Khoá luận tốt nghiệp một số nội dung về đường tròn và mặt cầu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

THÀO THANH HUYỀN

MỘT SỐ NỘI DƯNG VỀ
ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẦU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.s Phạm Thanh Tâm

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận em đã nhận được nhiều sự
giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành
cảm ơn các thầy cô ưong khoa Giáo dục Tiểu học đã tận tâm giảng
dạy, truyền thụ kiến thức, cũng như tạo mọi điều kiện để em hoàn
thành tốt khóa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của
mình tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn,
nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ em ữong suốt quá ữình thực hiện khóa
luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, thư viện nhà trường,
gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ em để em
hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Thào Thanh Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, tôi đã sử dụng một số tài
liệu tham khảo ghi ở mục “Tài liệu tham khảo”. Nhưng tôi xin cam đoan
khóa luận này là kết quả tìm hiểu khoa học của bản thân dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo Phạm Thanh Tâm.
Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Thào Thanh Huyền


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
A. MỞ ĐẦU............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................ 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................ 2
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứ u ........................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2
6. Cấu trúc đề tà i........................................................................................2
CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG TRÒN..................................................................3
1.1. Hàng điểm điều h ò a............................................................................3
1.2. Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn......................... 5

1.3. Tiếp tuyến của đường tròn................................................................. 7
1.4. Phương tích của một điểm đối với đường tròn................................. 7
1.5. Góc giữa hai đường tròn. Hai đường tròn trực giao....................... 12
1.6. Chùm đường tròn..............................................................................15
1.7. Độ dài đường tròn. Diện tích hình tròn........................................... 21
1.8. Bài tậ p ...............................................................................................24
CHƯƠNG 2: MẶT CẦU........................................................................ 25
2.1. Đinh nghĩa........................................................................................ 25
2.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu với một điểm.................................... 25
2.3. Vị trí tương đối giữa mặt càu và mặt phẳng................................... 26
2.4. Phương tích của một điểm đối với mặt càu .................................... 27
2.5. Góc giữa hai mặt càu. Hai mặt cầu trực giao.................................. 30
2.6. Chùm mặt cầ u .................................................................................. 32
2.7. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu............................................ 34


2.8. Bài tậ p .............................................................................................34
KẾT LUẬN..............................................................................................36
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................37


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi năng lực của con người cũng
cần được nâng cao. Đe học sinh có thể phát triển tốt cả về phẩm chất và
trí tuệ vai trò của người giáo viên là vô cùng quan trọng.
Đối vói học sinh tiểu học, toán học là một môn học rất hấp dẫn tuy
nhiên cũng khá khó. Trong đó, hình học là môn học thú vị nhưng khá
trừu tượng và các em sẽ gặp nhiều khó khăn để học.
Ngay từ bậc Tiểu học học sinh đã được làm quen với hình tròn và

hình cầu. Ở lớp 1 học sinh nhận diện về hình tròn thông qua bài “Hình
vuông, hình tròn” để các em có những biểu tượng ban đầu về hình tròn.
Lên lớp 3 học sinh nắm được tâm, bán kính và đường kính của hình tròn,
được học cách vẽ đường tròn có tâm và bán kính cho trước bằng compa
thông qua bài “Hình tròn, tâm, bán kính, đường kính”. Khi đã nắm được
các yếu tố cơ bản của hình tròn, lên lớp 5 các em được học cách tính chu
vi và diện tích hình tròn thông qua bài “Chu vi và diện tích hình tròn”.
Hơn nữa, các em còn được làm quen với hình cầu trong bài “Giới thiệu
hình trụ, giới thiệu hình cầu” từ đó học sinh nhận diện được hình cầu và
xác định được đồ vật có dạng hình càu trong thực tế.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về đường tròn và mặt cầu để có
thể giúp học sinh của mình hiểu rõ hơn về đường tròn và mặt cầu ngay ở
bậc Tiểu học, với sự giúp đỡ của thầy Phạm Thanh Tâm em đã quyết
định chọn đề tài “Một số nội dung về đường tròn và mặt cầu ” làm đề tài
nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số nội dung về đường tròn và mặt cầu.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu một số nội dung về đường tròn: sự xác định, các tính
chất, phương tích của một điểm đối với đường tròn, góc giữa hai đường
tròn, hai đường tròn trực giao, chùm đường tròn, diện tích hình tròn và
chiều dài đường tròn.
- lìm hiểu một số nội dung về mặt cầu: định nghĩa, phương tích của
một điểm đối với mặt cầu, góc giữa hai mặt cầu, hai mặt cầu trực giao,
chùm mặt cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
4. Đổi tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: một số nội dung về đường tròn và mặt cầu.
- Phạm vi nghiên cứu: Hình học “ở Tiểu học”.
5. Phương pháp nghiền cứu
- Nghiên cứu tài liệu, sách, giáo trình.
- Sử dụng các công cụ toán học.
6. Cấu trúc đề tài
Nội dung khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Đường tròn
Chương 2: Mặt cầu

