Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông”

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA ĐỨC MINH

TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


2

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA ĐỨC MINH

TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. ĐÀO THÁI LAI


4

NGHỆ AN - 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đào Thái Lai. Các số liệu, kết quả nêu
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Tác giả luận án

La Đức Minh


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
STT

Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

1

DH

Dạy học

2

ĐC

Đối chứng

3

ĐS - GT

Đại số - giải tích

4

GV

Giáo viên

5

HĐ

Hoạt động

6

HĐDH

Hoạt động dạy học

7

HĐTD

Hoạt động tư duy

8

HS

Học sinh

9

Nxb

Nhà xuất bản

10

PP

Phương pháp

11

PPDH

Phương pháp dạy học

12

PT

Phương trình

13

SGK

Sách giáo khoa

14

TD

Tư duy

15

TDTG

Tư duy thuật giải

16

TN

Thực nghiệm

17

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

18

THPT

Trung học phổ thông

19

tr

Trang

20

TT

Tri thức

21

TTPP

Tri thức phương pháp

22

TTSV

Tri thức sự vật


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU....................................................................................................12
1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................12
2. Mục đích nghiên cứu ..............................................................................15
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu ......................15
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................15
5. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................15
6. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................16
7. Những đóng góp của luận án...................................................................16
8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ...................................................................16
9. Cấu trúc của luận án................................................................................17
Chương
CƠ

1
SỞ

CỦA

VIỆC

LÝ
TRUYỀN

LUẬN
THỤ

TRI

VÀ

THỰC

TIỄN

THỨC

PHƯƠNG

PHÁP

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC......................................................18
1.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu .....................................................18
1.1.1. Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan trên thế giới18
1.1.2. Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan ở trong nước
............................................................................................20
1.1.3. Một số kết luận....................................................................23
1.2. Tri thức ................................................................................................23

1.2.1. Khái niệm............................................................................23
1.2.2. Các dạng tri thức trong dạy học môn Toán ........................24
1.2.3. Mối quan hệ giữa tri thức và tư duy trong quá trình dạy học
............................................................................................25


8
1.3. Tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán...................................28
1.3.1. Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động ...............28
1.3.2. Tri thức phương pháp thuộc phạm trù duy vật biện chứng. 43
1.3.3. Tri thức trong tâm lý học liên tưởng....................................48
1.3.4. Vai trò của tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán ở
trường Trung học phổ thông .............................................49
1.3.5. Một số biểu hiện của tri thức phương pháp trong các lý
thuyết dạy học....................................................................54
1.4. Truyền thụ tri thức phương pháp trong dạy học môn toán...................56
1.4.1. Khái niệm............................................................................56
1.4.2. Các cách thức truyền thụ tri thức phương pháp ..................57
1.5. Thực trạng việc truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông hiện nay.......................76
1.5.1. Mục đích..............................................................................77
1.5.2. Đối tượng khảo sát...............................................................77
1.5.3. Nội dung..............................................................................77
1.5.4. Phương pháp........................................................................77
1.5.5. Đánh giá kết quả khảo sát....................................................77
1.6. Kết luận chương 1 ...............................................................................82
Chương

2

CÁC BIỆN PHÁP TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP
CHO

HỌC

SINH

TRONG

DẠY

HỌC

MÔN

TOÁN

Ở TRƯỜNG THPT.....................................................................................83
2.1. Đặc điểm của chương trình môn toán THPT.......................................83
2.2. Những tư tưởng chủ đạo của việc truyền thụ tri thức phương pháp ....84
2.3. Các biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp ..................................85
2.3.1. Biện pháp 1: Kết hợp việc thông báo tường minh hệ thống
tri thức phương pháp với tổ chức cho học sinh những hoạt


9
động ăn khớp với tri thức phương pháp quy định trong
chương trình.......................................................................85
2.3.2. Biện pháp 2: Tạo các tình huống để học sinh luyện tập vận
dụng các tri thức phương pháp có tính thuật giải theo các

cấp độ tăng dần mức độ khó khăn......................................91
2.3.3. Biện pháp 3: Thông báo tri thức phương pháp trong quá
trình hoạt động thông qua sử dụng bảng gợi ý của G.Pôlya
về phương pháp tìm tòi lời giải bài toán............................96
2.3.4. Biện pháp 4: Truyền thụ tri thức phương pháp gắn với bồi
dưỡng cho học sinh một số loại hình tư duy....................110
2.3.5. Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh khả năng huy động
kiến thức nhờ hoạt động liên tưởng để hình thành tri thức
phương pháp mới thông qua phát triển và mở rộng bài toán
..........................................................................................122
2.3.6. Biện pháp 6: Xây dựng một số chuyên đề toán học ẩn chứa
tri thức phương pháp cần truyền thụ để khai thác hiệu quả
hoạt động tự học, hoạt động hợp tác nhằm bồi dưỡng khả
năng sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh.............130
2.4. Kết luận chương 2..............................................................................145
Chương

