04 bài giảng lý thuyết môn toán cao cấp a1 đại học công nghiệp thành phố HCM

2 November 2009

TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC
PHÂN PHỐ
PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiế
tiết: 30
-----

Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Toán cao cấp (bậc Cao đẳng)
– Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM.
2. Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1
– Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM.
3. Toán cao cấp – Tập 2, 3
– Nguyễn Đình Trí – NXB Giáo dục.

Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

4. Toán cao cấp – Tập 1, 3, 4
– Đỗ Công Khanh – NXBĐHQG TP.HCM.

Chương 4. Lý thuyết chuỗi

5. Toán cao cấp – Tập 1, 2
– Nguyễn Viết Đông – NXB Giáo dục.
6. Giải tích – Tập 1, 2
– Nguyễn Thừa Hợp – NXBĐHQG Hà Nội.

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

§1. Bổ túc về hàm số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn

Giả
Giảng viên: ThS. Đoà
Đoàn Vương Nguyên

§4. Hàm số liên tục
…………………………….

Download Slide bà
bài giả
giảng Toá
Toán A1 tạ
tại

§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ

dvntailieu.wordpress.com

1.1. Khái niệm cơ bản
1.2. Hàm số lượng giác ngược

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng.
Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
G = y = f (x ) x ∈ X .

{

}

– Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
– Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

VD 1.
a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh.
b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh.
c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh.

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:
f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ D f .
• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu:
f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ D f .
Nhận xét
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1


2 November 2009

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1.1.2. Hàm số hợp

1.1.3. Hàm số ngược

• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ Df .

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f .

Khi đó, hàm số h(x ) = ( f
hàm số hợp của f và g.

Chú ý

(f

g )(x ) = f [g(x )] được gọi là

g )(x ) ≠ (g

Nhận xét

f )(x ).

VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của

f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 .

– Đồ thị hàm số y = f −1(x )
đối xứng với đồ thị của

hàm số y = f (x ) qua
đường thẳng y = x .
VD 3. Cho f (x ) = 2x thì

f −1(x ) = log 2 x , mọi x > 0.

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1.2. Hàm số lượng giác ngược
1.2.1. Hàm số y = arcsinx
 π π
• Hàm số y = sinx có hàm ngược trên − ;  là
 2 2




π
π
−1
f : [−1; 1] → − ; 
 2 2


x ֏ y = arcsin x .
VD 4. arcsin 0 = 0 vì sin 0 = 0 ;

π
arcsin(−1) = − ;
2
3
π
= .
arcsin
2
3

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1.2.3. Hàm số y = arctgx

 π π
• Hàm số y = tgx có hàm ngược trên − ;  là
 2 2 
 π π
f −1 : ℝ → − ; 
 2 2 
x ֏ y = arctgx .
VD 6. arctg 0 = 0 vì tg 0 = 0 ;
π
arctg(−1) = − ;
4
π

.
arctg 3 =
3

Quy ước. arctg (+∞) =

π
π
; arctg (−∞) = − .
2
2

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1.2.2. Hàm số y = arccosx
• Hàm số y = cosx có hàm ngược trên 0; π là


f −1 : [−1; 1] →  0; π
x ֏ y = arccos x .

VD 5. arccos 0 =
arccos(−1) = π ;

arccos

π
π
vì cos = 0 ;
2
2

3
π
−1 2π
= ; arccos
=
.
2
6
2
3

Chú ý

arcsin x + arccos x =

π
, ∀x ∈ [−1; 1].
2

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1.2.4. Hàm số y = arccotgx
• Hàm số y = cotgx có hàm ngược trên (0; π) là
f −1 : ℝ → (0; π), x ֏ y = arccotgx .
π
;
2
3π
arccotg(−1) =
;
4
π
arccotg 3 = .
6
Quy ước. arccotg (+∞) = 0 ; arccotg (−∞) = π .

VD 7. arccotg 0 =

2


2 November 2009

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ],
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước
x →x 0

ta tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì
f (x ) − L < ε .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số
Định nghĩa 2 (theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a; b ],
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong
x →x 0

(a ; b ) \ {x 0 } mà xn → x 0 thì lim f (x n ) = L .
n →∞

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞,
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm
x →+∞

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε .

• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho
x →−∞

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
khi x < N thì f (x ) − L < ε .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 ,
ký hiệu lim f (x ) = +∞, nếu ∀M > 0 lớn tùy ý cho
x →x 0

trước ta tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ
thì f (x ) > M .
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = −∞ , nếu ∀M < 0 có
x →x 0

trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0
sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
x → x 0 với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0
(hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L .
x →x 0 +0

x →x 0 −0

x →x 0

x →x 0

0

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Định lý
• Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì:
x →x 0

lim [u(x )]v (x ) = a b .

x →x 0

x →x 0

Đặc biệt

3) lim [ f (x )g(x )] = ab ;
x →x 0

f (x ) a
= , b ≠ 0;
g(x ) b
5) Nếu f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b .
6) Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và
lim f (x ) = lim g(x ) = L thì lim h(x ) = L .
4) lim

x →x 0

x →x 0

x →x +

0

2) lim [ f (x ) ± g(x )] = a ± b .

x →x 0

0

x →x −

x →x 0

x →x 0

x →x −

Chú ý
lim f (x ) = L ⇔ lim f (x ) = lim f (x ) = L .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số).

0

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
x → x 0 với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0
(hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L .

x →x 0

2.2. Tính chất
Cho lim f (x ) = a và lim g(x ) = b . Khi đó:

x →x +

x →x 0

x
1

1 

lim 1 +  = lim (1 + x )x = e.

x →±∞ 
x →0
x 

2x

3x + 2 
VD 1. Tìm giới hạn L = lim 1 +

 .
x →∞ 

2x 2 + x − 1 

A. L = ∞ ;

B. L = 1;

C. L = e 2 ;

D. L = e 3 .

3


2 November 2009

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

(

VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tg
x →0+

x

x 2 + x + 1

VD 2. Tìm giới hạn L = lim  2
.
x →∞ 

 x − x − 1 

A. L = ∞ ;

B. L = 1;

A. L = ∞ ;

§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
• Hàm số α(x ) là VCB khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0
x →x 0

(x0 có thể là vô cùng).