2


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG TRÒN
1.1. Hàng điểm điều hòa
1.1.1. Tỉ số kép
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho A, B,

c trên đường thắng d,

chọn trên d một

hướng làm hướng dương.
d
A

c

B

Ta định nghĩa:
AB.AC = A B A C nếu

và

cùng hướng.

AB.AC = —AB.AC nếu
và
ngược hướng.
Định nghĩa I.I.I.2. Tỉ số kép của bổn điểm A, B, c, D thẳng hàng lấy
theo thứ tự đó là tỉ số:
CÃ DÃ
CB' DB =
Kí hiệu k = (ABCD).
Tính chất I.I.I.3. a) Tỉ số kép của bốn điểm A, B, c, D không đổi khi ta
đổi chỗ cặp hai điểm đầu vói cặp hai điểm cuối, tức là:
(CDAB) = (ABCD).
b) Tỉ số kép của bốn điểm sẽ trở thành số đảo ngược nếu ta đổi chỗ hai
điểm đàu với nhau hoặc hai điểm cuối vói nhau, tức là:
1
(BACD) = (ABDC) = -— —— .
(ABDC)
c) Tỉ số kép của bốn điểm không đổi nếu ta đồng thời đổi chỗ hai điểm
đầu cho nhau và hai điểm cuối cho nhau, tức là:
(BADC) = (ABCD).

3

Chứng minh, a) Ta có:
AC BC AC.BD
CA
(CDAB) = = = := = = = 7 = = =
AD BD AD.BC
CB

DA
= = = (ABCD).
DB

b) Ta có:
CB DB
CB.DÃ
1
(BACD) = = : = = — — = -— —— .
CA DA CA.DB
(ABDC)
DA CA DA.CB
1
(ABDC) = = : = =
_ = - — —— .
DB CB
DB.CA
(ABDC)
c) Ta có:
DB CB DB.CÃ CÃ DÃ
(BADC) = = : = = __ — = = : = = = (ABCD).
DA CA DA.CB CB DB

1.1.2. Hàng điểm điều hòa

c, D thẳng hàng có tỉ số kép (ABCD)
bằng — 1 thì ta bảo bốn điểm A, B, c, D lập thành một hàng điểm điều
a) Định nghĩa. Nếu bổn điểm A, B,

hòa.
Từ tính chất của tỉ số kép ta thấy nếu:
(ABCD) = - 1 thì (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = - 1.
Khi đó ta nói cặp A, B chia điều hòa cặp c, D và ngược lại.
Lúc đó ta có:
CA _

DA

CB

DB *

(1.1.2.1)

b) Các điều kiện tương đương cho hàng điểm điều hòa
+) Hệ thức hoành độ: Ta định hướng đường thẳng ABCD và chọn trên
đó điểm o là gốc. Đặt: OA = a; OB = b; o c = c; OD = d.
Khi đó, hệ thức (1.1.2.1) có thể viết:
a -c
b -c

a-d
b -d

4


(a + b)(c+d)
o (ab + cd) = ----- ---------- .

(1.1.2.2)

Đó là hệ thức hoành độ của hàng điểm điều hòa.
+) Hệ thức Đề - các về hàng điểm điều hòa: Nếu chọn A = 0 thì hệ
thức (1.1.2.2) trở thành:
2cd = b(c + d) = bc = bd
o
o

2

(1.1.2.3)

ÃB

+) Hệ thức Niutơn về hàng điểm điều hòa: Nếu chọn o là trung điểm
AB thì hệ thức (1.1.2.2) trở thành:
2(ab + cd) = 0
o - a2 + cd = 0
O O A 2 =OC. OD.

(1.1.2.4)

Tương tự, nếu I là trung điểm CD thì ta cũng có:
Ic 2 = ĨÃ.ÍB.
Hệ thức (1.1.2.4) chứng tỏ rằng o c và OD cùng dấu, tức là c và D nằm
cùng một phía đối với trung điểm của AB.
1.2. Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn
Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp các điểm cách đều điểm o cho trước một
khoảng không đổi R, gọi là đường tròn tâm o bán kính R, kí hiệu là
(0, R) (hình 1).

