08 bài giảng số 1 ma trận và các phép toán trên ma trận

Khóa học: Ma trận định thức

Ma trận và định thức

Chương 2:

Bài giảng số 01. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1.1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa 1: Cho trước hai số nguyên dương m, n , ta gọi ma trận có n hàng m cột với các hệ
số trên trường K (R hoặc C) là một bảng số gồm m  n phần tử aij của K với 1  i  m,1  j  n
được kí hiệu bởi
 a11
a
A =  21


 am1

a12
a22

am 2

 a1n 
 a2n 
hoặc viết tắt A = aij mn
 

 amn 

Nhận xét:
i) Ma trận A gọi là ma trận cấp m  n, aij gọi là phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j của ma
trận.
ii) Nếu A có số dòng bằng số cột thì ta nói A là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần tử
aii với i = 1, 2, …, n được gọi là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A.

iii) Ma trận không, kí hiệu là O là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0.
Ma trận đối của ma trận A là ma trận có dạng  aij mn và kí hiệu là – A.
Ma trận bằng nhau: Hai ma trận A = aij mn và B = bij mn được gọi là bằng nhau nếu aij = bij với
mọi i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.
Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử ngoài đường chính bằng 0 gọi
là ma trận đường chéo, ta viết:
 a11 0
0 a
22
A= 
 

0
0

 0
 0 
 

 ann 

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục

Khóa học: Ma trận định thức

Đặc biết nếu tất cả các aii =1 với i = 1, 2, …, n thì ma trận đó gọi là ma trận đơn vị kí hiệu là In.
Ma trận tam giác:
Ma trận tam giác trên: là ma trận A= ( aij ) n nếu i > j thì aij  0 hay A có dạng:
 a11 a12
0 a
22

 

0
0






a1n 
a2 n 


ann 

Ma trận tam giác dưới: là ma trận A= ( aij ) n mà nếu i< j thì aij  0 hay A có dạng:

 a11
a
 21


 an1

0
a22

an 2

 0
 0 
 

 ann 

Ma trận hàng: là ma trận có 1 dòng và n cột: a11 a12  a1n 
 b11 
b 
Ma trận cột: là ma trận có n dòng và 1 cột:  21 
 
 
bn1 

Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A= aij mn , nếu ta đổi chỗ dòng thứ i thành cột thứ i với i = 1,
2, …,m thì ta được một ma trận gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu là:
 a11
a

t
A =  12


 a1n

a21
a22

a2n

 am1 
 am 2 
 

 amn 

Hay At = a ji nm . Ma trận chuyển vị của A có cấp nm.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

0
1


Ví dụ 1: Ma trận A =  2  2 thì At =
  3 1 

1 2  3
0  2 1 



Ma trận đối xứng: Ma trận A= ( aij ) n vuông cấp n được gọi là đối xứng nếu At = A hay aij  a ji
với mọi i, j = 1, 2, …, n.
Ma trận đối xứng có dạng
 a11
a
A =  12


 a1n

a12
a22

a2 n






a1n 
a2 n 



ann 

 1 2  2
Ví dụ 2: Ma trận A =  2 0 3  là ma trận đối xứng cấp 3.
  2 3  1

Ma trận phản đối xứng: Ma trận A= ( aij ) n vuông cấp n được gọi là phản đối xứng nếu At = -A
hay aij   a ji với mọi i, j = 1, 2, …, n.
Ma trận phản đối xứng có dạng:
 0
 a
A =  12
 

  a1n

a12
0

 a2n

 a1n 
 a2 n 
 

 0

1.2. Các phép toán trên tập các ma trận

Ta kí hiệu tập các ma trận cấp mn với hệ số trên trường K có dạng Mmn(K), khi đó ta định
nghĩa phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số như sau:
Phép cộng: Cho hai ma trận cấp mn: A = aij mn và B = bij mn , ta định nghĩa A + B là một ma trận
C cấp m  n có dạng: C = aij  bij mn .

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

  1 2 3  1  1  2  0 1 1 
3  2 7   4  3  5  7  5 2

 
 


Ví dụ 3:

Phép nhân: Tích của ma trận A = aij mn với một số   K là một ma trận có dạng A  (a i j ) mn

Ví dụ 4:

2 6  1  4  12 2 
 2 3 4  5    6  8 10
4 6  8   8  12 16

Các tính chất: Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất
sau:
i)
ii)
iii)

A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + O = O + A = A, A – A = O

iv)
v)

 (A + B) =  A +  B

1.A = A

vi)

0.A =O

vii)

 .O =O

viii)

 ( A)  ( ) A

Nhận xét: Ta kí hiệu tập các ma trận cấp m  n trên trường K là M m  n (K), khi đó M mn (K)

cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một không gian véc tơ trên trường K ( Khái
niệm không gian véc tơ sẽ được định nghĩa ở chương 3).