)

VD 1. α(x ) = tg 3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ;
β(x ) =

1
ln 2 x

x

)

1
4x

C. L = 4 e ;

.
D. L = e .

D. L = e 2 .

C. L = e ;

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

(

B. L = 1;

2

là VCB khi x → +∞ .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

c) So sánh các VCB
Định nghĩa
• Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 và
α(x )
lim
= k . Khi đó:
x →x 0 β(x )
– Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ),
ký hiệu α(x ) = 0(β(x )).
– Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ).

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

b) Tính chất của VCB
1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì
α(x ) + β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 .
2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0
thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 .
3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là
x →x 0

VCB khi x → x 0 .

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

VD 2. 1 − cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x → 0 ;
sin 2 x ∼ x 2 khi x → 0 .
Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )).
2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ).
3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì
α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ).
4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ).

4


2 November 2009

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số

số
Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
• Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0
α(x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCBcấp thấp nhất
x →x 0 β(x )
của tử và mẫu.
VD 3. Tìm giới hạn lim

x →0

x 3 − cos x + 1
x 4 + 2x

2) tgx ∼ x ;
4) arctgx ∼ x

1) sin x ∼ x ;
3) arcsin x ∼ x ;
x2
5) 1 − cos x ∼
;
2

6) e x − 1 ∼ x ;
8) n 1 + x − 1 ∼

7) ln(1 + x ) ∼ x ;

.

x
.
n

Chú ý
1) Nếu u(x) là VCB khi x → 0 thì có thể thay x bởi u(x).
2) Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
hiệu hai VCB cùng cấp.

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

VD 4. Tính giới hạn L = lim

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

3.2. Đại lượng vô cùng lớn (VCL)
a) Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là VCL khi x → x 0 nếu

lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng).

2

ln(1 − 2x sin x )
sin x 2 .tgx

x →0

.

x →x 0

VD 6.

VD 5. Tính giới hạn:

L = lim

x →0

sin

(

)

x + 2 − 2 + x 2 − 3tg 2x
3

sin x + 2x

.

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số
b) So sánh các VCB

Định nghĩa
• Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 và
f (x )
lim
= k . Khi đó:
x →x 0 g(x )
– Nếu k = 0, ta nói f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x).
– Nếu k = ∞ , ta nói f(x) là VCL cấp cao hơn g(x).
– Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f(x) và g(x) là các VCL
cùng cấp.
– Đặc biệt nếu k = 1, ta nói f(x) và g(x) là các VCL
tương đương, ký hiệu f (x ) ∼ g(x ).

cos x + 1

là VCL khi x → 0 ;
2x 3 − sin x
x3 + x −1
là VCL khi x → ∞ .

x 2 − cos 4x + 3

Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì
1
là VCB khi x → x 0 .
f (x )

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

VD 7.

3
x

3

là VCL khác cấp với

1
3

2x + x

khi x → 0 ;

2 x 3 + x − 1 ∼ 2 x 3 khi x → +∞ .

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
• Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0
f (x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x →x 0 g (x )
của tử và mẫu.
VD 8. Tính các giới hạn:
x 3 − cos x + 1
x 3 − 2x 2 + 1
A = lim
; B = lim
.
x →∞
x →+∞
3x 3 + 2x
2 x 7 − sin2 x

5


2 November 2009

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC

4.1. Định nghĩa
• Số x 0 ∈ D f được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu

∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ Df .
• Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ).
x →x 0

• Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi
điểm x 0 ∈ X .
Quy ước
• Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Định lý
• Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu
lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ).
x →x 0−

x →x 0+

VD 1. Giá trị của α để hàm số:
 3tg 2x + sin 2 x
, x >0

liên tục tại x = 0 là:

f (x ) = 
2x

α
,
x
≤
0

1
3
A. α = 0 ;
B. α = ;
C. α = 1;
D. α = .
2
2

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
x0 là hàm số liên tục tại x0.
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất trên đoạn đó.

4.3. Hàm số liên tục một phía
Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu
lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )).
x →x 0−

Chương 1. Hà
Hàm số
số một biế
biến số
số

VD 2. Giá trị của α để hàm số:

ln(cos x )

,x ≠0
liên tục tại x = 0 là:
f (x ) = (arctgx )2 + 2x 2

α, x = 0

1

1
1
1
A. α = − ; B. α = ; C. α = − ; D. α = .
6
6
3
3

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

4.4. Phân loại điểm gián đoạn

§1. Đạo hàm

• Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì x0 được gọi là
điểm gián đoạn của f(x).

§2. Vi phân

• Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x ) = f (x 0− ),

§4. Công thức Taylor

x →x 0−

lim f (x ) = f (x 0+ ) nhưng f (x 0− ), f (x 0+ ) và f(x0)

x →x 0+

không đồng thời bằng nhau thì ta nói x0 là điểm
gián đoạn loại 1. Ngược lại là điểm gián đoạn loại 2.

x →x 0+

§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị
§5. Quy tắc L’Hospital
…………………………
§1. ĐẠO HÀM
1.1. Định nghĩa đạo hàm
1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số
1.4. Đạo hàm cấp cao
1.5. Đạo hàm của hàm số n

6


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế

biến

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.1. Định nghĩa đạo hàm

b) Đạo hàm một phía

a) Định nghĩa
• Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của x0.
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
∆y
Giới hạn nếu có của
=
∆x
∆x
khi ∆x → 0 được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0,
ký hiệu f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ).

• Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận phải của x0.
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
∆y
Giới hạn nếu có của
khi
=

∆x
∆x
∆x → 0+ được gọi là đạo hàm phải của f(x) tại x0,
ký hiệu f ′(x 0+ ). Tương tự f ′(x 0− ).

Nhận xét
• Do ∆x = x − x 0 nên f ′(x 0 ) = lim

x →x 0

f (x ) − f (x 0 )
x − x0

.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

c) Đạo hàm vô cùng
∆y
• Nếu tỉ số
→ ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói f(x) có
∆x
đạo hàm vô cùng tại x0.
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng
một phía.

VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞ ,

f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ .
Nhận xét
• Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x0
thì tiếp tuyến tại x0 của đồ thị song song với trục Oy.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

( )′ = α.x

1) x α

α−1

;

2)

( x )′ = 2 1x ;

3) (sin x )′ = cos x ;

4) (cos x )′ = − sin x ;

5) (tgx )′ =

−1
6) (cotgx )′ =
;
sin2 x

1
cos2 x

( )′ = e ;

7) e x

x

;

Nhận xét
• Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
f ′(x 0 ) = f ′(x 0− ) = f ′(x 0+ ).

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
(u ± v )′ = u ′ ± v ′ ;
(uv )′ = u ′v + uv ′ ;
′
k 
 u ′ u ′v − uv ′
  = −kv ′ , k ∈ ℝ ;
  =
.
2
 v 
 v 
v
v2
2) Đạo hàm của hàm số hợp f(x) = y[u(x)]:
f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x )
hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ).
3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x):
1
x ′(y ) =
.
y ′(x )

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế

biến

(

9) ln x

)′ = x1 ;

(

10) loga x

11) (arcsin x )′ =
13) (arctgx )′ =

1
1−x2
1

1+x

2

;

;

)′ = x .ln1 a ;

12)(arccos x )′ =

14) (arccotgx )′ =

−1
1 − x2
−1
1 + x2

;

.

( )′ = a .ln a ;

8) a x

x

7


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 2. Phé

Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số
• Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số
x = ϕ(t ), y = ψ(t ). Giả sử x = ϕ(t ) có hàm số ngược
và hàm số ngược này có đạo hàm thì:
y/
ψ′(t )
y ′(x ) =
hay yx/ = t .
ϕ ′(t )
x/

VD 3. Tính đạo hàm yx/ của hàm số cho bởi:
x = 2t 2 − 1, y = 4t 3 với t ≠ 0 .

t

VD 2. Tính đạo hàm y ′(x ) của hàm số cho bởi:
x = 2 cos t, y = sin t .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế

biến

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.4. Đạo hàm cấp cao

Chú ý

• Giả sử f(x) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì
( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f(x).

• Nếu hàm số được cho bởi phương trình tham số thì:
 y / /
 t 
/
 / 
yx/
 x t 
y //x / − x tt//yt/
//
t
t
yxx =
=
= tt t

, v.v…
3
x t/
x t/
x t/

( )

• Tương tự ta có:
′
f (n )(x ) = f (n−1)(x ) là đạo hàm cấp n của f(x).

(

)

( )

Quy tắc

VD 4. Tính đạo hàm f (n )(x ) của hàm số:

1) (k .u )(n ) = k .u (n ) ;
2) (uv )(n ) =

f (x ) = (1 − x )n +1 .

(u + v )(n ) = u (n ) + v (n ) ;

n

∑C nk u(n−k )v(k ) với u(0) = u, v (0) = v .

k =0

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 5. Tính đạo hàm y (10)(x ) của hàm số y = sin x .

//
VD 7. Tính đạo hàm yxx
của hàm số cho bởi:

x = 2 − cos t, y = t 2 + sin t .

VD 6. Tính đạo hàm y (n ) của hàm số y =

1

2

x − 3x − 4

.

8


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.5. Đạo hàm của hàm số n
• Cho phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm
số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x)
vào (*) ta được đồng nhất thức thì y(x) là hàm số n
xác định bởi (*).

• Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được:
Fx/ + Fy/ .yx/ = 0

⇒ yx/ = −

Fx/

Fy/

VD 8. Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình:
x2 + y2 – 4 = 0.

VD 9. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′ .

, với Fy/ ≠ 0 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

y
VD 10. Cho ln x + y = arctg . Tính y ′ .
x
2

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

2

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chú ý
• Ta có thể xem y(x) như hàm hợp u(x) và thực hiện
đạo hàm như hàm số hợp.
VD 11. Cho y 3 + (x 2 + 1)y + x 4 = 0 . Tính y ′ .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

π
VD 12. Cho y cos x + sin x + ln y = 0 . Tính y ′  .
 2 

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 13. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x 0 ; y 0 )
thuộc (E ) :

x2
a2

+

y2
b2

= 1.

Giải
• Với y 0 ≠ 0 , ta có:


F / = 2x 0
2
 x
x
y
a 2 ⇒ y ′(x ) = − b x 0 .
F=
+ − 1 ⇒ 
0
 / 2y0
a 2y0
a 2 b2
Fy = 2

b

2

2

9


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§2. VI PHÂN

Phương trình tiếp tuyến:
y = y ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 ⇒ y = −

b 2x 0
a 2y 0

(x − x 0 ) + y 0

x 0x
a2

+

y 0y
b2

=

x 02
a2

+

y02
b2

= 1 (*).

• Với y0 = 0 , ta có x 0 = ±a thỏa (*).
x x yy
Vậy phương trình tiếp tuyến là 02 + 02 = 1.
a
b

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒

∆f (x 0 )

• Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu

Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của f(x)
tại x0.
Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ).

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1 .

Nhận xét

⇒

2.1. Vi phân cấp một
∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
có thể biểu diễn dưới dạng:
∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )
với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 .

⇒ b 2x 0x + a 2y 0y = b 2x 02 + a 2y 02

⇒

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

∆f (x 0 )
∆x

= A+

0(∆x )
∆x

∆x → 0


→ A ⇒ f ′(x 0 ) = A .

∆x
⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x .

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = arctg(x 2 + 1).

• Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x .

Vậy

df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2ln(arcsin x ) .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 4. Tính vi phân cấp 2 của y = (x 3 − x + 1)e x .

