de thi HSG TOAN 13+14 (1)

SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GIÁO DỤC LÂM HÀ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN:TỐN LỚP 9
NĂM HỌC:2013-2014
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm).Phân tích đa thức 4 x 2 − 4 x − 3 thành nhân tử .
Câu 2: (1,25 điểm).Thu gọn căn thức M = 4 − 7 − 4 + 7
Câu 3: (1,25 điểm).Cho số nguyên tố p lớn hơn 3 .Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?
Câu 4: (1,25 điểm).Cho hàm số y = f(x) = (3m-m2-3)x+ m 2 + 2013 (1).Hàm số (1) đồng biến
hay nghịch biến trên R?Vì Sao?
Câu 5: (1,5 điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A biết ABBC = 9 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HB và HC.
Câu 6: (1,25 điểm).Chứng minh C= 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 22011 chia hết cho 15
Câu 7: (1,5 điểm).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức N =
Câu 8: (1,5 điểm).Tìm các số thực x,y,z thỏa

x + y −1 + z − 2 =

8 x + 12
x2 + 4

1
( x + y + z)
2

Câu 9: (1,5 điểm).Cho tam giác ABC có ·ACB − ·ABC = 900 và AH là đường cao.Chứng minh
AH 2 = BH .CH
ab bc ca

+
+
≥ a+b+c
c
a
b
1 1 1
1
5
S<
Câu 11: (1,5 điểm).Cho S = 3 + 3 + 3 + ... +
3 .Chứng minh rằng
4
1 2 3
2013

Câu 10: (1,25 điểm).Cho a,b,c là 3 số thực dương.Chứng minh

Câu 12: (1,75 điểm).Cho tam giác MNP có diện tích là 60cm2,trên cạnh MN lấy điểm I sao
1
2

1
2

cho MI = IN . Trên cạnh MP lấy điểm K sao cho MK = KP .Gọi giao điểm của NK và PI là
O.Tính diện tích tứ giác MIOK.
Câu 13:(1,25 điểm).Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên có P(0);P(1) là các số lẻ chứng
minh rằng đa thức P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.
Câu 14:(1,75 điểm).Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3cm.Trên các cạnh BC,CA,AB

·
lần lượt lấy các điểm I,J,K sao cho K khác A,B và IKJ
= 600 .Tìm giá trị lớn nhất của tích
AJ.BI.
Hết
Họ và tên thí sinh:...................................................................Số báo danh:

Giám thị 1

Giám thị 2:


SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GIÁO DỤC LÂM HÀ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN:TỐN LỚP 9
NĂM HỌC:2013-2014
Thời gian 150 phút

Câu 1: (1,5 điểm).Phân tích đa thức 4 x 2 − 4 x − 3 thành nhân tử .
Tách được 4 x 2 − 4 x − 3 = (4 x 2 − 4 x + 1) − 4

(0.5đ)

= (2x-1)2 - 22

(0.5đ)

= (2x+1)(2x-3)

(0.5đ)

Câu 2: (1,25 điểm).Thu gọn căn thức M = 4 − 7 − 4 + 7
- Tính được M 2 = 2

(0.75đ)

- Chỉ được M<0

(0.25đ)

- Suy ra

(0.25đ)

M =− 2

Câu 3: (1,25 điểm).Cho số nguyên tố p lớn hơn 3 .Hỏi p 2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?
-Vì p là số nguyên tố >3.Nên p khơng chia hết cho 3.Do đó p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k là số
nguyên dương)

(0.25 đ)

-Nếu p=3k+1 ⇒ p 2 + 2003 = 9k 2 + 6k + 2004M3 ⇒ p 2 + 2003 là hợp số (0.5 đ)
-Nếu p=3k+2 ⇒ p 2 + 2003 = 9k 2 + 12k + 2007 M3 ⇒ p 2 + 2003 là hợp số
Vậy p2 + 2003 là hợp số (0.5 đ)
Câu 4: (1,25 điểm).Cho hàm số y = f(x) = (3m-m2-3)x+ m 2 + 2013 (1).Hàm số (1) đồng biến
hay nghịch biến trên R?Vì Sao?
2

3 3

-Viết được 3m-m -3= -  m − ÷ − < 0
2 4


(1đ)

-Do đó hàm số nghịch biến trên R

(0.25 đ)

2

Câu 5: (1,5 điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB= 9 cm. Tính HB;HC.
-

Từ AB
-

Đặt HB=x. ⇒ HC=9-x ⇒ AH 2 = HB.HC ⇔ x(9-x)=20

-

Đưa được về x 2 − 9 x + 20 = 0

(0.25 đ)

-

Tìm được x = 4 hoặc x = 5

(0.25 đ)

-

Chọn x= 4

(0.25 đ)

A

(0.5 đ)
B

H

C


Câu 6: (1,25 điểm).Chứng minh C= 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 22011 chia hết cho 15
C= 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 22011
C= (20 + 21 + 2 2 + 23 ) + (2 4 + 25 + 26 + 27 ) + ... + (22008 + 2 2009 + 2 2010 + 2 2011 ) (0.5đ)
C= (20 + 21 + 2 2 + 23 ) + 2 4 (20 + 21 + 2 2 + 23 ) + ... + 22008 (20 + 21 + 2 2 + 23 )

C =15+15.24+…+15.22008 chia hết cho 15

(0.25 đ)

Câu 7: (1,5 điểm).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của N =
-Biến đổi để có được N= −1 +

( x + 4)

(0.5 đ)

≥ −1

x2 + 4

4 ( x − 1)
x2 + 4

(0.25 đ)

2

(0.5 đ)

