LÝ THUYẾT,BÀI TẬP TOÁN 12 NHIỀU DẠNG

I. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM :
Hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm tại x
 ( u ± v) = u ± v
'

'

 ( u.v ) = u .v + uv
'

'

Đạo hàm hàm số cơ bản
 ( c) = 0

 ( x) = 1

'

 (x

)

α '

 ( ku ) = ku
'

'

'

'

= α .x

1
1
 ÷ = − 2
x
x
'
1
 x =
2 x

'

k
k
 ÷ = − 2
x
 x

( )

Hàm số lượng giác
 (sin x) ' = cosx
 (cosx) ' = − s inx
1
'

 (t anx) =
cos 2 x
= 1 + tan 2 x
1
sin 2 x
= − ( 1 + cot 2 x )

'

 u  u v − uv
 ÷ =
v2
v

'

II. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Đ.hàm h.số hợp u = u(x)
Đạo hàm h.số cơ bản
Hàm số mu

'

α −1

'

'

( u

)

α '

1

= α .u

'

α −1

u'

.u

 ( a x ) = a x .ln a

k

'

k .u '

 ÷ = − 2  ÷ = − 2
u
u
u
u



( u)

'

=

u'

ĐH hàm số hợp u =
u(x)
 ( a u ) = u ' .a u .ln a

'

'

'

'
 k  −k .u
 ÷ = 2
u
u

'

 ( ex ) = ex

 ( e u ) = u 'e u

'

'

 ( e − x ) = −e x
'

2 u

Hàm số lượng giác
 (sin u ) ' = u ' .cosu
 (cosu)' = −u ' .s inu
u'
cos 2 u
u'
 (cot u)' = − 2
sin u
 (t anu) ' =

Hàm số Lôgarit
1
'
 ( log a x ) =
x ln a
 ( ln x ) =
'

1

x

1
 ( log x ) =
x ln10
'

 ( log a u ) =
'

u'
u ln a

u'
 ( ln u ) =
u
'

 ( log u ) =
'

u'
u.ln10

 (cot x)' = −

------------------------------------------------o0o----------------------------------------------Nguyên hàm hàm số cơ bản

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức bổ sung

1

∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C

Nguyên hàm hàm số hợp u =
u(x)


/////////////////////////////

1 / ∫ dx = x + C
2 / ∫ xα dx =

xα +1
+ C ( α ≠ −1)
α +1

1
3 / ∫ dx = ln x + C
x
x

a
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

6 / ∫ cos xdx = sin x + C
7 / ∫ sin xdx = − cos x + C
1
dx = tan x + C

cos 2 x
1
9 / ∫ 2 dx = − cot x + C
sin x

8/ ∫

∫ x dx = ∫ x
1
* ∫ dx = ∫ x
x

*

n

m

m
n

−α

α

α+1

2 / ∫ uα du =

1

4' / ∫ e ax ±b .dx = e ax ±b +C
a
1
a kx ±b
5' / ∫ a kx ±b dx = .
+C
k ln a
1
6' / ∫ cos ( ax ±b ) dx = sin ( ax ±b ) +C
a
1
7 ' / ∫sin ( ax ±b ) dx =− cos ( ax ±b ) +C
a
1
1
8' / ∫
dx = tan ( ax ±b ) +C
cos 2 ( ax ±b )
a

4 / ∫ e x dx = e x + C
5 / ∫ a x dx =

1/ ∫ du = u + C

1 ( ax ±b )
2' / ∫ ( ax ±b ) dx = .
+C
a
α +1

1
1
3' / ∫
dx = .ln ax ±b +C
ax
±
b
a
(
)
α

1
1
9 /∫
dx =− cot ( ax ±b ) + C
2
sin ( ax ±b )
a
/

10 / ∫ tan xdx = − ln cos x + C

dx = ∫ x α dx
dx = ... ( α ≠ 1)

uα +1
+ C ( α ≠ −1)
α +1

1
3 / ∫ du = ln u + C
u
4 / ∫ eu du = eu + C
5 / ∫ a u du =

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

6 / ∫ cos udu = sin u + C
7 / ∫ sin udu = − cos u + C
1
du = tan u + C
cos 2 u
1
9 / ∫ 2 du = − cot u + C
sin u

8/ ∫

11/ ∫ cot xdx = ln sin x + C

---------------- BÀI TẬP ----------------Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 − 9 .
1 4
x + C D. 4 x3 − 9 x + C
4
5 3 1
2
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − + 2 − .

x x
3
3
3
3 1
x
3 1
x
3 1
3
A.
B.
− 5ln x − − x + C
− 5ln x − − x + C C. 2 x − 5ln x − − x + C D.
x 3
3
x 3
3
x 3
5 3x
2x − 2 + 4 + C
x
x
1
2 1
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 − x − l.
3
x
4
2

3
x + x +3
x
1 x
− x4 + x2 + 3
1 x3
A. −
B. − + − + C
C.
D. − − + C
+C
+C
3x
3 x 3
3x
x 3

A.

1 4
x − 9x + C
2

B. 4 x 4 − 9 x + C

C.

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x .
3 2
A. F ( x ) = 3 x + C

4

F ( x) =

4x
33 x 2

B. F ( x ) =

3x 3 x
+C
4

4x
+C
33 x

D.

+C

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

C. F ( x ) =

2
+C
x

1
x x

B. F ( x ) = −

.

2
+C
x

C. F ( x ) =

x
+C
2

D. F ( x ) = −

x
+C
2


Câu 6: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =
F ( x) =

2 ( x − 1)

+ C B. F ( x ) =

x

2

(

x x+ x
.
x2

) +C

x +1
x2

C. F ( x ) =

2−3 x
+C
x

D.

1+ 2 x
+C
x

5
3 
Câu 7: ∫  + x ÷dx bằng:
x

A. 5ln x −
5ln x +

Câu 8:
A.

2 5
x +C
5

∫( 3

x

x

B. −5ln x +

2 5
x +C
5

C. −5ln x −

2 5

x +C
5

D.

)

+ 4 x dx bằng:

x

3
4
+
+C
ln 3 ln 4

Câu 9:
A.

2 5
x +C
5

∫ ( 3.2

x

B.

)

3x
4x
+
+C
ln 4 ln 3

C.

4x
3x
+
+C
ln 3 ln 4

D.

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4

C.

2x
2 3
+
x +C

3.ln 2 3

D. 3.

+ x dx bằng:

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

B. 3.

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

3x 2 x
Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 .3 là:

23 x 32 x
.
+C
3ln 2 2ln 3
ln 72
F ( x) =
+C
72

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

72
+C
ln 72

C. F ( x ) =

23 x.32 x
+C
ln 6

2x
+ x3 + C
ln 2

D.

3x x
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e .3 là:

( 3.e ) + C
A. F ( x ) =
ln ( 3.e )
( 3.e ) + C
F ( x) =
3

x

3

3

B. F ( x ) = 3.

e3 x

( )

ln 3.e3

+C

C. F ( x ) =

( 3.e ) x

( )

ln 3.e3

+C

D.

x

ln 3

1− 2 x 3 x
Câu 12: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 .2 là:
x

8
 ÷
A. F ( x ) =  9  + C
8
ln
9

x

9
 ÷
B. F ( x ) = 3  8  + C
8
ln
9

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

3x +1
là:
4x

x

8
 ÷
C. F ( x ) = 3  9  + C
8
ln
9

x

8
 ÷
D. F ( x ) = 3  9  + C
9
ln
8


x

x

4
 ÷
A. F ( x ) = 3  3  + C
3
ln
4

3
 ÷

B. F ( x ) =  4  + C
3
ln
4

C. F ( x ) =

x
+C
2

D.

x

3
 ÷
4
F ( x) = 3   + C
3
ln
4
Câu 14: Tính ∫ ( 3 x − 1) dx bằng
5

A.

1
( 3x − 1) 6 + C
18

B.

( 3x − 1) 6 + C

C. − (

6

3x − 1)
6

6

D.

+C

6
3x − 1)
(
−
+C

18

A. − (

Câu 15: Tính ∫ ( π − 2x ) dx bằng
4

π − 2x)
+C
5

B. − (

5

π − 2x)
+C
10
5

C.

( π − 2x ) 5 + C

D.

5

( π − 2x ) 5 + C
10

1

∫ ( 5 x − 3)

Câu 16:

−

2

1

1

A. − 5 5 x − 3 + C B. 5 5 x − 3 + C
(
)
(
)

dx bằng:

1

C. − 5 x − 3 + C
(
)

D.

1
+C
5 ( 5 x + 3)

3

∫ 2 x + 5 dx bằng:

Câu 17:

A. 2 ln 2 x + 5 + C

3
ln 2 x − 5 + C
2
dx
Câu 18: ∫
bằng:
2 − 3x

A.

