Giáo Án Giải Tích 12 Học Kỳ 2

Tiết 52,53

TÍCH PHÂN

Ngày soạn

I. Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
- Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai
phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong
đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
-

Phiếu học tập, bảng phụ.

+ Chuẩn bị của học sinh :
-

Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.

-

Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.

IV. Tiến trình tiết dạy :
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
- Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn).
3. Vào bài mới
Hoạt động của giáo viên
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang cong:
Hoạt động 1 :
Ký hiệu T là hình thang vuông giới
hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t
(1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK, trang 102)
1. Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)

Hoạt động
của Hs

Thảo luận
nhóm để:
+ Tính diện
tích S của
hình T khi t
= 5. (H46,

Nội dung ghi bảng

TÍCH PHÂN
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang cong:
( sgk )

Trang 1


2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T
khi t ∈ [1; 5].
3. Hãy chứng minh S(t) là một
nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S =
S(5) – S(1).

SGK, trang
102)
+ Tính diện
tích S(t) của
hình T khi t
∈ [1; 5].
+ Chứng
minh S(t) là
một nguyên
hàm của
f(t) = 2t + 1,
t ∈ [1; 5] và
diện tích S =
S(5) – S(1).

Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK,
trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc
tính diện tích hình thang cong.
2. Định nghĩa tích phân :
Hoạt động 2 :
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên
hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) –
F(a) = G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) –
F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên
hàm).
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
Thảo luận
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số
nhóm để
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến chứng minh
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
F(b) – F(a)
b]) của hàm số f(x), ký hiệu:

= G(b) –
b
G(a).

∫ f ( x) dx
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a ) .
b

Vậy:

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a)

a

Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui
ước :
a

b

a

∫ f ( x) dx = 0; ∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx
a

a

b

2. Định nghĩa tích phân :

“Cho f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;
b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân
từ a đến b (hay tích phân xác định
trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x),
ký hiệu:
b

∫ f ( x) dx
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a)
.
Trang 2

Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK,
trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa
nêu.

Vậy:
b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a
b

đến b có thể ký hiệu là

∫ f ( x) dx
a

b

hay

∫ f (t ) dt . Tích phân đó chỉ phụ

a

thuộc vào hàm f, các cận a, b mà
không phụ thuộc vào biến số x hay
t.
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và
không âm trên đoạn [a; b] thì
b

∫ f ( x) dx

là diện tích S của hình

a

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN.

thang giới hạn bởi đồ thị của f(x),
trục Ox và hai đường thẳng x = a;
x = b. (H 47 a, trang 102)
b

Vậy : S =

∫ f ( x) dx
a

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN.

+ Tính chất 1:
b

b

a

a

∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
Hoạt động 3 :
Hãy chứng minh các tính chất 1, 2.
Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK,
trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính
chất vừa nêu.
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số:
Hoạt động 4 :

+ Tính chất 2:
b

b

b

∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx

Thảo luận

a
a
a
nhóm để
+
Tính
chất
3:
chứng minh b
c
b
các tính chất f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx (a < c < b)
∫a
∫a
∫c
1, 2.

1

2
Cho tích phân I = ∫ (2 x + 1) dx
0

a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x +
1)2.
b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx
thành g(u)du.

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.

1. Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a; b]. Giả sử hàm số
x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên
Trang 3


đoạn [α; β] sao cho ϕ(α) = a; ϕ(β)
= b và a ≤ ϕ(t) ≤ b với mọi t thuộc
[α; β] . Khi đó:”

u (1)

∫

c/ Tính:

g (u ) du và so sánh với kết

u (0)

quả ở câu a.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử hàm số
x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[α; β] sao cho ϕ(α) = a; ϕ(β) = b và a ≤
ϕ(t) ≤ b với mọi t thuộc [α; β] . Khi đó:”

b

∫
a

b

đoạn [a; b]. Để tính

α

Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;

u (b )

b

∫
a

b

∫ f ( x) dx

ta

chọn hàm số u = u(x) làm biến

mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và
u(x) thuộc [α; β]. Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:

∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ (t ) dt

b]. Để tính

∫ f ( x) dx
a

'

a

α

Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên

β

b

β

f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ ' (t ) dt

f ( x) dx =

∫

g (u ) du

u (a)

ta chọn hàm số u =

a

u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
[a; b] và u(x) thuộc [α; β]. Ta biến đổi
f(x) = g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
u (b )

b

∫
a

f ( x) dx =

∫

g (u ) du

u(a)

Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
2. Phương pháp tính tích phân từng
phần:
Hoạt động 5 :
x
a/ Hãy tính ∫ ( x + 1)e dx bằng phương

pháp nguyên hàm từng phần.
1

x
b/ Từ đó, hãy tính: ∫ ( x + 1)e dx
0

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

a

a

'
b
'

∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x)) a − ∫ u ( x)v( x) dx

Thảo luận
nhóm để:
+ Tính

∫ ( x + 1)e

x

dx

2. Phương pháp tính tích phân từng
phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai
hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn [a; b] thì

bằng
phương
b
b
pháp nguyên ∫ u ( x)v ' ( x) dx = (u ( x)v( x)) ba − ∫ u ' ( x)v( x) dx
a
a
hàm từng
b
b
phần
b

Hay ∫ u dv = uv a − ∫ v du ”
+ Tính:
a
a
1

∫ ( x + 1)e

x

dx

0

Trang 4


b

b

Hay u dv = uv v du
b
a

a

a

Gv gii thiu cho Hs vd 8, 9 (SGK,

trang 110, 111) Hs hiu rừ nh lý va
nờu.
V. Cng c:
+ Gv nhc li cỏc khỏi nim v quy tc trong bi Hs khc sõu kin thc.
+ Dn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113.