5


Nhận xét 1.2.2. [Nguồn Internet- ưtopic/93821ki%El%BA%BFn-th%El%BB%A9c-c%C6%Al-b%El%BA%A3nnh%El%BA%A5t-c%El%BB%A7a-d%C6%B0%El%BB%9Dngtron].
- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó. Nếu
AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những
điểm M sao cho AMB = 90°. Khi đó tâm o sẽ là trung điểm của AB còn
_

AB

bán kính thì băng R = — .
- Qua 3 điểm A, B,

c không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn

và chỉ một mà thôi. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
- Trong một đường ưòn, đường kính vuông góc với một dây thì đi
qua trung điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một
dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

- Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng
cách đều tâm.
- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn
hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn.

6


1.3. Tiếp

tuyến

của

đường

tròn

[Nguồn

Intemet-

Ưtopic/93821-ki%E 1%BA%BFnth%El%BB%A9c-c%C6%Al-b%El%BA%A3n-nh%El%BA%A5tC%E1 %BB %A7a-d%C6%B0%El %BB %9Dng-ưon].
Định nghĩa 1.3.1. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyển của đường tròn
nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
Nhân xét 1.3.2.
- Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc vói bán kính tại tiếp điểm.
Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán
kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến.
- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm

đó cách đều hai tiếp điểm; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác
của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân
giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
1.4. Phương tích của một điểm đối vói đường tròn
Định lí 1.4.1. Cho đường tròn (O, R) và một điểm M cố định. Một cát
tuyển thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại A, B thì tích vô hướng MA.MB
không phụ thuộc vào cát tuyển đó, nó được gọi là phương tích của điểm
M đổi với đường tròn (O, R) và kí hiệu là: TMỊ ự) Ry
Chứng minh. Gọi AC là đường kính của đường tròn (O, R) (hình 2). Đặt
MO = d . Từ MA vuông góc với BC nên ta có:

MA.MB = MA(MC + CB)
= MA.MC + MA.CB
= MA.MC
= (MO + ÕA)( MO + ÕC)
= ( MO + ÕA)( MO - ÕA)

7


= MO2 - OA2
= d2 - R2.

Hình 2
Như vậy, phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R) luôn
được tính theo công thức: ?M /(0 R) = MO2 - R2.
Nhân xét 1.4.2.
Từ đó suy ra:
a) Điểm M nằm trên đường tròn (O, R) khi và chỉ khi TM/(0 U) = 0.
b) Điểm M nằm ngoài đường tròn (O, R) khi và chỉ khi TM/(0 U) > 0.

c) Điểm M nằm trong đường tròn (O, R) khi và chỉ khi T M/(0

< 0.

Định lí 1.4.3. Cho hai đường tròn (O, R) và ( 0 \ R ’) với o không trùng
với o ’. Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn
đó là một đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương
của hai đường tròn đó.
Chứng minh. Gọi M là điểm nào đó, H là hình chiếu của M trên 0 0 ’, gọi
I là trung điểm của 0 0 ’ (hình 3). Ta có:
P m/ ìojo = Aí/co',*') o MO2 - R2 = MO’2 - R’2
o M02 -M 0 ’2 = R2- R ’2
O (M 0 + MÕT)( mo - Mơ) = R2- R’2

8


o

2MI. 0'0 = R2- R’2

o 2(MH + HI). 0'0 = R2- R’2
o

2HĨ.Õ70

o

Hi

(1.4.3.1)

=R 2- R ’2
R2 - R ' 2
2.Õ70

M■

Hình 3
Từ biểu thức (1.4.3.1) suy ra H là một điểm cố định. Vì vậy quỹ
tích M chính là đường thẳng vuông góc với 0 0 ’ tại điểm H.
Hệ quả 1.4.4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’). Khi đó:
a) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường
thẳng nối tâm.
b) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng
phương của chúng.
c) Nếu điểm M có cùng phương tích đối vói (O, R) và (O’, R’) thì
đường thẳng qua M vuông góc vói 0 0 ’ là trục đẳng phương của hai
đường tròn.
d) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn
thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

9


e)

Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3

điểm đó thẳng hàng.

g) Nếu (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua
A và vuông góc với 0 0 ’ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nhận xét 1.4.5. Để dựng trục đẳng phương của hai đường tròn ta chỉ cần
xác định hai điểm của nó hoặc chỉ một điểm vói chú ý rằng trục đẳng
phương luôn vuông góc với đường nối tâm. Từ đó suy ra cách xác định
trục đẳng phương của hai đường tròn:
- Nếu (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A, B thì trục đẳng
phương của chúng là đường thẳng AB (hình 4).