3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...................................................................148
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm.........................................................148
3.2. Thời gian và địa điểm và đối tượng thực nghiệm sư phạm................148
3.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm...................................................148
3.3.1. Phương pháp điều tra.........................................................148
3.3.2. Phương pháp quan sát........................................................148
3.3.3. Phương pháp thống kê toán học........................................149
3.3.4. Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá......................149


10

3.4. Nội dung thực nghiệm sư phạm.........................................................151
3.4.1. Tài liệu thực nghiệm sư phạm...........................................151
3.4.2. Nội dung 1: Điều tra GV và HS nhóm TN về các bài dạy
TNSP................................................................................151
3.4.3. Nội dung 2: Tổ chức dạy học theo các giáo án đã soạn....152
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm............................................................152
3.5.1. Kết quả thực nghiệm sư phạm vòng 1 (Học kỳ I, năm học
2013 - 2014).....................................................................152
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm vòng 2 (năm học 2013 2014)................................................................................160
3.6. Điều tra về các biện pháp sư phạm đã đề xuất thông qua các bài dạy
của giáo viên và học sinh..........................................................................172
3.6.1. Điều tra về giáo án đã soạn................................................172
3.6.2. Điều tra về kết quả của các giờ học TNSP........................173
3.6.3. Điều tra về kết quả của các giờ học TNSP đối với HS......174
3.7. Kết luận chương 3..............................................................................175
KẾT LUẬN..............................................................................................176
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN............................................178
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................179
PHỤ LỤC


DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ
Trang
Bảng:
Bảng 3.1. Thống kê kết quả học tập của HS nhóm TN và ĐC trước khi
TNSP.........................................................................................................153
Biểu đồ 3.1. Đa giác đồ về chất lượng học tập của nhóm TN và ĐC.......153
Bảng

3.2.

Phân

bố

điểm

của

nhóm

TN

và

nhóm

ĐC

sau khi TN sư phạm vòng 1......................................................................156
Bảng 3.3. Phân bố tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN vòng 1............157
Biểu đồ 3.2. Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN vòng 1
..................................................................................................................158
Bảng 3.4. Kết quả học tập của HS nhóm TN, ĐC trước khi TNSP vòng 2
..................................................................................................................161
Bảng 3.5. Phân bố điểm của nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC sau khi TN
vòng 2.......................................................................................................166
Bảng 3.6. Phân bố tần suất luỹ tích hội tụ lùi của nhóm TN, ĐC sau TN
vòng 2.......................................................................................................167

Biểu đồ 3.3. Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi
của nhóm TN và ĐC trong đợt TNSP vòng 2...........................................168
Bảng 3.7. Điều tra GV về nội dung dạy học TNSP..................................172
Bảng 3.8. Điều tra GV về hiệu quả việc truyền thụ TTPP cho HS
trong các tiết học TNSP............................................................................173
Bảng 3.9. Điều tra HS về các tiết học trong quá trình TNSP...................174


12
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong quá trình tác động vào thế giới khách quan, con người phải
sử dụng những cách thức, những phương pháp (PP), những công cụ nhất định.
Bằng hoạt động (HĐ) con người tạo ra sản phẩm về phía thế giới và sự thay
đổi trong chính mình với tư cách là chủ thể thực hiện HĐ. Thông qua HĐ con
người tồn tại và phát triển. PP tác động vào đối tượng trong quá trình HĐ có
ảnh hưởng đến kết quả HĐ. Việc nắm được các PP thực hiện các HĐ là chìa
khóa dẫn tới thành công của con người, dẫn tới sự phát triển.
Trong các nghiên cứu về trí tuệ của con người, người ta chú ý đến hai
loại tri thức (TT): TT về đối tượng được phản ánh và TT về phương thức
phản ánh. Trong hai loại TT này, loại TT thứ hai là TT về PP. Con người
không thể thực hiện các HĐ nếu không có hiểu biết về đối tượng HĐ. Tuy
nhiên, chỉ với hiểu biết về đối tượng không đảm bảo cho sự thành công của
con người trong quá trình tác động đến đối tượng. Trong nhiều trường hợp,
đặc biệt khi nhiệm vụ cần thực hiện có những khó khăn nhất định, vai trò của
tri thức phương pháp (TTPP) càng có vai trò lớn đối với quá trình HĐ. Việc
bồi dưỡng các năng lực trí tuệ của con người cần phải chú ý bồi dưỡng cả hai
loại hình TT nói trên.
1.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) ngày nay xem
việc học của học sinh (HS) là một quá trình HĐ. Dạy học (DH) là việc tổ

chức một môi trường, tạo ra những tình huống làm bộc lộ những nhiệm vụ
cần giải quyết trước người học, kích thích họ HĐ và kết quả là HS thu nhận
được TT, rèn luyện được các kỹ năng, phát triển được trí tuệ và hình thành
các phẩm chất tâm lý khác. Vì vậy, trong DH điều quan trọng là tổ chức cho
HS học tập trong HĐ và bằng HĐ. Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho
HS được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi
mới PPDH hiện nay.