≤4

- Kết luận giá trị lớn nhất của N là 4 khi x = 1
Câu 8: (1,5 điểm).Tìm các số thực x,y,z thỏa

(0.25 đ)
x + y −1 + z − 2 =

- Điều kiện x ≥ 0; y ≥ 1; z ≥ 2
- Đưa về được

(

) (
2

x −1 +

8 x + 12
x2 + 4

2

- Kết luận giá trị nhỏ nhất của N là -1 khi x = - 4
-Biến đổi để có được N= 4 −

(0.5 đ)

1
( x + y + z)
2

(0.25 đ)

) (
2

y −1 −1 +

)

2

z − 2 −1 = 0

-Tìm được x=1;y=2;z=3

(0.75 đ)
(0.5 đ)

Câu 9: (1,5 điểm).Cho tam giác ABC có ·ACB − ·ABC = 900 và AH là đường cao.Chứng minh
AH 2 = BH .CH
A

- Từ giả thiết ta có ·ACB = 900 + ·ABC (1)
µ + CAH
·
·
- Lí luận để có ·ACB = H
(2)
= 900 + CAH
·
- Từ (1) và (2) ta có ·ABC = CAH

(0.25đ)

(0.25đ)

B

- Suy ra tam giác AHB và tam giác CHA đồng dạng
-Do đó

AH HB
=
⇔ AH 2 = HB.HC
CH HA

(0.5đ)

(0.5đ)

Câu 10: (1,25 điểm).Cho a,b,c là 3 số thực dương.Chứng minh
-Vì a,b,c dương nên

ab bc ca
; ;
dương
c a b

(0.25 đ)

ab bc ca
+
+
≥ a+b+c
c
a

b

C

H


- Áp dụng bất đẳng thức CơSi ta có

;

ab ca
+
≥ 2a (3)
c
b

bc ca
ab bc
ab bc
≥ 2c (2)
+
≥2
. =2b (1). Tương tự ta có +
a
b
c
a
c a

(0.75 đ). (Mỗi ý đúng được 0.25 đ)

-Cộng vế với vế của (1);(2);(3) ta được
Câu 11: (1,5 điểm).Cho S =
- Ta có

ab bc ca
+
+
≥ a+b+c
c
a
b

(0.25 đ)

1 1 1
1
5
+ 3 + 3 + ... +
S<
3
3 .Chứng minh rằng
4
1 2 3
2013

1
1
1

1
1 1
1 
=
<
=
= 
−
với k >2 và k ∈ Z (0.25đ)
3
2
2
k
k .k
k (k − 1) (k − 1)k (k + 1) 2  (k − 1)k k (k + 1) 

- Áp dụng với k lần lượt bằng 2;3;4;5...;2013 ta có S<
1 1
1
1
1
1
1
1

1+ 
−
+
−
+

+ ... +
−
÷
2  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4
2012.2013 2013.2014 
11

1



S<1+  −
÷
2  2 2013.2014 
5
4

1
1
2 2013.2014

S< − .

(0.75đ)

(0.25đ)
(0.25đ)

Câu 12: (1,75 điểm).Cho tam giác MNP có diện tích là 60cm2,trên cạnh MN lấy điểm I sao
1

2

1
2

cho MI = IN . Trên cạnh MP lấy điểm K sao cho MK = KP .Gọi giao điểm của NK và PI là
O.Tính diện tích tứ giác MIOK.

M

- Đặt S MIO = x; S MKO = y .Ta có S NIO = 2 x; S PKO = 2 y (0.25đ)
1
-Ta có S MNK = 3x + y = S MNP (1)
3
S MIP

1
= x + 3 y = S MNP (2)
3
2
3

-Từ (1) và (2) ta có 4x+4y= S MNP

I

x
2x

(0.5đ)

y

K

O

2y

N

(0.5đ)
(0.25đ)

1
6

2
-Do đó S MIOK = x + y = S MNP = 10cm (0.25đ)

Câu 13:(1,25 điểm).Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên có P(0);P(1) là các số lẻ .Chứng
minh rằng đa thức P(x) khơng thể có nghiệm là số nguyên.
-Giả sử đa thức P(x) có nghiệm nguyên là a ta có P(x) Mx-a.Do đó P(x) =(x-a).G(x) (trong đó
G(x) là đa thức có hệ số nguyên)

P


-Ta có P(0) = -a.G(0) là số lẻ ⇒ a là số lẻ (*) (0.5 đ)
-Ta có P(1) = (1-a).G(1) là số lẻ ⇒ 1-a là số lẻ ⇒ a là số chẵn mâu thuẫn với (*)

(0.5 đ)

-Vậy đa thức P(x) khơng thể có nghiệm ngun (0.25 đ)
Câu 14:(1,75 điểm).Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3cm.Trên các cạnh BC,CA,AB
·
lần lượt lấy các điểm I,J,K sao cho K khác A,B và IKJ
= 600 .Tìm giá trị lớn nhất của tích
C

AJ.BI.
·
µ − BIK
·
·
(1)
BKI
= 1800 − B
= 1200 − BIK

J

·
·
BKI
= 1800 − IKJ
− ·AKJ = 1200 − ·AKJ (2)

I

·
- Từ (1);(2) ⇒ BIK
= ·AKJ

- Ta có tam giác BIK đồng dạng với tam giác AKJ (gg) (0.5đ)

B

2

BI
BK
 AK + BK 
=
⇔ BI . AJ = AK .BK ≤ 
- Suy ra
÷ (0.75đ)
AK AJ
2



-Từ đó BI.AJ ≤

AB 2 9
= (0.25đ)
4
4

-Vậy BI.AJ đạt giá trị lớn nhất là

9
⇔ AK=BK ⇔ K là trung điểm AB (0.25đ)
4

K

A