 3: GÓC

I. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG.
Định nghĩa: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Gọi đường thẳng a′ là hình
chiếu của đường thẳng a lên (P). Góc giữa đường thẳng a và (P) bằng góc giữa
hai đường thẳng a và a′ . Kí hiệu: ( a, a′ ) = ( a, ( P ) ) .
Thực tế xác định góc giữa đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta chỉ dựng góc
khi đường thẳng a cắt (P) và a ⊥ ( P ) . Bởi vậy tôi xây dựng thuật toán xác định
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Bước 1: Tìm giao điểm A của đường thẳng a với (P)

Bước 2: Chọn điểm B trên đường a sao cho A ≡ B và chỉ ra được H ∈ ( P ) sao
cho BH ⊥ ( P ) . Nên AH là hình chiếu của đường thẳng a trên (P).
·
= ( a, ( P ) ) .
Bước 3: BAH

Bài 9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC = 600 ,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tinh côsin của góc tạo bởi
đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) biết SA = a .

S
Phân tích bài toán: Dựa vào thuật toán dựng góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng. Đầu tiên tìm ra SB ∩ ( SAC ) = S . Căn cứ vào thuật toán chứng minh
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi chỉ ra ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , BD ⊥ AC .
A
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1
B

D

O

Trang 13

C


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Khi đó học sinh nhận ra điểm O là giao điểm của
AC và BD mà BO ⊥ ( SAC ) . Góc cần tìm chính là
· SO . Tính cos B
· SO là xong bài toán.
góc B
Bài giải: Ta có SB ∩ ( SAC ) = S .
Do SA ⊥ ( ABCD ) nên ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) .
Mà ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC .
Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên BO ⊥ AC . Khi đó BO ⊥ ( SAC ) . Vậy
· SO = ( SB, ( SAC ) ) . Vì ·
B
ABC = 600 nên tam giác ABC đều. Vì O là trung điểm của

AC nên BO =

a
3a
và AO = . Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ AC . Khi đó
2
2

SO = SA2 + AO 2 =

5a
. Vì BO ⊥ ( SAC ) nên BO ⊥ SO
2

SO
10 .
5a 2 3a 2

·
=
=
+
= 2a . Vậy cos BSO
⇒ SB = SO + BO =
SB
4
4
4
2

2

Do đó cos ( SB, ( SAC ) ) =

10
.
4

II. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
Trong các bài toán xác định góc của hai mặt phẳng, ta chỉ phải dựng và tính
trong tường hợp hai mặt phẳng cắt nhau. Bởi vậy tôi xây dựng thuật toán xác định
góc của hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng ∆ .
Bước 2: Tìm ra mặt phẳng (R) sao cho ( R ) ⊥ ∆
Bước 3: Ta có ( R ) ∩ ( P ) = a , ( R ) ∩ ( Q ) = b . Nên ( a, b ) = ( ( P ) , ( Q ) ) .

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 14


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Bước 4: Tìm a ∩ b = O , A ∈ a , B ∈ b sao cho A, B đều không trùng với O. Ta
chứng minh ·AOB không tù. Vậy ·AOB = ( a, b ) = ( ( P ) , ( Q ) )
Bài 10: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Tam giác SAB
đều và ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Phân tích bài toán: Dựa vào thuật toán dựng góc giữa hai mặt phẳng. Đầu tiên
tìm ra ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC . Căn cứ vào thuật toán chứng minh đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng khi chỉ ra một mặt phẳngvuông

S

góc với BC. Theo thuật toán (2)với giả thiết

( SAB ) ⊥ ( ABC ) , học sinh dễ dàng nhận ra khi
A

BC ⊥ AB thì BC ⊥ ( SAB ) . Khi đó học sinh chứng minh
·
được SBA
= 600 = ( ( SBC ) , ( ABC ) ) .

B

Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB

C
Mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) . Do tam giác SAB đều và ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB ,
·
( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB . Nên ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA
= 600 .
Chương 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
Thuật toán tính thể tích khối chóp là V = .h.S trong đó chiều cao h là
3
khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy và S là diện tích đáy.
Theo thuật toán tính thể tích khối chóp điều khó nhất chính là đi tìm chiều
cao của hình chóp. Bởi vậy ta lại gặp lại thuật toán đi tìm khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng. Chính nhờ thuật toán này mà ta định hướng tư duy cho học sinh
chủ động tiếp thu kiến thức tính thể tích khối chóp.
Bài 11: Cho hình chóp S . ABCD , đáy hình chữ nhật có AB = a và BC = 2a , mặt

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 15


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy
một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

2a
.
6

Tính thể tích khối chóp S . ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.

S giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 – 2012)
(Đề thi học sinh
S
K

K
H
H

B

N

A

E

A

C

B

E

N

D

C

D
M
Phân tích bài toán: Dựa vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng khi biết

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

học sinh sẽ tìm ra được đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) là đường SH với H nằm trên đường thẳng
AB. Nhờ thuật toán dựng góc giữa hai mặt phẳng, học sinh dễ dàng chỉ ra góc
·
·
của mặt phẳng (SBC) và đáy là SBH
, mặt phẳng (SCD) và đáy là SEH
. Học
sinh nắm vững thuật toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau nhờ cách 1 chỉ ra cách dựng mặt phẳng chứa SA và song song với BD.
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng đó có mối quan hệ với khoảng cách từ
điểm H đến mặt phẳng đó. Từ thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng ta dựng được khoảng cách đó là đoạn HK. Từ đó tính được chiều cao
của hình chóp là đoạn SH. Khi đó tính được thể tích và góc.

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 16

THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) . Kẻ SH ⊥ AB với H ∈ AB . Nên SH ⊥ ( ABCD ) .
Do BC ⊥ AB . Nên BC ⊥ ( SAB ) . Vậy ( SB, AB ) = ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) .
·
Vì SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AB nên SBH
= ( SB, AB ) . Kẻ HE ⊥ CD . Tương tự
·
CD ⊥ ( SHE ) và SEH
= ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) .
Vì

( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( ( SBC ) , ( ABCD ) )

·
·
nên SBH
. Khi đó HB = HE
= SEH

= AD = 2a . Khi đó vị trí điểm H có hai trường hợp
Trường hợp 1: Điểm B nằm giữa A và H. Dựng hình bình hành ABDM. Nên
BD//AM ⇒ BD// ( SAM ) . Nên d ( SA, BD ) = d ( B, ( SAM ) ) . Vì BH = 2a và AB = a
1
1
nên BA = AH hay d ( B, ( SAM ) ) = d ( H , ( SAE ) ) . Vậy d ( H, ( SAM ) ) = 6a .
3

3
Kẻ HN ⊥ AM với N ∈ AM . Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AM . Nên AM ⊥ ( SHN )
⇒ ( SAM ) ⊥ ( SHN ) . Kẻ HK ⊥ SN

với K ∈ SN . Nên HK ⊥ ( SAM ) . Vậy

1
d ( H , ( SAM ) ) = HK = 6a . Do ABDM là hình bình hành nên S BAM = S ABCD
2
3.a.2a
6a
1
1
=
= d ( B, AM ) . AM = .HN . AM . Nên HN =
2
5.
2
6
a 2 + ( 2a )
Mà SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ HN nên
=

1
1
1
1
1
1
=

+
⇔
=
−
2
2
2
2
2
HK
SH
HN
SH
HK
HN 2

1
5
1
1
−
=
SH = 6a . Do vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = 4a 3
2
2
2 . Vậy
3
6a
36a
36a

Vì SH ⊥ HE nên SE 2 = SH 2 + HE 2 = 36a 2 + 4a 2 = 40a 2 . Mà ME ⊥ ( SHE )

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 17


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

⇒ ME ⊥ HE nên SM 2 = SE 2 + EM 2 = 40a 2 + 9a 2 = 49a 2 . Do DB // AM nên
2
2
2
2
2
2
SA
+
AM
−
SM
SE
+
AM
−
SM
·
( SA, BD ) = ( SA, AM ) . Mà cos SAM =

=
2.SA. AM
2.SE. AM

40a 2 + 5a 2 − 49a 2
2
2
=
=−
. Vậy cos ( SA, BD ) =
.
10
10
2 40a 5a
Trường hợp 2: Khi A nằm giữa B và H. Khi đó A là trung điểm của BH. Dựng
tương tự HN ⊥ AE với N ∈ AE khi AE//BD ta được d ( SA, BD ) = d ( B, ( SAE ) )
= d ( H , ( SAE ) ) = HK . Do

( SNH ) ⊥ ( SAE )

và HK ⊥ SN . Vì HA ⊥ HE nên

1
1
1
5 . Mà
nên 1 = 1 + 1
=
+
=

SH
⊥
HN
HN 2 HA2 HE 2 4a 2
HK 2 HN 2 SH 2
⇔

1
1
1
1 . Nên
1
4a 3 .
. Vậy V
=
−
=
SH
=
2a
=
SH
.
S
=
S . ABCD
ABCD
SH 2 HK 2 HN 2 4a 2
3
3

· E = ( SA, AE ) = ( SA, BD ) . Xét ∆SAE
Vì BD//AE . Nên SA
SE = 2SH = 2 2a . Nên cos ( SA, BD ) =

AE = SA = a 5 và

SA2 + AE 2 − SE 2 1
= .
5
2.SA. AE

Bài 12: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC = 300 , SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối
chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). (Đề thi đại học
khối A và A1 năm 2013)
Phân tích bài toán: Căn cứ vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng khi ( SBC ) ⊥ ( ABC )