TIT 54,55: BI TP TCH PHN
Ngy son:
I.Mục tiêu bài học
Qua bài học,học sinh cần nắm đợc:
1.Về kiến thức
- Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần
- Biết 2 phơng pháp tính tích phân cơ bản đó là phơng pháp đổi biến số và phơng pháp tích phân
từng phần
2.Về k năng
- Vận dụng thành thạo và linh hoạt 2 phơng pháp này để giải các bài toán tính tích phân
- Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tơng ứng.
3Về t duy, thái độ
- Tích cực, chủ động,độc lập, sáng tạo
- Biết quy lạ về quen
- biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
- T duy lôgic và làm việc có hệ thống
II.Chuẩn bị phơng tiện dạy học
1.Chuẩn bị của giáo viên
Giáo án,phấn bảng,đồ dùng dạy học cần thiết khác
2.Chuẩn bị của học sinh
Ngoài đồ dùng học tập cần thiết,cần có:
- Kiến thức cũ về nguyên hàm,địng nghĩa tích phân,và hai phơng pháp tính tích phân
- Giấy nháp và MTBT,các đồ dùng học tập khác
III.Phơng pháp giảng dạy

Chủ yếu là vấn đáp gợi mở,kết hợp với các hoạt động t duy của học sinh.
Trang 5


IV.Tiến trình bài học
1.ổn định tổ chức lớp,kiểm tra sĩ số
2.Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Hãy trình bày phơng pháp đổi biến số
Câu 2: Hãy nêu công thức tính tích phân từng phần
Giáo viên:
- Cho HS nhận xét câu trả lời của bạn,chỉnh sửa,bổ sung(nếu cần thiết)
- Nhận xét câu trả lời của học sinh,đánh giá và cho điểm
- Mục tiêu của bài học mới
3.Bài mới
BI TP TCH PHN
HĐ1:Luyện tập về công thức đổi biến số
Tính các tích phân sau:
3

a) I =


0

x + 1dx


6

2

b) J = (1 cos3 x) sin 3 xdx


c) K =

Hoạt động của học sinh
-Nhận nhiệm vụ, suy nghĩ và làm viẹc trên giấy
nháp
-Trả lời câu hỏi của GV:
a)Đặt u(x) = x+1 u(0) = 1, u(3) = 4
Khi đó
I=
4

- Nêu cách giải khác (nếu có)

4 x 2 dx

0

0

Hoạt động của giáo viên
-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Theo dõi học sinh làm việc,gợi y cho HS
nếu cần thiết
-Cho HS nhận dạng và nêu cách giải quyết
cho từng câu

1

4

4

1
2

4
2 3
2
2
14
udu = u du = u 2 = u u = (8 1) =
1
3 1 3
3
3
1


b)Đặt u(x) = 1 cos3x u (0) = 0, u ( ) = 1
6

1

Khi đó J =

u

3du =
0

- Nêu dạng tổng quát và cách giải

2 1

u
6

0

=

1
6


c)Đặt u(x) = 2sint, t , .Khi đó
2 2

2

K=

2



4 4sin 2 t 2 cos tdt = 4 cos 2 tdt =

0

0


2



2 (1 + cos 2t )dt = (2t + sin 2t ) 02 =
0

HĐ2: Luyện tập tính tích phân từng phần
Trang 6


Tính các tích phân sau

2

1. I1= (2 x 1) cos xdx


2. I2=

0

e

x

2

ln xdx

3. I3=

1
1

x e dx
2 x

0

Hoạt động của giáo viên
Ghi lại công thức tính tích phân từng phần
mà hs đã trả lời ở trên
b

u = 2 x 1
du = 2dx

. Khi đó:

dv = cos xdx v = sin x

b

udv = uv a vdu
a

b

Hoạt động của học sinh
-Nhận nhiệm vụ và suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
bài toán
1.Đặt

a

-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Cho học sinh nhận dạng bài toán trên và
nêu cách giải tơng ứng
-Gọi học sinh giải trên bảng
Theo dõi các học sinh khác làm việc,định
hớng,gợi ý khi cần thiết
-Nhận xét bài giải của học sinh,chỉnh sửa
và đa ra bài giải đúng
-Nêu cách giải tổng quát cho các bài toán
trên


2
0

2



I1= (2 x 1)sin 2 x 2 sin xdx = 1 + 2 cos x 2 = 3

0
0

dx

du
=

u = ln x
x

2.Đặt

2
3
dv = x dx v = x

3
e

e

Khi đó
e

x3
1
e3 x 3
e 3 e 3 1 2e 3 + 1
=
=
I2= ln x x 2 dx =
3
31
3 9 1 3
9
9
1
u = x 2
du = 2 xdx

3.Đặt

x
x
dv = e dx v = e
1

Khi đó

1

1

0

0

2 x
x
x
I3= x e 0 2 xe dx = e 2 J với J = xe dx

(Tính J tơng tự nh I3)
HĐ3: Củng cố bài
Hoạt động của giáo viên
- Từ bài toán 1,đa ra cách giải chung nhất
cho bài toán tích phân dùng phép đổi biến
Kiểu 1: Đặt t = u(x), với tích phân có dạng

Hoạt động của học sinh
-Lĩnh hôi kiến thức,và ghi bài

b

f (u( x)).u '( x)dx

-Đa ra cách đổi biến, đổi cận

a

Kiểu 2: Đặt x = u(t) với tích phân có dạng

b


a

b

f ( x, m 2 x 2 ) dx hay

f ( x, x
a

2

1
) dx
+ m2


-Đặt x= msint, t ,
2 2

,v.v....