2.2. Vi phân cấp cao
• Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì
d ny = d (d n −1y ) = y (n )dx n
được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ).
Quy tắc
1) d n (k .u ) = k .d nu ;
2) d n (uv ) =

d n (u + v ) = d nu + d nv ;

VD 5. Tính vi phân cấp 3 của f (x ) = tgx tại x 0 =

π
.
4

n

∑ C nkd n−ku.d kv với d 0u = u, d 0v = v .

k =0

10


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 6. Tính vi phân cấp n của hàm số y =

x +3
x 2 − 3x + 2

.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§3. CÁC ĐNNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRN CỦA HÀM SỐ
3.1. Các định lý
3.1.1. Bổ đề Fermat
• Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b) và có đạo hàm
tại x 0 ∈ (a;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất
(hoặc bé nhất) tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 .

Chú ý
• Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức
d ny = y (n )dx n không còn đúng nữa.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.1.3. Định lý Cauchy

• Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi
trong (a ;b ) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b ).
f (b) − f (a ) f ′(c )
Khi đó, ∃c ∈ (a ;b ) sao cho
=
.
g(b) − g(a ) g ′(c )
3.1.4. Định lý Lagrange
• Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong
f (b ) − f (a )
(a ;b). Khi đó, ∃c ∈ (a ;b ) sao cho
= f ′(c ).
b −a

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.1.2. Định lý Rolle
• Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong
(a ;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a;b ) sao cho f ′(c ) = 0 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế

biến

3.2. Cực trị của hàm số
3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a ;b ). Khi đó:
• f (x ) là tăng ngặt trong (a;b ) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
> 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 .
x1 − x 2
• f (x ) là giảm ngặt trong (a;b ) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
< 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 .
x1 − x 2

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• f (x ) là tăng hay giảm không ngặt trong (a ;b ) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
f (x1 ) − f (x 2 )
≥ 0 hay
≤ 0,
x1 − x 2
x1 − x 2
∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 .

b) Định lý 1
Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a ;b ).
Khi đó:
• Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a;b ) thì
f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ).

• f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a ;b ) nếu
f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a ;b ).

• Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b) thì
f (x ) giảm ngặt trong (a;b ).

• f (x ) đơn điệu trong (a ;b ) và liên tục trong (a ;b ] thì
f (x ) đơn điệu trong (a ;b ] (trường hợp khác tương tự).

• Nếu f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b ) hay f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b ) thì
f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a;b ).

11


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

c) Định lý 2
• Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a;b ) thì f ′(x ) ≥ 0 trong
(a ;b ) và không tồn tại (α; β) ⊂ (a ;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của y =

x2 + 1
(x − 1)2

• Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a ;b ) thì f ′(x ) ≤ 0 trong
(a ;b ) và không tồn tại (α; β) ⊂ (a ; b ) sao cho f (x ) ≡ 0 .
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x 2 + 1).

VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y =

VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế

biến

3.2.2. Cực trị
a) Định nghĩa
• Nếu f (x ) liên tục trong (a ;b ) chứa x 0 và
f (x 0 ) < f (x ), ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì
f (x ) đạt cực tiểu (địa phương) tại x 0 .
• Cho f (x ) liên tục trong (a;b ) chứa x 0 và
f (x 0 ) > f (x ), ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì
f (x ) đạt cực đại (địa phương) tại x 0 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

.

1

.

2

x − 2x

x 3 −4

.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Định lý
Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b ) chứa x 0
thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 .
Khi đó:
• Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .
• Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .

( )

VD 5. Tìm cực trị của hàm số y = sin 3x trong 0; π .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.2.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn

b) Định lý

a) Định nghĩa

• Nếu f ′′(x ) > 0, ∀x ∈ (a;b ) hay f ′′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b )

• Hàm số f (x ) được gọi là lồi ngặt trong (a ;b ) nếu
f ′(x ) tăng ngặt trong (a ;b ).
Khi đó đồ thị y = f (x ) lồi xuống phía dưới (lõm).
• Hàm số f (x ) được gọi là lõm ngặt trong (a ;b ) nếu
f ′(x ) giảm ngặt trong (a ;b ).
Khi đó đồ thị y = f (x ) lồi lên phía trên (lồi).
• Điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) nằm giữa phần lõm và lồi được gọi là
điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x ).

thì đồ thị hàm số y = f (x ) lõm hay lồi trong (a ;b ).
• Nếu f ′′(x 0 ) = 0 và f ′′(x ) đổi dấu khi x chuyển từ trái
sang phải điểm x 0 thì M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm uốn của
đồ thị hàm số y = f (x ).

VD 6. Xác định tính lồi, lõm của hàm số:
y = x 2 − 8 ln x .

12


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà

hàm mộ
một biế
biến

VD 7. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số:
y = arccos x .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§4. CÔNG THỨC TAYLOR
4.1. Công thức khai triển Taylor
a) Khai triển Taylor với phần dư Lagrange
• Cho hàm f (x )liên tục trên [a ;b ] có đạo hàm đến cấp
n + 1 trên (a ;b ) với x , x 0 ∈ (a ;b ) ta có:
n

f (k )(x 0 )

k =0

k!

f (x ) = ∑

VD 8. Xác định tính lồi, lõm của hàm số y = arctg 2x

và đồ thị hàm số y = arctg 2x .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

c) Khai triển Maclaurin
• Khai triển Taylor tại x 0 = 0 được gọi là khai triển
Maclaurin:
n
f (k )(0) k
f (x ) = ∑
x + 0(x n ).
k
!
k =0
• Khai triển Maclaurin được viết lại:
f / (0)
f // (0) 2
f (x ) = f (0) +
x+
x + ...
1!
2!
(n )
f (0) n
... +

x + 0(x n ).
n!
VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x ) = tgx đến x 3 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

m(m − 1) 2
x + ...
2!
m(m − 1)...(m − n + 1) n
... +
x + 0(x n ).
n!

6) (1 + x )m = 1 + mx +

f (n +1)(c )
(x − x 0 )n +1
(n + 1)!
với c ∈ (a;b ).

