Chủ đề giới hạn hàm số

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Tác giả: NGUYỄN THU HÀ (Huế)

LÊ BÁ BẢO (Huế)

GIỚI HẠN

CHUYÊN ĐỀ:

GIỚI HẠN HÀM SỐ

Chủ đề 2:
I- LÝ THUYẾT:
1. Các phép toán:

a) Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M . Khi đó:
x  x0

x  x0

* lim  f ( x)  g( x)   L  M
x x0
* lim  f ( x).g( x)   L.M
x x0
 f ( x)  L
* lim 

x x0 g( x)


 M

 M  0

b) Nếu f  x   0 và lim f  x   L , thì L  0 và lim
x  x0

x  x0

f  x  L.

(Dấu của f  x  được xét trên khoảng đang tìm giới hạn hạn, với x  x0 )
2. Một số kết quả:
lim x  x0 ;
x  x0

lim

x 

Tổng quát:

1
0
xk

1
0
x  x

lim

lim C  C  R ;
x  x0

;

;

lim x k   ; k  N * .

x 

lim f ( x )    lim

x x0

 k  2l
lim x k  
x 
  k  2l  1

x  x0

1
0
f ( x)

l  N *

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

3. Một vài quy tắc quy tắc về giới hạn vô cực:
* Quy tắc 1:
lim f  x 
x  x0

lim g  x 

lim f  x  .g  x 

















x  x0

L0

L0

x  x0

* Quy tắc 2:

lim f  x 

lim g  x 

L0



x x0

x x0

lim

Dấu của g  x 

x x0

f  x
g  x

Tuỳ ý

0

+




+







L0
0
L0



Lưu ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x  x0 , x  x0 , x   và x  .
(Dấu của f  x  được xét trên khoảng đang tìm giới hạn hạn, với x  x0 )
4. Định lí kẹp giữa:
Nếu lim h  x   lim g  x   L và h  x   f  x   g  x  với mọi x thuộc khoảng chứa x0 thì
x  x0

x  x0

lim f  x   L .
x  x0

5. Giới hạn một bên:
Điều kiện để hàm số tồn tại giới hạn tại x0:
lim f  x   L khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   L
x x0

x x0

x x0

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Dạng 1:

Dạng vô định

0
0

Bài tập 1: Tính giới hạn các hàm số sau:
1) lim

x 2

x 2  3x  10
3x 2  5x  2

4) lim
x1

x 1
1 x

2) lim
x 1

x4  1
x2  2x  3

xn  a n
5) lim
x a x  a

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

x3  3x 2  2 x
x 2
x2  x  6

3) lim

x n  nx  n  1

6) lim
x1
x 1
2

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Bài giải:

 x  2  x  5  lim x  5  1 .
x 2  3x  10
 lim
2
3x  5 x  2 x 2  x  2  3x  1 x2 3x  1

1) lim
x 2









 x  1 x  1 x 2  1
 x  1 x2  1
x4  1
2) lim 2
 lim
 lim
 1.
x 1 x  2 x  3
x1
x1
x3
 x  1 x  3





x x 2  3x  2
x  x  1 x  2 
x  x  1
x 3  3x 2  2 x
2
3) lim
 lim
 lim
 lim
 .
2
2

x 2
x 2
x 2
5
x x6
x x6
 x  2  x  3 x2 x  3

4) lim
x1

x 1
1 x

 lim





x 1

x1

  lim 

x 1

x1

1 x







x  1   2 .


Lưu ý: Đúng ra đề nên rõ ràng hơn khi thay bởi lim
x 1

x 1
1 x

, nhưng trong một lân cận với x0  1 thì vẫn

đảm bảo x  0 .



 x  a  xn1  axn2  a2 xn3  ...  an 2 x  an1
x n  an
 lim
5) lim
x a x  a
x a
xa







 lim x n1  axn 2  a 2 x n3  ...  an 2 x  an1   n  2  an1 .
x a





xn  1  n  x  1
n  x  1
x n  nx  n  1
xn  1
6) lim
 lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
x 1





 lim 1  x  x 2  ...  xn1  n   n  1  n  1 .
x 1

Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
1) lim

x n  an  nan1  x  a 

x  a

x a

3

 x  h
7) lim

 x3

h

h 0

2

 1

3 
2) lim 


x 1 1  x
1  x3 

4) lim

x 2  2 x  15
x3

5) lim

7) lim

x 3  3x 2  9 x  2
x3  x  6

8) lim

x 3

3

6) lim
x 1

x 1
x  x  5  6

 n
1 
3) lim 

n
x 1 1  x
1  x 


x 2

x 2  2 x  15
x 5
x5
x 2  3x  4
x 4
x2  4x

x 2  5x  6
x3  4x2  4x
lim
10)
x 4 x 2  12 x  20
x 2
x2  x  6
Bài tập 2: Tính giới hạn các hàm số sau:
9) lim

1) lim

x 1

x 3  3x  2
x 1

n

2) lim
x0

1  x 1
x

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

3

3) lim
x6

x2 2
x6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
4) lim

3x  2  4x 2  x  2

x 2  3x  2

5) lim

7) lim

x 1
2
x  2x  3

8) lim

x 1

x1

x 1

3

x 1

x1 4

x 1

13) lim

2x  3x  1
x2  1

x0

3x  2  4 x 2  x  2
x 2  3x  2

9) lim

x 1

Chuyên đề: GIỚI HẠN

11) lim
x 2

14) lim
x0

6) lim
x 2

1  x  x2  x  1
x

x 3  3x  58
x2

10) lim

x0 3

x
x  1 1
3

x x2

12) lim

x 1

4x  1  3

x 1

x2  3  2

4  x2  2
9  x2  3

Bài tập 3: Tính giới hạn các hàm số sau:
2) lim

3x  2  3 4x 2  x  2
x 2  3x  2

x 1  x  4  3
x

4) lim

5  x3  3 x 2  7
x2  1

5) lim

3x  2  4 x 2  x  2
x 2  3x  2

6) lim

7) lim

3x  4  3 8  5x
x

8) lim

1) lim
x0

2 1 x  3 8  x
x

3) lim
x0

3
x 1

x0

Dạng 2:

x1

x1

3

x  7  5  x2
x 1

3

1  2x  1  7 x
x

x1

x0

Dạng vô định 0   ,    ,




Bài tập 1: Tính giới hạn các hàm số sau:



1) lim x5  3x  2
x 





2) lim x5  3x  2
x 



Hướng dẫn:

3 2 
1) lim x5  3x  2  lim x5 1  4  5 
x 
x
 x x 





 lim x 5  
 x 
Ta có: 

3 2

1 4  5
 xlim

   x x





 lim x 5  3x  2  

x
 1 0



3 2 
2) lim x5  3x  2  lim x5 1  4  5 
x 
x
 x x 





 lim x 5  
 x 
Ta có: 


3 2
1 4  5
 xlim

   x x





 lim x 5  3x  2   .

x
 1 0


Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Bài tập 2: Tính giới hạn các hàm số sau:
1) lim

x 



x 2  2x  1  x 2  6x  3



2) lim

x 



x 2  2x  1  x2  6x  3



Hướng dẫn:
1) lim

x 




2 1
6 3
x 2  2 x  1  x 2  6 x  3  lim x  1   2  1   2


x 
x x
x x





2 1
6 3
 lim x  1   2  1   2
x  
x x
x x



 (Do x  0)



 lim x  
 x 
Ta có: 

2 1
6 3
 1  2  1  2
 xlim
 

x x
x x


2) lim

x 



2

2

x  2x  1  x  6x  3



 lim

  2 x



x
 lim
x 

4x  2

 lim






2





x 2  2x  1  x 2  6 x  3  

 

 2 x  1  x 2  6x  3



x 2  2x  1  x2  6x  3
4x  2

 lim



2 1
6 3 

2 1
6 3
x  1  2  1  2 
x  1   2  1   2



x x
x x 
x x
x x


2
4
4
x
 lim

 2.
x 

2 1
6 3  2
  1  2  1  2 

x x
x x 

x 

x 





(Do x  0)

Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
20

x3  3x  1
1) lim
x  2  6 x 2  6 x3

4) lim x
x 



2) lim  x  x  x 
x  


x 2  1  x2  2





x  2x  1  x  6x  3 
10) lim  2x  1  4 x  4 x  3 
12) lim  x  2 x  x  x 

8) lim 
6) lim

x 

x 2  7 x  1  x 2  3x  2
2

2

x 

2

x 

3

3

2

x 

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

5)

x 
lim

3)

 2 x  3  3x  2 
lim
 2x  1
50

x 

n

 

x2  1  x  x2  1

30



n

xn

x 

 x  4 x  1  x  9x 
9) lim  x  4  x  7 x  2 
2

7) lim

2

x 

2

x 



11) lim  3x  3x  3x  3x 
x 


13) lim
x 

5



3



x3  x 2  3x  x  1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
14) lim

x 



x2  1  x

Chuyên đề: GIỚI HẠN



  x  a  x  b  x
17) lim  x  x  x  2 

15) lim

x 



16) lim  x  x  x  x  x  x 
x 



18) lim

x 



20) lim

x 

3



x3  2 x 2  x 2  2 x

x 

24) lim

x 







x  3  x 1

2x  5  2x  7

Dạng 3:

1

19) lim

x 

x 2  2x  2 x 2  x  x

22) lim x .

2

x 



21) lim

x 



x.





25) lim

x 



x  1  x 1



x  2  2 x 1  x

23) lim x.
x 





3

x2  4  x2  3
x3  6 x 2  x







Giới hạn một bên

Bài tập 1: Tính giới hạn các hàm số sau:
1) lim
x 2

x 2  3x  3
x2

2) lim
x 2

x3
x2  4

Hướng dẫn:





 lim x 2  3x  3  1  0
 x 2
x 2  3x  3

1) Ta có:  lim  x  2   0

 lim
  .
x 2
x2
x

2

 x  2  0 x  2
x3
x3
2) Biến đổi: 2
.

x  4  x  2  x  2 

x3 5
 0
 lim

x2 x  2
4
x3

Ta có:  lim  x  2   0  lim 2
 .
x2 x  4
 x2
 x  2  0 x  2


Bài tập tương tự: Tính giới hạn các hàm số sau:

1) lim
x  2

x 2  3x  3
x2  x  2

 1 x 
4) lim  x

x0 
x 


2) lim

x 2  3x  3
x2  x  2

5) lim

x2  x  2
x 1

x  2

x 1

3) lim

x 4

x 3
x4

6) lim
x 2

8  2x  2
x2

3x  1 khi x  1
Bài tập 2: Cho hàm số f  x    2
. Tìm lim f ( x) (nếu có).
x 1
 x  1 khi x  1

Hướng dẫn:
Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]



Chuyên đề: GIỚI HẠN



Ta có: lim f ( x)  lim x 2  1  2
x 1

x 1

và lim f ( x)  lim  3x  1  2
x 1

x 1

Do lim f ( x)  lim f ( x)  2  lim f ( x)  2
x 1

x1

x1

 x 2  5x  6
Bài tập 2: Cho hàm số f  x   
 mx  4

khi x  2
. Tìm m để hàm số có giới hạn tại x0  2.
khi x  2

Hướng dẫn:





Ta có: lim f ( x)  lim x 2  5x  6  0
x 2

x 2

và lim f ( x)  lim  mx  4   2m  4
x 2

x2

Để hàm số có giới hạn tại x0  2  lim f  x   lim f  x   0  2m  4  m  2 .
x 2

x2

Lúc đó: lim f  x   0 .
x 2

Nhận xét: Kỹ năng xác định giới hạn 1 bên và kết quả:
Điều kiện để hàm số tồn tại giới hạn tại x 0:

lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L
x x0

x x0

x x0

là cơ sở cho việc xử lí vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC mà sau này chúng ta được học!
Bài tập tương tự: Tính giới hạn các hàm số sau:
0
khi
x0
 2
1) f  x    x
khi 0  x  1 . Tìm lim f  x  ; lim f  x 
x 1
x0
 x 2  2 x  1 khi
x

1


1
2
 5 2x  3

2) f  x   6  5x
x  3







khi x  1
khi 1  x  3 . Tìm lim f  x  ; lim f  x  .
x 1
x 3
khi x  3

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Một số kỹ thuật đặc sắc để tính giới hạn:
KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Đặt vấn đề: Ta xét hai ví dụ sau:
3

Ví dụ 1: Tính giới hạn I  lim
x 1

x 1
.
x2  1
3

 x  1
x 1
 lim
Lời giải: I  lim
x 1
 x  1 x  1  x  

3

3

2

x 1

 lim
x 1

x 1

2

3

x 1
 x  1 x  1  3 x


 

2


 3 x  1


 lim
x1

3


x  1

1

 x  1 

3



x



2



 3 x  1




1
6

Như vậy, phương pháp được dung ở đây là lượng liên hợp bậc ba. Ta có các dạng lượng liên hợp
sau:
Biểu thức

Lượng liên hợp bậc hai

Lượng liên hợp bậc ba

AB

A B

A 2  AB  B2

A B

AB

A2  AB  B2

A B

A B

A B

A B

3

AB

3

AB

3

AB

3

AB

3

A3 B

3

A3 B

3

A3 B

3

A3 B








2

2

2

2

  AB   B 
A   AB   B 
A  B A B
A B A B
A   AB   B 
A   AB   B 
A

3

3

3

3

2

2

2

2

3

2

3

2

3

3

3

3

2

2

4

Ví dụ 2: Tính giới hạn I  lim
x 1

x 1
.
x2  1

Lời giải:









4
x 1 4 x 1 x 1
x 1
Cách 1: I  lim 2

 lim
x 1 x  1
x 1
 x  1 x  1 4 x  1 x  1
4



 lim
x 1



x 1

 x  1 x  1 

4



x 1



x 1

 lim
x 1

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO


1

 x  1 
8

4



x 1



x 1



1
6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Phân tích: Cách giải thứ nhất chấp nhận được nhưng không mang tính tổng quát vì nếu ta thay yêu cầu
4

5
x 1
x 1
lim
bởi
yêu
cầu
thì cách giải trên không khả thi!!!
2
x1 x  1
x1 x 2  1
Xét cách giải 2:

lim

4

x 1
x2  1

I  lim
x 1

Đặt t  4 x  x  t 4 . Ta cã: x  1  t  1
Lúc đó: I  lim
t 1

t 1
t 1
1
1
 lim
 lim 6 5 4 3 2

8
6
5
4
3
2
t

1
t

1
t 1
t  t  t  t  t  t 1 6
t  1 t  t  t  t  t  t  1





Tương tự: Tìm các giới hạn sau:
4

1) lim
x 1

2x  1  5 x  2
x 1

n

2) lim
x0

1 x 1
x

3) lim
x1

x 2  3x  1  5 x
1  x2

PHƯƠNG PHÁP GỌI SỐ HẠNG VẮNG
(Tham khảo THTT- Thầy Phạm Quốc Phong- Hà Tĩnh)

0
là làm xuất hiện nhân tử chung để:
0
-Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định.

Bản chất khử dạng vô định

-Hoặc là đưa giới hạn về các dạng cơ bản, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc
cách giải.
Trong các bài tập khó, trong các đề thi Đại Học, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng.
Để giải quyết bài toán, điều mấu chốt là khôi phục các hạng tử vắng đó như thế nào? Bài viết này, chúng tôi
xin giới thiệu đến bạn đọc 3 phương pháp để giải quyết vấn đề này.
Phương pháp 1 :

HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Xét ví dụ: Tìm: A  lim F( x) , với F( x ) 
x 1

5  x3  3 x 2  7
x2 1

 5  x 2  2 3 x2  7  2  1


Bài giải: A  lim 
2
2
x 1 
 6
x

1
x

1




**Trong lời giải trên, ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của F( x) . Có 3 câu hỏi đặt ra là:
1) Tại sao phải có số 2 .
2) Tại sao phải là số 2 .
3) Tìm số 2 như thế nào ?
Trả lời 3 câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại toán này:
+Trả lời câu hỏi 3: Để tìm số 2, ta đưa ra thuật toán gọi số hạng vắng.

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

5  x2  c 3 x2  7  c

x2  1
x2  1

Bước 1: c  R , ta có:

Bước 2: Trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x 2  1 cùng nhân tử với f1  x   5  x 2  c và

f2  x   3 x 2  7  c . Điều đó xãy ra khi chỉ khi c là nghiệm của hệ sau:

 c  6
 f1  1  0

  c  2  c  2 . Đáp số: c  2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2.


 f 2  1  0
c  2

Tổng quát: Giả sử F  x  

f  x
g  x

Bước 1: Phân tích F  x  

f1  x   c
g  x



f2  x   c

.

g x

Bước 2: Tìm c . Gọi x1 , x2 là nghiệm của g  x   0 , khi đó c là nghiệm của hệ:
 f1  x1   c  0


 f1  x2   c  0

 f2  x1   c  0
.

 f2  x2   c  0

Với c tìm được thì: lim
x  x0

f1 ( x)  c
f ( x)  c
; lim 2
giải quyết dễ dàng.
x  x0
g( x)
g( x)

Bài tập tự giải:

2 x 1  3 8  x
.( ĐHQG HN97)
x0
x

1. lim

x  2  3 20  x

2. lim

4

x 

3. lim

x 

4. lim
x0



3

x9 2

.