- Từ bài toán 2,đa ra một số dạng tổng quát x=mtant, t 2 , 2 ữ


có thể trực tiếp dùng tích phân tng phần

Trang 7

1.

b

b

a

a

f ( x)sin kxdx hay f ( x) cos kxdx

u = f ( x)
u = f ( x )
hay
dv = sin kxdx
dv = cos kxdx

Đặt

b

2.

f ( x )e

kx

dx

a

u = f ( x)

Đặt

kx
dv = e dx

b

3.

f ( x) ln

k

xdx ,v.v.....

a

u = ln k x
dv = f ( x) dx

Đặt

V.Hớng dẫn học ở nhà và bài tập về nhà
1.Xem lai cách giải các bài toán đã giải,cách giải tổng quát và làm các bài tập còn lại trong

SGK
2.Tính các tích phân sau:
1

1

2. ln ( 1 + x ) dx

1. x ln(1 + x )dx
2

2

0

3

5. e
0

0

7 x+4

e

3.

sin(ln x)dx
1

6.


0

e x 1dx



x sin xdx

0

ln 2

dx

4.

2
4

2

7.

x

2

4 x 2 dx

1

NG DNG HèNH HC CA TCH PHN
(3 TIT)
I. Mc tiờu:
1. V kin thc:
- Vit v gii thớch c cụng thc din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = f(x) v
trc Ox, cỏc ng thng x = a, x = b. Hỡnh phng gii hn bi cỏc th hm s y = f(x), y =
g(x) v cỏc ng thng x = a, x = b.
- Nm c cụng thc th tớch ca mt vt th núi chung
- Nm c cụng thc th tớch khi trũn xoay, cụng thc ca khi nún, khi nún ct, khi tr
trũn xoay trong trng hp vt th quay xung quanh trc Ox
2. V k nng:
- p dng c cụng thc tớnh din tớch hỡnh phng, thit lp c cụng thc tớnh th tớch khi
chúp, khi nún v khi nún ct
- ng dng c tớch phõn tớnh c th tớch núi chung v th tớch khi trũn xoay núi riờng
3. V t duy, thỏi :
- Thy c ng dng rng rói ca tớch phõn trong vic tớnh din tớch, th tớch
- Hc sinh cú thỏi tớch cc, sỏng to trong hc tp
Trang 8


II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK
2. Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2

2
2. Kiểm tra bài cũ: Tính I = ∫ ( − x + 3x − 2 ).dx
1

3. Bài mới:
Tiết 1:
HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học Ghi bảng
sinh
HĐTP 1: Xây dựng công
I. Tính diện tích hình phẳng
thức
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường
- Cho học sinh tiến hành - Tiến hành giải hoạt cong và trục hoành
hoạt động 1 SGK
động 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
- GV treo bảng phụ hình
thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox
vẽ 51, 52 SGK
và các đường thẳng x = a, x = b được
b
- GV đặt vấn đề nghiên - Hs suy nghĩ
tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx
cứu cách tính diện tích
a
hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x),

trục Ox và các đường
thẳng x = a, x = b.
- GV giới thiệu 3 trường
hợp:
+ Nếu hàm y = f(x) liên
tục và không âm trên
[ a; b] . Diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của f(x), trục Ox
và các đường thẳng x = a,
b

x = b là: S = ∫ f ( x )dx
a

+ Nếu hàm y = f(x) ≤ 0
trên [ a; b] . Diện tích
b

S = ∫ ( − f ( x ))dx
a

+

Tổng

quát:

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

HĐTP2: Củng cố công
thức

Ví dụ 1: SGK
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng
Trang 9


- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, - Giải ví dụ 1 SGK
hướng dẫn học sinh thực
hiện
- Gv phát phiếu học tập
số 1
+ Phân nhóm, yêu cầu Hs - Tiến hành hoạt
thực hiện
động nhóm

giới hạn bởi Parabol y = − x 2 + 3x − 2
và trục hoành Ox .
Bài giải
Hoành độ giao điểm của Parabol
y = − x 2 + 3x − 2 và trục hoành Ox là
nghiệm
của
phương
trình
x = 1

− x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔  1
.
 x2 = 2
2

S = ∫ ( − x 2 + 3 x − 2 ).dx
1

2

 x3

x2
= −
+3
− 2 x  = ...
2
 3
1

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
HĐTP 1: Xây dựng công
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai
thức
đường cong
- GV treo bảng phụ hình - Theo dõi hình vẽ
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x)
vẽ 54 SGK
liên tục trên [ a; b] . Gọi D là hình
- GV đặt vấn đề nghiên

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
cứu cách tính diện tích - Hs lĩnh hội và ghi đó và các đường thẳng x = a, x = b
hình phẳng giới hạn bởi nhớ
trong hình 54 thì diện tích của hình
đồ thị hàm số y = f1(x), và
phẳng được tính theo công thức
b
y = f2(x) và hai đường
S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
thẳng x = a, x = b
a
- Từ công thức tính diện
tích của hình thang cong
suy ra được diện tích của
Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo
hình phẳng trên được tính
các cách
bởi
công
thức
Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu
b
S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt
a
đối
Cách 2: Tìm nghiệm của phương
trình f1(x) – f2(x) = 0. Giả sử ptrình
có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc [ a; b]
thì:

HĐTP2: Củng cố công
thức
- Gv hướng dẫn học sinh
- Theo dõi, thực
giải vd2, vd3 SGK
hiện
- Gv phát phiếu học tập số
2
Trang 10


+ Phân nhóm, yêu cầu Hs - Hs tiến hành giải
thực hiện
dưới sự định hướng
của giáo viên.
- Hs thảo luận theo
nhóm và tiến hành
giải.
+ Treo bảng phụ, trình Hoành độ giao
bày cách giải bài tập điểm của 2 đường
trong phiếu học tập số 2
đã cho là nghiệm
của ptrình
x2 + 1 = 3 – x
⇔ x2 + x – 2 = 0
x = 1
⇔
 x = −2
1

S=

∫

x 2 + 1 − (3 − x )

c

S =∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

d

+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
c

b

+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
d

c

= ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
a

d

+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx

c

b

+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
d

−2
1

=

∫ (x

2

+ x − 2)dx = ...