13
Lý luận DH hiện nay dựa trên quan niệm: mọi yếu tố tâm lý nói chung,
TT nói riêng, của con người đều được hình thành thông qua quá trình HĐ của
chính người học. Để hình thành TTPP cho HS cũng phải thực hiện dựa trên
việc thiết kế và tổ chức thực hiện các hệ thống HĐ từ đơn giản đến phức tạp.
1.3. Dạy Toán là dạy HĐ toán học, HĐ toán học chủ yếu của HS phổ
thông là giải bài tập toán. Nhằm nâng cao chất lượng DH toán ta luôn luôn phải
hướng tới việc trang bị cho HS các PP giải toán. Điều này có liên quan đến
trình độ sư phạm và nghệ thuật của từng giáo viên (GV). Theo Nguyễn Bá Kim
“Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thông thường không thể trao ngay cho
học sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó
vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua HĐ tự giác,
tích cực và sáng tạo của bản thân” [51, tr. 117]. Theo chủ nghĩa kiến tạo trong
tâm lí học, học tập là một quá trình trong đó người học xây dựng kiến thức cho
mình bằng cách thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó
khăn và những sự mất cân bằng. Tuy nhiên, như nhiều nhà lý luận DH của
Pháp đã khẳng định, một môi trường không có dụng ý sư phạm là không đủ để
chủ thể (học sinh) kiến tạo TT theo đúng yêu cầu mà xã hội mong muốn. Vì
vậy, điều quan trọng là thiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm để người
học tập trong HĐ, học tập bằng thích nghi [51, tr. 117].
1.4. Thực tiễn trong DH toán ở nhà trường phổ thông cho thấy TTPP

có vai trò quan trọng. Tuy nhiên, TTPP được trình bày ở dạng tường minh
không nhiều. TTPP hiện hữu ở khắp nơi, trong mọi tình huống, trong mọi
HĐ và thường ở dạng không tường minh, thường "được giấu kín ở mặt hậu".
Trong quá trình DH, người GV phải từng bước tập luyện cho HS những HĐ
phù hợp với các PP giải quyết vấn đề được đặt ra. Làm cho HS nắm được
các TTPP là chìa khóa giúp họ giải quyết tốt các bài toán đặt ra và dẫn đến
thành công của quá trình DH. Tuy nhiên, việc làm cho HS lĩnh hội các TTPP
trong chương trình môn toán trung học phổ thông (THPT) vẫn đang là vấn
đề khó khăn. Chính điều này đã làm cho chất lượng DH môn toán chưa được
như mong muốn.


14
Hiện nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu về Lý luận và PPDH môn
toán. Một số trong những công trình này đã đề cập đến vấn đề phát triển năng
lực tư duy (TD), năng lực toán học và năng lực giải quyết vấn đề của HS
trong DH môn Toán và TTPP đã được đề cập đến. Theo Nguyễn Bá Kim
(2006), việc truyền thụ TT, đặc biệt là TTPP như là phương tiện và kết quả
của HĐ. Trong các PP toán học cần làm cho HS lĩnh hội được, ông quan tâm
đến các PP có tính thuật toán và những PP mang tính tìm đoán. Trong bộ ba
quyển sách (Giải một bài toán như thế nào?, Toán học và những suy luận có
lý và Sáng tạo Toán học) của mình, G. Pôlya dành sự quan tâm nhiều đến việc
giúp HS tìm tòi, khám phá lời giải các bài toán và sáng tạo bài toán mới từ
các bài toán đã giải. Trong luận án của mình, Crutexki đã nghiên cứu cấu trúc
năng lực toán học của HS. Trong luận án này ông đã coi trọng việc HS biết
cách thu nhận thông tin từ bài toán, biết cách biến đổi thông tin phục vụ cho
việc giải bài toán và biết cách ghi nhớ, lưu trữ thông tin toán học là những
tiêu chí đánh giá năng lực toán học của HS. Để giúp HS phát triển năng lực và
rèn luyện kỹ năng giải toán, nhóm tác giả Phan Đức Chính, Phan Văn Hạp,
Nguyễn Văn Mậu,... đã tập hợp, hệ thống hóa và biên soạn bộ sách Các PP