S

và tam giác ABC đều nên H là trung điểm

của BC học sinh chỉ rađược SH ⊥ ( ABC ) . Từ đây tính được
K thể tích khối chóp
S . ABC . Do thuật toán tính khoảng cách từ

C
H

B

Trang 18

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 E
A


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

một điểm khi có SH ⊥ ( ABC ) nên học sinh
nhận ra được d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) )
và dễ dựng được khoảng cách khi kẻ
HE ⊥ AB và HK ⊥ SE với E ∈ AB , K ∈ SE

để d ( H , ( SAB ) ) = HK .
Bài giải: Do ( SBC ) ⊥ ( ABC ) kẻ SH ⊥ BC với H ∈ BC nên SH ⊥ ( ABC ) . Mà
tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC và SH =

3a
. Vì BC = a và
2

·ABC = 300 , AB ⊥ AC nên AB = BC cos300 = a 3 , AC = BC sin 300 = a
2
2

và

S ABC

1
3a 2
1
a3
. Nên VS . ABC = SH .S ABC = . Vì H là trung điểm của
= AB. AC =
2
8
3
16

BC

nên

d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) ) .

Kẻ

HE ⊥ AB

với

E ∈ AB .

Vì

SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AB nên AB ⊥ ( SHE ) ⇒ ( SHE ) ⊥ ( SAB ) . Kẻ HK ⊥ SE với

K ∈ SE nên HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK . Vì AB ⊥ AC và H là trung điểm
BC nên E là trung điểm của AB. Khi đó EH =

nên

1
1
1
4 16 52
=
+
=
+
=
.
HK 2 SH 2 HE 2 3a 2 a 2 3a 2

d ( C , ( SAB ) ) =

a
. Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ HE
4
Vậy

HK =

156a
.
52

Do

đó

156a
.
26

Phần 3: KẾT LUẬN

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 19


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

I. KIỂM NGHIỆM
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy tại trường trung học phổ thông Tĩnh Gia 1 qua những bài toán của hình học
không gian về vấn để chứng minh quan hệ vuông góc, các bài toán về góc – khoảng
cách – thể tích luôn thường gặp trong các lớp 11, lớp 12 và thi học sinh giỏi hay thi
đại học cao đẳng.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học 2012 – 2013, 2013 –
2014 khi dạy cho các đối tượng các em học sinh lớp 11 và 12, tôi nhận thấy được
đa số các em học sinh hứng thú học tập, nâng cao được khả năng tư duy và sự trình
bày bài cho các em học sinh.
Kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau:
Năm

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số
Số
Số
học
số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
2012 – 12A2
40
9
23%
20
50%
11
27%
11A7
45
6
13%
22
49%
17
38%

2013
2013 – 12A3
45
16
36%
23
51%
6
13%
11A6
44
10
23%
26
59%
8
18%
2014
Như vậy, ta thấy được sự tiến bộ của các em học sinh qua từng năm dạy học
Lớp

Tổng

qua kết quả khảo sát.
Khảo sát kết quả của các em học sinh thi đại học, có 30 em học sinh lớp
12A2 khóa học 2011 – 2012 đều giải được bài hình học không gian chiếm 75%.
II.

KẾT LUẬN

Phương pháp dạy học hình học không gian mới này đã đem lại hiệu quả
tương đối tốt khi dạy và ôn tập cho học sinh. Theo tôi khi dạy học và ôn tập cho
học sinh, giáo viên ta luôn dễ dàng soạn bài dạy cho từng đối tượng học sinh và học
sinh có cơ sở trình tự tư duy để phân tích để trình bày bài toán.
Việc ghi nhớ các lý thuyết của các định lí hay định nghĩa sẽ đơn giản hơn, dễ
nhớ hơn thông qua thuật toán để hình thành các bước tức là đã có trình tự suy luận
TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 20


THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ
VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH

cho học sinh. Điều này làm cho học sinh tạo ra một bản đồ tư duy, trình tự nhận
thức khi tiếp cận với từng dạng toán trong việc trả bài học trên lớp và làm bài khi
ôn thi hay thi đại học.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp
ý cho tôi. Tôi chân thành cảm ơn.
III. KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ SUẤT
Đề nghị Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa triển khai học các SKKN xếp giải
A, B cấp tỉnh về các trường học trong tỉnh để giáo viên tăng thêm tài liệu học tập
để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệm vụ.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nửa tài liệu sách tham khảo mới cho phòng thư viện để giáo viên và học sinh
nghiên cứu học tập.
Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy và các tài liệu
chuyên đề bồi dưỡng cho giáo viên để làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
XÁC NHẬN CỦA

Tĩnh Gia, ngày 25 tháng 05 năm 2014

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT

TRẦN ĐĂNG HẢI

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

Trang 21