−2

=

9
2

Tiết 2:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = x 2 và y = x .
3. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học Ghi bảng
sinh
- Giáo viên đặt vấn đề - Hs giải quyết vấn II. Tính thể tích
như SGK và thông báo đề đưa ra dưới sự 1. Thể tích của vật thể
công thức tính thể tich định hướng của giáo Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P)
vật thể (treo hình vẽ đã viên
và (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox
chuẩn bị lên bảng)
vuông góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a
< b) là giao điểm của (P) và (Q) với
Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với
Ox tại x ( x ∈ [ a; b] ) cắt V theo thiết
diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x)
liên tục trên [ a; b] . Khi đó thể tích của
vật thể V được tính bởi công thức
- Hướng dẫn Hs giải vd4 - Thực hiện theo sự
b
SGK
hướng dẫn của giáo
V = ∫ S ( x )dx
viên
a
HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt
Trang 11


- Xét khối nón (khối
chóp) đỉnh A và diện tích
đáy là S, đường cao AI =
h. Tính diện tích S(x) của

thiết diện của khối chóp
(khối nón) cắt bởi mp
song song với đáy? Tính
tích phân trên.
- Đối với khối chóp cụt,
nón cụt giới hạn bởi mp
đáy có hoành độ AI0 = h0
và AI1 = h1 (h0 < h1). Gọi
S0 và S1 lần lượt là diện
tích 2 mặt đáy tương ứng.
Viết công thức tính thể
tích của khối chóp cụt
này.
- Củng cố công thức:
+ Giáo viên phát phiếu
học tập số 3: Tính thể tích
của vật thể nằm giữa 2
mp x = 3 và x = 5, biết
rằng thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mp vuông góc
với Ox tại điểm có hoành
độ x ( x ∈ [ 3;5] ) là một
hình chữ nhật có độ dài
các cạnh là 2x, x 2 − 9
Yêu cầu Hs làm việc theo
nhóm
- Gv yêu cầu Hs trình bày

2. Thể tích khối chóp và khối
chóp cụt

Do đó, thể tích của khối * Thể tích khối chóp:
h
x2
S .h
chóp (khối nón) là:
S ( x) = S.

x2
h2

V = ∫ S.

h

x2
S .h
V = ∫ S . 2 dx =
h
3
0

0

h2

dx =

3

* Thể tích khối chóp cụt:

V =

(

h
S 0 + S 0 .S1 + S1
3

)

- Hs tiến hành giải quyết
vấn đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo
viên.
Thể tích của khối chóp
cụt (nón cụt) là:
V =

(

h
S 0 + S 0 .S1 + S1
3

)

- Hs giải bài tập dưới sự
định hướng của giáo
viên theo nhóm

- Hs tính được diện tích
của thiết diện là:
S ( x ) = 2 x. x 2 − 9

- Do đó thể tích của vật
thể là:
5

V = ∫ S ( x )dx
3

5

= ∫ 2 x. x 2 − 9dx = ... =

128
3

- Đánh giá bài làm và 3
- Thực hiện theo yêu
chính xác hoá kết quả
cầu của giáo viên
- Các nhóm nhận xét bài
làm trên bảng
Tiết 3:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Ghi bảng

- Giáo viên nhắc lại khái
III. Thể tích khối tròn xoay
niệm khối tròn xoay: Một
1. Thể tích khối tròn xoay
Trang 12


mp quay quanh một trục
nào đó tạo nên khối tròn
xoay
+ Gv định hướng Hs tính
thể tích khối tròn xoay
(treo bảng phụ trình bày
hình vẽ 60SGK). Xét bài
toán cho hàm số y = f(x)
liên tục và không âm trên
[ a; b] . Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị y = f(x),
trục hoành và đường
thẳng x = a, x = b quay
quanh trục Ox tạo nên
khối tròn xoay.
Tính diện tích S(x) của
thiết diện khối tròn xoay
cắt bởi mp vuông góc với
trục Ox? Viết công thức
tính thể tích của khối tròn
xoay này.
HĐ2: Củng cố công thức
- Gv hướng dẫn Hs giải

vd5, vd6 SGK

b

V = π .∫ f 2 ( x )dx
- Thiết diện khối tròn
a
xoay cắt bởi mp vuông
2. Thể tích khối cầu bán kính
góc với Ox là hình tròn có
R
bán kính y = f(x) nên diện
4
tích của thiết diện là:
V = πR 3
3
S ( x) = π . f 2 ( x)
Suy ra thể tích của khối
tròn xoay là:
b

V = π .∫ f 2 ( x )dx
a

- Dưới sự định hướng
của giáo viên Hs hình
thành công thức tính
- Chia nhóm học sinh, thể tích khối cầu và
yêu cầu Hs làm việc theo giải vd5 SGK
nhóm để giải vdụ

+ Đối với câu a) Gv
hướng dẫn Hs vẽ hình - Tiến hành làm việc
cho dễ hình dung
theo nhóm.