chọn lọc giải các bài toán sơ cấp. Trong bộ sách này nhiều TTPP trong lĩnh
vực giải toán đã được đề cập đến. GS. Đào Tam, trong các công trình nghiên
cứu của mình công bố trong những năm gần đây, đã nhấn mạnh đến vai trò
của các HĐ biến đổi đối tượng, năng lực chuyển di các quan hệ giữa các đối
tương trong các mối liên tưởng khi giải quyết các bài toán.
Điểm qua một số công trình nghiên cứu ở trong nước và ở nước ngoài
cho thấy vấn đề truyền thụ TTPP cho HS là vấn đề cần thiết và đã được quan
tâm. Song thực tiễn DH hiện nay, nhiều HS vẫn còn gặp khó khăn khi lĩnh hội
và sử dụng các TTPP vào thực hiện các HĐ toán học. Chúng tôi nhận thấy
vấn đề này cần có những nghiên cứu thêm.
Xuất phát từ các vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:
“Truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh trong dạy học môn toán ở
trường Trung học phổ thông”.


15
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là làm sáng tỏ khái niệm, vai trò ý
nghĩa, các mức độ biểu hiện tri thức phương pháp và cách thức truyền thụ tri
thức phương pháp cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở trường
THPT qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc hình thành các tri thức phương pháp
cho HS trong DH môn Toán ở trường phổ thông.
3.2. Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán ở trường THPT.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Các tri thức phương pháp trong chương trình
môn toán ở THPT; Các biện pháp nhằm hình thành tri thức phương pháp cho
học sinh THPT trong quá trình DH môn Toán.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề ra được các biện pháp sư phạm một cách phù hợp trên cơ sở

vận dụng các phương pháp dạy học tích cực, thì sẽ góp phần nâng cao
hiệu quả việc dạy học tri thức phương pháp trong DH môn Toán ở trường
THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
(1). Làm sáng tỏ nội hàm khái niệm tri thức phương pháp, vai trò và
các dạng thể hiện chủ yếu của tri thức phương pháp trong chương trình môn
Toán THPT.
(2). Điều tra khảo sát, thực trạng việc dạy học tri thức phương pháp cho
HS trong DH môn Toán ở trường THPT hiện nay.
(3). Nghiên cứu quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán ở trường
THPT nói chung và DH tri thức phương pháp nói riêng.
(4). Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả việc
truyền thụ tri thức phương pháp cho HS trong DH môn Toán ở trường THPT.
(5). Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi, tính
hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.


16
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về DH tích cực, quan điểm
hoạt động trong DH, các phương thức tiếp cận vấn đề trong DH và nghiên
cứu khoa học. Nghiên cứu chương trình môn Toán THPT,...
- Điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu về thực trạng
DH nói chung, thực trạng việc truyền thụ TTPP nói riêng. Tìm hiểu thực tế
cách tạo tình huống để HS tiếp cận nguồn TT môn toán hiện được GV sử
dụng trong các trường THPT. Trao đổi với GV và dự giờ DH môn Toán ở
trường THPT để tìm hiểu thực tế DH môn Toán của GV và HS.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp truyền thụ TTPP cho HS trong DH
toán ở trường THPT đã được đề xuất.

- Phân tích, đánh giá: Sử dụng PP phân tích định tính, phân tích định
lượng nhằm rút ra những kết luận liên quan đến các nội dung được xem xét.
Đánh giá kết quả bằng PP thống kê toán học trong khoa học giáo dục.
7. Những đóng góp của luận án
7.1. Về mặt lý luận
(1). Góp phần làm sáng tỏ nội hàm khái niệm tri thức phương pháp.
(2). Làm rõ các biểu hiện của tri thức trong chương trình môn Toán
và vai trò, ý nghĩa của tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán và ở
trường THPT.
(3). Làm sáng tỏ các cách thức truyền thụ tri thức phương pháp trong
dạy học môn Toán ở trường THPT.
7.2. Về mặt thực tiễn
(1). Chỉ ra một số thực trạng và bất cập của việc truyền thụ các tri thức
phương pháp trong dạy học môn Toán ở một số trường THPT hiện nay.
(2). Đề xuất một hệ thống các biện pháp sư phạm góp phần nâng cao
hiệu quả việc DH tri thức phương pháp trong DH môn Toán ở trường THPT.
8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ


17
(1). Việc truyền thụ tri thức phương pháp cho HS có vai trò quan trọng
trong DH môn Toán ở trường THPT.
(2). Trong quá trình truyền thụ đã quan tâm hợp lý đến việc bồi dưỡng
cho HS khả năng hình thành TTPP.
(3). Các biện pháp sư phạm nhằm truyền thụ tri thức phương pháp cho
HS trong DH môn Toán ở trường THPT đưa ra trong luận án là có hiệu quả
và khả thi.
9. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần Mở đầu, Kết luận và 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc truyền thụ tri thức

phương pháp cho học sinh trong dạy học.
Chương 2. Các biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp cho học
sinh trong dạy học môn toán THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.