(x − x 0 )k +

b) Khai triển Taylor với phần dư Peano
n f (k )(x )

0
(x − x 0 )k + 0((x − x 0 )n )
f (x ) = ∑
k
!
k =0

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ
1
1)
= 1 + x + x 2 + ... + x n + 0(x n ).
1−x
x
x2
xn
2) e x = 1 + +
+ ... +
+ 0(x n ).
1! 2!
n!
x x2 x3 x4
3) ln(1 + x ) = −
+

−
+ ... + 0(x n ).
1
2
3
4
x2 x4 x6
4) cos x = 1 −
+
−
+ ... + 0(x n ).
2! 4 ! 6!
x x3 x5 x7
5) sin x = −
+
−
+ ... + 0(x n ).
1! 3! 5! 7 !

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 3. Khai triển Maclaurin của y =

1

x +1

đến x 3 .

VD 2. Khai triển Maclaurin của y = x + 1 đến x 2 .

Chú ý
• Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta thay x trong các
công thức trên bởi u(x ).

13


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 4. Khai triển hàm số y =

1
x 2 − 3x + 1

đến x 3 .

VD 5. Khai triển hàm số y = ln(1 − 2x 2 ) đến x 6 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 8. Khai triển hàm số y = e cos x đến x 4 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 6. Khai triển hàm số y = 2x đến x 4 .

VD 7. Khai triển hàm số y = e sin x đến x 3 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 9. Khai triển Maclaurin của hàm số:

f (x ) =

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

4.3. Ứng dụng của công thức Taylor
a) Tính gần đúng
• Từ công thức khai triển Taylor, ta có:

f (x ) ≈

n

f (k )(x 0 )

k =0

k!

∑

(x − x 0 )k

f (n +1)(c )
với sai số Rn (x ) =
(x − x 0 )n +1 , c ∈ (a ;b ).

(n + 1)!
• Nếu f (n +1)(x ) ≤ M , ∀x ∈ [a ;b ] thì ta có đánh giá
sai số: Rn (x ) ≤

n +1
M
.
x − x0
(n + 1)!

1 + x + x2
1−x + x

2

đến x 4 và tính f (4)(0).

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 10. Tính số e chính xác đến ε = 10−3 .
Giải
x
x2
xn
+

+ ... +
+ 0(x n )
1! 2!
n!
1
1
⇒ e ≈ 1 + 1 + + ... + .
2!
n!
eθ
, θ ∈ (0; 1)
với sai số ε = Rn (x ) =
(n + 1)!

Ta có: e x = 1 +

⇒ε<

Vậy e ≈ 2 +

3
⇒ n = 6.
(n + 1)!

1
1
1
1
1
+ + + + .

2! 3! 4 ! 5! 6!

14


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Tìm phần chính của VCB α(x) và tính giới hạn
• Cho VCB α(x ) khi x → 0 .

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

e x − e −x − 2x
.
x →0
x − sin x

VD 12. Tính giới hạn L = lim

Nếu α(0) = α ′(0) = ... = α(k −1)(0) = 0, α(k )(0) ≠ 0
thì phần chính của α(x ) là:

α(k )(0) k
α(k )(0) k
x hay α(x ) ∼
x .
k!
k!
VD 11. Tìm phần chính của VCB e tgx − 1 khi x → 0 .

VD 13. Tính L = lim

ln(1 + x ) + e x − sin 2x − 1

x →0

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

6

x3 + 1 −1

.

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

c) Tìm tiệm cận của đồ thị
• Đường cong y = f (x ) có tiệm cận y = g(x ) nếu
f (x ) = g(x ) + α(x ) với α(x ) là VCB khi x → ∞ .



1 
VD 14. Tính giới hạn L = lim x − x 2 ln 1 +  .

x →∞ 
x 


VD 15. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = x 2 + 1 .
Giải
1


1 2
Ta có: y = x + 1 = x 1 +
= x 1 + 
2



x
x 2 

 1 
1
= x 1 +
+ 0  .
 x 2 

2x 2
1

2

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• Khi x → +∞ :

1
1
y =x+
+ 0   ⇒ y = x là tiệm cận xiên.
 x 

2x
• Khi x → −∞ :

y = −x −

1
1
+ 0   ⇒ y = −x là tiệm cận xiên.
 x 
2x

Giải nhanh: y = x 2 + 1 = x

1+

1
x2

x →∞


→x.

2

VD 16. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = x (x − 1) .
3

Chương 2. Phé
Phép tí

tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
5.1. Định lý

• Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục và khả vi trong lân
cận của điểm x 0 .

Nếu
hoặc

lim f (x ) = lim g(x ) = 0

x →x 0

x →x 0

lim f (x ) = lim g(x ) = ∞

x →x 0

x →x 0

thì

lim

x →x 0

f (x )
f / (x )
= lim
.
g(x ) x →x 0 g / (x )

15


2 November 2009

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 1. Tìm giới hạn L = lim

x →1

A. L = 0 ;

B. L = ∞ ;

x +7 −2
.

sin πx
−1
C. L =
;
12π

3

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 2. Tìm giới hạn L = lim

x →0

D. L =

π
12

x 2 − sin 2 x
x 2 .arctg 2x

5.2. Các dạng vô định khác

(

.

)

VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 ×∞ ).
x → 0+

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến


1
VD 4. Tính L = lim cotgx −  (dạng ∞ − ∞ ).

x →0 
x 

Chương 2. Phé
Phép tí
tính vi phân hà
hàm mộ
một biế
biến
1

VD 6. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ).
x →1

1

VD 7. Tìm giới hạn L = lim (x + 3x )x (dạng ∞0 ).
x →+∞

(

2

)

VD 5. Tính L = lim x − ln x (dạng ∞ − ∞ ).
x →+∞

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ

một biế
biến

§1. Tích phân bất định

Nhận xét

§2. Tích phân xác định

• Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C
cũng là nguyên hàm của f (x ).

§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐNNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x )
trên (a;b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a;b ).

Ký hiệu

∫ f (x )dx (đọc là tích phân).