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng (H)
xác định bởi các đường sau quanh
trục Ox
1
3

3
2
a) y = x − x , y = 0, x = 0 và x =

3
b) y = e x . cos x , y = 0, x =
π

π
,x=
2

Giải:
3

2

1


V = π ∫  x 3 − x 2  dx
3

0 

- Đại diện các nhóm
lên trình bày và nhận
xét bài làm của nhóm
khác

3
 x6 2

81π
= π ∫  − x 5 + x 4 dx =
9 3
35

0

+ Đánh giá bài làm và
chính xác hoá kết quả

Trang 13


π

V = π ∫ ( e 2 x . cos 2 x ) dx

π
2

π

π

b) = π e 2 x .dx + π e 2 x . cos 2 xdx
∫
∫
2

π
2

= ... =

2

π
2

π
(3.e 2π − eπ )
8

IV. Củng cố:
1. Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học
2. Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể
tích khối chóp, khối nón

3. Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay
Bài tập về nhà:
- Giải các bài tập SGK
- Bài tập làm thêm:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5 x 4 + 3 x 2 + 3 .
b) y = x 2 + 1, x + y = 3 .
c) y = x 2 + 2, y = 3 x .
d) y = 4 x − x 2 , y = 0 .
e) y = ln x, y = 0, x = e .
f) x = y 3 , y = 1, x = 8 .
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x 2 − 2 x + 2 tiếp tuyến với nó tại
điểm M(3;5) và trục tung .
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
đây khi nó quay xung quanh trục Ox .
π
a) y = cos x, y = 0, x = 0, x = .
4
b) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π .
2

x

c) y = xe 2 , y = 0, x = 0, x = 1 .

BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Ngày soạn

Số tiết:2

I/ MỤC TIÊU:
1.Về kiến thức:
Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân
Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính
diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân
Trang 14


2.Về kỹ năng:
Biết tính được diện tích một số hình phẳng,thể tích một số khối nhờ tích phân
3.Về thái độ:
Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm ta lại bài của học
sinh
Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
Có tinh thần hợp tác trong học tập
II/CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
+Giáo viên:Giáo án,bảng phụ,phiếu học tập
+Học sinh :Sách giáo khoa,kiến thức về công thức tính tích phân,vở bài tập đã chuẩn bị
ở nhà
III/PHƯƠNG PHÁP:
Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,hoạt động nhóm
IV/TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI DẠY:
1. Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs
2. Kiểm tra bài cũ:kiểm tra đan xen vào bài tập
3. Bài mới:
*Tiết1
HĐ1:Baì toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

+Nêu công thức tính
diện tích giới hạn bởi
đồ thị hàm số
y=f(x),liên tục ,trục
10’ hoành và 2 đường
x=a,x=b
+Tính S giới hạn bởi
y =x3-x,trục ox,đthẳng
x=-1,x=1
+ +Gv cho hs lên bảng
giải,hs dưới lớp tự giải
đđể nhận xét

+Hs trả lời

Ghi bảng
b

S= ò f ( x) dx
a

+Hs vận dụng công thức
tính
HS mở dấu giá trị tuyệt
đối để tính tích phân

1

òx

3

- x dx =

- 1

0

1

ò( x

3

- x)dx -

- 1

ò(x

3

- x)dx

0

=1/2

HĐ2:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong

TG

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng

Trang 15


10’

+Nêu công thức tính
diện tích giới hạn bởi
đồ thi hàm số
y=f(x),y=g(x) và 2
đường thẳng x=a,x=b
+Gv cho hs tính câu 1a
ở sgk
+GVvẽ hình minh hoạ
trên bảng phụ để hs
thây rõ
+Gv cho hs nhận xét và
cho điểm
+Gv gợi ý hs giải bài
tập 1b,c tương tự

Hs trả lời

b

S= ò f ( x) - g ( x) dx
a

PTHĐGĐ
Û x2 - x - 2 = 0
Hs tìm pt hoành độ
éx = 2
x2=x+2
giao điểm
Û ê
ê
Sau đó áp dụng công
ëx = - 1
thức tính diện tích
S=
2

2

òx

2

- x - 2 dx =

- 1

ò(x

2

- x - 2)dx

- 1

=9/2(đvdt)

HĐ3:Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong
TG Hoạt động của GV

10’

+GV gợi ý hs giải câu 2
ở sgk
+GVvẽ hình minh hoạ
trên bảng phụ để hs
thấy rõ
+Gv cho hs nhận xét

Hoạt động của HS
+Hs viết pttt taị điểm
M(2;5)

Ghi bảng
Pttt:y-5=4(x-2) Û y=4x-3

2
+Hs áp dụng cong

2
thức tính diện tích S= ò ( x + 1 - (4 x - 3))dx
0
hình phẳng cần tìm
2
Hs lên bảng tính
2
= ò ( x - 4 x + 4)dx =8/3(đvdt)
0

HĐ4:Giáo viên tổng kết lại một số bài toán về diện tích
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

+Gv phát phiếu hoc tập
cho hs giải theo nhóm
+Gv cho các nhóm
10’ nhận xét sau đó đánh
giá tổng kết
+Gv treo kết qủa ở
bảng phụ

+Hs giải và mỗi nhóm
lên bảng trình bày

Ghi bảng
Kết quả
a. 9/8
b. 17/12

c. 4/3
4
(4p +
d.
3

3)

Trang 16


• Củng cố hướng dẫn làm bài tập ở nhà:(5’)
Gv hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và dặn dò hs giải các bài tập về thể tích khối tròn
xoay
*Tiết 2:
Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs
Bài mới:
HĐ5: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng

+Nêu công thức tính thể +Hs trả lời
b
tích khối tròn xoay sinh
2
V= pò f ( x)dx
ra bởi hình phẳng giới

a
15’ hạn bởi các đường
y =f(x); y=0;x=a;x=b
quay quanh trục ox
+Hs vận dụng lên bảng
* Tính thể tích khối tròn xoay
+Gv cho hs giải bài tập trình bày
sinh ra bởi
4a
a. PTHĐGĐ
2 Û
a. y =1-x2 ;y=0
1-x = x=1hoăc x=-1
1
b. y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p
2 2
V= pò (1 - x ) dx =
- 1
+Gv gợi ý hs giải bài4c
16
tương tự
p
15
p
2
b. V= pò cos x.dx =
0

p2
2

HĐ6: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay
TG Hoạt động của GV
+Gv gợi ý hs xem hình
vẽ dẫn dắt hs tính được
thể tích khối tròn xoay