Hướng dẫn: Đặt x  y  7.



x3  3x 2  x 2  2 x . Hướng dẫn: Đặt x 

cos x  3 cos x
.
sin 2 x

1
.
y

Hướng dẫn: Đặt y  sin 2 x.

Phương pháp 2:

GỌI ĐA THỨC VẮNG
n

Bằng cách đặt ẩn phụ t  n 1  ax , dễ dàng chứng minh được:

x
Xét ví dụ 1: Tìm A  lim

2

 1998





x  x0

1  ax  1 a
 (*)
x
n

1  2 x  1998

x

x 0

Bài giải: Ta có: F  x   x 2  1998

7

lim



7

1  2x  1
x
x

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]



 A  lim x 2  1998
x 0



7

Chuyên đề: GIỚI HẠN

1  2x  1
3996
.
 lim x  
x

0
x
7

Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt P  x   x 2  1998 và tử thức làm xuất hiện dạng

n

1  ax  1
x

Đây là điểm mấu chốt của lời giải .
Tổng quát: Để tìm lim F  x  ta thêm bớt P(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng

x0

n

1  ax  1
, hạng tử vắng
x

ở đây là P  x  đã “xưng danh” trong biểu thức giới hạn. Nhân tử chung trong phương pháp này
không giản ước được. Khi tìm giới hạn thì lim P  x   Const .
x0

x4
x
1  4 1 x
2
3
Ví dụ 2: lim
.
x0 3
3
4
4  x  8  x  1 x
2
Bài giải: Gọi tử thức là T , mẫu thức là M ,ta có:
1 x 3 1

T  1 x 3 1
= 3 1

x4
x
1
2
3



x4
x
x
x
x
x
x
x
1   3 1 4 1  3 1 4 1  4 1  4 1 1 4 1 x 1
2
3
2
3
2
3
3
3



1  x 1  4 1

x 3
x  
x 
 1   1   4 1   1 
3 
2  
3 



4



1  x 1

T
1
1
1 1



 1
x0 x
1.2 2.3 3.4 4

Áp dụng công thức (*) ta có: lim



3
x
x
x  
x 
M  .2 1   3 1   4 1  x  3  1   1  2  3 1   1  

2
4
8
4  
8 




4



1 x 1 .

Áp dụng công thức (*) ta có:

M 3 2 1 5
.
 
 
x0 x
8 24 4 24

T
T
24
Và do đó: A  lim
.
 lim x 
x 0 M
x 0 M
5
x
Bài tập tự giải:
lim

F ( x)
với:
x 0 G( x)

Tìm lim

2

2

2

F( x)  1.2 1  2 tan x  2.3 1  3 tan x  ...  99.100 1  100 tan x  100 1  tan x

và G( x) 

3

4  tan x  3 8  tan x  4 1  tan x ( Hướng dẫn: Đặt y  tan x )
2

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Phương pháp 3: TÁCH BỘ PHẬN KÉP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA PHÂN THỨC CHỨA CĂN.
m

Muốn tìm giới hạn T  lim

f  x  n g  x 

 x  a

x a

(*) có dạng vô định

k

1  k  min m; n , ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức

0
( m , n, k  ),
0

h  x

 x  a

k

vào phân thức phải tìm giới

hạn.
m

f  x  n g  x

 x  a

m



k

m

f1  x   h  x    h  x 
k



h  x   n g1  x    h  x 

n

k

 x  a
 x  a
f  x
g  x


 x  a Q  x   x  a  Q  x 
Trong đó, Q  x  , Q  x  là biểu thức liên hợp của
f  x   h  x  và h  x   g  x  .
f  x
g x
Lúc đó: T  lim
có dạng xác định quen thuộc.
 lim
 x  a Q  x 
x  a Q x
1

1

k

k

f

f

m

g

1

x a

g

n

1

k

xa

f

k

g

Ví dụ 1: Tìm giới hạn: I  lim
x0

1  2 x  3 1  3x
.
x2

0
với mẫu là x 2 nên muốn khử thì ta phải phân tích ở tử có thừa số x 2 .
0
Như vậy, việc tìm “số hạng vắng” không khả thi!!!

Phân tích: Dạng vô định

Ta tìm đa thức vắng như sau:
1  2 x  f  x  3 1  3x  f  x 
1  2 x  3 1  3x


x2
x2
x2
2
1  2 x  f ( x) x g  x 
Yêu cầu
thì đa thức f  x  thỏa: f 2  x   1  2 x  Ax2 (sau khi nhân lượng

2
2

x
x
liên hợp), vậy chọn được A  1 . Kiểm tra phân thức sau thấy thỏa.

Lúc đó, lời giải như sau:

1  2 x  1  x    3 1  3x  1  x  
1  2 x  3 1  3x


I  lim
 lim
x0
x 0
x2
x2
3
1  2 x  1  x 
1  3x  1  x 
 lim
 lim
 I1  I 2
2
x0
x0
x
x2

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

12

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

* Tính I1  lim

x2

x0

 lim
x0

x 2  1  2x  1  x  



*Tính I 2  lim

1  3x  1  x 
x2

x 0

x0

2

1  2x

1  2 x  1  x 

x0

x0




x  3 1  3x




2



 1  x 

3

3


x 2  3 1  3x




3x 2  x3
2

2

1

 lim

 lim

  1  x 

x 2  1  2 x  1  x 



x 0

x2

3

 lim


 lim

1  2 x  1  x 

Chuyên đề: GIỚI HẠN


1  3x  1  x  

2

1
2



3

1  3x

  1  x 

2

  1  x 

 lim
x 0

3

3

2
1  3x  1  x  


3  x



3

2

1  3x

  1  x

3

1  3x  1  x 

2

 1 .