- Nếu (O, R) và ( 0 \ R’) tiếp xúc vói nhau tại A thì trục đẳng phương
của chúng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tại A (hình 5).

10


I

Hình 5
- Nếu (O, R) và (O’, R’) không có điểm chung. Ta dựng (I, r) sao
cho (I, r) cắt cả hai vòng tròn (O, R) và ( 0 \ R’). Ta dựng trục đẳng

Định lí 1.4.6. Cho ba đường tròn (Oj, Rj), (Ơ2, R 2) và (O3, R3) có tâm
không thẳng hàng. Khi đó ba trục đẳng phương của ba cặp đường tròn
đó đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là tâm đẳng phương của ba
đường tròn.

11


Chứng minh. Gọi di là trục đẳng phương của (Oi, Ri) và (0 2, R2); d2 là

trục đẳng phương của (0 2, R2) và (0 3, R3). Vì Oi, 0 2, 0 3 không thẳng
hàng nên di, d2 cắt nhau tại điểm I. Như vậy, J5I/(0 1R1) = ^*1/(02 R2)

=

^1/(0 3 R 3 > lừ đó suy ra I cũng nằm trên trục đẳng phương d3 của hai
đường tròn (Oi, Ri) và (0 3, R3).
Hệ quả 1.4.7. a) Nếu 3 đường ừòn đôi một cắt nhau thì các dây cung
cùng đi qua một điểm. Điểm chung đó có cùng phương tích vói cả ba
vòng tròn và được gọi là tâm đẳng phương của ba vòng tròn.
b) Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3
đường tròn thẳng hàng.
c) Nếu 3 đường ừòn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì
các trục đẳng phương trùng nhau.
1.5. Góc giữa hai đường tròn. Hai đường tròn trực giao.
Định nghĩa 1.5.1. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R ’) có điểm chung
A. Gọi t và t ’ là hai tiếp tuyến của hai đường tròn đó tại điểm A. Góc
giữa hai tiếp tuyển t và t ’ được gọi là góc giữa hai đường tròn đó.
Khi t và t’ trùng nhau thì góc của hai đường tròn bằng 0. Đó là khi
hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại A.
Khi t và t’ vuông góc vói nhau ta nói rằng hai đường ừòn đó trực
giao với nhau.
Định lí 1.5.2. (Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao)
a) Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực giao với nhau tại A khi và chỉ khi
tiếp tuyến tại A của hai đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia.
b) Hai đường ừòn (O, R) và (O’, R’) trực giao khi và chỉ khi:
0 0 ’2 = R2 + R’2.
Chứng minh. Cho hai đường ưòn (O, R) và (O’, R’) trực giao (hình 7). Tiếp
tuyến d của (O, R) vuông góc với tiếp tuyến d’ của (O’, R’) tại A. Ta có:

12


00 ’= OA + A O ’
o 00’2=(0A + A 0 ’)2
o 00’2= OA2+ 2.0A. A O ’+ A O ’2
o 00’2= OA2+ O A ’2,
o 0 0 ’2 = R2 + R’2.

Hình 7
c) Đường tròn (O, R) và đường tròn ( 0 \ R’) trực giao khi và chỉ khi
*^0/(0', r')= R hoặc T 0'/(0,R)= R’ •
Chứng minh. Cho đường tròn (O, R) và đường tròn (O’, R’) trực giao.
Ta có:
OO’2 = R2 + R’2
o OO’2 - R’2 = R2
^ *^0/(0',r') = R •
Tương tự:
OO’2 = R2 + R’2
o OO’2 - R2 = R’2
^

3*0'/(0,R) = R ■

Vậy (O, R) và (O’, R’) trực giao khi và chỉ khi:
^ 0 / ( 0 ' , r ') = R

h ° ặ c ^ V /(o ,R )= R ’ •

13

d) Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực giao khi và chỉ khi một đường
thẳng qua tâm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai cặp
điểm liên họp điều hòa.
Chứng minh. Giả sử đường thẳng đi qua O’ cắt (O, R) tại A và B, cắt
( 0 \ R’) tại c và D (hình 8). P 0/(p> r') = R’2 nên ữ Ẩ . ỮB = ữ ư 2 = ỠĐ 2
suy ra A, B, c, D là hàng điểm điều hòa.