18
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦA VIỆC TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
1.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu
1.1.1. Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan trên thế giới
Từ thời xa xưa TTPP chưa được đề cập đến một cách tường minh, nhưng
liên quan đến TTPP các nhà Toán học Ấn Độ đã biết khảo sát số âm dương và
dùng khái niệm cụ thể lỗ và lãi. Chẳng hạn Bra-ma-gup-ta viết: “Tổng của hai
số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của hai số lãi và số lỗ là hiệu
của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không”. Kha-ska-ra đã đi
đến quy tắc: a + 0 = a, 0 − a = − a, 0 + a = a,... Bra-ma-gup-ta Cho quy tắc tổng
quát để giải PT bậc hai. Kha-ska-ra khảo sát những biểu thức vô tỉ loại
và thực hiện phép biến đổi loại:

a+ b

10 + 21 + 40 + 60 = 2 + 3 + 5 đưa

vào cách khử căn ở mẫu số, giải một số trường hợp đặc biệt của PT bậc cao. Bra2
2
ma-gup-ta và Kha-ska-ra còn cho PP tổng quát giải PT dạng: ax + b = cy và

xy = ax + by + c [11, tr. 20].
Sự phát triển Toán học ở Châu Âu là do ảnh hưởng rất lớn của những
công trình Toán học Ấn Độ, Trung Á và Cận Đông. Nhưng theo thời gian, thì rất
nhiều vấn đề Toán học xuất hiện trước tiên ở Trung Quốc. Vào thế kỷ 18 đến thế
kỷ 3 trước công nguyên có hai cuốn sách toán cổ của Trung Quốc là “Chu bễ
toán kinh” và “Cửu chương thuật toán” [11, tr. 21]. “Chu bễ toán kinh” là loại
sách toán của Trung Quốc vào thời nhà Chu. Còn cuốn “Cửu chương thuật


19
toán” là loại sách toán gồm có 9 chương, trong cuốn sách này có nêu nguyên tắc
lấy căn bậc hai và bậc ba của số nguyên, mà ngày nay chúng ta đang dạy kiến
thức đó ở các trường. Có rất nhiều bài toán được giải bằng PP khử ẩn số trong hệ
PT, ngoài ra dùng quy tắc cộng trừ các số âm. Điều này theo Nguyễn Bá Kim
[51, tr. 143] đó chính là TTPP thực hiện những HĐ tương ứng với những nội
dung Toán học cụ thể.
G. Pôlya (1975), Giải bài toán như thế nào. Đây là công trình sư
phạm của G. Pôlya hết sức đồ sộ, bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DH
Toán ở bậc THPT. Trong các công trình của mình, ông đã đề xuất nhiều
quan điểm sư phạm đặc sắc. Một số quan điểm sư phạm cơ bản được ông
giới thiệu cô đọng trong báo cáo “Dạy học qua bài tập” (dẫn theo [61, Tr.
37]). Với một bài toán để tìm lời giải phải có những câu hỏi và lời khuyên
xác đáng G.Pôlya [71, tr. 14] đã đưa ra bản gợi ý quy trình 4 bước trong quá
trình giải một bài toán:
Bước 1: Trước hết phải hiểu rõ bài toán là phải tìm cái gì?
Bước 2: Phải nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài
toán, giữa cái chưa biết và những cái đã biết để tìm thấy cái ý của cách giải,
để vạch ra được một chương trình (dự kiến).
Bước 3: Thực hiện chương trình đó.
Bước 4: Nhìn lại cách giải đã thu được một lần nữa, nghiên cứu nó.

Đây là bảng gợi ý mà GV thường sử dụng trong DH toán, mà nhất là
được sử dụng hiệu quả trong việc tìm tòi lời giải bài toán.
M.Alêcxêep, V.Onhisuc, M.Crugliăc (1976), Phát triển tư duy học sinh
(Hoàng Yến dịch, Nguyễn Ngọc Quang hiệu đính), Nxb Giáo dục. Trong công
trình này V.Onhisuc đã trình bày việc lĩnh hội TT dưới ánh sáng của tâm lý học và
loogic học [1, tr. 4]. V.Onhisuc khẳng định rằng, thông hiểu TT đó là con đường
tiến tới lĩnh hội TT [1, tr. 48]. Cũng trong công trình Phát triển này, M.Crugliăc đề
cập TT và TD gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với một quá trình. Lĩnh hội
TT về một đối tượng nào đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả của một quá trình triển