3
.
2
Ví dụ 1: Tìm giới hạn:

Vậy I  I1  I 2 

8 x3  x 2  6 x  9  3 9 x 2  27 x  27
T  lim
.
x0
x3
Bài giải: Đặt f  x   8x3  x 2  6x  9  8x3   x  3 

2

3

g  x   9 x 2  27 x  27  x 3   x  3 . Ở đây h  x   x  3.

Viết lại:
 f  x    x  3  x  3  3 g  x  
 (1)
T  lim 

x0 

x3
x3



Ta có: T1  lim
x0

T2  lim
x 0

= lim
x0

f ( x)   x  3 
x

3

 x  3 

 lim
x0

3

g  x

x3

8x3
x 3  f  x    x  3 



4
(2)

3

3

 lim
x 0

x3

 x  3  g  x 
 x  3    x  3  g  x  

2

1
2

 x  3   x  3 3 g  x   3 g 2  x 

Từ (1), (2) và (3) suy ra: T 



3



1
27

3

g 2  x  


(3)

4 1 37
.


3 27 27

LƯU Ý: + Biểu thức h  x  được xác định từ các biểu thức f  x  , g  x  được gọi là bộ phận kép
trong bài toán tìm giới hạn dạng (*).
Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

13

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

+ Một vài số hạng của bộ phận kép h  x  có thể bị ẩn trong f1  x  , g1  x  ta phải tìm
chúng để xác định chính xác biểu thức h  x  .
Ví dụ 2: Tìm giới hạn:
cos 2 x  3 1  3x 3 cos 3x  3 cos x  ln(1  x)4


2
4
T  lim
x0
x
Bài giải: Đặt f  x  

g( x) 
Viết lại: T  lim

3
cos 2x  3 1  3x
1  3x  1
 cos2 x 
2
2

cos 3x  3 cos x  ln(1  x)4
 cos3 x  ln 1  x . Ở đây h  x   cos x .
4
f x  3 g x
x

x0

f  x   cos x

Ta có: T1  lim

x

x0

3

 lim
x0

T2  lim

x0

 lim
x0

f  x   cos2 x
x  f  x   cos x 



3

 lim
x0

1  3x  1

2 x  f  x   cos x 




1  3x  1
1
1
.

(5)
x
2  f  x   cos x  4



cos x  3 g  x 
x

x 0

 lim

 f  x   cos x cos x  3 g  x  
 (4)
 lim 

x 0 

x
x



ln 1  x 
x

 lim
x 0

cos 2 x  g  x 
2


x cos2 x  cos x. 3 g  x   3 g  x  



1

.

cos x  cos x. g  x   g  x 
2

Từ (4), (5) và (6) suy ra T 

3

2

3



1
3

(6)

7
.
12

Ví dụ 3: Tìm giới hạn: T  lim
x0

cos 2 x  2 x  4 1  x 2  4 x
.
x2
2

Bài giải: Đặt f  x   cos2x  2 x  1  x   x 2  2 sin 2 x
2

Hay f  x   1  x    x 2  2 sin 2 x
4

g  x   1  2 x 2  4 x  1  x   x 4  4 x3  6 x 2  1  1  2 x 2 .

Hay:

1  x 

4





 g  x   1  2 x 2  4 x  x 4  4 x 3  6 x 2  1  1  2 x 2 . Ở đây: h  x   1  x .

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

 f  x   1  x  1  x   4 g  x  
 (7)
T  lim 

x0 

x2
x2



Viết lại:

f  x   1  x 

Ta có: T1  lim

x2

x0

 lim
x 0

f  x   1  x 

2

x 2 [ f  x   1  x ]

 lim
x0

 x 2  2 sin 2 x
x2



f  x 1  x



2

 sin x 
1  2 

 x   3
 lim
x0
2
f  x 1  x

T2  lim

1  x  

4

g  x

x2

x 0

(8)

 lim
x0

x 4  4 x3  6x 2  1  1  2 x 2
3
3
2


x 2 1  x   1  x  . 4 g  x   1  x  . g  x   4 g  x  



4

 lim
x0

3

2

4

4

3

4



 1  2x2

x2  4x  6  
 x2


 lim
x0

x2

1  x   g  x 

1  x   1  x  . g  x   1  x  . g  x  





2

1  x   1  x  . 4 g  x   1  x  . g  x   4 g  x 

3



3

g  x 


5
4

(9)

3 5
1
Từ (7), (8) và (9) suy ra: T     
2 4
4
Bài tập tự giải:

1. lim
x 0

1  2x  3 1  3x
(ĐH Thuỷ Lợi 2001)
x2

1  4 x  3 1  12 x
2. lim
x0
x2

3  2x  x 2  2 cos 2 x  4 2  4 x  x3  1  2 x2
3. lim
x 0
x2
4. lim
x 0

5. lim
x 0

1  52 x  x ln 1  x   3 1  3x
3x 2

x3

1  2x  1  x   1  3x  1  3x 
2

3

2

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
Ví dụ 1: Tính giới hạn lim

x 

Bài giải: lim

x 





x 2  7 x  1  x 2  3x  2


 7 1 
 3 2
x 2  7 x  1  x 2  3x  2  lim  x 2 1   2   x 2 1   2
x
 x x 
 x x





7 1
3 2
 lim x  1   2  1   2

x 
x x

x x




7 1
3 2
  lim x  1   2  1   2
 x 
x x
x x



 lim x  
 x
Ta có: 

7 1
3 2
 1  2  1  2
 xlim
 
x x
x x



Nên lim

x 


 (do x  0)




20



x 2  7 x  1  x 2  3x  2  
x 

Bài giải: lim

x 





x 2  7 x  1  x 2  3x  2





7 1

3 2
  lim  x  1   2  1   2
 x 
x x
x x



 lim x  
 x 
Ta có: 

7 1
3 2
  1  2  1  2
 xlim
 
x x
x x








 7 1 
 3 2
x 2  7 x  1  x 2  3x  2  lim  x 2 1   2   x 2 1   2

x

 x x 
 x x


7 1
3 2
 lim x  1   2  1   2

x 
x x
x x


x 



 