Định lí 1.5.3. Cho hai đường tròn (O) và ịO ’), khi ẩy quỹ tích tâm các
vòng tròn cùng trực giao với (O) và (O’) là phần của trục đẳng phương
nằm ngoài hai vòng tròn ẩy.
Chứng minh.
- Thuận: Giả sử M thuộc quỹ tích. Khi tồn tại vòng tròn (M) bán kính
r, tâm M sao cho (M) vuông góc vói (O) và (M) vuông góc vói (O’).
Suy ra: T MI(0'} = r 2 và 7 m/(0) = r 2■Vậy M thuộc trục đẳng
phương của hai vòng tròn (O) và (O’), hơn nữa M nằm ngoài hai vòng tròn
r
Ạ
ây.
- Đảo: Lấy điểm M’ thuộc phần của trục đẳng phương nằm ngoài
(O) và (O’). Ta sẽ chứng minh rằng: Có một vòng tròn nhận MTàm tâm
và trực giao với hai vòng tròn đó.

14


Từ M’ kẻ tiếp tuyến M’T với (O), M’T’ với O’ (hình 9). Dựng vòng
tròn (M’, M’T). Vì M’ thuộc trục đẳng phương của hai vòng tròn nên:
^ M '/ ( 0 ) =

^ m 7 (0 ')

o M’T2 - M’T’2
<=> M’T = M’T’
Suy ra:
T’ <=(M’, M’T).
Vì ^ mVco) = M'T2 nên (M’) vuông góc với (0). ^ m7(0') = M'T'2 nên
(M’) vuông góc với ( 0 ’)-

Hình 9
1.6. Chùm đường tròn
Định nghĩa 1.6.1. Chùm đường tròn là tập hợp tất cả những đường tròn
nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho nó có một đường thẳng A là trục
đẳng phương của bất kì hai đường tròn phân biệt nào của tập hợp đó.
Đường thẳng A được gọi là trục đẳng phương của chừm đường tròn.
Vì A vuông góc với đường nối tâm của các cặp đường tròn của chùm nên
tâm của tất cả các đường tròn đó phải nằm ttên một đường thẳng. Đường
thẳng đó gọi là đường nối tâm của chùm.

15


Tính chất 1.6.2.
a) Tập hợp (Oj)i£Ị là một chùm khi và chỉ khi Oi (i G I) thẳng hàng và tồn
tại điểm p sao cho:
T p /(0 ) = hằng số Vi € I.
Chứng minh.
- Điều kiện cần: rõ ràng
- Điều kiện đủ: Gọi A là đường thẳng qua p và A vuông góc với

Oj0 ' Ì{jo£l.
Khi đó A là trục đẳng phương của (

), ( Oj ) vói V i0, jo É I. Vì p e A

nên:
y P /(O i) =

T P/(Oj)

Vì A vuông góc với Ol0Oj nên OjOj (V i, j e I).
Do đó theo định nghĩa, tập họp các đường tròn (Oi)i E I lập thành
một chùm.
b) Tập họp (Oi)i6i các vòng tròn lập thành một chùm khi và chỉ khi tồn
tại hai điểm p, Q sao cho với mọi i, j G I:
2 fy (O 0 =

p P/(.Oị)

^Q /COi) =

T Q/(Oị)

Ta dễ thấy chúng lập thành một chùm và trục đẳng phương của chùm
là đường thẳng qua p, Q.
Mệnh đề 1.6.3. Nếu Xlà một tập hợp những đường tròn trong mặt phẳng
sao cho có hai điểm A, B phân biệt mà phương tích của mỗi điểm A và B
đối với mọi đường ttòn thuộc T bằng nhau, thì X là tập hợp con của một
chùm đường tròn nào đó.

16


Chứng minh. Theo giả thiết thì đường thẳng AB chính là trục đẳng
phương của mọi cặp đường tròn thuộc X. Từ đó suy ra X là tập con của
một chùm đường ưòn.
Mệnh đề 1.6.4. Nếu X là tập họp những đường ưòn có tâm nằm trên một
đường thẳng d và có một điểm A có cùng phương tích đối vói mọi đường
tròn thuộc X, thì X là tập họp con của một chùm đường tròn nào đó.
Chứng minh. Theo giả thiết, đường thẳng đi qua A và vuông góc vói d
chính là trục đẳng phương của mọi cặp đường tròn thuộc
X

X.

Từ đó suy ra

là tập con của một chùm đường ttòn.