Tính chất

∫ k.f (x )dx = k ∫ f (x )dx, k ∈ ℝ
2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C

1)

d
f (x )dx = f (x )
dx ∫
4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx .
3)

16


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Bảng nguyên hàm cần nhớ
1)

∫ a.dx = ax + C ,

9)

a∈ℝ

∫

x α+1
x αdx =
+ C , α ≠ −1
α +1

∫

dx
= ln x + C ;
x

4)

5)

x
x
∫ e dx = e + C ;

6)

7)

∫

2)
3)

cos xdx = sin x + C ; 8)

∫

dx

x
∫ a dx =

∫

∫

15)

∫

16)

∫

17)

∫

18)

∫

dx
2

x +a

ax
+C
ln a

sin xdx = − cos x + C

= ln x + x 2 + a + C

x
a
x 2 + a + ln x + x 2 + a +C
2
2
x
a2
x
a 2 − x 2 dx =
a 2 − x 2 + arcsin + C
2
2
2
dx
x
= ln tg + C
sin x
2


dx
x π
= ln tg  +  + C .
cos x
 2 4 

x 2 + a dx =

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 2. Tính I =

∫

∫

dx
cos2 x
dx

= tgx + C

10)

∫

11)

∫ x 2 + a 2 = a arctg a + C

12)

∫

13)

∫

= 2 x +C

x

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

14)

Chương 3. Phé
Phép tí

tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

sin 2 x

= −cotgx + C

dx

dx

1

x

= arcsin

x
+C
a

a2 − x2
dx
1
x −a
=
ln

+C
2a x + a
x 2 −a2

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
• Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C thì:

∫ F (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C , với ϕ(t ) khả vi.
VD 1. Tính I =

∫

ln 2 x dx
x ln 3 x + 1

, x > 1.

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà

hàm mộ
một biế
biến

VD 3. Tính I =

∫

VD 4. Tính I =

∫

cotgx
2 sin 4 x + 3

dx .

3
,x> .
2
(x + 1)(2x − 3)
dx

3

 π
dx , x ∈ 0; .
 2 
cos x cos2 x + 1
tgx

17


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Một số dạng tích phân thường gặp
αx + β
Dạng 1. I = ∫
dx , a ≠ 0 .
(ax + b )2
 p

q

+
Cách giải. Biến đổi I = ∫ 
dx .

2
ax + b (ax + b ) 
4x + 3

2(2x + 1) + 1
VD 5. ∫
dx = ∫
dx
2
4x + 4x + 1
(2x + 1)2
 2

1

= ∫ 
+
dx
 2x + 1 (2x + 1)2 
1
= ln 2x + 1 −
+C .
2(2x + 1)

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Dạng 2. I =

Cách giải. Biến đổi I =
VD 6.

Dạng 3. I =

∫ ax 2 + bx + c dx , a ≠ 0, ∆ < 0 .

Cách giải. Biến đổi I =
VD 7. I =
=

=

∫

∫

2x + 1
4x 2 − 4x + 5
(2x − 1) + 2

3x + 2

I1 =

2

I1

I2

∫ (2x − 1)2 + 4 dx + ∫ (2x − 1)2 + 4 dx .

1
2∫

I =

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Dạng 4. Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao

∫

 2x − 1 
1
 + C .
= arctg 

2
 2 
 2x − 1 
1 + 


 2 

Quy đồng mẫu số, ta được:
x 2 + 4x + 4 = A(x − 1)2 + Bx (x − 1) + Cx (*).

2

 2x − 1 
1 
1
 + C .
ln (2x − 1)2 + 4  + arctg 

 2
4 
 2 

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Từ (*) ta có:

x 2 + 4x + 4

dx .

x (x − 1)2
Giải
2
x + 4x + 4 A
B
C
Phân tích
= +
+
.
2
x
x
−
1
x (x − 1)
(x − 1)2

1

 2x − 1 

d 
 2 

Cách giải. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
phân thức tối giản.
VD 8. Tính I =

5

∫  7 . x − 1 +

1 d[(2x − 1)2 + 4] 1
= ln[(2x − 1)2 + 4] + C ,
4 ∫ (2x − 1)2 + 4
4

Vậy

2x − 1

3x + 2

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

I2 =

∫ (2x − 1)2 + 4 dx

 p
q 



 x − x + x − x dx .
1
2

11
1 
.
dx
7 2x + 5 
5
11
= ln x − 1 + ln 2x + 5 + C .
7
14

 X
p 

+
dx .
 2
2
 X + γ X + γ 
dx

1
a∫

∫ 2x 2 + 3x − 5 dx = ∫ (x − 1)(2x + 5) dx
=

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

αx + β

αx + β

∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ > 0 .

x = 0 ⇒ A = 4,
x = 1 ⇒ C = 9,
x = 2 ⇒ B = −3.

Vậy

dx
dx
dx
− 3∫
+ 9∫
x
x −1
(x − 1)2
9

= 4 ln x − 3 ln x − 1 −
+C .
x −1

I = 4∫

18


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Dạng 5. Tích phân hàm lượng giác
I = ∫ R(sin x , cos x )dx
Cách giải
1
• Nếu R(sin x , cos x ) =
a sin x + b cos x + c

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà

hàm mộ
một biế
biến

VD 9. Tính I =

∫

dx
.
4 sin x + 3 cos x + 5

x
2t
1 −t2
⇒ sin x =
, cos x =
.
2
1 + t2
1 + t2
• Nếu R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x )
thì đặt t = tg

thì đặt t = tgx hoặc hạ bậc.
• R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ), đặt t = cos x .

VD 10. Tính I =

∫

dx
2

sin x + sin 2x − cos2 x

.

• R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ), đặt t = sin x .

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

1.3. Phương pháp từng phần

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 12. Tính I =

∫ cos

VD 13. Tính I =

∫ cos(ln x )dx .

VD 14. Tính I =

∫ cos

a) Công thức
∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx

∫ udv = uv − ∫ vdu.

hay
VD 11. Tính I =

∫

x ln xdx .

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3

3

xe sin xdx .

x dx .

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐNNH
2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x ) xác định trên đoạn [a;b ].

b) Các dạng thường gặp
• Đối với dạng tích phân

∫ P(x )e

αx

dx , ta đặt

u = P(x ), dv = e αx dx .