Ví dụ 2: Tính giới hạn lim

Nên lim





 


 (do x  0)




  2  0





x 2  7 x  1  x 2  3x  2  

Ví dụ 3: Tính giới hạn lim

x 



x 2  7 x  1  x 2  3x  2



Bài giải: Nhận xét giới hạn có dạng vô định “        ” khi x   nên ta tiến hành khử dạng

vô định bằng cách nhân lượng liên hợp.
Ta có: lim

x 

 lim

x 





x 2  7 x  1  x 2  3x  2  lim

4 x  1
x 2  7 x  1  x 2  3x  2

 lim

x 



x 

2

 

x2  7 x  1 

x 2  3x  2



2

x 2  7 x  1  x 2  3x  2


1
x  4  
x

 7 1 
 3 2 
x2 1   2   x 2 1   2 
 x x 
 x x 

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

 lim

x 


x




1
x  4  
x

7 1
3 2
1  2  1  2
x x
x x

Ví dụ 4: Tính giới hạn lim

x 



3

Chuyên đề: GIỚI HẠN

4 




 lim

x 

1
x

7 1
3 2
1  2  1  2
x x
x x

x3  2 x 2  x  x

 2.



Bài giải: Phân tích tương tự, tiến hành nhân lượng liên hợp bậc ba.
Ta có:
lim

x 



3

3



2

x  2 x  x  x  lim

x 




3

3

x3  2 x 2  x
2

x3  2 x 2  x

 x

3

3

 x

3

x3  2x2  x  x2


1
x 2  2  
x


2

 lim

x 

 lim

x 

2 x  x



3

3

2

x  2x  x



2

3

 lim

3

2

 x x  2x  x  x

2


1
x 2  2  
x


2 1
x  3 1   2


x x

2



 2 1  
  3 1   2   1
 x x  


x 



2

 3 2 1 
 2 1 
 3 x 1   2    x 3 x3 1   2   x2

 x x  
 x x 


2 

2

Ví dụ 5: Tính giới hạn lim

x

 lim

x


2 1
 3 1   2
x x


1
x

2


 2 1
  3 1   2
 x x



 1


2

 .
3



x  2  2 x 1  x .

Bài giải: Dùng kỹ thuật tách để đưa giới hạn cần tìm về các dạng toán quen thuộc.


 x  2  x  1   x 1  x 



  x  2    x 1  x 1    x  
3
 lim

 lim
lim

x 



x  2  2 x  1  x  lim 
x 
2

x 





x  2  x 1

2

2

2

x 1  x

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO





x 

17


1


  0.

x 1  x 
 x  2  x 1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

KỸ THUẬT: XÁC ĐỊNH GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- LÝ THUYẾT:
1) Các kết quả cần lưu ý:
* Giới hạn đặc biệt:

lim
x 0

sin x
1
x

* Mở rộng:

sin u( x)
1
u ( x ) 0
u( x)
lim

2) Nhắc lại các công thức thường dùng:
*CÔNG THỨC CỘNG

sin  a  b   sinacosb  cosasinb
sin  a  b   sinacosb  cosasinb
cos  a  b   cosacosb  sinasinb
cos  a  b   cosacosb  sinasinb

tana  tanb
1  tana.tanb
tana  tanb
tan  a  b  
1  tana.tanb
*CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
tan  a  b  

sin 2a  2sina.cosa

cos2a  cos2 a  sin 2 a
 2cos2 a  1  1  2sin 2 a

2tana
1  tan 2 a
*CÔNG THỨC NHÂN BA:
tan 2a 

*CÔNG THỨC TÍCH-TỔNG:

1
sin( a  b   sin  a  b  


2
1
sin a.sinb  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
cosa.cosb  cos  a  b   cos  a  b 
2
*CÔNG THỨC TỔNG-TÍCH:
sina.cosb 

ab
ab
cos
2
2
ab
ab
sina  sinb  2cos
sin
2
2
ab
ab
cosa  cosb  2cos
cos
2
2
ab
ab

cosa  cosb  2sin
sin
2
2
*CÔNG THỨC KHÁC:
sina  sinb  2sin

sin3a  3sina  4sin 3a



sina  cosa  2sin  a  
4


cos3a  4cos3 a  3cosa
*CÔNG THỨC TANG:



cosa  sina  2cos  a  
4


a
Đặt t  tan . Lúc đó:
2
2t
sina 
1 t2

1 t2
cosa 
1 t2
2t
tana 
1 t2

1  sin 2a   sina  cosa 

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

1  sin 2a   sina  cosa 
tana  cota 

2

2

2
sin 2a

cota  tana  2cot 2a

18

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1) lim
x0

sin 5x
.
x

Hướng dẫn: lim
x0

2) lim
x0

tan 2 x
.
3x

Hướng dẫn: lim
x0

3) lim
x0

sin 5x
sin 5x
 lim 5.

5
x 0
x
5x

tan 2x
sin 2 x
2
sin 2x 2
 lim
 lim
.

x  0 3x.cos2x
x  0 3cos2x
3x
2x
3

1  cos x
.
x2
2

x

x
2 sin
sin 


1  cos x
1
2  lim . 
2 1
Hướng dẫn: lim
 lim
2
2
x0
x 0
x0 2
2
x
x
 x 
 2 
2

sin 5x.sin 3x.sin x
.
45x3
sin 5x.sin 3x.sin x
sin 5x sin 3x sin x 1 1
Hướng dẫn: lim
 lim
.
.
. 
3
x0

x0
5x
3x
x 3 3
45x
sin x.sin 2x....sin nx
5) lim
x0
n! xn
tan x  sin x
6) lim
.
x0
sin 3 x
Hướng dẫn:
4) lim
x0