Hoạt động của HS
+Hs lâp được công thức
theo hướng dẫn của gv

+Gv gợi ý hs tìm
GTLN của V theo a
+Gv gợi ý đặt t= cos a
é1 ù
với t Î ê ;1ú
ê
ë2 ú
û

Btập 5(sgk)
a. V= pò

Rcosa

0

+Hs tính được diện tích
tam giác vuông OMP.Sau
đó áp dụng công thức

tính thể tích

15’

Ghi bảng

+Hs nêu cách tìm GTLN
và áp dung tìm

=

tan 2 a.x 2 dx

pR 3
(cosa -cos3a )
3

b.MaxV( a )=

2 3pR 3
27

HĐ7:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay
Trang 17


TG
10’

Hoạt động của GV

+Gv phát phiếu hoc tập
cho hs giải theo nhóm
+Gv cho các nhóm
nhận xét sau đó đánh
giá tổng kết
+Gv treo kết qủa ở
bảng phụ

Hoạt động của HS

Ghi bảng

Hs giải và mỗi nhóm lên
16p
a.
bảng trình bày
15
p
b. (p - 2)
8
c. 2p(ln 2 - 1) 2
64
d. p
15

4.Củng cố và dặn dò: (5’)
. Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để
giải các bài toán tính diện tích và thể tích
. Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319-324 trang 158-159
ở sách bài tập

V/ PHỤ LỤC
1.Phiếu học tập
* Phiếu học tập 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a. y =x2-2x+2 và y =-x2-x+3
b. y=x3 ;y =2-x2 và x=0
c. y =x2-4x+3 và trục 0x
d. y2 =6x và x2+y2=16
*Phiếu học tập 2:Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi
a.y=2x-x2 ;y=0
p
b.y=sinx;y=0;x=0;x=
4
c. y=lnx;y=0;x=1;x=2
d. y=x2;y=2x
quay quanh trục ox
2.Bảng phụ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục,trục hoành và
hai đường thẳng x=a,x=b là:
b

S= ò f ( x)dx
a

2.Hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x=a;x=b là:
Trang 18


b

S= ò f ( x) - g ( x) dx
a

3.Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x) ;y=0;x=a;x=b quay quanh trục 0x
b
2
V= pò f ( x)dx
a

ÔN TẬP CHƯƠNG III.( 2 Tiết).
I.Mục tiêu:
Học sinh biết :
 Hệ thống kiến thức chương 3 và các dạng bài cơ bản trong chương.
 Củng cố, nâng cao và rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng tính tích phân để tìm
diện tích hình phẳng, thể tích các vật thể tròn xoay.
 Giáo dục tính cẩn thận, chặt chẽ, logic.
II . Chuẩn bị
Giáo viên : Soạn bài, chuẩn bị bảng phụ hệ thống hoá lại các kiến thức cơ bản của chương và
xem lại giáo án trước giờ lên lớp.
Học sinh: Soạn bài và giải bài tập trước khi đến lớp, ghi lại những vấn đề cần trao đổi.
III.Phương pháp:
+Gợi mở nêu vấn đề kết hợp với hoạt động nhóm.
IV.Tiến trình bài học:
*Tiết 1: Ôn tập nguyên hàm và phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
1/.Ổn định lớp, kiểm diện sĩ số:
2/.Kểm tra bài cũ:Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên từng khoảng. Nêu
phương pháp tính nguyên hàm.( Giáo viên treo bảng phụ hệ thống kiến thức và bảng các nguyên
hàm).

3/.Bài tập:
Tg Hoạt động của giáo Hoạt động của học sinh
Ghi bảng.
viên
HĐ1:Tìm nguyên
Bài 1.Tìm nguyên hàm của hàm số:
hàm của hàm số( Áp
a/.f(x)= sin4x. cos22x.
dụng các công thức
ĐS:
1
1
trong bảng các
+Học sinh tiến hành thảo
− cos 4 x − cos 8 x + C .
nguyên hàm).
luận và lên bảng trình bày.
8
32
+Giáo viên ghi đề
a/.
e−x 
1
x
x


(
)
f

x
=
e
2
+
=
2
e
+
b/.
1 + cos 4 x
bài tập trên bảng và
2

cos x 
cos 2 x
f(x)= sin4x(
)

chia nhóm:(Tổ 1,2
2
⇒ F ( x ) = 2e x + tan x + C .
làm câu 1a; Tổ 3,4
Trang 19


làm câu 1b: trong
thời gian 3 phút).
+Cho học sinh xung
phong lên bảng

trình bày lời giải
HĐ 2: Sử dụng
phương pháp đổi
biến số vào bài toán
tìm nguyên hàm.
+Yêu cầu học sinh
nhắc lại phương
pháp đổi biến số.
+Giáo viên gọi học
sinh đứng tại chỗ
nêu ý tưởng lời giải
và lên bảng trình
bày lời giải.
+Đối với biểu thức
dưới dấu tích phân
có chứa căn, thông
thường ta làm gì?.
+(sinx+cosx)2, ta
biến đổi như thế nào
để có thể áp dụng
được công thức
nguyên hàm.
*Giáo viên gợi ý
học sinh đổi biến số.
HĐ 3:Sử dụng
phương pháp
nguyên hàm từng
phần vào giải toán.
+Hãy nêu công thức
nguyên hàm từng

phần.
+Ta đặt u theo thứ
tự ưu tiên nào.
+Cho học sinh xung
phong lên bảng
trình bày lời giải.