• Đối với dạng tích phân

∫ P(x )ln

α

x dx , ta đặt

u = lnα x , dv = P(x )dx .
• Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước khi
lấy từng phần.

Ta chia đoạn [a ;b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b .
Trên mỗi đoạn [xk ; x k +1] ta lấy điểm tùy ý
x = ξk , k = 0, n − 1 .
Gọi ∆xk = xk +1 − xk và d = max {∆x k }.
k

Lập tổng tích phân (Riemann) σ =

n −1

∑ f (ξk )∆xk .

k =0

19

2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• Giới hạn hữu hạn I = lim σ được gọi là tích phân
d →0

a

3)

xác định của f (x ) trên đoạn [a;b ].

a
b

b

Ký hiệu I =

∫

f (x )dx .

4)

a

b
b

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , c ∈ [a;b ]
a

c

5) f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ⇒

b

k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ

a
b

2)

a

b

b

∫

∫

a

f (x )dx = −∫ f (x )dx

c

a

Tính chất
1)

∫

b

f (x )dx = 0;

a

b

a
b

b

6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ;b ] ⇒

∫ [ f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx
a

a

b

∫

b

f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx

a

∫

b

f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx

a

a

a

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

7) a < b ⇒

∫ f (x )dx ≥ 0

a

8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ]

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

2.2. Công thức Newton – Leibnitz
a) Tích phân với cận trên thay đổi

• Cho hàm f (x ) khả tích trên [a ;b ], với x ∈ [a ;b ] thì
x

∫ f (t )dt liên tục tại mọi x ∈ [a;b ]

hàm số ϕ(x ) =

b

⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a )

a

và ϕ′(x ) = f (x ).

a

9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a;b ] thì

x

VD 1. Cho ϕ(x ) =

b

∃c ∈ [a;b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a )
a

∫e

t2

dt, x > 0 ⇒ ϕ′(x ) = e x .

2

3

ln tdt, x > 0 , tính ϕ ′(x ).

0
x2

VD 2. Cho ϕ(x ) =

∫t
1

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Công thức Newton – Leibnitz

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì

• Nếu f (x ) liên tục trên [a ;b ] và F (x ) là một nguyên hàm

α

α

∫

tùy ý thì:
b

−α

b

∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ).
a

f (x )dx = 2∫ f (x )dx .

0

b

4) Để tính

Nhận xét

∫

f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ).

a

1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì
α

∫

Đặc biệt:
b

∫
a

b

f (x ) dx =

∫ f (x )dx

nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b ).

a

f (x )dx = 0 .

−α

20


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

5) Công thức Walliss:
π
2

∫ sin

n

π
2

xdx =

0

∫
0

 (n − 1)!!

, n leû
 n !!
n
cos xdx = 
π
 . (n − 1)!! , n chaün
 2
n !!


Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐNNH
3.1. Tính diện tích hình phẳng
3.1.1. Biên hình phẳng cho trong tọa độ Descartes
a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát

Trong đó:
0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 3; 4 !! = 2.4 ;
5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7;...
b

S=

∫

d

 f (x ) − f (x ) dx
 2

1

S=

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế

biến

∫ g2(y ) − g1(y ) dy
c

a

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường x = y 2 , y = x − 2 .
Giải
Cách 1. Giao điểm:
(1; −1) và (4; 2), S = S1 ∪ S2
1


⇒ S = ∫  x − − x  dx


0

(

)

4

+∫  x − (x − 2) dx


1

4

=

1
4
1

4 3
2 3
27
x +
x −  x 2 − 2x  = .
 2

3
3
6
0
1
1

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
• Hình phẳng S giới hạn bởi đường cong
x = ϕ(t ), y = ψ(t ) với t ∈ [α; β] thì:
ϕ( β )

S=

∫

β

y dx =

ϕ(α )

∫

ψ(t )ϕ′(t ) dt .

α

VD 2. Tính diện tích hình elip S :

x2
a2

+

y2
b2

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

⇒ S = 4S1 =

4b
a

a

∫

a 2 − x 2 dx

0

a

4b  x
a2
x 
=  a 2 − x 2 + arcsin  = πab .
a  2
a 
2
0

≤ 1.

Giải
Cách 1. Xét S1 có biên elip:
b 2
y=
a − x 2 , x ∈ 0; a  .


a

21


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí

tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.1.2. Biên hình phẳng cho trong tọa độ cực
a) Tọa độ cực
• Trong mpOxy xét điểm M (x ; y ). Đặt r = OM và

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi:
y = 3 x , x 2 + y 2 − 2x = 0, x ≥ 0 và y = 0 .

x = r cos ϕ
ϕ = Ox , OM . Khi đó ta có 
và
y = r sin ϕ

M (r ; ϕ) là tọa độ của điểm M trong tọa độ cực.
b) Diện tích hình phẳng
• Diện tích hình phẳng S có biên trong tọa độ cực
giới hạn bởi r = r (ϕ), ϕ ∈ [α; β]. Khi đó:

(

)

β

S=

1
r 2 (ϕ)d ϕ.
2∫
α

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.2. Tính độ dài đường cong phẳng
a) Cung AB có phương trình y = f(x), x ∈ [a ;b ]:

∫

1 + [ f ′(x )] dx .
2

a

VD 4. Tính độ dài cung Parabol y =


từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm M 1;


[x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt .

1 
.
2 

c) Cung AB có phương trình trong tọa độ cực:
β

∫

∫

VD 5. Tính độ dài đường tròn (x − a )2 + (y − b )2 = R 2 .

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

L=

β
α

2

x
2

b) Cung AB có pt tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [α; β]:

L=

b

L=

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

r 2 (ϕ) + [r ′(ϕ)]2 d ϕ.

Chương 3. Phé

Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
a) Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y = f (x ), x = a và x = b quay xung quanh Ox là:
b

α

2

2

VD 6. Tính độ dài đường tròn x + y − 2y = 0 .

Vx = π ∫ f 2 (x )dx .
a

VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox.