1

( 2 − 3x )

2

+C

3
B. ln 2 x + 5 + C
2

B. −

3

( 2 − 3x ) 2

+C

C. 3ln 2 x + 5 + C

C.

1
ln 2 − 3 x + C
3

D.

1
− ln 3x − 2 + C
3
1−3x
∫ e dx bằng: A. F ( x ) =

Câu 19:
F ( x) = −

e
3e3 x

Câu 20: ∫
F ( x) =

3
e1−3 x

+C

B. F ( x ) =

3e
e1−3 x
+ C C. F ( x ) = − 3 x + C D.
e
3

+C

1
e 2−5 x

dx là:A. F ( x ) =

5
e 2 −5 x

+C

B. F ( x ) = −

5
e 2 −5 x

+ C C. F ( x ) = − e

2 −5 x

5

+ C D.

e5 x

+C
5e2
1 x
x 2x 
Câu 21:  e − 2 .3 ÷dx
3


∫

1 x 9x
e −
+C
3
ln 9

A.

1 x 18 x

e −
+C
3
ln18

B.

1 x 2x
e −
+C
3
ln 2

C.

1 x 3x
e −
+C
3
ln 3

D.

D.


Câu 22:
3sin x −

x −1

∫ ( 3cos x − 3 ) dx

A. sin x −

3x
3x
+ C B. −3sin x −
+C
ln 3
3ln 3

C. 3sin x −

3x
+C
ln 3

D.

3x
+C
3ln 3

1
3
x 
x 


1

72
1
72
+ C B.  cos x +
÷
÷+ C
A. −  cos x +
÷

3
ln 72 
3
ln 72 ÷


Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x − 32 x −1.23 x

Câu 24: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3sin x −
A. 3cos x − 2 tan x + C B. −

3
( 2cos x − 2 tan x ) + C
2

C.

1
72 x 
 cos x −
÷+ C

3
ln 72 ÷


1
72 x 
−  − cos x −
÷+ C
3 
ln 72 ÷


D.

2
cos 2 x

C. −

3
( 2cos x + 2 tan x ) + C
2

D.

3
( 2cos x − 2 tan x ) + C
2

Câu 25: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

A. tan x − co t x + C B. tan x + co t x + C
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2 tan 2x + C

B. -2 cot 2x + C

e− x 
x
dx bằng
Câu 27: Tính e  3 − 2 ÷
sin x ÷



1
2

sin x.cos 2 x
1
1
−
+C
C.
tan x cot x
1

D.

1
2

tan x

sin 2 x.cos 2 x

C. 4 cot 2x + C

−

1
cot 2 x

+C

D. 2 cot 2x + C

∫

A. 3e x − co t x + C B. 3e x + tan x + C

C. 3e x + co t x + C

3e x −

D.

1
cot 2 x

 2π


− 2 x ÷dx bằng
 3

1  2π
1  2π

 2π


− 2 x ÷+ C B. − sin 
− 2 x ÷+ C
− 2 x ÷+ C
A. sin 
C. − sin 
2  3
2  3

 3


π

Câu 29: Tính sin  3 x + ÷dx bằng
3

1 
π
1
π

π


A. sin  3x + ÷+ C B. cos  3x + ÷+ C
C. − cos  3 x + ÷+ C D.
3 
3
3
3
3



+C

Câu 28: Tính ∫ cos 

D.

 2π

− sin 
− 2 x ÷+ C
 3


∫

(

)

1
π

− cos  3x + ÷+ C
3
3


3
Câu 30: Nguyên hàm của 2 x 1 + 3 x là:
2

(

3

)

2

A. x x + x + C

(

2

)

B. x 1 + 3 x + C

(

3

)

C. 2x x + x + C

6 x3 
2
x
1
+
+C
÷
D. 
÷
5



2

Câu 31: Tính ∫ x 2 ( 1 − 2 x ) dx bằng
A. x3 ( 1 − 2 x ) + C
3

2

Câu 32:

1
2

3
B. − x3 ( 1 − 2 x ) + C C. 4 x ( 1 − 2 x ) + C

 x 1 
∫  3 − 3x ÷ dx bằng:

D.

12 x5 − 15 x 4 + 5 x3
+C
15


2

3

 3x ln 3 
− x ÷ +C
A. 
÷
 ln 3 3 
1  x 1 
9 + x ÷− 2 x + C

2ln 3 
9 

(

1  3x
1 
9x
1
− x
+ C C.
−
− 2x + C
B. 
÷
x
÷
3  ln 3 3 ln 3 
2ln 3 2.9 ln 3

)

(

x
−x
Câu 33: Tính ∫ e 1 − 2e dx bằng A. e x − 2 x + C B. e x − 2e 2 x + C

(

)

D.

)

x
−x
C. e x − 2e + C

D.

e x x + 2e − x + C

Câu 34: Tính ∫

(

)(

)

x + 1 x − x + 1 dx bằng

5 2
2
2
5
x x + x + C B. x 2 x + x + C
x x + x+C

C. x x + x + C D.
2
5
5
2
x x+ x
dx bằng
Câu 35: Tính
x2
2 ( x − 1)
2 x +1
2−3 x
1+ 2 x
+ C B. F ( x ) =
+ C D. F ( x ) =
A. F ( x ) =
C. F ( x ) =
+C
+
C
x
x
x
x2

A.

∫

(

)

3x 2 + 2 x − 3
dx bằng
x2

Câu 36: Tính ∫

3
x

A. 3x + 2ln x + + C B.

x + x 2 − 3x
x

3

+C

C.

(

3 x + x 2 − 3x
x

3

) +C

D.

(

3 x + x 2 − 3x
x

3

) +C

Câu 37: Tính ∫ ( cos x − sin x ) dx bằng
2

A. ( sin x + cos x ) + C B.
2

( sin x + cos x ) 3 + C
3

C.

2 x + cos 2 x
+C
2

1
x − cos 2 x + C

2

D.

Câu 38: Tính ∫ ( 2 − sin x ) dx bằng
2

A.

3
18 x − 16cos x − cos 2 x
2 x + cos x )
+ C B. (
+C
4
3

(

C.

)

2 x + cos x
+C
3

D.

( 2 x − cos x ) 3 + C

3

4
4
Câu 39: Tính ∫ cos x − sin x dx bằng

1
2

A. − sin 2 x + C B.

1
sin 2 x + C
2

C. 4cos5 x − 4sin 5 x + C D.

5sin 5 x + 5cos5 x + C

1
1
1
1


2sin 3 2 x
2
Câu 40: Tính ∫ cos 2xdx bằng A.  x − sin 4 x ÷+ C B.
+ C C.  x + sin 4 x ÷+ C D.
2

4
2
4






3



1
1
x + cos 4 x + C
2
2

Câu 41:

∫ cos

2

2x
dx bằng:
3

3

4 2x
+C
A. cos
2
3

1
x 3
4x
4 2x
+ C C. + sin
+C
B. cos
2
3
2 8
3

D.

x 4
4x
− cos + C
2 3
3
4
Câu 42: Tính ∫ cos xdx bằng

A.

1 5
1
3
sin x + C B. ( x − 2cos x ) + C
5
3

C.

3
1
1
x + sin 2 x + sin 4 x + C
8
4
32

D.

3
1
x + sin 2 x + sin 4 x + C
2
8


2
Câu 43: Tính ∫ sin 3xdx bằng

1

2

A. x −

1
sin 6 x + C
12

B.

1
1

2cos3 3 x
+ C C.  x + sin 3 x ÷+ C
2
4


3

D.

1
1
x + cos 6 x + C
2
2
4
Câu 44: Tính sin xdx bằng

∫

1
1
3
1
1
3
1
5
cos5 x + C B. ( x − 2sin 2 x ) + C
x + sin 2 x + sin 4 x + C
C. x − sin 2 x + sin 4 x + C D.
5
5
8
4
32
2
8
Câu 45: Tính tan xdx bằng A. ln cos x + C B. − ln cos x + C
C. ln ( cos x ) + C D. − ln ( cos x ) + C

A.

∫
Câu 46: Tính ∫ cot xdx bằng A. ln sin x + C B. − ln sin x + C
C. ln ( sin x ) + C D.
2

Câu 47: Tính ∫ tan xdx bằng A. t anx + x + C B. cotx + x + C
C. t anx - x + C D.
2
Câu 48: Tính ∫ cot xdx bằng A. − ( cot x − x ) + C B. cotx + x + C
C. − ( cot x + x ) + C
Câu 49: Tính ∫ cos3 x.cos xdx bằng
1
1
1
1
sin 2 x + sin 4 x + C B. sin 2 x + sin 4 x + C
4
8
2
4
Câu 50: Tính sin 2 x.sin 3 xdx bằng

A.

C.

1
1
sin 2 x + sin 4 x + C
8
4

D.

− ln ( sin x ) + C

cot x − x + C
cot x − x + C

D.