1.3. Các phép biến đổi sơ cấp ma trận
Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận
ii) Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột với một số khác không.
iii) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng của một dòng
(cột) sau khi đã nhân với cùng một số nào đó

1.4. Phép nhân hai ma trận
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

 

Cho hai ma trận A = aij

mn

 

và B = b jk

np

Định nghĩa 2: Tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = cik mp cấp mp mà các phần tử cik
n

được xác định bởi: cik   aij b jk với i = 1, 2, …,m và k = 1, 2, …, p.
j 1

Hay viết cik  ai1

ai 2

 b1k 
b 
 ain   2 k  , tức là phần tử ở dòng thứ i, cột thứ k của C là tích vô
  
 
 bnk 

hướng của véc tơ dòng thứ i của A với véc tơ cột thứ k của B.

Ví dụ 5:

 1 2 3 
Cho hai ma trận A = 
, B =
 2 0  4

1 2 1  1 
0 3 2 0  ,



  1 4 2 5

Phần tử c23 của ma trận tích AB là tích vô hướng của véc tơ dòng thứ hai của ma trận A và véc tơ
1
cột thứ 3 của ma trận B, ta có c23 = 2 0  4 2 = -6
2

AB là ma trận có dạng:
1 2 1  1 
 1 2 3  
 =   4 16 9  22 
AB = 
0
3
2
0



 
 2 0  4   1 4 2 5 6  12  6  22



Nhận xét:
i) Điều kiện để thực hiện được phép nhân ma trận A với B là số cột của ma trận A bằng số
dòng của ma trận B.
ii) Ma trận A là ma trận cấp n, I là ma trận đơn vị cấp n, ta luôn có A.I = A.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

iii) Nếu thực hiện được phép nhân A và B thì không suy ra được phép nhân B với A, trong
trường hợp thực hiện được phép nhân B với A thi nói chung AB  BA, tức là phép nhân hai ma
trận không có tính chất giao hoán.
iv) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta có tích của n ma trân A kí hiệu là
A.A…A = An.
Các tính chất của phép nhân hai ma trận:
Cho các ma trận A = aij mn , B = b jk np , C = ckl  pq , D = d ik np ta có những tính chất sau:
i) (AB)C = A(BC)
ii) (AB)t = BtAt
iii) A(B + D) = AB + AD
Đa thức ma trận và nghiệm
Cho đa thức P(x) = anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0
A là một ma trận vuông cấp n, thì ta gọi
P(A) = anAn + an-1An-1 +…+a1A + a0In là đa thức ma trận theo biến A.
Nếu tồn tại ma trận A sao cho P(A) là ma trận O thì ta nói A là nghiệm của đa thức P(A).
1 1 2


Ví dụ 6: Cho f(x) = 2x +3x +5 và ma trận A =  1 3 1  . Ta có
4 1 1



2

 28 15 16 


f(A) = 2A + 3A + 5I3 =  19 36 15 
 30 19 28 


2

1.5. Vành các ma trận vuông

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

Ta kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n trên trường K là Mn(K).
Định lý 1: Tập Mn(K) cùng với phép toán cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số trên
trường K là một vành có đơn vị.
Chứng minh:
Giả sử A, B, C là các ma trận vuông cấp n trên trường K, khi đó ta dễ chứng minh được
các tính chất sau:
Đối với phép cộng Mn(K) là một nhóm giao hoán
Đối với phép nhân, ta có:
(AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (B + C)A =BA + CA

A.I = I. A = A.
Từ các kết luận trên suy ra (Mn(K), +,  ) là một vành có đơn vị I.
Nhận xét: Vành Mn(K) nói chung không là vành giao hoán và cũng không là vành nguyên.
Tính chất 1: Cho A, B  Mn(K) và   K, ta có  (AB) = (  A)B = A(  B).

1.6. Ma trận nghịch đảo
Tính chất 2: Cho ma trận vuông A cấp n, ta có A.In = InA = A
Câu hỏi đặt ra là: Nếu cho một ma trận vuông A cấp n thì có tồn tại ma trận vuông B cấp n sao
cho AB = BA = In
Định nghĩa 3: Một ma trận vuông A cấp n được nói là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông
B cấp n sao cho AB = BA = In
Trong trường hợp này ta nói B là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là B = A-1.
A khả nghịch hay ta còn nói A có nghịch đảo.
Tính chất 3: Giả sử ma trận vuông A cấp n khả nghịch thì ma trận A-1 là duy nhất
Chứng minh:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

Giả sử B là ma trận nghịch đảo của A. Thì ta có AB = BA = In, từ đó suy ra
A-1 =A-1In =A-1(AB) = (A-1A)B = InB = B.
Tính chất 4: Giả sử A và B là các ma trận khả nghịch cấp n, thì ta có AB cũng khả nghịch và
(AB)-1 = B-1A-1
Chứng minh:
Ta có (AB)(AB)-1 = A(B(B-1)A-1) =A((BB-1)A-1) = A(InA-1) = AA-1 = In
Tương tự ta có (BA)-1(BA) = In. (đpcm).