Có ba trường hợp có thể xảy ra khi ta lấy một cặp đường tròn bất kì của
một chùm đường ừòn, đó là: chứng cắt nhau, chúng tiếp xúc vói nhau và
chúng không cắt nhau.
a) Trường hợp 1. Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) của chùm đường
tròn cắt nhau tại A và B (hình 10). Khi đó trục đẳng phương của chùm là
đường thẳng AB. Hiển nhiên khi đó mọi đường tròn của chùm đều phải
đi qua hai điểm A và B. Một chùm đường tròn như thế được gọi là chùm
eliptic.

17

Tóm lại: Chùm eliptic là tập hợp tất cả các đường tròn đi qua hai
điểm phân biệt A, B. Đường nối tâm của chùm eliptic chính là đường
trung trực của đoạn thẳng AB. Hai điểm A, B là hai điểm cơ sở của
chùm.
b) Trường hợp 2. Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) của chùm tiếp xúc
vói nhau tại điểm A (hình 11). Khi đó đường thẳng A là trục đẳng phương
của chùm, tiếp vói hai đường tròn đó tại A. Khi đó mọi đường tròn của
chùm đều tiếp vói A tại A. Một chùm như thế gọi là chùm parabolic.

Tóm lại: Chùm parabolic là tập hợp tất cả các đường tròn cùng tiếp
với đường thẳng A tại điểm A.
c)

Trường hợp 3. Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) của chùm

đường tròn không cắt nhau (hình 12). Khi đó trục đẳng phương A của
chùm không cắt hai đường ừòn đó và do đó không cắt bất cứ đường tròn
nào của chùm. Nếu ta gọi H là giao điểm của A và đường nối tâm 0 0 ’,
thì các tiếp tuyến HT kẻ từ H tới bất kì đường tròn nào cũng bằng nhau.
Xét đường tròn (H, r) vói r = HT thì hiển nhiên mọi đường tròn của
chùm đều trực giao với (H, r). Một chùm như vậy gọi là chùm hypebolỉc.

18


Hình 12
Định lí 1.6.5. Cho chùm đường tròn c. Xét tập hợp C ’ gồm tất cả các
đường tròn trực giao với hai đường tròn (Oi, R ị ) và (O2, R2) của chùm c.
Khi đó:

a) C ’ là một chùm đường tròn.
b) Mỗi đường tròn của chùm C ’ đều trực giao với mọi đường tròn của
chùm c.
Hai chùm đường tròn Cvà C ’ như thế gọi là liên hợp với nhau.
Chứng minh.
a) Phương tích của điểm Oi đối với các đường ừòn C’ đều bằng Ri2
và phương tích của điểm 0 2 đối với các đường tròn C’ đều bằng R22. Suy
ra c làmột chùm.
Trục đẳng phương của C’ là đường thẳng O 1O2 tức là đường nối
tâm của chùm c. Ngược lại tâm của các đường ừòn C’ là những điểm có
cùng phương tích đối với hai đường tròn (Oi, Ri) và (0 2, R2) nên đường
nối tâm của chùm C’ chính là trục đẳng phương của chùm c.
b) Giả sử (O’, R’) là một đường tròn của chùm C’, còn (O, R) là
một đường tròn của chùm

c. Vì

(O’, R’) trực giao với (Oi, Ri) nên

19


^*o'/(o R )

= R2-Nhưng vì 0’ nằm trên trục đẳng phương của chùm c

nên:
•^ o '/(O i,R i) =

^ V / ( 0 ,R)-

Vậy T 0'/{0 R) = R'2, từ đó suy ra hai đường tròn (O’, R’) và (O, R) trực
giao với nhau.
Định lí 1.6.6. Chùm liên hợp với chùm elỉptỉc là chùm hypebolic; chùm
liên hợp với chùm hypebolỉc là chùm eliptic, chùm liên hợp với chùm
parabolic là chùm parabolic.
Chứng minh. Giả sử c là chùm eliptic với hai điểm cơ sở là A và B. Gọi
(Z) là đường tròn đường kính AB thì (Z) thuộc chùm c (hình 13).

Chùm liên hợp với chùm C’ gồm các đường tròn có tâm nằm trên
AB và vuông góc với đường tròn (Z). Vậy C’ chính là chùm hypebolic
với hai điểm tới hạn là A và B.
Tương tự: nếu C’ là chùm hypebolic với hai điểm tới hạn là A và B
thì đường ttòn (Z) thuộc chùm liên hợp c, mà vì AB là trục đẳng phương

20