2

sin x
x

x
 sin x
sin 
2 sin 2

tan x  sin x
1


cos
x
1
1
1
2  lim . 
2
lim
 lim cos x 3
 lim
 lim
 7)
3
2
2
2
x0
x0
x  0 sin x
x 0 sin x
x 0 2
2
sin x
sin x
 x   sin x 
 2   x 


lim

x a

sin x  sin a
.
xa


xa
xa
xa 
2 cos
sin
sin

sin x  sin a
x

a
2
2  lim cos
2   cos a
 lim
.
Hướng dẫn: lim
x a
x a
xa
xa
xa
2  xa 




2

1  2x  1
x0
sin 2 x

8) lim

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

19

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
Hướng dẫn:

lim
x0

Chuyên đề: GIỚI HẠN

1  2x  1
2 x
1
1

 lim
 lim

x

0
x

0
sin 2 x
2
 sin 2 x 
1  2x  1 sin 2x
1  2x  1 

 2x 









1  cos3 x
x0
x sin x

10) lim



1  cos x  1  cos x  cos2 x
1  cos3 x
lim
 lim
x0
x 0
x sin x
x sin x

Hướng dẫn:



2

2 sin 2
 lim
x0

11) lim
x0


x
x
1  cos x  cos 2 x
sin 

2

2
2  . 1  cos x  cos x . 1  1
 lim 
x0
x sin x
2 2
 sin x 
 x 


 2 
 x 





sin ax  tan bx
( a  b  0)
( a  b) x

Hướng dẫn:
 lim
x0



lim

x0

sin ax  tan bx
 lim
x0
( a  b) x

sin bx
cos bx  lim sin ax cos bx  sin bx
x 0
( a  b) x
( a  b) x

sin ax 

 sin ax  a.cos bx
 sin bx  b
sin ax cos bx
sin bx
 lim
 lim 
.
 lim 

.
x  0 ( a  b) x
x0
x 0
( a  b) x
 ax  a  b

 bx  a  b

a
b

1
ab ab

sin 2 x  sin 2 a
x a
x2  a2
Hướng dẫn:
12) lim

lim
x a

 sin x  sin a  sin x  sin a   lim sin x  sin a . sin x  sin a
sin 2 x  sin 2 a
 lim
2
2
x a
x a
x a
xa
xa
 x  a  x  a 
cos

 lim
x a

xa
xa
.sin
2
2 . sin x  sin a  cos a.sin 2a
xa
xa
2a
2

13) lim 1  x  tan
x1

x
2

Hướng dẫn:
Đặt t  1  x . Lúc đó ta có:
lim 1  x  tan
x1

x
2

 lim t tan
t 0

 (1  t )
2

 t 
t
 lim t tan     lim t cot  
t 0
t

0
 2 2
 2

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

t
t
cos  
cos  
 2   lim 2.
2  2

 lim t
t 0
 t  t 0
t
sin  
sin  
2
2
t
2
cos ax  cos bx
14) lim
x0
x2
Hướng dẫn: lim
x0

cos  x  cos  x
 lim
x 0
x2

2 sin

 a  b  x sin  a  b  x
2

2

x2


 a  b  x   sin  a  b  x  2 2
sin

a b
2
2
 .
  a b

lim 
x

0
4
4
  a  b x   a  b x 




2

2

2

2

x3  8
x 2 tan( x  2)

15) lim

Hướng dẫn:









x 2  2 x  4 cos  x  2 
 x  2  x2  2x  4 cos  x  2 
x3  8
lim
 lim
 lim
 12
x 2 tan( x  2)
x 2
x2
sin( x  2)
 sin( x  2) 


  x  2  

1  cos x.cos 2 x.cos 3x
1  cos x
Hướng dẫn:

16) lim
x 0

1  cos x   cos x 1  cos 2x   cos x cos 2x 1  cos 3x 
1  cos x.cos 2 x.cos 3x
 lim
x0
x 0
1  cos x
1  cos x

lim

 1  lim

cos x 1  cos 2 x 

cos x cos 2 x 1  cos 3x 

1  cos x
3x
cos x cos 2 x.2 sin 2
cos x.2 sin 2 x
2
 1  lim
 lim

x 0
x0
x
x
2 sin 2
2 sin 2
2
2
x 0

1  cos x

 lim
x0

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

21

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN
2


3x 
 sin 2 

2
cos x cos 2 x. 

 sin x 
 3x 
cos x 

 x   1 lim
 2   1  4  1  46
 1  4 lim
2
2
x0
x

0
9
9 9

x

x
sin
sin




2
2



x
x




 2 
 2 
17) lim

sin  a  2 x   2 sin  a  x   sin a
x2

x0

Hướng dẫn:
sin  a  2x   sin a   2 sin  a  x 



lim
x0
x 0
x2
x2
2 sin  a  x  cos x  2 sin  a  x 
2 sin  a  x  cos x  1
2 sin  a  x  cos x  1

 lim
 lim
 lim
2
2
x0
x0
x0
x
x
x2
lim

sin  a  2 x   2 sin  a  x   sin a

2

2a  3x

x 
2 x
2 cos
.2 sin

sin  
2
2  lim   cos 2a  3x . 
2     cos a
 lim
x0

x 0 
x
2
x2

 

 2  


18) lim
x 


2

cos x
x


2

Hướng dẫn:

 
cos  t  
2
cos x
sin t



Đặt t  x  . Lúc đó ta có: lim
 lim
 lim
1

t

0
t

0

t
t
2
x 
2 x
2
cos ax  cos bx.cos cx
19) lim
x 0
x2
Hướng dẫn:

 cos ax  1   cos cx  1  cos cx 1  cos bx 
cos ax  cos bx.cos cx

lim
x0

x 0
x2
x2
cos cx 1  cos bx 
cos ax  1
1  cos cx
 lim

lim

lim
x0
x0
x 0
x2
x2
x2
ax
cx
bx
2 sin 2
2 sin 2
cos cx.2 sin 2
2  lim
2  lim
2
 lim
2
2
2

x0
x

0
x

0
x
x
x
lim

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

22

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
2

Chuyên đề: GIỚI HẠN

2

2


ax 


cx 

ax 
sin 
sin 
2  sin
2
2
2
2


a2 
c
b
cos
cx
2   lim . 
2   lim
2   b c a
 lim
.
.
x0 2
2
2
 ax  x0 2  cx  x0
 ax 
 2 