1
2

1
4

= . sin 4 x + sin 8 x .
+Học sinh giải thích về
phương pháp làm của mình.
Bài 2.Tính:
+Học sinh nêu ý tưởng:
a/.Ta có:

( x + 1) 2

x 2 + 2x + 1
=
x1 / 2
x
= x 3 / 2 + 2 x1 / 2 + x −1 / 2 .
3

b/.Đặt t= x +5

a/. ∫

( x + 1) 2 dx
x

2
5

4
3

5/ 2
3/ 2
1/ 2
ĐS: x + x + 2 x + C .

b/.

∫x

x 3 + 5dx

2

(

⇒ dt = 3 x 2 dx
1
⇒ x 2 dx = dt

3

= ∫ x3 + 5

hoặc đặt t= x + 5
(sinx+cosx)2
=1+2sinx.cosx
=1+siu2x
π
2
hoặc: 2. sin ( x + )

(

) d ( x 3 + 5)
1
2

3

)

2 3
x + 5 x3 + 5 + C
9
1
dx
c/. ∫
( sin x + cos x ) 2
1

π
ĐS: tan( x − ) + C .
2
4
=

3

.

4
π
2
hoặc: 2. cos ( x − )
4

Bài 3.Tính:

∫ (2 − x) sin xdx

+ ∫ u.dv = uv − ∫ vdu .
+Hàm lôgarit, hàm luỹ, hàm
mũ, hàm lượng giác.
+đặt u= 2-x, dv=sinxdx
Ta có:du=-dx, v=-cosx

ĐS:(x-2)cosx-sinx+C.

∫ (2 − x) sin xdx

=(2-x)(-cosx)- ∫ cos xdx
Bài 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của

HĐ 4: Sử dụng
phương pháp đồng
nhất các hệ số để

f(x)=
+Học sinh trình bày lại

1
biết F(4)=5.
(1 + x)(2 − x)
Trang 20


tìm nguyên hàm của
hàm số phân thức và
tìm hằng số C.
+yêu cầu học sinh
nhắc lại phương
pháp tìm các hệ số
A,B.
+Nhắc lại cách tìm
nguyên hàm của
hàm số
1
∫ ax + bdx

phương pháp.

+∫

1
3

ĐS: F(x)= ln

1
1
dx = ln | ax + b | +C .
ax + b
a

1+ x
1 5
+ 5 − ln .
2− x
3 2

+Học sinh lên bảng trình bày
lời giải.
1
A
B
=
+
(1 + x)(2 − x ) x + 1 2 − x

Đồng nhất các hệ số tìm
được A=B= 1/3.

+Giáo viên hướng
dẫn lại cho học sinh.
4/.Ôn tập củng cố:
+Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
+Giáo viên hướng dẫn học sinh làm một số bài tập còn lại về nhà cho học sinh.
*Tiết 2:Ôn tập tích phân, phương pháp .
1/.Ồn định lớp ,kiểm diện sĩ số.
2/.Kiểm tra bài cũ:
Hãy nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân. Phương pháp tính tích phân. Ứng dụng tích
phân vào tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay.
b

* ∫ f ( x ).dx = [ F ( x ) ] a
b

= F (b) − F ( a )

a

3/.Bài tập:
Tg Hoạt động của giáo
viên
HĐ 1:Sử dụng
phương pháp đổi biến
số vào tính tích phân.
+Giáo viên yêu cầu
học sinh nhắc lại
phương pháp đổi biến
số.

+Yêu cầu học sinh
làm việc theo nhóm
câu 1a,1b,1c

+Giáo viên cho học
sinh nhận xét tính
đúng sai của lời giải.

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng
Bài 5. Tính:
3

a/. ∫
0

x
1+ x

dx

+Học sinh nhắc lại phương pháp
ĐS:8/3.
đổi biến.
1
b/. ∫

xdx
9

ĐS: ln .
x + 3x + 2
8
2

+Học sinh làm việc tích cực
0
π
theo nhóm và đại diện nhóm lên
bảng trình bày lời giải của mình. c/. ∫ 1 + sin 2 x .dx ĐS: 2 2 .
0
1a/.đặt
t= 1 + x ⇒ t 2 = 1 + x
ta có: dx= 2tdt.
Đổi cận:x=0 thì t=1
x=3 thì t=2

Trang 21


3

2

x

∫

1+ x

0

(t 2 − 1)2tdt
t
0

dx = ∫

2

2
= ∫ 2(t 2 − 1)dt = ( t 3 − 2t ) | 02
3
0

HĐ 2:Sử dụng
phương pháp tích
phân tứng phần để
tính tích phân.
+Yêu cầu học sinh
nhắc lại phương pháp
tính tích phân theo
phương pháp tích
phân từng phần.
+Giáo viên cho học
sinh đứng tại chỗ nêu
phương pháp đặt đối
với câu a, b.
HĐ 3: ứng dụng tích
phân vào tính diện

tích hình phẳng và thể
tích của vật thể tròn
xoay.
+Yêu cầu học sinh
nêu phương pháp tính
diện tích hình phẳng
giới hạn bởỉ
y= f(x), y= g(x),
đường thẳng x=a,x=b.
+Cho học sinh lên
bảng làm bài tập 7.
+Hãy nêu công thức
tính thể tích của vật
thể tròn xoay sinh bởi
đồ thị (C):
y= f(x) và đường
thẳng: x=a,x=b, quay
quanh trục Ox.
+Giáo viên yêu cầu
học sinh lên bảng
trình bày .

Bài 6:Tính:
e2

+Học sinh nhắc lại công thức
b

b

a

a

b
∫ udv = uv | a − ∫ vdu .

a/.Đặt u=lnx, dv=x dx
ta có: du= dx/x; v= 2.x1/2

∫
1

ln x
x

dx = 2 x

1/ 2

ln x
x

1

dx .