20
khai lôgic của hiện tượng ấy trong TD. Vì vậy không thể tách rời TT với TD, TT
được bộc lộ ra và hình thành trong TD. Mặt khác, những TT đã chiếm lĩnh được
lại tham gia vào quá trình TD như là một yếu tố của TD để tiếp thu TT mới khác
[1, tr. 64]. Nói về truyền thụ TTPP, M.Crugliăc cho rằng HS tiếp thu TT không
chỉ trực tiếp qua sự truyền đạt đơn giản mà còn thông qua con đường vòng nhờ
những hành động trí tuệ và thao tác TD cần thiết mà HS vận dụng tìm ra điều
chưa biết [1, tr. 82].
Edgarmorin (2006), Tri thức về tri thức (Lê Diên dịch), Nxb Đại học
Quốc gia Hà Nội. Nói về TT tác giả Edgarmorin đề cập đến TT vừa là HĐ
vừa là sản phẩm của HĐ ấy [26, tr. 380].
1.1.2. Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan ở trong nước
Ở Việt Nam trong lĩnh vực PPDH có rất nhiều tác giả nghiên cứu và có
những công trình liên quan đến TTPP, trong đó phải kể đến:
Nguyễn Bá Kim trong các công trình nghiên cứu về PPDH toán [51], đề
cập đến 4 loại TT: TTSV, TTPP, TT chuẩn, TT giá trị. Đặc biệt TTPP định
hướng trực tiếp cho HĐ và ảnh hưởng quan trọng đến việc hình thành kỹ
năng”. Đồng thời đưa ra 3 cấp độ DH TTPP, bao gồm: DH tường minh TTPP
được phát biểu một cách tổng quát; thông báo TTPP trong quá trình HĐ; tập

luyện những HĐ ăn khớp với TTPP.
Trong công trình “Một số PP chọn lọc giải các bài toán sơ cấp” của
nhóm tác giả Phan Đức Chính, Phan Văn Hạp, Nguyễn Văn Mậu,...đã đề cập
đến các PP tam thức bậc hai, sử dụng các PP giải các bài toán dựa trên lý
luận về tam thức bậc hai; PP giải một số bài toán hình học; các phương pháp
định hình, định tính và định lượng các hàm số sơ cấp; các bài toán về bất
đẳng thức, bất PT,…
Bùi Văn nghị trong công trình [63]: “Vận dụng tư duy thuật toán vào
việc xác định hình để giải các bài toán Hình học không gian ở trường trung
học phổ thông” (1996), đề ra 6 quy trình có tính chất thuật toán: Xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng; xác định giao điểm của đường thẳng và mặt


21
phẳng; xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng; xác
định thiết diện của một đa diện bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song
với đường thẳng kia (trong đó 2 đường thẳng này song song với nhau); xác
định thiết diện của một đa diện bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song
với 2 đường thẳng chéo nhau; xác định thiết diện của một đa diện bởi mặt
phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.
Vương Dương Minh trong công trình [62]: “Phát triển tư duy thuật
giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông”
(1996) xây dựng 8 tình huống điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán và
phát triển TDTG khi DH các hệ thống số.
Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Pôlya xây dựng
nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề
nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II [61], tác
giả đã vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Pôlya, đề xuất các định hướng cơ
bản và các biện pháp sư phạm DH theo chủ đề kiến thức bằng hệ thống bài
tập cho HS các lớp chuyên toán THCS của nước ta.

Trong công trình [44], Nguyễn Thái Hòe (1997), Rèn luyện tư duy qua
việc giải bài tập Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội đã đề cập đến các PP tìm tòi lời
giải bài toán. Đây là dạng TTPP mang tính tìm đoán đã được tác giả trình bày.
Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ
thông trong dạy học đại số [98], đã đưa ra định hướng và xây dựng 7 biện
pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực TD lôgic và sử dụng chính
xác ngôn ngữ toán học cho HS lớp 10 trong DH Đại số. Trong đó quan tâm
đến việc bồi dưỡng HĐ dự đoán, mò mẫm của HS để giải quyết bài toán.
Trong công trình Phương pháp dạy học Toán ở trường trung học phổ
thông (các tình huống dạy học điển hình) (2005), Nxb Quốc gia TPHCM của
tác giả Lê Văn Tiến đề cập đến 2 loại tri thức: TTSV và TTPP và nêu ra cấp
độ DH TTPP, bao gồm: DH một cách tường minh TTPP, Thông báo tường


