Bai giang bien luan he PT bac nhat

Biªn so¹n: Ph¹m Ngọc Hải
Tr­ưêng THCS Tan Khanh – Nam Định
Email:


Cho hệ phưng trình:
ax + by = c
(a 2 + b 2 0)

2
2
a'x + b'y = c' (a' + b' 0)
Giải hệ phưng trình bằng phưng
pháp cộng đại số.
+ Nhân hai vế phưng trình (1) với b ,
phng trình (2) với b ta có
ab'x + bb'y = cb'
a'bx + bb'y = c'b

(ab' a'b)x = cb' c'b
+ Nhân hai vế phưng trình (1) với a ,
phng trình (2) với a ta có
aa'x + ba'y = ca'
aa'x + b'ay = c'a

(ab' a'b)y = ac' a'c

+ Vậy hệ đã cho tưng đưng với hệ:

(ab' a'b)x = cb' c'b

(ab' a'b)y = ac' a'c

Đặt:

D = ab' - a'b
Dx = cb' - c'b
Dy = ac' - ac'

1) Nếu D=0
+ Dx=Dy=0 Hệ PT có vô số nghiệm (x,y)
thỏa mãn: ax + by = c
+ Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ PT vô nghiệm.
2) Nếu D 0: Hệ có một nghiệm duy nhất
(x; y) trong đó
Dx
Dy
x=
; y=
D
D


Phưng pháp giải và biện luận hệ phư ng trình bậc
nhất 2 ẩn:
ax + by = c
(a 2 + b 2 0)

2

2
a'x + b'y = c' (a' + b' 0)
Phưng pháp:
D = ab' - a'b

Tính:
Dx = cb' - c'b
Dy = ac' - a'c
1) Nếu D=0
+ Dx=Dy=0 Hệ PT có vô số nghiệm (x,y) thỏa mãn:
ax + by = c
+ Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ PT vô nghiệm.
2) Nếu D 0: Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y) trong
đó
Dx
Dy
x=
; y=
D
D

Bi tp 1:
Giải và biện luận hệ phưng trình
mx + y = m + 1
x + my = 2

Bài tập 2: Cho hệ phưng trình.
mx + 4y = 2
x + my = m + 1

1/ Giải và biện luận hệ phưng trình.
2/ Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức
giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m?
Bài tập 3: Cho hệ phương trình:
ax 4y = a 1
2x + (a + 6)y = 3

1/. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa
mãn: 2x + 3y = 5.
2/. Tìm những giá trị nguyên của m để hệ có
nghiệm duy nhất (x; y) đều nguyên.
Bài tập 4:Cho hệ phưng trình
(m 1)x + 2my = 2

2mx + (m 1)y = m 1
1/. Tùy thuộc vào m xác định nghiệm của hệ.
2/. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất
(x; y) đều nguyên.
3/. Gọi (x; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm
hệ thức giữa x và y độc lập với m


Bi tp 1:
Giải và biện luận hệ phưng trình
mx + y = m + 1
x + my = 2


Hư ng dẫn:

2
Ta có: D = m 1 = (m 1)(m + 1)
Dx = m 2 + m 2 = (m 1)(m + 2)
Dy = m 1
1/ Nếu D = 0 m = 1
m = 1
Với m = 1 ta có: Dx = Dy = 0
Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn
phng trình: x + y = 2
x R
hoặc y R

y=-x+2
x=-y+2
Với m = -1 ta có Dx = -2 0
Hệ vô nghiệm.

m1
2/ Nếu D 0
m 1


x =
Hệ có nghiệm duy nhất:
y =


Dx m + 2
=
D m+1

Dy
1
=
D m+2

Kết luận:
m 1
+ Với
hệ có nghiệm duy nhất
m


1

m+2 1
(x;y) =
;
m
+
1
m+2ữ


+ Với m = 1: Hệ có nghiệm là mọi cặp số dạng
(x; -x+2) với xR
+ Với m = -1: Hệ vô nghiệm.


Bài tập 2: Cho hệ phưng trình.
2/ Với m 2: Hệ có nghiệm duy nhất

mx + 4y = 2
2

x + my = m + 1
x
=


m2
1/ Giải và biện luận hệ phưng trình.

m 1
1
y =
2/ Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức
= 1+

m2
m2
giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m?
2

Hư ng dẫn:
x
=


m2

2

2
1/ D = m 4
2y = 2 +
Dx = 2m 4

m2
2
Dy = m + m 2
x + 2y = 2
+ Với m 2: Hệ có nghiệm duy nhất
2 m 1
(x;y) =
;
m

2
m2ữ


+ Với m = 2: Hệ vô nghiệm
+ Với m = -2: Hệ có nghiệm là mọi cặp số
dạng (2y-1; y) với yR.


Bài tập 3: Cho hệ phưng trình:
ax 4y = a 1
2x + (a + 6)y = 3

1/. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa
mãn: 2x + 3y = 5.

2/. Tìm những giá trị nguyên của m để hệ
có nghiệm duy nhất (x; y) đều nguyên.
Hư ng dẫn:
2
Ta có: D = a + 6a + 8 = (a + 2)(a + 4)
Dx = a 2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)
Dy = a + 2
Để hệ có nghiệm duy nhất khi D 0
a 2

a 4
Khi đó hệ có nghiệm là:
a+3
1

x
=
=
1


a+4
a+4

1
y =
a+4


1/. Để 2x + 3y = 5 ta có:

a+3
1
2.
+ 3.
=4
a+4
a+4
2a = 7
7
a=
2
1
Z
a+4
a+4 là ước của 1
a + 4 = 1
a = 3


a + 4 = 1 a = 5
Với a=-3 hệ có cặp nghiệm (x;y)=(0; 1)
Với a=-5 hệ có cặp nghiệm (x;y)=(2; -1)

2/. Để x, y Z



Chú c moị ngườ i
hoc̣ vui vẻ !!!