bài 5: Đường elip ( lớp 10 nâng cao )

1. Định nghĩa đường elip
BÀI 5:



Định nghĩa
M
Cho hai điểm cố định F
1
và F
2

với F
1
F
2
= 2c(c>0) .
Đường elip (còn gọi là elip) là
tập hợp các điểm M sao cho
MF
1
+ MF
2
=2a, trong đó a là số
cho trước lớp hơn c.
Hai điểm F
1
và F
2

gọi là các
tiêu điểm của elip. Khoảng
cách 2c được gọi là tiêu cự
của elip.
F
1
F
2
2. Phương trình chính tắc của elip
M
M
Câu hỏi: Trong cách vẽ
đường elip ở trên, gọi vị trí
đầu bút trì là M.Khi M thay
đổi,có nhận xét gì về chu
vi của tam giác MF
1
F
2
và
tổng khoảng cách
MF
1
+ MF
2
?


2.Phương trình chính tắc của elíp
M

F
1
F
2
Cho hai điểm F
1
và F
2
, F
1
F
2
= 2c(c>0)
(E) = {M: MF
1
+ MF
2
= 2a, a>c}, Hai điểm
F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm của elip, F
1
F
2

= 2c gọi là tiêu cự của elip.
Cho (E) như trong định nghĩa
trên. Ta chọn hệ trục toạ độ OXY

có góc là trung điểm của đoạn
thẳng F
1
F
2,
Trục oy là đường
trung trực của F
1
F
2
và F
1,
F
2
nằm
trên tia ox.
y
x
O
( )
0,c
−
( )
0,c
Câu hỏi: Với cách trọn hệ trục toạ độ như
vậy hãy cho biết toạ độ của hai tiêu điểm
F
1
và F
2

.
(X,Y)
Giả sử điểm M(x,y) nằm trên (E).

Hảy tính: MF
1
2
– MF
2
2
=
((x+c
)2
+ y
2
) – ((x-c
)2
+ y) = 4cx
=> (MF
1
- MF
2
)(MF
1
+MF
2
) = 4cx
=> (MF
1
- MF

2
) 2a = 4cx
<=> MF
1
- MF
2
=
a
cx
2
=> MF
1
= , MF
2
=
a
cx
a
+
a
cx
a
−
Các đoạn MF
1
và MF
2
được gọi là bán kính qua tiêu.

1. Định nghĩa đường elip

BÀI 5:
2. Phương trình chính tắc của elip
M
F
1
F
2
y
x
O
( )
0,c
−
( )
0,c
MF
1
= ; MF
2
=

Các đoạn MF
1
và MF
2
được gọi
là bán kính qua tiêu.
a
cx
a

+
a
cx
a
−
(X,Y)
Ta có:

a
cx
aMF
+=
1
22
)( ycx
++=
Bình phương hai vế và rút gọn biểu thức ta được:
1
22
2
2
2
=
−
+
ca
y
a
x
Vì a

2
– c
2
> 0 nên ta đặt a
2
– c
2
= b
2
(b>0) và được:
)1(1
2
2
2
2
b)(a
>=+
b
y
a
x
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của
elip đã cho.
Chú ý:
Ví dụ1

Chú ý: Chỉ có phương trình: (a>b)
mới được gọi là phương trình chính tắc của elip. Ngoài ra ta
thường quy ước đặt tiêu điểm F
1

nằm bên trái trục tung.
Như vậy phương trình: (a<b)
cố nhiên cũng là phương trình của elip (với tiêu điểm nằm
trên oy) nhưng không gọi là phương trình chính tắc của elip.

1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
M
F
1
F
2

y
x
O
( )
0,c
−
( )
0,c
(X,Y)