22
minh TTPP trong quá trình HĐ, truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện
những HĐ ăn khớp với TTPP [85].
Trong công trình Cái và Cách (2010), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
của tác giả Hồ Ngọc Đại đã đề cập đến cái chính là cái máy bay, cái xe máy,...
và cách chính là cách vận hành nó. Gắn với toán học, cái và cách chính là
TTSV và TTPP.
Đào Tam trong công trình (2010): “Tổ chức hoạt động nhận thức trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông”[84] nói về các dạng TTPP
cần luyện tập cho HS và cần phát hiện thông qua HĐ giải toán: Những TTPP
định hướng cho HĐ nhận thức. Nhưng tựu chung TTPP có hai dạng chủ yếu:
những TTPP có tính chất thuật toán; Những PP có tính chất tìm đoán.
Chu Trọng Thanh [96] nói về TT đề cập đến sự chuyển hóa từ TTSV
thành TTPP trong môn toán. Trong khi tổ chức cho HS HĐ giải quyết các
nhiệm vụ nhận thức cần làm rõ sự phối hợp giữa suy luận có lí và quá trình

huy động, vận dụng từng nhóm kiến thức. Việc làm này có tác dụng hình
thành cho HS TTPP mang tính chất tìm đoán. Những TT này có vai trò định
hướng HĐ giải quyết vấn đề và khám phá, sáng tạo TT mới, sáng tạo PP mới
trong giải toán.
Nguyễn Hữu Hậu (2012), Khai thác và tập luyện cho học sinh các hoạt
động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học Đại số Giải tích ở bậc THPT [41], đã đưa ra định hướng để khai thác, tập luyện các
HĐ nhằm nâng cao khả năng chiếm lĩnh TT cho HS.
Ngoài ra có một số tác giả đã nghiên cứu luận văn Thạc sĩ về tri thức
phương pháp như: Nguyễn Thị Mai Liên (2008), Dạy học tri thức phương
pháp cho học sinh qua chủ đề giải toán có ứng dụng đạo hàm” ở lớp 12 THP,
đã đề xuất 3 biện pháp tăng cường truyền thụ TTPP trong dạy học giải toán có
ứng dụng đạo hàm; Lê Phi Hùng (2011), Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri
thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động trong dạy
học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán, đã đề xuất 05 biện pháp sư phạm


23
nhằm truyền tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp trong dạy học Toán 10
cho học sinh chuyên Toán; Nguyễn Quỳnh Nga (2011), Dạy học tri thức
phương pháp theo hướng vận dụng lí thuyết kiến tạo thể hiện qua chủ đề biến
hình ở trường THPT, đã đề xuất 03 phương thức bồi dưỡng tri thức phương
pháp thông qua dạy học biến hình theo hướng vận dụng lý thuyết kiến tạo.
1.1.3. Một số kết luận
Nền giáo dục Việt Nam ở mỗi giai đoạn lịch sử khác nhau, đều có sự
quan tâm đến việc đổi mới PPDH, đó chính là việc làm nâng cao chất lượng
DH. Đối với trường phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học mà chủ yếu là
HĐ giải toán, việc giải toán thì mấu chốt là yếu tố PP. Chính vì vậy việc quan
tâm truyền thụ TTPP là việc làm cần thiết. Có nhiều tác giả quan tâm nghiên
cứu về TTPP và những vấn đề liên quan đến TTPP trong DH toán ở trường
THPT như đã nêu trên. Trong các công trình đó, điển hình là trong các tài liệu

của Nguyễn Bá Kim (2006) đã dành sự quan tâm cho sự truyền thụ tri thức,
đặc biệt là TTPP. Quan điểm HĐ trong PP dạy học toán do ông nêu ra đã
được trình bày thể hiện qua 4 tư tưởng chủ đạo. Một trong số 4 tư tưởng chủ
đạo đó là truyền thụ TT đặc biệt là TTPP như là phương tiện và kết quả của
HĐ [51]. Bên cạnh đó G.Pôlya [71] với tác phẩm giải bài toán như thế nào
cũng đã trình bày quy trình 4 bước và bảng gợi ý, cách đặt câu hỏi cho HS
suy nghĩ và tìm tòi. Các công trình đó thực sự có ý nghĩa, tuy nhiên về vấn đề
này tôi thấy cần có nghiên cứu thêm làm sáng tỏ về nội hàm TTPP và cách
thức truyền thụ cho HS.
1.2. Tri thức
1.2.1. Khái niệm
Theo Từ điển Tiếng Việt [76, tr. 1015]: "Tri thức là những điều hiểu
biết có hệ thống về sự vật, hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội". Theo Edgar
Morin, TT là khái niệm rộng, bao quát nhiều trình độ. TT vừa là HĐ vừa là
sản phẩm của HĐ ấy [26, tr. 380]. Theo M. Crugliăc, TT và TD gắn bó với