 2 
 2 
20) lim
x0

sin  a  x   sin  a  x 
tan  a  x   tan  a  x 

Hướng dẫn:
lim
x0

sin  a  x   sin  a  x 
tan  a  x   tan  a  x 

 lim
x0

 lim

 lim
x 0

2 cos a sin x
sin  a  x  sin  a  x 

cos  a  x  cos  a  x 

2cos a sin x cos  a  x  cos  a  x 
sin  a  x  cos  a  x   cos  a  x  sin  a  x 

2 cos a sin x cos  a  x  cos  a  x 

sin 2 x
cot x  cot c
21) lim
xc
xc
Hướng dẫn:
x0

 lim

cos a cos  a  x  cos  a  x 
cos x

x0

 cos 3 a

cos x cos c

cot x  cot c
cos x sin c  cos c sin x
lim
 lim sin x sin c  lim
x c
xc
x c
xc

xc
 x  c  sin x sin c
 lim
x c

sin  c  x 

 sin  c  x 

1
1
 lim 
.

 x  c  sin x sin c xc   c  x  sin x sin c  sin 2 c

2x  1  3 x 2  1
x0
sin x
Hướng dẫn:
22) lim

2x  1  3 x 2  1
lim
 lim
x0
x0
sin x
x0

x0

 

2x  1  1  1  3 x 2  1

2
sin x
x





2x  1  1

 lim
x 0



sin x

2x  1  1
1  3 x2  1
 lim
 lim
x 0
x 0
sin x

sin x
sin x

 lim

 lim



2x





 lim

2x  1  1

x
2
sin x  3 2

3 2
1

x

1


x

1


x 


cos( a  x)  cos( a  x)
x
Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

x0

x2
2


sin x 1  3 x 2  1  3 x 2  1 



1

23) lim
x0

23

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Hướng dẫn:
lim
x0

2 sin a sin x
 sin x 
cos( a  x)  cos( a  x)
 lim
 lim 
  2 sin a   2 sin a
x

0
x

0
x
x
 x 

sin x  tan x
x0
x3
Hướng dẫn:

24) lim

2

sin x
x

sin x 
sin 

sin
x
cos
x

1




1
sin x  tan x
sin
x
1
cos x  lim
2
lim
 lim
 lim 

  25)


3
3
3
x0
x0
x 0
x 0
2
x
x
x cos x
 x   x  2 cos x
 2 

sin x.cos x  sin x
x
sin
2
Hướng dẫn:
lim
x0

x
x
x
sin  2 cos cos x  2 cos 
2

2
2

sin x.cos x  sin x
x
x
lim
 lim
 lim  2 cos cos x  2 cos   0
x0
x

0
x

0
x
x
2
2

sin
sin
2
2

sin 2 2x  sin x.sin 4x
x0
x4
Hướng dẫn:

26) lim

lim
x0

sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x sin x 
2 sin 2 x sin x  cos x  cos 2x 
sin 2 2 x  sin x.sin 4 x
 lim
 lim
4
4
x0
x0
x
x
x4

4 sin 2 x sin x sin
 lim

x4

x0

27) lim
x0


3x

x
3x  
x
sin
sin   sin 


sin
2
x

sin
x

2
2  lim 6
2
2
 2 x  x   3x   x   6
x0


 
 

 2  2 

1  cos x
1  cos x

Hướng dẫn:

lim
x0

1  cos x
1  cos x

 lim
x 0

2 sin 2

1  cos x





1  cos x 1  cos x



 lim
x0

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

2 sin 2

24

x
2

x
1  cos x
2





CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

2


x
 sin 2 
 lim 

x0
 x  
x

 2   sin
2


x

 2

x

0

2



 1  cos x










28) lim tan 2 x.tan   x 

x

4

4
Hướng dẫn:



Đặt t 

4

 x. Lúc đó ta có:







lim tan 2x.tan   x   lim tan 2   t  .tan t  lim tan   2t  tan t

t

0
t

0
x
4


4 
2

4

cos 2t sin t
cos 2t 1
1
.
 lim
.

t

0
sin 2t cos t
2 cos t cos t 2
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
 lim cot 2t.tan t  lim
t 0

t 0

1  cos 5x.cos 7 x
x0
sin 2 11x

1) lim

4) lim

x0

sin x  sin 2 x

x
x 1  2 sin 2 
2


2) lim

1  1  sin 3x

x0

1  cos x



sin   x 
6

3) lim
 1  2 sin x
x

3
x

6) lim

x  3  2x
tan( x  1)

9) lim

5) lim  x  2  sin
x 

7) lim

1  tan x  1  sin x
x3

8) lim

10) lim

cos 3x  cos 5x.cos 7 x
x2

11) lim

sin x  cos x
  4x

 1
1 
14) lim 


x 0 sin x
tan x 


1
cos x  tan x

17) lim

x0

x0

13) lim
x 


4

16) lim
x



2

x 1

x



4

x0

6

2  2 cos x


sin  x  
4


tan x  sin x
x.tan x.sin x

Giáo viên: NGUYỄN THU HÀ_LÊ BÁ BẢO

25

1  x 2  cos x
x2

x0

1  cos ax
x 0
x2

12) lim

sin 5x
tan 7 x

15) lim

2 sin x  1
2 cos2 x  1

x0

x



4

18) lim
x c

tan x  tan c
xc

CLB Giáo viên trẻ TP Huế