π

-1/2

e2

a/. ∫

2
b/. ∫ ( x + sin x) dx ĐS:
0

π 3 5π
+
3
2

e2

ln x | − ∫ 2 x −1 / 2 dx
e2
1

1

1/2 e 2

=4e-4x | 1 =4.
b/.Khai triển,sau đó tính từng
tích phân một.

+Giải phương trình: f(x)=g(x)
+Diện tích hình phẳng:

b

S= ∫ | f ( x) − g ( x) | dx .

Bài 7:Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi :
y = ex , y = e - x , x = 1 .
Bài giải
Ta có :
1

S = ∫ e x − e − x dx = e +
0

1
−2
e

a

+Học sinh trả lời.
2

V = π ∫ y 2 dx
1

Bài 8:Tính thể tích của vật thể
tròn xoay sinh bởi hình phẳng
giới hạn bới các đường
y = ln x, x = 1, x = 2, y = 0 khi nó

quay xung quanh trục Ox
ĐS:
2

+Học sinh lên bảng trình bày và
giải thích cách làm của mình.

V = π ∫ y 2 dx
1

2

= π ∫ ( ln x ) dx
2

1

2

= π ∫ ln 2 xdx
1

(

)

= 2π ln 2 2 − 2 ln 2 + 1

Trang 22

2

V = π ∫ y 2 dx
1

+Giáo viên cho học
sinh chính xác hoá lại
bài toán.

2

= π ∫ ( ln x ) dx
2

1

2

= π ∫ ln 2 xdx
1

+Học sinh tiến hành giải tích
phân theo phương pháp tích
phân từng phần.
4/.Ôn tập củng cố:
+Yêu cầu học sinh nêu phương pháp giải của một số dạng toán tích phân.
+Nêu lại phương pháp tính diện tích hình phẳng và thể tích tích của vật thể tròn xoay.
+Giáo viên hướng dẫn học sinh làm các bài tập còn lại.
*Chú ý: Dùng bảng phụ cho cả hai tiết học để hệ thống các công thức và phương pháp đã

học

SỐ PHỨC ( 2 tiết )
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức :
- Hiểu được số phức , phần thực phần ảo của nó; hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm
môđun, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.
2. Kĩ năng:
Biết biểu diễn số phức trên mặt phẳng toạ độ
-Xác định được môđun của số phức , phân biệt được phần thực và phần ảo của số phức.
-Biết cách xác định được điều kiện để hai số phức bằng nhau.
3. Tư duy và thái độ :
+ Tư duy:
-Tìm một yếu tố của số phức khi biết các dữ kiện cho trước.
-Biết biểu diễn một vài số phức dẫn đến quỹ tích của số phức khi biết được phần thực hoặc
ảo.
+ Thái độ: nghiêm túc , hứng thú khi tiếp thu bài học, tích cực hoạt động.
II. Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án , phiếu học tập, bảng phụ.
2.Học sinh: sách giáo khoa, đồ dùng học tập
III. Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,đan xen hoạt động nhóm.
Trang 23


IV. Tiến trình bài học:
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG
1.Kiểm tra bài cũ:
Gọi một học sinh giải phương trình bậc hai sau
A. x 2 − 5 x + 6 = 0

B. x 2 + 1 = 0
2.Bài mới:
HOẠT ĐỘNG 2
Tiếp cận định nghĩa số i
Tg Hoạt động của giáo
viên

Hoạt động của
học sinh

Như ở trên phương
+ Nghe giảng
trình x 2 + 1 = 0 vô
nghiệm trên tập số
thực. Nhưng trên tập
số phức thì phương
trình này có nghiệm
hay không ?
+ số thoả phương trình

Viết bảng
Bài SỐ PHỨC
1.Số i:
i 2 = −1

x 2 = −1

gọi là số i.
H: z = 2 + 3i có phải là + Dựa vào định
nghĩa để trả lời

số phức không ? Nếu
phải thì cho biết a và b
bằng bao nhiêu ?
+ Phát phiếu học tập 1:
+ z = a +bi là dạng đại
số của số phức.

2.Định nghĩa số phức:
*Biểu thức dạng a + bi , a, b ∈ R; i 2 = −1
được gọi là một số phức.
Đơn vị số phức z =a +bi:Ta nói a là phần
số thực,b là phần số ảo
Tập hợp các số phức kí hiệu là C:
Ví dụ :z=2+3i
z=1+(- 3 i)=1- 3 i
Chú ý:
* z=a+bi=a+ib

HOẠT ĐỘNG 3
Tiếp cận định nghĩa hai số phức bằng nhau

Trang 24


+Để hai số phức z =
a+bi và z = c+di bằng
nhau ta cần điều kiện
gì ?
+ Gv nhắc lại đầy đủ.
+Em nào định nghĩa

được hai số phức bằng
nhau ?
+Hãy chỉ ra hướng giải
ví dụ trên?

+ Số 5 có phải là số
phức không ?

+Bằng logic toán
để trả lời câu hỏi
ngay dưới lớp.

3:Số phức bằng nhau:
Định nghĩa:( SGK)
a = c
b = d

a+bi=c+di ⇔ 
+trả lời câu hỏi
ngay dưới lớp.

Ví dụ:tìm số thực x,y sao cho
2x+1 + (3y-2)i=x+2+(y+4)i

2x + 1 = x + 2
x = 1
x = 1
+ Lên bảng giải ví 
⇔
⇔

3 y − 2 = y + 4
2 y = 6
y = 3
dụ.
*Các trường hợp đặc biệt của số phức:
+Số a là số phức có phần ảo bằng 0
a=a+0i
+Số thực cũng là số phức
+Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần
ảo:bi=0+bi;i=0+i
+Trả lời câu hỏi
ngay dưới lớp.

Tiết 2
HOẠT ĐỘNG 4
Tiếp cận định nghĩa điểm biểu diễn của số phức

Trang 25