24
nhau như sản phẩm đi đôi với một quá trình. Nhờ TD mà có thể chuyển được
từ những TT sơ đẳng đầu tiên sang những TT sâu sắc hơn [1, tr. 65].
Như vậy, khi có con người thì đồng thời xuất hiện TT, nó là kết quả của
quá trình con người nhận thức thực tại khách quan đã được kiểm nghiệm qua
thực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quan trong ý thức con người
và TT là kết quả của quá trình TD tích cực. Muốn có TT, con người phải tiến
hành HĐ nhận thức. Sự phát triển của TT trong quá trình nhận thức được tiến
hành theo con đường chính xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu đem lại cho
chúng tính hệ thống và khái quát. Chẳng hạn, khi ta nói đến TT như: Tự
nhiên, xã hội, kinh tế, y học, giáo dục,… TT đó thường được mã hóa dưới
dạng văn bản, tài liệu,…; Khi nói đến con người có TT về lĩnh vực nào đó thì
đó là điều am hiểu của họ có được thông qua giáo dục hoặc là nhờ trải nghiệm

cuộc sống, chẳng hạn như: Kinh nghiệm của đồng bào dân tộc khi nhìn lên
bầu trời, dựa vào thời tiết thì biết được hiện tượng lũ ống, lũ quét, sạt lở
đất,...; HS có khả năng cảm nhận văn học tốt hoặc khả năng giải một bài toán
bằng nhiều cách. Đó là TT ẩn trong HS ấy. Có nhiều sự phân loại về TT,
trong luận án này chúng tôi quan tâm đến TT trong nhà trường, đặc biệt là TT
trong DH môn toán.
1.2.2. Các dạng tri thức trong dạy học môn Toán
* Theo Nguyễn Bá Kim [51, tr. 41] người ta thường phân biệt bốn
dạng TT phổ biến sau trong DH Toán: Tri thức sự vật (TTSV); tri thức
phương pháp (TTPP); tri thức chuẩn; tri thức giá trị. Có thể phân tích cụ thể
như sau:
- Tri thức sự vật: “Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái
niệm, một định lí, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học,
…” [51, tr. 42]. Chẳng hạn khái niệm vectơ, định lý hàm số cosin, lịch sử
hình thành và phát triển lượng giác, ứng dụng Toán học vào cuộc sống,…
Như vậy, TTSV là TT về toàn bộ những yếu tố và quá trình được sắp xếp theo
một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng. Các TTSV nói trên là


25
những TT cụ thể trong DH Toán phải được truyền thụ cho HS thông qua quá
trình HĐDH Toán.
- Tri thức phương pháp: TTPP liên hệ với hai loại PP khác nhau về
bản chất: những PP là những thuật giải và những PP có tính chất tìm tòi
[51, tr. 42]. Chẳng hạn như: giải PT bậc hai một ẩn, PP tổng quát của G.
Pôlya để giải bài tập toán,… Chúng tôi sẽ đề cập sâu về TTPP ở trong
mục 1.2.
- Tri thức chuẩn: là những TT liên quan đến những chuẩn mực nhất
định, những quy định giúp cho việc học tập và giao lưu TT. Chẳng hạn, như
quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn số cho các giá trị

gần đúng… hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giả thiết, kết luận, trình
bày chứng minh của bài toán…
- Tri thức giá trị: có nội dung là những mệnh đề đánh giá, bình
luận… khi xem xét một nội dung nào đó. Chẳng hạn, chúng ta có thể đánh
giá: "Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong Toán
học" hoặc " PP đặt ẩn phụ giải quyết hiệu quả một số bài toán";…
* Theo cấu trúc trí tuệ của N.A. Menchinxcaia, TT gồm hai thành
phần: cái được phản ánh và phương thức phản ánh [65, tr. 44]. Có thể vận
dụng cấu trúc này trong DH môn toán như sau:
- TT về đối tượng: TT về đối tượng phản ánh được coi là nguyên liệu,
phương tiện của HĐ trí tuệ. Như vậy, TT về đối tượng trong DH môn toán là
công cụ để tiến hành HĐ trí tuệ, HĐ nhận thức. TT đó như: định nghĩa theo
quy trình, định lý,...
- TT về các thủ thuật trí tuệ: Thủ thuật trí tuệ là một hệ thống các thao
tác, được hình thành để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu nhất định. Chẳng
hạn, việc vận dụng định nghĩa theo quy trình, vận dụng định lý,... để giải
một số dạng toán.
1.2.3. Mối quan hệ giữa tri thức và tư duy trong quá trình dạy học