1
1
sin 2 x − sin 4 x + C
4
8

∫

1
1
1
1
sin x + sin 5 x + C B. sin x − sin 5 x + C
2
5
2
5
Câu 51: Tính sin 2 x.cos xdx bằng

A.

C.

1
1

sin x − sin 5 x + C
2
10

1
1
sin x + sin 5 x + C
2
10

D.

∫

1
2

1
6

A. − cos x + cos3x + C B.
Câu 52:

1
1
cos x − cos3 x + C
2
6

∫ ( cos4 x.cos x − sin 4 x.sin x ) dx bằng:

1
1
sin 5 x + C
B. sin 3 x + C
5
3
Câu 53: ∫ cos8 x.sin xdx bằng:
A.

1
1
sin 8 x.cosx + C B. − sin 8 x.cosx + C
8
8
1
1
cos9x − cos7x + C
18
14
2
Câu 54: ∫ sin 2xdx bằng:

C.

A.

1
1
x + sin 4 x + C

2
8
1
1
x − sin 4 x + C
2
4

A.

B.

1 3
sin 2 x + C
3

C.

1
1
cos x − cos3x + C
6
2

1
1
sin 4 x + cos4 x + C
4
4

C.

D.

D.

1
( sin 4 x − cos4 x ) + C
4

1
1
cos7x − cos9 x + C
14
18

C.

1
1
cos x + cos 3 x + C
2
6

1
1
x − sin 4 x + C
2
8

D.

D.


Câu 55:

∫ ( sin 2 x − cos2 x )

2

A. (

dx bằng:

sin 2 x − cos2 x )
+C
3
3

B.

2

1
C. x − sin 2 x + C
2

1
 1


 − cos2 x + sin 2 x ÷ + C
2
 2

1
D. x + cos4 x + C
4
2
x + 2x + 3
Câu 56: ∫
dx bằng:
x +1

Câu 57: Tính ∫

Câu 58:

x2
x2
B.
+ x + 2 ln x + 1 + C
+ x + ln x + 1 + C
2
2
x2
C.
D. x + 2 ln x + 1 + C
+ x + 2 ln x − 1 + C
2

x3
x3
A.
B.
+ 4 x − 7 ln x + 2 + C
− x + 7 ln x + 2 + C
3
3
x3
x3
2
C.
D.
− x + 4 x − 7 ln x + 2 + C
− x 2 + 4 x + 7 ln x + 2 + C
3
3
A.

x3 + 1
dx bằng
x+2

3x − 1

∫ x + 2 dx

bằng: A. 3 x + 7 ln x + 2 + C B. 3 x − ln x + 2 + C C. 3 x + ln x + 2 + C

D.

3 x − 7 ln x + 2 + C

x +1
dx bằng:
− 3x + 2
3ln x − 2 + 2 ln x − 1 + C

Câu 59:

∫x

A. 3ln x − 2 − 2 ln x − 1 + C

2

B.
C. 2 ln x − 2 − 3ln x − 1 + C

D. 2 ln x − 2 + 3ln x − 1 + C
Câu 60: Tính ∫

x − 12
2

x + x−6

A. 3ln x + 3 − 2 ln x − 2 + C

dx bằng

B.

2 ln x + 3 − 3ln x − 2 + C

C. 3ln x + 3 + 2 ln x − 2 + C

D. 2 ln x + 3 + 3ln x − 2 + C
Câu 61: Tính ∫

x
2

x + 3x + 2

dx bằng

A. 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C

B.

ln x + 2 − 2 ln x + 1 + C

C. 2 ln x + 2 + ln x + 1 + C

D.

ln x + 2 + 2 ln x + 1 + C
Câu 62:

1

∫ ( x + 1) ( x + 2 ) dx bằng:

A. ln x + 1 + ln x + 2 + C B. ln

x +1
+C
x+2

C. ln x + 1 + C D.

ln x + 2 + C
Câu 63:

∫x

2

1
dx bằng:
− 4x − 5

A. ln

x−5
+C
x +1

B. 6ln

x−5
+C
x +1

C.

1 x−5
ln
+C
6 x +1

1 x−5
− ln
+C
6 x +1

Câu 64: Tính ∫

x −1
2

x − 6x + 9

dx bằng

A. 2 ln x − 3 −

1
2

+ C B. ln x − 3 −
+C
x−3
x −3

D.


C. ln x − 3 +
Câu 65:

∫x

2

1
1
dx bằng: A. −
+C
+ 6x + 9
x+3

1
+C
3− x

2
1
+ C D. 2ln x − 3 +
+C

x−3
x−3
1
1
+C
+C
B.
C. −
x−3
x−3

D.

---------------------------------o0o—------------------------------------2
3

2
Câu 66: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 4x ( x − 1) , biết F(1) = .

4
3

A. F ( x ) = x 4 − x 3 + 1

4
3

B. F ( x ) = x 4 − x3 − 1

Câu 67: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =

4
3

C. F ( x ) = x 4 + x3 + 1

4
3

D. F ( x ) = x 4 + x 3 − 1

x3
. Biết đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm
x+2

16 

M  −1; − ÷.
3

3
3
3
3
A. F ( x ) = x − x 2 + 4 x + 1 B. F ( x ) = x − x 2 + 4 x + 2 C. F ( x ) = x − x 2 + 4 x − 2 D. F ( x ) = x − x 2 + 4 x
3
3
3
3
3

2
1
x + 3x + 3x − 1
Câu 68: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
, biết F(1) = .
2
3
x + 2x + 1
2
2
2
A. F ( x ) = x + x + 2 − 6 B. F ( x ) = x + x + 2 C. F ( x ) = x + x + 2 + 13 D.
2
x + 1 13
2
x +1
2
x +1 6
x2
2
13
F ( x) =
+x+
−
2
x +1 6
1 . Biết đồ thị của hàm sô F(x) đi qua điểm
Câu 69: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
f ( x) =
sin 2 x

π 
M  ;0 ÷
6 
A. F ( x ) = − cot x + 3 B. F ( x ) = tan x + 3 C. F ( x ) = cot x + 3

D. F ( x ) = − cot x − 3

Câu 70: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 2x + 1 và f ( 1) = 5
A. f ( x ) = x 2 + x − 3 B. f ( x ) = x 2 + x + 3 C. f ( x ) = x 2 + x − 1 D. f ( x ) = x 2 + x + 2
'

'
2
Câu 71: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 2 − x và f ( 2 ) =

1
3

7
3

1
3

1
3
'
Câu 72: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 4 x − x và f ( 4 ) = 0

1
3

A. f ( x ) = x3 + 2 x + 1 B. f ( x ) = − x3 + 2 x + 1 C. f ( x ) = − x3 + 2 x − 1 D. f ( x ) = x3 − 2 x + 1
8
3

1
2

A. f ( x ) = x x − x 2 +

40
3
1
40
8 3 1 2 40
B. f ( x ) = x x − x 2 −
C. f ( x ) =
D.
x − x −
3
8
2
3
3
2
3

3 3 1 2 40

x − x −
8
2
3
2
Câu 73: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ' ( x ) = 3 ( x + 2 ) và f ( 0 ) = 8
f ( x) =

A. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 B. f ( x ) = 3 ( x + 2 ) 3 C. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 + 3 D. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 − 3


'
Câu 74: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) + 1 và f ( 0 ) = 1
3
3
3
3
A. f ( x ) = x − 1 B. f ( x ) = − x + 1 C. f ( x ) = x + 1 D. f ( x ) = − x − 1

3

3

3

3

15 x f 4 = 9 f 1 = 4
Câu 75: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ' ( x ) =
; ( )

và ( )
14

5 3 23
7 3 23
5 3 7
5 3 23
B. f ( x ) =
C. f ( x ) =
D. f ( x ) =
x +
x +
x +
x −
7
7
5
7
7
23
7
7

A. f ( x ) =

------------------------------------Phương pháp nguyên hàm----------------------------------------------------

∫ x ( 1− x )

2 10

Câu 76:

(1− x )
−

dx bằng:

1− x )
A. − (

2 11

1− x )
B. (

1− x )
C. − (

2 11

+C

22

2 22

+C

22

11

+ C D.

2 11

+C

11

x

∫ ( x + 1)

Câu 77:
ln x + 1 +

Câu 78:

2

dx bằng:

1
+C
x +1
x

∫

A. ln x + 1 + x + 1 + C

dx bằng:

A.

1
3x 2 + 2 + C
2

x 2 + 1dx bằng:

A.

2
3

2

2x + 3

B. ln x + 1 + C

B.

1
2 x2 + 3 + C
2

1
+C
x +1

C.

C.

D.

2 x 2 + 3 + C D.

2 2 x2 + 3 + C

∫ 2x

Câu 79:

(

)

33 2
x +1
2

(

)

3 2
x +1
8

Câu 81:

3

2

)

3

+1 + C

B.

