Quy luật phân phối xác suất trong Y học

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
BÀI GIẢNG DÀNH CHO SINH VIÊN, HỌC VIÊN
CÁC CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC
ĐÀO HỒNG NAM
GV ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


1. Phân phối nhị thức


Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả
năng xảy ra: “thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử
Bernoulli, ký hiệu B(1,p).

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức


Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Khám bệnh: Có bệnh / không có bệnh.
Điều trị bệnh: Khỏi / không khỏi.

Phẫu thuật: thành công / thất bại.
Kiểm tra thuốc: tốt / xấu.

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức


Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần
độc lập.
Gọi X = “Số lần thành công trong n lần thí
nghiệm”
X = 0, 1, 2, …, n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức


Công thức
Xét X ~ B(n,p)

P( X  x)  C p (1  p)
x  0,1,, n

x
n

x

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

n x


Phân phối nhị thức
Ví dụ: Bệnh B có tỷ lệ 10% trong dân
số. Khám ngẫu nhiên 5 người. Tính
xs có một người bị bệnh B.
Giải: Gọi X là số người bị bệnh B trong
5 người thì X ~ B(5,0.1). Tính P(X=1)


P(X  1)  C51(0.1)1(1 0.1)51
 (5)(0.1)(0.9)4
 0.32805
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức
Ví dụ : Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 0,8. Điều trị ngẫu
nhiên 50 người, tính xác suất có:
a. Có 40 người khỏi bệnh.

b. Có ít nhất 40 người.
Giải : Gọi X là số người khỏi bệnh trong 40 người được điều trị bằng
phương pháp mới.
Ta có X~B(50; 0,8)

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức


Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ thuộc
vào p và n.

Mean


n = 5 và P = 0.1

P(x)
.6
.4
.2
0

x
0

P(x)



n = 5 và P = 0.5

n = 5 P = 0.1

.6
.4
.2
0

1

2

3

4

5

n = 5 P = 0.5
x

0

1

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

2

3

4

5


Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
1) Kỳ vọng

  EX  np

2) Phương sai và độ lệch chuẩn

 2  np(1-p)

  np(1-p)
- n: số lần thực hiện thí nghiệm
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối nhị thức
Ví dụ

μ  nP  (5)(0.1) 0.5
Mean
σ  nP(1-P)  (5)(0.1)(1 0.1)
 0.6708

P(x)
.6
.4
.2
0

x
0

μ  nP  (5)(0.5) 2.5
σ  nP(1-P)  (5)(0.5)(1 0.5)
 1.118

n = 5 P = 0.1

P(x)
.6
.4
.2
0

1

2

3

4

5

n = 5 P = 0.5
x

0
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

1

2

3

4

5


2.Phân phối Poisson
Số các biến cố xảy ra trong một
khoảng thời gian cho trước.
 Số các biến cố trung bình trên một
đơn vị là .
 Ví dụ

Số người bị tai nạn giao thông ở một
ngã tư, số sản phụ đến sinh trong một
thời điểm,…


ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson


Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1,
2, … gọi là có phân phối Poisson với
tham số  nếu

e 
P( X  x) 
x!


x

x = 0, 1, 2, …
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson




Trung
bình

μ  E(X)  λ

Phương sai và độ lệch chuẩn

σ  E[( X  ) ]  λ
2

2

σ λ
Với  = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson


Ví dụ
Trong một bệnh viện phụ sản, số sản
phụ sinh trong 1 giờ có phân phối
Poisson với trung bình là 4. Tính xác
suất trong 1 giờ có
a. Đúng 3 sản phụ đến sinh.

b. Có nhiều hơn 1 sản phụ đến sinh.
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson
X~P(4)
a. Tìm P(X = 3),  = 4

e  k e4  43
P( X  3) 

 0,195
k!
3!
b.P( X  1)  1  P( X  1)  1   P( X  0)  P( X  1) 
0
1


4
4
4
 1  e     0,908
 0! 1! 

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

Phân phối xác suất Poisson
0.70
0.60

 = .50

0
1
2
3
4
5
6
7

0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000

P(x)

X

=
0.50

0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0

1

2

3

4

x

P(X = 2) = .0758
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

5

6

7

Phân phối Poisson
Hình dạng của phân phối Poisson
phụ thuộc vào tham số  :
 =0.50
 =3.00


0.70

0.25

0.60

0.20

0.40

P(x)

P(x)

0.50

0.30

0.15

0.10

0.20

0.05
0.10

0.00

0.00
0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

x

x
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

8

9

10

11

12


Định lý Poisson


Cho X ~ B(n,p)
k
n

k nk

lim C p q

n
p0
np




e

k 

k!

Định lý này cho thấy, có thể dùng phân phối
Poisson để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n
khá lớn và p khá nhỏ.
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết

quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép thử.
+ Trong đó n  100 và p  0,01và np  20).
Khi đó X ~ P().

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson – Nhị
thức


Ví dụ

Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân
cư. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là
0,001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 5 trẻ bị
phản ứng khi tiêm thuốc.
Cách 1: Dùng phân phối nhị thức
x
X ~ B(2000;0,001)  P( X  x)  C2000
 0,001x  0,9992000x

5

x
P( X  5)  P( X  0)  ...  P( X  5)  C2000
 0,001x  0,9992000 x
x 0

 0,983
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối Poisson

Cách 2: Phân phối Poisson

e   x
  np  2; X ~ P(2)  P( X  x) 
x!

e2  2x
P( X  5)  
 0,983
x!
x 0
5

Chú ý: Chỉ nên dùng phân phối Poisson khi không thể tính được bằng PP nhị
thức. Chẳng hạn nếu chỉ cho giá trị trung bình mà không cho biết n và p thì
không thể dùng PP nhị thức được

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối đều




xác suất của tất cả các biến cố bằng nhau.
X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~
U([a,b]).

f(x)

xmin

xmax x

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

Tổng diện tích miền
giới hạn bởi phân phối
đều là 1.0


3. Phân phối đều


Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn
[a,b]

f(x) =

1

; a x  b
b a
0

x [ a; b]

với
f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM


Phân phối đều


Kỳ vọng

a b
  E( X ) 
2


Phương sai
2
(b-a)
 2  D( X ) 
12
ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC

TP.HCM


Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6
1
f(x) = 6 - 2 =0,25 ; 2 ≤ x ≤ 6
a b 26
E( X ) 

4
2
2

f(x)

.25

2
2
b  a   6  2 16

D( X ) 

  1.333

2

6

x

ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC
TP.HCM

12

12

12