22


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 8. Tính thể tích V do elip

x

2

a

2

+

y

2

b

2

Chương 3. Phé

Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

b) Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
x = g(y ), y = c và y = d quay xung quanh Oy là:

=1

d

quay xung quanh Ox.

Vy = π ∫ g 2 (y )dy.
c

VD 9. Tính thể tích V
do hình phẳng S giới hạn bởi
y = 2x − x 2 , y = 0
quay xung quanh Oy.

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế

biến

Ta có

y = 2x − x 2 ⇔ (x − 1)2 = 1 − y
x = 1 + 1 − y , x ≥ 1

⇔
.
x = 1 − 1 − y , x < 1

1 
2
2
Vậy Vy = π ∫  1 + 1 − y − 1 − 1 − y  dy



0 

(

) (

1

= 4π ∫ 1 − y dy = −
0

Chương 3. Phé

Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chú ý

Giải

)

• Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y = f (x ), x = a và x = b quay xung quanh Oy là:
b

Vy = 2π ∫ xf (x )dx .
a

VD 10. Dùng công thức trên, tính thể tích V trong VD 9.

1
8π
8π
(1 − y )3 =
.
3
3
0

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong
y = f (x ), x = a và x = b quay xung quanh Ox là:

b) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong
x = g(y ), y = c và y = d quay xung quanh Oy là:

b

Sx = 2π ∫ f (x ) 1 + [ f ′(x )]2 dx .
a

VD 11. Tính diện tích mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

d

Sy = 2π ∫ g(y ) 1 + [g ′(y )]2 dy.
c

VD 12. Tính diện tích mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

23


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• Tương tự:

§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

b

∫

4.1. Tích phân suy rộng loại 1 (cận suy rộng tại vô cùng)
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; +∞), khả tích trên
mọi đoạn [a; b] (b > a).

∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi
a

là tích phân suy rộng của f (x ) trên [a ; +∞).
+∞

Ký hiệu

∫

a →−∞

−∞
+∞

∫

b

Giới hạn (nếu có) của

b

f (x )dx = lim

a
b

∫ f (x )dx .

f (x )dx = lim

−∞

∫ f (x )dx ;

b →+∞
a →−∞ a

• Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ,
ngược lại là tích phân phân kỳ.
+∞

b

∫ f (x )dx .
b →+∞

f (x )dx = lim

a

VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

a

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

I = lim

b →+∞

∫
1

1

dx
xα

.

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến
0

• Trường hợp α = 1:
b

∫

b

dx
= lim ln x  = +∞ (phân kỳ).
1

b
→+∞
x

VD 2. Tính tích phân I =

∫

xe xdx .

−∞

• Trường hợp α khác 1:
b

1
lim x 1−α 

b
→+∞
1
1−α


1
 1

1
, α >1
lim b1−α − 1 = α − 1
.
=
 + ∞, α < 1
1 − α b →+∞


 1

, α > 1 (ht )
Vậy I = α − 1

.
 + ∞, α ≤ 1 (pk )

b

dx

∫ xα
b →+∞

I = lim

=

(

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞) , ta có thể dùng
công thức

∫

f (x )dx = F (x )

+∞
a

.

a

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta có thể dùng
x →−∞
b

công thức

∫

f (x )dx = F (x )

−∞

b
−∞

.

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (±∞) , ta có thể dùng
x →±∞
+∞

công thức

∫

−∞

f (x )dx = F (x )

∫

dx

−∞ 1 + x

2

.

)

Chú ý
x →+∞
+∞

+∞

VD 3. Tính tích phân I =

+∞
−∞

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

4.1.2. Các tiêu chu n hội tụ
a) Tiêu chu n 1
• Cho 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; +∞) và
+∞

∫
a

+∞

g(x )dx hội tụ thì

∫

f (x )dx hội tụ.

a

• Các trường hợp khác tương tự.

VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I =

+∞

∫

10

e −x dx .

0

.

24


2 November 2009

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ

một biế
biến

b) Tiêu chu n 2
+∞

• Nếu

∫

c) Tiêu chu n 3

+∞

f (x ) dx hội tụ thì

a

∫

• Cho f (x ), g (x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞ )

f (x )dx hội tụ,

f (x )
= K . Khi đó:
g (x )
1) Nếu 0 < K < +∞ thì:
và lim

a

x →+∞

ngược lại không đúng.
• Các trường hợp khác tương tự.

+∞

+∞

∫

VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I =

e

−x

∫

cos 3xdx .

+∞

f (x )dx và

a

∫

g (x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ.

a

+∞

1

2) Nếu K = 0 và

∫

g (x )dx hội tụ thì:

a
+∞

∫

f (x )dx hội tụ.

a

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế

biến

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

+∞

3) Nếu K = +∞ và

∫

Chú ý
g(x )dx phân kỳ thì:

• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì

a

+∞

+∞

∫

• Các trường hợp khác tương tự.

+∞

VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫
1

dx
1 + x 2 + 2x 3

+∞

1

dx
x . lnα x + 1
3

hội tụ.

∫

g(x )dx có cùng tính chất.

a

+∞

VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I =

.

∫
0

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

VD 8. Với giá trị nào của α thì tích phân:

∫

f (x )dx và

a

a

I =

+∞

∫

f (x )dx phân kỳ.

dx
.
1 + sin x + x

Chương 3. Phé
Phép tí
tính tí
tích phân hà
hàm mộ
một biế
biến

d) Định lý (Dirichlet)
• Nếu hàm f (x ) khả tích trên mọi đoạn [a; b] (b > a),
b

∫ f (x )dx

bị chặn với mọi b > a và hàm g(x ) đơn điệu

a
+∞

giảm về 0 khi x → +∞ thì

∫

f (x )g(x )dx hội tụ.

a

VD 9. Với giá trị nào của α thì tích phân:
+∞

I =

∫
1

2

x +1
2x α + x 4 − 3

+∞

VD 10. Xét tích phân I =

dx hội tụ.

∫
a

cos x
xα

dx (a > 0, α > 0) ,

b

ta có:

∫

cos x dx = sin b − sin a ≤ 2, ∀ b > a

a

25