(x

3
2

2

)

3

+1 + C

3

x 2 + 1dx bằng: A.

(

)

(

)

(

)

23 2
x +1
3

(

)

x
B. ln e + 1 + C

C.

3
84 2
8
x + 1 + C B. 3 x 2 + 1
3
3

4

+ C C.

33 2
x +1
8

2

D.

2

+ C D.

x2 + 1 + C

ex
∫ e x + 1 dx bằng:

A. e x + x + C

1
+C
ln e x + 1
Câu 82:

C.

2

∫x

Câu 80:

(x

∫ x.e

x 2 +1

dx bằng:

A.

1 x2 +1
e + C B. e x2 +1 + C
2

C. 2e x

2

+1

+C

ex
+C
ex + x

D. x 2 .e x

2

+1

D.

+C

1
1
1
1
x
+C
x
e
1
Câu 83:
bằng:

A.
B.
C.
D.
−
e
+
C
x
x
e +C
−e + C
∫ x 2 dx
x
e
x
e
2
2
3
Câu 84:
bằng: A. 3 3
B. 3 3
C. 3
D.
2 − ex ) + C
−
2 − ex ) + C
2 − ex ) + C
(

(
(
∫ 3 2 − ex dx
2
2
2

−

3
2

(2−e )

x 3

+C


e2 x
x
x
x
x
x
x
∫ e x + 1 dx bằng: A. (e + 1).ln e + 1 + C B. e .ln e + 1 + C C. e + 1 − ln e + 1 + C D.
ln e x + 1 + C

Câu 85:

∫

Câu 86:

( 1 + ln x )
x

2

dx bằng: A.

1
1
1
3
3
3
( 1 + ln x ) + C B. ( 1 − ln x ) + C C. ( x + ln x ) + C D.
3
3
3

1
3
( x − ln x ) + C
3
Câu 87:

∫

Câu 88:

∫

3

1
dx bằng:
x.ln 5 x
ln x
dx bằng:
x

A. −
A.

3
2

ln 4 x
+C
4

( ln x ) 3 + C

B. −

4
+C

ln 4 x

B. 2 ( ln x ) 3 + C

( ln x ) 3 + C

∫x

Câu 89:

ln x
dx bằng:
1 + ln x

11



1

1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C
3

1

D. 2  1 + ln x + 1 + ln x ÷+ C
3


A.  1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C

23


B. 

1

1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C
3

6
sin x
sin 6 x
cos6 x
cos6 x
sin 5 x.cosxdx bằng:
A.
B. −
+C
+ C C. −
+ C D.
+C
6
6
6
6
sin x
−1
1
1

−1
dx bằng: A.
+C
+ C C.
+C
+C
B.
D.
5
4
4
4
cos x
4cos x
4cos x
4sin x
4sin 4 x
3sin x
3cos x
+ C D.
dx bằng: A. 3ln ( 2 + sin x ) + C B. −3ln 2 + sin x + C
C.
( 2 + sin x ) 2
2 + sin x

C. 2 

Câu 90:

∫

Câu 91:

∫

Câu 92:

∫

−

1
1
+ C D. −
+C
4
4ln x
4ln 4 x
2
3
C. ( ln x ) + C
D.
3

C.

3sin x
+C
ln ( 2 + sin x )

3
3
3
Câu 93: ∫ cosx sinxdx bằng: A. 3 sin 4 x + C B. 4 sin 3 x + C

44 3
4
sin x + C D. 3 sin 4 x + C
4
4
3
3
3
5
3
5
2
3
sin
x
sin
x
sin
x
sin
x
sin
x
sin
x

2
3
Câu 94: ∫ sin x cos xdx bằng: A.
+
+ C B.
−
+ C C.
−
+ C D.
3
5
3
5
3
5
sin3 x sin5 x
−
+C
5
3
1
1
1
1
3
Câu 95: ∫ cos xdx bằng: A. sin x + sin 3 x + C B. sin x − sin 3 x + C C. sin x − sin 3 x + C D. sin x + sin 3 x + C
3
3
3
3

2
1
2
1
5
Câu 96: ∫ sin xdx bằng: A. cos x − cos3 x + cos5 x + C
B. cos x − cos3 x + cos5 x + C
3
5
3
5
1
2
1
1
C. cos x − cos3 x + cos5 x + C
D. cos x + cos3 x + cos5 x + C
5
3
3
5
sin x − cos x
dx bằng:A. ln sin x − cosx + C B. − ln sin x − cosx + C C. ln sin x + cosx + C D.
Câu 97:
sin x + cosx
− ln sin x + cosx + C

∫

C.

3sin x − 2cos x

∫ 3cos x + 2sin x dx bằng:

Câu 98:

A. ln 3cos x + 2sin x + C

− ln 3cos x + 2sin x + C

B.

C. ln 3sin x − 2cos x + C

D. − ln 3sin x − 2cos x + C

∫

Câu 99:
Câu 100:
Câu 101:

cot x
dx bằng:
sin 2 x

∫(
∫

cot 2 x
+C
2
2
tan x + tan 3 x dx bằng: A. − tan x + C
2

A. −

B.

)

x
3
xe dx

cot 2 x
+C
2

C. −

B. 2 tan 2 x + C

x

x

bằng: A. 3 ( x − 3) e 3 + C B. ( x + 3) e 3 + C

tan 2 x
+C
2

D.

C. −2 tan 2 x + C

tan 2 x
+C
2
tan 2 x
D.
+C
2

x

C.

1
( x − 3) e 3 + C
3

D.

x

1
( x + 3) e 3 + C
3
x
Câu 102: ( 4x + 1) e dx bằng: A. ( 4 x + 3) e x + C

∫

B. 3 ( x − 1) e x + C C. ( 4 x − 3) e x + C

D. ( 4 x − 1) e x + C

 x2

1 3 2
 2
1 2
− x ÷e x − 2 x + 3 + C B. ( x − 1) e 3 x − x +3 x + C C. e x − 2 x + C D.
2
 2


x − 2 x +3
dx bằng: A. 
Câu 103: ∫ ( x − 1) e
2

1 x2 − 2 x +3
e
+C

2

Câu 104:

∫ ( 2x-1) cosxdx

bằng: A. 2 x sin x − cos x + C B. 2 x sin x + cos x + C C. 2 x cos x + sin x + C D.

x sin x + cos x + C

Câu 105:

1

∫ ( 2 − x ) sin3xdx bằng: A. ( x − 2) cos 3x + 9 sin 3x + C
 x−2

1

C. 
÷cos3 x − sin 3 x + C
9
 3 
Câu 106:

∫

x3 ln ( 2 x ) dx bằng:

Câu 107: ∫ x ln xdx bằng: A.

A.

4 x 4 ln ( 2 x ) − x 4

+C
16
x 4 ln ( 2 x ) − x 4
C.
+C
16

x2
x2
.ln x − + C
2
4

1
 x+2
÷cos3x + sin 3 x + C
9
 3 
1
 x−2
D. 
÷cos3 x + sin 3 x + C
9
 3 
4

4
4 x ln ( 2 x ) + x
B.
+C
16
x 4 ln ( 2 x ) + x 4
D.
+C
16

B. 

x2
x2
x 2 ln x x 2
B. .ln x − + C C. −
+ + C D.
4
2
4
2

x2
x2
.ln x + + C
2
4
Câu 108: ∫ ln xdx bằng: A. x ln x + x + C B. x ln x − 1 + C C. x ln x − x + C D. x ln x + 1 + C
Câu 109:

∫ ( 1 − x ) ln xdx

Câu 110:

∫ ln ( x

2

2

)

3x − x3
x3 − 9 x
3x − x3
x3 − 9 x
B.
ln x +
+C
ln x −
+C
3
9
3
9
3x + x3
x3 − 9 x
3x − x3
x3 + 9 x
C.

D.
ln x +
+C
ln x +
+C
3
9
3
9
2
2
A. x ln x − x + 2 x − ln x + 1 + C
B. x ln x − x − 2 x − ln x + 1 + C

bằng: A.

− x dx bằng:

(
C. x ln ( x

2

)
− x ) − 2 x + ln x + 1 + C

(
D. x ln ( x

2

)
− x ) + 2 x + ln x + 1 + C


Câu 111:

∫ x sin x cos xdx

11
x

 sin 2 x − cos2 x ÷+ C
24
2

11
x

C.  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
24
2


bằng:A.

11
x

B. −  sin 2 x − cos2 x ÷+ C

22
4

11
x

D. −  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
22
4


BÀI TẬP NGUYÊN HÀM HỬU TỶ
(Dùng phương pháp hệ số bất định đưa về tổng )
x 2 − 5x + 9
1. ∫ 2
dx
x − 5x + 6
2.
2 x 2 + 41x − 9
∫ x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 dx
3.

1
∫ x 3 − 2 x 2 + x dx

5x 2 + 6 x + 8

6.

∫ ( x − 3) ( x + 1)

7.

4 x + 11
∫ x 2 − 5x + 6dx

8.
9.

4.

2

∫ (x

1
2

+ 3x + 2

)

2

dx
2

5.

x4 +1

∫ x 6 − 1 dx

cot x

∫ 1 + sin

9

x

dx

dx
∫ x 4 − 4x 2 + 3

x2 −1
∫ x 4 + 2 x 3 − x 2 + 2 x + 1 dx
15.

dx

∫ x (1 + x )
4

2

x2

6x
∫ x + 1 dx

16.

∫ (1 − x )

x +1
dx
11. ∫
x(1 + xe x )

17.

∫ x( x

18.

x4 +1
∫ x 6 − 1 dx

10.

12.

∫

dx

14.

3

x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6
∫ x 3 −6 x 2 + 12 x − 8 dx

13.

sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x

2 2

dx

dx
10
+ 1)


TRẮC NGHIỆM 12
HD:
1.

x4 +1
( x 4 + x 2 + 1) − x 2
1
x2
=
=
−

x 6 − 1 ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1) x 2 − 1 x 6 − 1

•

1
1 1
1 
= 
−

x −1 2  x −1 x + 1

•

x2
đặt t = x 3
6
x −1

2

2.

x 2 − 5x + 9
1 
 1
= 1 + 3
−

2

x − 5x + 6
 x−3 x−2

2 x 2 + 41x − 9
A
B
C
=
+
+
3
2
x − 2 x − 11x + 12 x − 1 x + 3 x − 4

3.

2 x 2 + 41x − 9 = A( x + 3)( x − 4) + B( x − 1)( x − 4 ) + C ( x − 1)( x + 3)

•

Gán x=1,x= -3 ,x=4 tìm A ,B ,C
1
1
A
B
C
x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 + 6
− 8x + 6
=
=

+
+
= x+
như
bài
3
5.
3
2
2
2
3
2
x x + 1 ( x + 1)
x − 2 x + x x( x + 1)
x − 6 x + 12 x − 8
( x − 2) 3

4.

− 8x + 6
A
B
C
=
+
+
2
MS
x − 2 ( x − 2)

( x − 2) 3 tìm A,B,C

•
5x 2 + 6 x + 8

6.
7.
8.

( x − 3) ( x + 1)
2

=

2

A
B
C
D
+
+
+
2
( x − 3) ( x − 3) x + 1 ( X + 1) 2

4 x + 11
A
B
=

+
x − 5x + 6 x − 3 x − 2
2

(x

1
+ 3x + 2

2

)

2

1 
 1
=
−
 x + 1 x + 2 

2

6x 3
6
1
1
1 1
1 
= 2

=  2
− 2  10.
= 6 x 2 − x +1 −
9. 4
2
2
x − 4x + 3
x − 1 x − 3 2  x − 3 x − 1
x +1
x +1

(

11.

)(

x +1
e x ( x + 1)
=
x 1 + xe x
e x x 1 + xe x

(

)

(

(

)

đặt t = 1 + xe x

)

⇒

)

1
1
−
t −1 t

π
π


2 cos x − dx
2 cos x − dx
sin x + cos x
( sin x + cos x ) dx =
4
4
π




dx =
=
12..
đặt t = sin  x − 
2
3 + sin 2 x


π 
π 
4
2 + ( sin x + cos x )



21 + cos 2  x −   2 2 − sin 2  x − 
4 
4 




13.

cot xdx
cos xdx
1
t8
=
=

−
với t=sĩn
1 + sin 9 x sin x 1 + sin 9 x t 1 + t 9

(

)

14


TRẮC NGHIỆM 12
1 

1 − 2 
 x 

x −1
dx =
dx
2
x + 2x − x 2 + 2x + 1
1
1


 x +  + 2 x +  − 3
x
x



2

14.

15.

16.

4

t = x+

3

1
x

1
1
1
1
= 4 − 2 +
2
x 1+ x
x
x
1+ x2
4

(

)

x2

(1 − x )

2 2

1

dx =

(1 − x )

2 2

1
1 1
1 
= 
−
x − 1 2  x − 1 x + 1

•

2

1

•

17.

18.

1

(

)

x x 10 + 1

=

x 10

1
1− x2

−

(1 − x )

2 2

(

x9
x 10 + 1

=


1 1
1
2
+
−

2
2
4  ( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 

đặt t = 1 + x 10

)

x4 +1
1
x2
=
−
x6 −1 x2 −1 x6 −1

Câu 1:

NGUYÊN HÀM

∫ 2x ( 1 + 3x ) dx bằng:
3

(

)

2
3
A. x x + x + C

(

)

2
3
B. x 1 + 3x + C

3 2
xdx bằng: A. 3 x + C
4
1
2
dx bằng: A.
+C
Câu 3: ∫
x x

x
1
dx

Câu 2:

Câu 4:

∫

∫ 2 − 3x

( 2 − 3x )

2

)

33 x
+C
4
2
+C
B. −
x

3

bằng: A.

(

B.

+C



3
C. 2x x + x + C

B. −

C.

( 2 − 3x )

2



4x
+C
33 x

C.

3

2

D. x  1 +

x
+C
2

+C

C.

D.

6x 3 
÷+ C
5 

4x
3 3 x2

D. −

+C

x
+C
2

1
ln 2 − 3x + C
3

D.

1
− ln 3x − 2 + C
3
5
3 
Câu 5: ∫  + x ÷dx bằng:
x

2 5
2 5
2 5
2 5
x + C B. −5ln x −
x + C C. −5ln x +
x +C
x +C
A. 5ln x −
D. 5ln x +
5
5
5
5
3
3e
e
e1−3x
1− 3x

Câu 6: ∫ e dx bằng: A. 1−3x + C
B.
C. − 3x + C
D. − 3x + C
+C
e
e
3e
3

15


TRẮC NGHIỆM 12
Câu 7:

∫( 3

+ 4 x ) dx bằng: A.

x

3x
4x
+
+C
ln 3 ln 4

B.

3x
4x
+
+C
ln 4 ln 3

C. −

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4

D.

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4
72
ln 72
23x 32x
23x.32x
+C
+C
B.
C.
D.

.
+C
+C
ln 72
72
3ln 2 2 ln 3
ln 6
x
x
x
4
3
3
 ÷
 ÷
 ÷
3x +1
x
Câu 9: ∫ x dx bằng: A. 3  3  + C
B.  4  + C
C.
D. 3  4  + C
+C
3
3
3
4
2
ln
ln

ln
4
4
4
Câu 8:

3x 2x
∫ 2 .3 dx bằng: A.

( 3.e ) + C
Câu 10: ∫ e .3 dx bằng: A.
ln ( 3.e )
3 x

3x

x

3

Câu 11:

1

∫ ( 5x − 3)

2

dx bằng: A. −

e3x
3
+C
B.
ln ( 3.e3 )

1
+C
5 ( 5x − 3)

1
+C
5 ( 5x+3)
3x − 1
dx bằng: A. 3x + 7 ln x + 2 + C
Câu 12: ∫
x+2
3x - 7 ln x + 2 + C

B.

( 3e )

C.

x

ln ( 3.e3 )

1

+C
5 ( 5x − 3)

C. −

+C

3.e )
D. (

3 x

+C

ln 3

1
+C
( 5x − 3)

D.

−

B. 3x - ln x + 2 + C

C. 3x + ln x + 2 + C

D.

x2 − x + 3
∫ x + 1 dx bằng:
x2
x2
A. x + 5ln x + 1 + C B.
C.
− 2x + 5ln x + 1 + C
− 2x - 5ln x + 1 + C D. 2x + 5ln x + 1 + C
2
2
1
x +1
dx bằng: A. ln x + 1 + ln x + 2 + C B. ln
+ C C. ln x + 1 + C
Câu 14: ∫
D.
( x + 1) ( x + 2 )
x+2
Câu 13:

ln x + 2 + C
Câu 15:

∫x

2

x +1
dx bằng: A. 3ln x − 2 − 2 ln x − 1 + C
− 3x + 2

C. 2 ln x − 2 − 3ln x − 1 + C

B. 3ln x − 2 + 2 ln x − 1 + C
D. 2 ln x − 2 + 3ln x − 1 + C

1
ex
ex
x
x
+C
ln
e
+
1
+
C
bằng:
A.
B.
C.
D.
d
x
+
C
e
+
x
+

C
∫ ex + 1
ln e x + 1
ex + 1
x
1
1
dx bằng:A.
2x 2 + 3 + C
2x 2 + 3 + C C. 2x 2 + 3 + C
Câu 17: ∫
B.
D.
2
4
2
2x + 3
Câu 16:

2 2x 2 + 3 + C
ln x

∫ x dx bằng:A.
Câu 19: ∫ x ln xdx bằng:
Câu 18:

A.

x2
x2

ln x − + C
2
4

B.

3
2

( ln x )

3

+C

B. 2

x2
x2
ln x − + C
4
2

C. −

( ln x )

3

+C

x 2 ln x x 2
− +C
4
2

C.

2
3

D.

( ln x )

3

+C

D. 3

x2
x2
ln x+ + C
2
4

16

( ln x )

3

+C


TRẮC NGHIỆM 12
Câu 20:

( 1− x )

∫ x ( 1− x

2

) dx bằng: A. − ( 1 − x )

1− x )
B. (

2 11

22

1− x )
C. − (

2 11

+C

22

2 11

+C

11

D.

+C

2 11

11

+C

1 x2 +1
2
2
2
e +C
B. e x +1 + C
C. 2e x +1 + C
D. x 2 e x +1 + C
2
sin 6 x
sin 6 x

cos 6 x
cos6 x
5
Câu 22: ∫ sin x.cosxdx bằng: A.
B.
C.
D.
+C
−
+C
+C
−
+C
6
6
6
6
s inx
−1
1
−1
1
dx bằng: A.
+C
+C
+C
+C
Câu 23: ∫
B.
C.

D.
5
4
4
4
cos x
4cos x
4cos x
4sin x
4sin 4 x
cot x
− cot 2 x
cot 2 x
− tan 2 x
tan 2 x
d
x
Câu 24: ∫
bằng:
A.
B.
C.
D.
+C
+C
+C
+C
sin 2 x
2
2

2
2
s inx − cosx
dx bằng:
Câu 25: ∫
s inx + cosx
A. ln s inx − cosx + C
B. − ln s inx − cosx + C C. ln s inx + cosx + C
D. − ln s inx + cosx + C
Câu 21:

∫ x.e

Câu 26:

∫ x.cosxdx bằng:

x 2 +1

dx bằng: A.

x2
B. x s inx + cosx + C
s inx + C
2
3cos x
dx bằng:
Câu 27: ∫
2 + s inx

C. x s inx − s inx + C

A.

A. 3ln 2 + s inx + C
Câu 28:
A.

∫ sin

2

1
3

C.

3s inx

( 2 + s inx )

2

+C

D. −

x2
cos x + C
2

3s inx

( 2 + s inx )

2

+C

xdx bằng:

1
sin 2x 
x−
÷+ C
2
2 

Câu 29:

B. −3ln 2 + s inx + C

D.

B.

1
( 2x − sin 2x ) + C
4

∫ cos3xdx bằng:

A. − sin 3x + C

B.

C.

1
cos 2 3x + C
2

1
( x − s inx.cosx ) + C
2

C.

1
sin 3x + C
3

D.a, b, c đều đúng

D. − sin 3x + C

2

1 


Câu 30: ∫  x −
÷ dx bằng:
2x 

1
x3
1
2
A.
−x−
+ C B. x − 1 − 2 + C
4x
3
4x

C.

x3
4
− x− +C
3
x

D.

3
+ 2 x là:
x2
x4
x3 1

x 4 3 2x
A.
B.
C.
− 3ln x 2 + 2 x.ln2 + C
+ 3 + 2x + C
+ +
+C
4
3 x
4 x ln2
e−x 
x
32. Nguyên hàm của hàm số: y = e  2 +
÷ là:
2
 cos x 

x3
1
− 2x −
+C
3
4x

31. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 -

A. 2e x − tan x + C

B. 2e x −

1
+C
cos x

C. 2e x +

33. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
A.

1
cos3 x + C
3

B. − cos3 x + C

1
+C
cos x
1
3

C. - cos3 x + C

34. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

D.

x4 3 x
+ + 2 .ln2 + C

4 x

D. 2e x + tan x + C
D.

1 3
sin x + C .
3

17


TRẮC NGHIỆM 12
A. F(x) =

11
1
11
1
1


sin5x.sinx C.  sin6 x + sin4 x ÷
 cos6 x + cos 4 x ÷ B. F(x) =
26
4
26
4
5




1  sin6 x

+
D. − 
2 6

sin4 x 
÷
4 

35. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
1  cos6 x cos2 x 
1  cos6 x cos2 x 
1  cos6 x cos2 x 
+
+
−
B. 
C. 
÷
÷
÷
2 
2 8
2 
2 8
2 
 8

1
1
1
1
1
2
36. ∫ sin 2xdx = A. x + sin4 x + C
B. sin3 2 x + C
C. x − sin4 x + C
2
8
3
2
8

A. − 
2

37.

∫

(x

− 1)

2

D.

1  sin6 x sin2 x 
+

÷.
2 8
2 
1
1
D. x − sin4 x + C
2
4

2

dx =

x3

x3
1
x3
1
− 2ln x + 2 + C B.
− 2ln x − 2 + C
3
2x
3
x
2017x
dx =

38. ∫ x x + e

A.

(

C.

)

5 2
e2017 x
x x+
+C
2
2017
dx
39. ∫ 2
=
x + 4x − 5

x3
1
− 2ln x − 2 + C
3
2x

x3
1
− 2ln x − 2 + C

3
3x

D.

2 3
e2017 x
3
e2017 x
2
e2017 x
x x+
+ C C. x 2 x +
+C
+C
D. x 2 x +
5
2017
5
2017
5
2017
1 x −1
1 x+5
1 x +1
1 x −1
+ C B. ln
+ C C. ln
+ C D. ln
+C

A. ln
6 x+5
6 x −1
6 x −5
6 x+5
x3
y
=
40. Một nguyên hàm của hàm số:
là:
2 − x2
1
1
1
A. F (x) = x 2 − x 2
B. − ( x 2 + 4 ) 2 − x 2
C. − x 2 2 − x 2
D. − ( x 2 − 4 ) 2 − x 2
3
3
3

A.

B.

41. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1 + x 2 là:
A. F (x) =

(

1 2
x 1 + x2
2

)

B. F (x) =

1
3

(

1 + x2

)

3

(

1
ln cos2x + C
2
3
3
43. I = ∫ (x + cos x)xdx A. x + x sin x − cos x + c B. x + sin x + x cos x + c
3
3

42. ∫ tan2xdx =

A. 2 ln cos2x + C

)

3
x2
1 + x2
3
1
C. − ln cos2x + C
2

C. F (x) =

B.

C.

1
3

D. F (x) = x 2

(

1 + x2

)

3

1
2

D. ln sin2 x + C
x3
+ x sin x + cos x + c
3

D.Đáp án khác
44. Một nguyên hàm của hàm số: y =
B. −

A. F (x) = x 2 − x 2

x3
2 − x2

là:

1 2
( x + 4 ) 2 − x2
3

1
3

C. − x 2 2 − x 2

D. −

1 2
( x − 4 ) 2 − x2
3

2

45. Hàm số f (x) = e x là nguyên hàm của hàm số nào ?
2

2
2
ex
B. f (x ) = e2 x
C . f (x ) = 2 x e x
D. f ( x) = x 2 e x − 1
A. f (x) =
2x
dx
1
1
A. − 1 + C
B. tan x − cot x + C
C . − tan x + cot x + C
D. −
−
+C

46. ∫ sin2 x cos2 x =
cos x sin x
2
47. Một nguyên hàm của f(x) = xe − x là:
1 2
1 2
2
2
B. − e − x
D. e − x
A.e − x
C. − e− x
2
2
4
2x + 3
48. Nguyên hàm của hàm số y =
là:
x2

A.

2x 3 3
− +C
3 x

B. − 3x 3

3
+C

x

C.

2x 3 3
+ +C
3
x

D.

x3 3
− +C
3 x

18


TRẮC NGHIỆM 12

∫
49.
−

(x

(x

2x
2

+ 9)

1
2

+ 9)

4

dx =

A.

−

1

5( x + 9)
2

5

+C

B.

−

1

3( x + 9)
2

3

+C

C.

−

(x

4

2

+ 9)

5

+C

D.

+C

3

1
1
1
1
1
1
50. ∫ sinx cos 2 x dx = A. − cos3x + cos x + C
− cos3 x + cos x + C
sin3x + sin x + C
2
2
2
2
B. 6
C. 6
D.
1
1
cos3x + cos x + C
2
2
51. ∫ x cos xdx = A. x sin x + cos x + C
B. x sin x − cos x + C
C. x sin x + cos x
D. x sin x − cos x
52. ∫

−2 x
dx =
1 − x2

A. 1 + x + C

B.

1− x

x
+C
1− x

C.

1
+C
1− x

D.ln 1 − x 2 + C

53. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin2 x là
1
F ( x ) = − cos2 x + C
A.
2

F ( x ) = cos2 x + C

B.
54. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(I): ∫ sin2 x dx =

sin3 x
+C
3

A. III

B. I

(II): ∫

4x + 2
dx = 2ln ( x 2 + x + 3 ) + C
2
x + x +3

C. Cả 3 đều sai

55. Nguyên hàm F (x) của hàm số y =
A.
56.P = ∫

ln 1 + sin2 x
x +1
x2 + 1

dx là

C . P = x 2 + 1 + ln

1
2

C. F ( x ) = cos2 x + C

B.

A. P = x x 2 + 1 − x + C

F ( x ) = − cos2 x + C

(III): ∫ 3x ( 2 x + 3− x ) dx =

6x
+ x +C
ln6

D. II

sin2 x
khi F (0) = 0 là
sin2 x + 3
ln 2 + sin2 x
3

D.

C.

ln co s2 x

D.

B. P = x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 + C

1 + x2 + 1
+C
x

D. Đáp án khác.

19

ln 1 +

sin2 x
3


TRẮC NGHIỆM 12
---------------------------------------- TÍCH PHÂN --------------------------------------------------2
275
305
196
208
1

Câu 112: ∫  x + ÷ dx bằng:
A.
B.

C.
D.
12
16
15
17
x
2
4

1

Câu 113:



∫  e

2x

+

0

3 
÷dx bằng: A. 4, 08
x +1 

5

Câu 114:

∫ ( 3x − 4 )

4

89720
27

dx bằng:

A.

bằng:

A. ln

2

B. 5,12
B.

C. 5, 27
18927
20

C.

D. 6, 02
960025

18

D.

161019
15
0

Câu 115:

1

∫ x − 2dx

−1

4
3

B. ln

2
3

C. ln

5
7

3

D. 2 ln
7
1

Câu 116:

∫ x ( x + 1) dx
3

bằng:

A.

0

Câu 117:

2

∫

(x

2

− 1)
x

1

2

dx bằng:

A.

8
3

B.

9
20

C.

2
+ 3ln 2
3

B.

1
− ln 2
2

C.

11
15

D.

3
+ ln 2
4

20
27

D.

4
− 2 ln 2
3
Câu 118:

π
4

2
π +2 2 −4
2π
2
x
x

B.
−
+1

sin
−
c
os
÷ dx bằng: A.
∫0  2
4
3
2
2

C.

π − 2 2 +1
3

D.

3π
+ 2 −1
2
4

Câu 119:

1
dx bằng:
2x +1

∫

0

A. 5

C. 3

B. 4

D.

2
ln 2

Câu 120:

∫ (e
0

e2 −1

Câu 121:

e −1

Câu 122:

∫x

−1

−2

12

Câu 123:

∫x

10

+ 1) e x dx bằng: A. 3ln 2

2x
dx bằng:
+1

2x + 1
108
dx bằng: A. ln
+x−2
15

B. ln 77 − ln 54

sin x

0 ( 1 + cos2 x )

A. I = 1 sin x dx
4 ∫0 cos 2 x

2

dx và đặt

2

2

5
2

D.

C.

1 1
−
e2 e

D. 2

D. I =

7
3

D.

C. ln 58 − ln 42

t = cosx . Khẳng định nào sau đây sai:

1

1
1 dt
1 −3
I
=
I
=
−
t
B.
4 ∫1 t 4 C.
12 1

C.

C. 0

B. 4

2

Câu 124: Cho tích phân I = ∫

4
ln 2

5

B. 1

A. 2

2

π
3

π
3

B.

1
dx bằng: A. 3 ( e 2 − e )
x +1

∫

1

x

7
12
20

D. ln

155
12


TRẮC NGHIỆM 12
2

2
Câu 125: Cho tích phân I = ∫ 2 x x − 1dx . Khẳng định nào sau đây sai:
1

3

2 32
C. I = u
3

2
27
B. I =
3

A. I = ∫ udu
0

3

D. I ≥ 3 3

0

π
4

6 tan x
dx trở thành:
2
c
os
x
3
tan
x
+
1
0

Câu 126: Nếu đặt t = 3 tan x + 1 thì tích phân I =
∫
1

A). I =

2

1
2t 2 dt
3 ∫0

B. I =

3

4
( t 2 − 1) dt
3 ∫1

2 2
( t − 1) dt D. I =
3

∫

C. I =

1

3

4

∫ 3 t dt
2

0

π
4

Câu 127: Nếu đặt t = cos2 x thì tích phân I = ( 2sin 2 x − 1) 4 sin 4 xdx trở thành:
∫
0

1
2

1

1 4
A. I = ∫ t dt
20

1

B. I = 1 t 3 dt
2 ∫0

C. I = ∫ t dt
5

0

e

Câu 128: Nếu đặt t = 3ln 2 x + 1 thì tích phân I = ∫
1

2

1 1
B. I = ∫ dt
21t

∫ t dt
4

0

ln x
x 3ln 2 x + 1

dx trở thành:

e2

4

1
A. I = ∫ dt
31

D. I =

3
2

e

2

C. I = ∫ tdt
31

D. I =

1 t −1
dt
4 ∫1 t

1

5
2
Câu 129: Nếu đặt u = 1 − x thì tích phân I = ∫ x 1 − x dx trở thành:
2

0

1

2
A. I = ∫ u ( 1 − u ) du
0

0

1

0

B. I = ∫ u ( 1 − u ) du

2
2
4
2
C. I = ∫ u ( 1 − u ) du D. I = ∫ ( u − u ) du

A. e

B. e − 1

1

2

0

1

1

Câu 130:
Câu 131:

∫ xe dx bằng:
x

0
π

4

∫ xcos2 xdx

bằng: A.

0

π −2
8

C. 1

D.

π −1
4

C. 3 −

A. 6 ln 2 −

3
16
B. 10 ln 2 +
2
5

C. 8ln 2 +

1
ln 2 − 1
2

B. ln 2 − 1

B.

π
2

1
e −1
2
D.

π
2−
2
3

Câu 132:

∫ ( x + 1) ln ( x + 1) dx bằng:
0

16 ln 2 −

7
2

D.

15
4
1

Câu 133:

∫ x ln ( x
0

2

+ 1) dx bằng: A.

C. ln 2 −

1
2

D.

e

1
( ln 2 − 1)
2

e2 + 1

2e3 + 1
3e3 + 2
2e 2 + 3
B.
C.
D.
4
9
8
3
1
--------------------------Diện tích – Thể tích vật thể tròn xoay --------------Câu 135: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5 x 4 + 3x 2 + 1 ,trục hoành,và các đường thẳng
x = 0, x = 1 .
9
11
16
A. 3
B.
C.
D.
2
4
3
2
Câu 134: ∫ x ln xdx bằng: A.

21


TRẮC NGHIỆM 12

Câu 136: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 x 3 − 3 x + 1 ,trục hoành,hai đường thẳng
x = −1, x = 1.
25
27
A.
B.
C. 2
D. 4
6
6
Câu 137: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 3 − 3x 2 − 4 , trục hoành , trục tung, đường
thẳng x = 3 .
5
21
A.
B.
C. 3
D.5
4
4
1 4
3
2
Câu 138: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − x − , y = 0 .
2
2
5
16 3
16 2
16 3

A.
B.
C.
D.
4
3
5
5
Câu 139: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các h/số y = x 3 − 3 x và y = x .
A. 8

B.

8
3

C. 9

D.

9
2

Câu 140: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các h/số y = x 3 − 3 x , y = x và các đường thẳng
x = 0; x = 3.
41
41
41
41
A.

B.
C.
D.
3
5
4
2
3x + 2
Câu 141: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
, trục tung, truc hoành
x+2
A. 5 − 4ln 2
B. 5 + 4ln 2
C. 4 − 5ln 2
D. 4 − 2ln 5
3x + 2
Câu 142: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
,tiệm cận ngang và các đường thẳng
x+2
x = 0,x = 3.
A. 4ln

2
5

B. 4 + ln

5
2

C. 4ln

5
2

D. 4 − ln

5
2

Câu 143: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x; y = 0; x = e.
A.

e 2 + 2e + 1
e

B.

e 2 − 2e + 1
e

C.

e 2 + 2e − 1
e

D.

e 2 − 2e − 1
e

Câu 144: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x ; y = e − x ; x = 1 .
1
1
1
A.
B.
C.
D. 1
2
4
3
Câu 145: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x; y = 0; x = −

π
;x =π
2

A. 3
B. 4
C. 5
D. 2
Câu 146: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 4 x − 3; y = 4 x − 3; y = −2 x + 6
9
9
9
4
A.
B.
C.

D.
2
4
9
3
2
Câu 147: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 4 x + 3 ; y = x + 3.
109
6
109
109
A.
B.
C.
D.
109
6
8
7
2
Câu 148: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = x − 2 x; y = 0; x = −1; x = 2.
a/ Tính diện tích hình (H). A.

6
17

B.

17
6

C.

16
7

b/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox. A.

7
16
17
B. π
5

D.
18
π
5

C.

Câu 149: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y = 3x.
22

5
π
18

D.

16
π
5


TRẮC NGHIỆM 12
a/ Tính diện tích hình (H). A.

9
5

B.

9
4

C.

9
7

D.

9
2

b/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox.
A.

136

π
5

B.

163
π
5

C.

126
π
5

D.

162
π
5

Câu 150: Diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và đường thẳng
y = x−2

A.

10
3

10

4

B.

C.

16
3

D. 2

Câu 151: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 − x 2 , y = 0 quay
quanh trục Ox.
A.

13
π
15

B.

16
π
15

C.

15
π
16

D.

14
π
15

Câu 152: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x, y = 0, x = 0, x = π
quay quanh trục Ox.

A.

π2
5

B.

π2
2

B.

π2
4

C.

π2
4

C.

π2
3

D.

π2
3

D.

π2
2

Câu 1: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x, y = 0, x = 0, x = π
quay quanh trục Ox.

A.

π2
4

Câu 153: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x =
π2
π2
D. π −
3
2
2

Câu 154: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = 2 1 − x và y = 2 ( 1 − x )
π
π
π
a/ Tính diện tích hình (H). A. 2 −
B. 2 −
C. − 1
2
2
2

A. π −

quay quanh trục Ox.

π2
5

B. π −

π2
4

C. π −

D.

π
+1
2

b/ Tính thể tích của khối tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox.
4
3

A. π

B.

4
π
5

3
4

3
5

C. π

D. π

------------------------------------0o0----------------------------------------------HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
 Chỉnh máy:  sai số cực nhỏ 9 chữ số thập phân - Bấm: Shift – mod - 9
 Thông thường đơn vị rad - Bấm: Shift – mod - 4
f ( x) :
1. Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số
cú pháp:

f ( A) −

d
( Fi ( x) )
dx

x= A

Trong đó:
 f ( A ) : gíá trị của f ( x ) tại x = A ( A là hằng số bất kỳ thuộc tập xác định và A lấy giá trị bé 0,1;
0,2,0,3…1;1,1 )
 Fi ( x ) : các kết quả nguyên hàm.
Ví dụ1:

(x

2

∫

5 ( x2 + x )
2x + 1

dx; x > −

− x − 1) 2 x + 1 + C

 Bước 1: Nhập:

2

2
A. ( x + x + 1) 2 x + 1 + C B. ( x − x + 1) 2 x + 1 + C

1
bằng
2

(

5 A2 + A
2A +1

2
C. ( x + x − 1) 2 x + 1 + C

)−d

dx

(x

2

)

+ x +1

D.
W

2x + 1

x= A

( RCL – A ; Shìt ∫ X )
W

23

π
4


TRẮC NGHIỆM 12
 Bước 2: Gán x = A = 1 hoăc 0,1 ( bấmCALC → A) cho kết quả khác 0 ta loại ngay đáp án đó
⇒ Loại A

Thay Fi ( x ) bởi đáp án B và gán A như trên ta nhận kết quả khác 0 ⇒ Loại B
Thay Fi ( x ) bởi đáp án C và gán A như trên ta nhận kết quả bằng 0; chắc ăn kiểm tra

thêm vài giá trị

của A như 0; 0,2; 0,5, 1.. ⇒ Chọn C. ( Không nên gán x = A giá trị quá lớn máy sẽ

chữi đấy)
Ví dụ 2:

∫ x sin x cos xdx

11

x

 sin 2 x − cos2 x ÷+ C
24
2

11
x

C.  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
24
2


bằng

A.

11
x

B. −  sin 2 x − cos2 x ÷+ C
22
4

11
x

D. −  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
22

4


d 1
x

sin 2 x − cos 2 x ÷

dx  8
4
 x= A

 A sin A cos A −

 Gán A = 0,1 Cho kết quả bằng 0 - kiểm tra vài giá trị khác như 0,2; 0,3; 0,5 ta nhận kq đều
bằng 0

Ví dụ3:

⇒ Chọn A.

−2

∫ x ( 1 + ln x )



2

dx ( x > 0 )bằng

−2
A ( 1 + ln A )

2

−2
A ( 1 + ln A )

2

1 + ln x
+C
1 − ln x
ln x − 1
+C
C. F ( x ) =
1 + ln x

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =
D. −

1 − ln x
+C
1 + ln x

1
2

−

d  1 + ln x 
gán A = 0,1 nhận kết quả khác 0 ⇒ loai đáp án A

÷
dx  1 − ln x  x = A

−

d  1 − ln x 
gán A = 0,1 nhận kết quả bằng 0 ⇒ chọn đáp án B

÷
dx  1 + ln x  x = A
A

Bài 2: Tìm 1 nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) ,biết

F ( x0 ) = M

Cú pháp:

Fi ( A) − M − ∫ f ( x ) dx

1
x 3 + 3x 2 + 3x − 1
, biết F(1) = .
2

3
x + 2x + 1
2
2
B. F ( x ) = x + x + 2
C. F ( x ) = x + x + 2 + 13
2
x +1
2
x +1 6

x0

Vi dụ 4: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
2
A. F ( x ) = x + x + 2 − 6

x + 1 13
2
x
2
13
F ( x) = + x +
−
2
x +1 6
2

D.

A



A2
2
6
x3 + 3 x 2 + 3 x − 1
+ A+
− −
gán A = 0,1; 1 đều nhận kết quả khác 0 ⇒ loai đáp án A
2
2
A + 1 13
x
+
2
x
+
1
1

∫

A

A2
2
13
x3 + 3 x 2 + 3 x − 1

+ A+
− −

gán A = 0,1; 1 nhận kết quả 0, kiểm tra thêm ⇒ Chọn đáp
2
A +1 6
x2 + 2 x + 1
1

∫

án D

5
π
,thỏa F( ) = 3ln 2 .
5sin x + 3cos x + 3
2
x
x
B. F ( x ) = ln 5 tan + 3
C. F ( x ) = ln 5 tan − 3 + 2ln 2 D.
2
2

Vi dụ 5: Tìm1nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x
2

A. F ( x ) = 3ln 5 tan − 3

x
F ( x ) = 3ln 5 tan + 3
2

24


TRẮC NGHIỆM 12
A



3ln 5 tan

A
5
− 3 − 3ln 2 − ∫
dx
2
π 5sin x + 3cos x + 3

gán A = 0; 0,1 nhận kết quả khác 0 ⇒ loại

2

đáp án A
A

ln 5tan

A
5
− 3 − 3ln 2 −
dx
2
5sin
x
+
3cos
x
+
3
π



∫
2

Bài toán 3: Tính tích phân:

gán A = 0; 0,1; 2 nhận kết quả 0 ⇒ Chọn đáp án B
b

∫ f ( x ) dx

b

∫ f ( x ) dx

Cú pháp:

a

a

( Trong các đáp án đều là số vô tỷ: dạng căn, số e, số π các em nên bấm máy ghi nhận lại các các
kết quả trên )
5
89720
18927
960025
4
Ví dụ 6: ∫ ( 3 x − 4 ) dx bằng:
A.
B.
C.
D.
27
20
18
2
161019 53673
=
15
5
e
e2 + 1
2e3 + 1
3e3 + 2

2e 2 + 3
2
Ví dụ 7: ∫ x ln xdx bằng: A.
B.
C.
D.
4
9
8
3
1


e2 + 1
2e 3 + 1
3e3 + 2
≈ 2, 097264025 
≈ 4,574563716 
7, 782076346
4
9
8

Ví dụ 8:

π
2

sin 2 x

∫

3
dx bằng: A. 2

B.

3
4

C.



2e2 + 3
≈ 5,926037399
3

2
≈ 0, 666666667
3

cos 2 x + 4sin 2 x
π

π
sin  x − ÷dx
4
Ví dụ 9:
A. 4 − 3 2

B. 4 + 3 2
4
≈ −0,060660172

I=∫
.
4
4
sin 2x + 2 ( 1 + sin x + cos x )
0
0

D.

C. 4 + 3 2
3

2
5

D.

4−3 2
3
π
4

Ví dụ 10: ∫
π
6

dx
sin x cot x
2

A. 2

(

4

)

3 −1

B. 2

(

4

)

3 +1

C. 4 3 − 1

D. 4 3 + 1

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng – Thể tích khối tròn xoay:

b

b

Cú pháp:

S=

S=

∫ f ( x ) dx

a

a

b

V =π

∫( f ( x) )
a

∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx

2

b

dx

V =π

2
2
∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

Ví dụ 10: Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 2 x , y = x là
9
9
13
7
A.
B.
C.
D.
4
4
4
2
2
 Phương trình HĐGĐ f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔ x − 3x = 0 ⇔ x = 0; x = 3
25