Tính chất 5: Nếu A là ma trận khả nghịch cấp n thì (A-1)-1 = A.
Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo
Giả sử ma trận A vuông cấp n là ma trận khả nghịch, ta tìm ma trận A-1 bằng phương pháp
Gauss như sau:
Viết thêm vào ma trận A ma trận In để có dạng (A | In). Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận để
biến đổi ma trận (A | In) về dạng (I | B). Khi đó ma trận B thu được chính là ma trận A-1 cần tìm.
 1 1 2


Ví dụ 7: Xét ma trận A =  3 0 3 
  2 3 0



Giải:

Để tìm A-1, ta xét (A | I3)
 1 1 2 1 0 0


Ta viết (A | I3) =  3 0 3 0 1 0  .
 2 3 0 0 0 1



Nhân dòng 1 với -3 rồi cộng vào dòng 2, sau đó nhân dòng 1 với 2 và cộng vào dòng 3 ta có:
2
1 0 0
1 1



0  3  3  3 1 0
0 5
4
2 0 1 


Nhân dòng 3 với 3, sau đó nhân dòng 2 với 5 rồi cộng vào dòng 3 ta có:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

2
1 0 0
1 1


0  3  3  3 1 0
0 0  3  9 5 3



Nhân dòng 1 với 3 sau đó cộng dòng 2 và dòng 3 vào dòng 1 ta có:
0  9 6 3
3 0



0  3  3  3 1 0
0 0  3  9 5 3



Nhân dòng 3 với -1 rồi cộng vào dòng 2 ta có
0 9 6
3 
3 0


6  4  3
0  3 0
0 0  3  9 5
3 


Nhân dòng 1 với

1
1
1
, dòng 2 với  và dòng 3 với  ta có
3
3
3

2
1

1 0 0  3


1
0 1 0  2 4 / 3
 0 0 1 3  5 / 3  1


2
1
3


Vậy ma trận nghịch đảo của A là A =   2 4 / 3 1  .
 3  5 / 3  1


-1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho các ma trận sau:
 2 5


A = 1 4 , B =
 2 1



1


1 7 2 9 
2

 , C = 
1
9 2 7 1 

3


0
1
1
2

4

3
,D=
5

1 

1 0 7


 2 1 2 .
1 3 0




Tính tất cả các tích ma trận có thể.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận định thức

Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau hãy xác định tích AB và BA nếu có thể và trường hợp nào thì
AB = BA.
 0 3
 và B =
 4 5

a) A = 

 2  1


3 2 

1 1 5 
 và B =
b) A = 
3
0

4


 2  1
 và B =
3 2 

c) A = 

2 1


 3 6
1 5



 1  4


12 1 

1  4
 3


d) A =   2 0
5  và B =
 1 2 3 




2 0 0 


0 5 0 
 0 0  1



Bài 3: Cho đa thức f(x) = 3x2- 2x -3. Hãy tính các đa thức f(A-I) sau với

 1 1 1 1 
 1 1 1 1 

b) A = 
 1 1 1 1 


 1 1 1 1

 1 0 1


a) A = 2
3
1


 1 2 4 




 2  5
 và tìm  ,  ,   R sao cho ma trận là ma trận
3
1



Bài 4: Tính giá trị của A2 biết A = 
I   A  A 2 bằng không.

Bài 5: Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận mà I – AB khả nghịch thì nghịch đảo của I –
BA được cho bởi công thức ( I – BA )-1 = I + B( I – AB)-1A.
Bài 6: Cho ma trận vuông A thoả mãn điều kiện A2 –A + I = 0. Chứng minh rằng ma trận A khả
nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của A.
Bài 7: Hãy tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau nếu có:

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục




 1 1 1


a)  1  1 1
 0 0 1



1 a b  c 


e) 1 b a  c 
1 c a  b 



Khóa học: Ma trận định thức

1 2  2


b)  1 5 3 
2 6 1


2

1
f) 
2

1


5
2

4
3

8
3
7
5

1 5 2


c)  1 1 7 
0  3 4



 2 3 4


d)  3 4 2 
 2 3 3



 3  2 1  5


 2 5  2 3 
g) 
0 2 1

0 


 1  1 0  1



5

1
2

3 

Bài 8: Giải các phương trình ma trận sau:
 1 1 1

 1 0 1

a) X  1  1 1 = 
2
1

2


 0 0 1



 1 1  1


b)  1  1 1  X =
1 1 1 



 1 0  1 2


 2  3 1 1
 0 1  1 3



Bài 9: Tìm các ma trận X thỏa mãn điều kiện
1 0 1
 1 2 1
a) X  0 1 0   

 1 1 1   3 0 1



 1 2 1   0 0 1 

 

b) X  2 1 0    1 0 0 

 1 3 1   0 1 1 

 


2 1 1


Bài 10: Cho ma trận A  0 2 1 . Tính A n .


0 0 2



Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục