Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

i

Y BAN NHÂN DÂN TP. H CHÍ MINH
TR

NGă

IăH CăSÀI GÒN

V ăTH ăPH
NGăDUNG
BÙI KIM TÙNG

XỂYăD NGăH ăTH NG BÀIăT Pă OăHÀMăVÀă
NGăD NG NH MăPHÁTăTRI NăN NGăL Că
CHOăH CăSINH

KHÓAăLU NăT TăNGHI P
NGÀNH: S ăPH MăTOÁN
TRÌNHă

NG

IH

ă ÀOăT O:ă

IăH C

NG D N: TS. PH M S NAM

TP.ăH ăCHệăMINH, THÁNG 6 N Mă2016


ii
L IăCAMă OAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a chúng tôi, các s li u và k t
qu nghiên c u nêu trong lu n v n là trung th c, đ
d ng và ch a t ng đ

c các đ ng tác gi cho phép s

c công b trong b t kì m t công trình nào khác.

TP.H Chí Minh, ngày 02 tháng 5 n m 2016
TÁC GI LU N V N
V ăTh Ph

ngăDung

Bùi Kim Tùng


iii
L I C Mă N
Trong quá trình nghiên c u và th c hi n khóa lu n, chúng tôi đƣ c g ng n l c
h t s c mình.

hoàn thành t t khóa lu n nƠy, chúng tôi đƣ nh n đ

c s đ ng viên,

giúp đ t n tình c a Quý th y, cô, gia đình vƠ b n bè. Nhơn đơy chúng tôi xin đ

cg i

l i c m n chơn thƠnh nh t.
u tiên, chúng tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n Quý th y, cô trong Khoa
Toán –

ng d ng tr

chúng tôi có đ

ng

i h c SƠi Gòn đƣ t n tình gi ng d y su t b n n m h c đ

c n n t ng tri th c c ng nh kinh nghi m cu c s ng quý báu làm hành

trng cho chúng tôi sau này.
c bi t, chúng tôi xin chân thành c m n TS. Ph m S Nam. Th y lƠ ng

i đƣ

gi ng d y nh ng ki n th c n n t ng, t n tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa lu n m t
cách t t nh t. Ti p xúc v i th y chúng tôi h c h i đ

c cách th c làm vi c khoa h c, s

nhi t tình, tính c n th n trong nghiên c u và nh ng bài h c b ích trong cu c s ng.

Chúng tôi c ng xin đ

c g i l i c m n đ n gia đình vƠ b n bè đƣ luôn quan tơm

đ ng viên, khích l tinh th n chúng tôi trong su t th i gian th c hi n khóa lu n.
Cu i cùng, chúng tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n Quý th y, cô trong h i
đ ng ch m khóa lu n đƣ dƠnh th i gian quý báu đ xem xét và góp ý cho nh ng đi m còn
thi u sót giúp chúng tôi rút đ
c u sau này. R t mong nh n đ

c kinh nghi m cho khóa lu n c ng nh

quá trình nghiên

c s ch b o t n tình c a Quý th y, cô c ng nh s góp ý

chân thành c a các b n. Xin chân thành c m n.
TP. H Chí Minh, ngày 02 tháng 5 n m 2016
Tác gi khóa lu n
V Th Ph

ng Dung – Bùi Kim Tùng


1

M CăL CăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăTrang
Trangăph ăbìa ................................................................................................................. i
L iăcamăđoan ................................................................................................................. ii
L iăc mă n .................................................................................................................... iii

M căl c ........................................................................................................................... 1
Danhăm căcácăc măt ăvi tăt t....................................................................................... 3
M ă

U

I.ăLýădoăch năđ ătài ........................................................................................................ 4
II.ăM cătiêuănghiênăc u ................................................................................................ 5
III.ăNhi măv ănghiênăc u.............................................................................................. 5
IV.ă óngăgópăc aălu năv n ........................................................................................... 5
Ch

ngăI

KI NăTH CăCHUNG
1.ă nhăngh a,ăvaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm ........................................................... 6
1.1.

nh ngh a ....................................................................................................... 6

1.2. Ý ngh a ............................................................................................................ 7
1.3. Vai trò c a đ o hƠm trong ch

ng trình Toán ph thông ............................... 9

1.4. Vai trò c a đ o hƠm trong cu c s ng .............................................................. 9
2.ăCácăkháiăni măvàăphânălo iăc păđ ănh năth c ..................................................... 10
2.1. Khái ni m n ng l c ....................................................................................... 10
2.2. Các c p đ nh n th c .................................................................................... 11
3.ăTh cătr ngăvi căd yăh căgi iăbàiăt păđ oăhàmăvàă ngăd ngă ăcácătr

ngăTHPT

3.1. V vi c h c c a h c sinh ............................................................................... 12
3.2. V gi ng d y c a giáo viên ........................................................................... 13
3.3. Bi n pháp ....................................................................................................... 13


2

Ch
XỂYăD NGăH ăTH NGăBÀIăT Pă

ngăII
OăHÀMăVÀă NGăD NGăNH MăPHÁTă

TRI NăN NGăL CăCHOăH CăSINH.
1.ăBàiăt păliênăquanăđ năkháiăni măđ oăhàm ............................................................ 14
2.ăBàiăt pă ngăd ngăđ oăhàm ..................................................................................... 23
2.1.

ng d ng đ o hƠm đ xét tính đ n đi u hƠm s ........................................... 23

2.2.

ng d ng đ o hƠm đ tìm c c tr .................................................................. 32

2.3.

ng d ng đ o hƠm ch ng minh ph

2.4.

ng d ng đ o hƠm gi i ph

2.5.

ng d ng đ o hƠm gi i b t ph

ng trình ..................................................... 49

2.6.

ng d ng đ o hƠm gi i h ph

ng trình....................................................... 54

2.7.

ng d ng đ o hƠm tìm tham s đ ph
ph

ng trình có nghi m ............................ 39

ng trình ........................................................... 43

ng trình, b t ph

ng trình, h

ng trình có nghi m ................................................................................ 62

2.8.

ng d ng đ o hƠm ch ng minh b t đ ng th c ............................................. 80

2.9.

ng d ng đ o hƠm tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hƠm s ............ 99

2.10.

ng d ng đ o hƠm đ gi i bƠi t p có liên quan đ n th c ti n .................. 113

K TăLU N ................................................................................................................ 118
TÀIăLI UăTHAMăKH O ........................................................................................ 119


3

DANHăM CăCÁCăKệăHI U,ăCH ăCÁIăVI TăT T
 :V it tc .

 :T

ng đ

ng.

 : Thu c.

 : T n t i ít nh t.

 : Suy ra.

 : Vô cùng.

 ;  : Kho
 ; , ; 

 ; :

ng.

: N a kho ng.

o n.

VT: V trái.
VP: V ph i.
PT: Ph

ng trình.

THPT: Trung h c ph thông.
GV: Giáo viên.
HS: H c sinh.
SGK: Sách giáo khoa.
HD: H

ng d n.

PPDH: Ph

ng pháp d y h c.


4

M ă

U

Lýădoăch năđ ătài

I.

Môn Toán lƠ môn h c t o nhi u c h i giúp h c sinh (HS) phát tri n n ng l c
vƠ ph m ch t trí tu , rèn luy n cho HS t duy tr u t

ng, chính xác, h p logic, ph

ng

pháp khoa h c trong suy ngh , suy lu n, t đó rèn cho HS trí thông minh, sáng t o.
Trong ch

ng trình Gi i tích l p 12 – THPT, n i dung đ o hƠm vƠ ng d ng

gi vai trò ch đ o, chi m m t kh i l

ng ki n th c vƠ th i gian c a ch

ng trình môn

Toán, ki n th c v đ o hƠm chi m t tr ng khá l n trong các đ thi THPT qu c gia vƠ
đ thi tuy n sinh vƠo các tr

ng

i h c, Cao đ ng vƠ Trung c p chuyên nghi p. B i

v y, vi c s d ng đ o hƠm c a hƠm s đ gi i toán lƠ m t n i dung r t c n thi t vƠ h u
ích đ i v i các em HS l p 12.
o hƠm lƠ n i dung c b n trong ch
phép tính c b n c a gi i tích.

ng trình toán ph thông, lƠ m t trong hai

o hƠm lƠ công c giúp chúng ta nghiên c u các tính

ch t c a hƠm s nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, tính l i lõm, c c tr , các đi m t i h n
c a hƠm s . V n d ng tính ch t c a đ o hƠm còn giúp HS gi i đ
nh : gi i ph

ng trình, b t ph

c các bƠi toán

is

ng trình, b t đ ng th c…

NgoƠi ra, đ o hƠm còn ng d ng trong l nh v c khác nh : bƠi toán tính v n t c, gia t c
c a m t chuy n đ ng v t lý, bƠi toán c c tr trong kinh t , trong chuy n đ ng…
Th c t d y h c Toán

tr

ng THPT cho th y còn nhi u h c sinh g p khó kh n

khi s d ng ki n th c đ o hƠm đ gi i bƠi t p, m t trong nh ng nguyên nhơn chính lƠ
do các em không hi u sơu s c khái ni m vƠ nh ng ng d ng c a ki n th c nƠy.
Chính vì nh ng lý do nêu trên chúng tôi đƣ ch n đ tƠi đ nghiên c u:
“Xây d ng h th ng bài t p đ o hàm và ng d ng nh m phát tri n n ng l c
cho h c sinh”.


5

II.

M cătiêuănghiênăc u

M c tiêu c a khóa lu n lƠ phơn lo i các d ng bƠi t p v đ o hƠm vƠ xơy d ng h
th ng bƠi t p phù h p v i các c p đ nh n th c nh m giúp HS phát tri n n ng l c
trong h c Toán.
III.

Nhi măv ănghiênăc u

Khóa lu n nghiên c u vƠ trình bƠy các n i dung sau:
+ H th ng các ki n th c c b n v đ o hƠm.
+ Xơy d ng h th ng bƠi t p đ o hƠm vƠ ng d ng nh m phát tri n n ng l c cho HS.
IV.

óngăgópăc aălu năv n

V m t lý lu n, t ng h p các ki n th c v n ng l c, c p đ nh n th c vƠ phơn
tích ý ngh a c a ki n th c đ o hƠm trong ch

ng trình ph thông.

V m t th c ti n, khóa lu n lƠ tƠi li u tham kh o cho GV vƠ HS trong gi ng d y
vƠ h c t p v khái ni m đ o hƠm vƠ ng d ng.


6

Ch

ngăI

KI NăTH CăCHUNG
1.

nhăngh a, vaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm.
1.1.ă nhăngh a.
1.1.1.ă nhăngh aăđ oăhàmăt iăm tăđi m.
1.1.1.1. Khái ni m đ o hàm c a hàm s t i m t đi m.

Cho hƠm s y  f ( x) xác đ nh trên kho ng (a , b) và x0  (a , b).
N u t n t i gi i h n (h u h n)
lim
xx0

thì gi i h n đó đ

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

c g i lƠ đ o hƠm c a hƠm s y  f ( x) t i đi m x0 , ký hi u lƠ f '( x0 )

ho c y '( x0 ) , t c lƠ: f '( x0 )  lim
xx0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

1.1.1.2. Quy t c tính đ o hàm theo đ nh ngh a
Cách 1:Tính tr c ti p f '( x0 )  lim
xx0
Cách 2:

[9]

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

tính đ o hƠm c a hƠm s f t i đi m x0 , ta th c hi n 4 b

B

c 1: Cho x0 s gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 )

B

c 2: L p t s

B

c 3: Tính f '( x0 )  lim

B

c 4: K t lu n.

x
y
x x0

y
.
x

c:


7

1.1.2.ă nhăngh aăđ oăhàmăc păcao.
Gi s hƠm s y  f  x có đ o hƠm t i m i đi m x   a ; b  . Khi đó, h th c
y '  f '  x xác đ nh m t hƠm s m i trên kho ng (a;b). N u hƠm y '  f '  x l i có đ o

hƠm t i x thì ta g i đ o hƠm c a y ' lƠ đ o hƠm c p hai c a hƠm s y  f  x t i x và kí
hi u lƠ y '' ho c f ''( x).
Chú ý:
+

o hƠm c p 3 c a hƠm s y  f  x đ

c đ nh ngh a t

ng t vƠ kí hi u là y ''' ho c

f '''( x) ho c f 3  x .
+ Cho hƠm s y  f  x có đ o hƠm c p n  1 , kí hi u lƠ f  n1  x  n  , n  4  .
N u f  n1  x có đ o hƠm thì đ o hƠm c a nó đ

c g i lƠ đ o hƠm c p n c a f ( x) , kí

hi u lƠ y  ho c f  n  x .
n

f

n

 x   f  n1  x  '

1.2. Ý ngh a.
1.2.1.ăụăngh aăhìnhăh c.
1.2.1.1. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm:
Cho hƠm s y  f ( x) xác đ nh trên (a;b) và có đ o hƠm t i x0  (a , b). G i (C ) lƠ đ
th c a hƠm s đó.
o hƠm c a hƠm s y  f ( x) t i đi m x0 lƠ h s góc c a ti p tuy n M0T c a (C )
t i đi m M0  x0 ; f  x0   . [9]


8

1.2.1.2. Bài t p liên quan:
Lo i 1: Ph

ng trình ti p tuy n t i ti p đi m M  x0 ; y0  .

Lo i 2: Ph

ng trình ti p tuy n khi bi t h s góc.

Lo i 3: Ti p tuy n đi qua đi m A cho tr

c.

1.2.2.ăụăngh aăv tălý.
1.2.2.1.V n t c t c th i.
V n t c t c th i là đ o hàm c a v trí theo th i gian.
Xét chuy n đ ng th ng xác đ nh b i ph

ng trình s  s(t ) , v i s  s(t ) lƠ m t hƠm s có

đ o hƠm. V n t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t0 lƠ đ o hƠm c a hƠm s
s  s(t ) t i t0 : v  t0   s '  t0  .

1.2.2.2. C
N u đi n c

ng đ t c th i.

ng Q truy n trong dơy d n lƠ m t hƠm s c a th i gian: Q  Q  t  v i

Q  Q  t  lƠ m t hƠm s có đ o hàm thì c

ng đ t c th i c a dòng đi n t i th i đi m

t0 lƠ đ o hƠm c a hƠm s Q  Q  t  t i t0 : I  t0   Q '  t0  .

1.2.3.ăụăngh aăc ăh căc aăđ oăhàmăc păhai.
o hƠm c p hai f ''(t ) lƠ gia t c t c th i c a chuy n đ ng s  f (t ) t i th i đi m t.
Xét chuy n đ ng xác đ nh b i ph

ng trình s  f (t ) , trong đó s  s(t ) lƠ m t hƠm s có

đ o hƠm đ n c p hai. V n t c t c th i t i t c a chuy n đ ng lƠ v  t   f '  t  . L y s gia
t t i t thì v(t ) có s gia t

ng ng lƠ v . T s

v
đ

t

c g i lƠ gia t c trung bình c a

chuy n đ ng trong kho ng th i gian t . N u t n t i v '(t )  lim

t 0

v
  (t ), ta g i v '(t )   (t )
t

lƠ gia t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t. Vì v '(t )   (t ) nên  (t )  f ''(t ).


9

1.3.ăVaiătròăc aăđ oăhàmătrongăch
Trong ch
vai trò ch đ o.
c a hƠm s
Ph

ngătrìnhăToánăph ăthông.

ng trình Gi i tích THPT, đ o hƠm vƠ ng d ng c a đ o hƠm gi
o hƠm lƠ công c m nh giúp chúng ta nghiên c u nhi u tính ch t

nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, c c tr , l i lõm, đi m u n…

ng pháp đ o hƠm giúp chúng ta gi i nhi u bƠi toán đ i s nh : gi i ph

b t ph

ng trình,

ng trình, ch ng minh b t đ ng th c, tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.

1.4.ăVaiătròăc aăđ oăhàmătrongăcu căs ng.
Khái ni m đ o hƠm có nhi u ng d ng trong đi n t h c, đ ng l c h c, kinh t
h c, trƠn ch t l ng, ki u m u dơn s , lý thuy t s p hƠng,....Vì th , đ o hƠm lƠ m t công
c quan tr ng giúp gi i quy t nhi u bƠi toán trong nhi u l nh v c. Do v y đ o hƠm có
nhi u ng d ng r ng rƣi trong cu c s ng. Ch ng h n:
+ Nhi t đ thay đ i trong th i gian nh t đ nh.
+ V t t c c a m t v t th r i t do trong kho ng th i gian nh t đ nh.
+ Dòng đi n qua m ch trong th i gian nh t đ nh.
+ S bi n thiên c a th tr

ng ch ng khoán trong kho ng th i gian nh t đ nh.

+ S gia t ng dơn s trong kho ng th i gian nh t đ nh.
+ Nhi t đ gia t ng theo t tr ng trong bình gas.
+…
Sau đơy, chúng tôi đ a ra m t s ví d đi n hình:
 V t lý đi n t :
N u ta xem Q(t) lƠ m t hƠm s bi u di n đi n tích có trong 1 đo n dơy d n
đi m t, thì đ o hƠm Q'(t) s cho ta c

m t th i

ng đ dòng đi n ch y qua đo n dơy đó.

D th y, khi xét kho ng th i gian gi a hai th i đi m t1, t2 b t kì, l
qua ti t di n c a đo n dơy lƠ: Q(t 2)  Q(t1 )

ng đi n tích ch y


10

Khi đó, c

ng đ dòng đi n trung bình (t c lƠ, l

gian) trong kho ng th i gian nƠy đ
C

c đ nh ngh a nh sau: I tb 

ng đ dòng đi n t c th i I(t)

sau: I  lim
t1 t2

ng đi n tích trên m t đ n v th i
Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

m t th i đi m t1 b t kì có th đ

c tính b i gi i h n

Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

 Trong hoá h c:
Trong Hóa h c, chúng ta có các bƠi toán liên quan đ n khái ni m đ o hƠm đó lƠ: bƠi
toán v t c đ ph n ng.
 Các bƠi toán kinh t :
Qua s li u thông kê, ng

i ta nh n đ nh r ng, doanh thu c a công ty FPT sau t n m

tính t đ u n m 2010 lƠ: R(t )  5t 2  7t  90 t đ ng. Hƣy tính t c đ thay đ i ph n tr m
doanh thu c a công ty vƠo đ u n m 2016 ?
 Trong xơy d ng:
BƠi toán c c ti u c a Bác Th

Xơy ( ng d ng đ o hƠm tìm c c đ i, c c ti u)

B n mu n xơy d ng m t bình ch a n

c hình tr th tích 160 m3 . áy b ng bê tông giá

250.000 VND/m2 , thƠnh b ng tôn, giá 100.000 VND/m2 , b m t b ng nhôm không han

giá 150.000 VND/m2 . V y kích th

c c a bình ch a n

c nh th nƠo đ s ti n xơy

d ng nó lƠ ít nh t ?
Nh v y:

o hƠm cung c p cho chúng ta m t công c m nh đ nghiên c u nhi u v n

đ trong th c t . Do v y, trong d y h c khái ni m đ o hƠm thông qua các bƠi t p c n
giúp h c sinh th y rõ ng d ng nƠy.
2. Cácăkháiăni măvàăphânălo iăm căđ ănh năth c.
2.1.ăKháiăni măn ngăl c.
Các nhƠ tơm lí h c cho r ng n ng l c lƠ t ng h p các đ c đi m, thu c tính tơm lí
c a cá nhơn phù h p v i yêu c u đ c tr ng c a m t ho t đ ng nh t đ nh nh m đ m b o
cho ho t đ ng đó đ t hi u qu cao.


11

Ng

i ta chia n ng l c thƠnh n ng l c chung, c t lõi vƠ n ng l c chuyên môn,

trong đó n ng l c chung c t lõi lƠ n ng l c c b n c n thi t lƠm n n t ng đ phát tri n
n ng l c chuyên môn. N ng l c chuyên môn lƠ n ng l c đ c tr ng

m t l nh v c nh t

đ nh, ví d nh n ng l c toán h c, n ng l c ngôn ng [1].
Tuy nhiên, n ng l c chung c t lõi vƠ n ng l c chuyên môn không tách r i quan
h ch t ch v i nhau.

2.2.ăCácăm căđ ănh năth c.
2.2.1.ăNh năbi t.
Bao g m vi c ng

i h c có th nh l i các đi u đ c bi t ho c t ng quát, tr n

v n ho c m t ph n các quá trình, các d ng th c, c u trúc đƣ đ
ng

i h c c n nh l i đúng đi u đ

c h c.

c p đ nƠy

c h i đ n.

T khóa đánh giá: Trình bƠy, nh c l i, mô t , li t kê…
2.2.2.ăThôngăhi u.
c p đ nh n th c nƠy ng

ih cc nn mđ

c ý ngh a c a thông tin, th hi n

qua kh n ng di n gi i, suy di n, liên h .
T khóa đánh giá: Gi i thích, phơn bi t, khái quát hóa, cho ví d , so sánh…
2.2.3.ăV năd ng.
2.2.3.1. M c đ th p.
Ng

i h c có kh n ng áp d ng thông tin đƣ bi t vƠo tình hu ng, đi u ki n m i.

T khóa đánh giá: V n d ng, áp d ng, tính toán, ch ng minh, gi i thích, xơy d ng…
Ng

i h c có kh n ng chia các n i dung, các thông tin thƠnh nh ng ph n nh

đ có th ch ra các y u t , các m i liên h , các nguyên t c c u trúc c a chúng.
T khóa: Phơn tích, lý gi i, so sánh, l p bi u đ , phơn bi t, h th ng hóa…
2.2.3.2. M c đ cao
Ng

i h c có kh n ng đ a ra nh n đ nh, phán quy t c a b n thơn đ i v i m t

v n đ d a trên các chu n m c, các tiêu chí đƣ có.


12

T khóa: ánh giá, cho ý ki n, bình lu n, t ng h p, so sánh…
tđ

c c p đ nh n th c cao nh t nƠy ng

i h c có kh n ng t o ra cái m i,

xác l p thông tin, s v t m i trên c s nh ng thông tin, s v t đƣ có.
T khóa: Thi t l p, t ng h p, xơy d ng, thi t k , đ xu t….
D a vƠo các m c đ nh n th c, trong d y h c toán, nh m giúp h c sinh phát tri n n ng

l c, chúng tôi thi t k các bƠi t p theo các c p đ nh n th c trên [2].
3.ăTh cătr ngăvi căd yăh căgi iăbàiăt păđ oăhàmăvàă ngăd ngă ăcácătr

ngăTHPTă

3.1.ăV ăvi căh căc aăh căsinh:
M c dù đa s HS đƣ có ý th c v t m quan tr ng c a môn Toán, tuy nhiên ch t
l

ng h c t p môn Toán ch a th t s cao, v n ch a đ ng đ u. Ch t l

đ i n đ nh
ch t l

ng th

l p ch n vƠ l p nơng cao. Còn đa s các l p thu c ch

ng ch t

ng

ng trình chu n

ng r t th p. Theo suy ngh c a chúng tôi, có nh ng nguyên nhơn sau:

+ N ng l c c a h c sinh trong các l p không đ ng đ u, trong khi đó các bƠi t p trên
l p vƠ trong sách giáo khoa ch a th c s
+ HS th

phù h p v i các đ i t

ng h c sinh.

ng m c ph i nh ng sai sót r t c b n trong quá trình h c t p, ch ng h n lƠm

sai t các phép bi n đ i đ n gi n, cách gi i ph

ng trình, b t ph

ng trình c b n…

+ Có nhi u l h ng ki n th c vì v y HS d chán n n vƠ không thích h c Toán. Kh
n ng ti p thu c a HS còn h n ch vƠ ch a linh đ ng trong vi c x lý các tình hu ng
Toán h c đ n gi n nên k t qu h c t p còn r t h n ch .
+ a ph n HS ch a xác đ nh đúng đ ng c vƠ m c đích h c t p, không th hi n đ
th c ph n đ u, v
+ Ch a th y đ

n lên.
c ý ngh a c a vi c h c toán, kh n ng liên h đ n th c ti n r t h n ch ,

đ c bi t khi h c v đ o hƠm, HS ch a bi t đ
[2]

cý

c đ o hƠm đ

c ng d ng vƠo vi c gì.

13

3.2.ăV ăgi ngăd yăc aăgiáoăviên:
+ GV ch a có các bƠi t p phù h p đ giúp HS y u, kém hi u h n v khái ni m đ
h c. Các bƠi t p

c

m c đ nh n bi t, thông hi u r t ít khi xu t hi n trong các ví d

minh h a cho bƠi gi ng vƠ trong bƠi t p v nhƠ.
+ GV th

ng đ a ra cơu h i nêu v n đ nh ng ch a th c sát tình hu ng th c t .

+ Trong quá trình gi ng d y GV chú ý nhi u đ n vi c truy n th kh i l

ng ki n th c

vƠ ít chú tr ng đ n cách d n d t HS tìm hi u khám phá vƠ l nh h i ki n th c.
+ Trong quá trình gi ng d y th c t p t i các tr

ng THPT chúng tôi nh n th y nhi u

GV chu n b bƠi r t công phu, bên c nh đó v n còn m t s GV chu n b n i dung vƠ
bƠi gi ng ch a đúng v i tr ng tơm, ch a th t chu đáo. Trong qua trình gi ng d y ch a
kh i d y đ

c ni m say mê vƠ h ng thú h c t p. Ch a góp ph n tích c c vƠo vi c xác

l p đ ng c h c t p đúng đ n cho HS. [2]
3.3.ăBi năpháp:
Nh m kh c ph c đ

c h n ch trên, chúng tôi cho r ng, trong d y h c GV nên

thi t k bƠi t p minh h a trên l p vƠ bƠi t p v nhƠ theo các m c đ nh n th c: nh n
bi t, thông hi u, v n d ng th p, v n d ng cao. S d c n lƠm đi u nƠy b i đi u nƠy
giúp HS hi u rõ n i dung ki n th c. HS y u, kém cho đ n HS khá, gi i đ u hi u khái
ni m c n b n vƠ t t c đ i t

ng đ u có c h i đ h c t p trong m t ti t h c.


14

Ch
XỂYăD NGăH ăTH NGăBÀIăT Pă

ngăII
OăHÀMăVÀă NGăD NGăNH MăPHÁTă

TRI NăN NGăL CăCHOăH CăSINH
1.ăBàiăt păliênăquanăđ năkháiăni măđ oăhàm.
1.1.ăBàiăt pănh năbi t.
HoƠn thƠnh bƠi tr c nghi m v đ nh ngh a đ o hƠm qua các cơu h i sau đơy:
Câu 1: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x . Giá tr c a hƠm s t i x0  3 là?
A. f (3)  6

C. f (3)  3

B. f (3)  0

D. f (3)  6

áp án: B.
Câu 2: Cho hƠm s y  f ( x) . S gia c a đ i s t i x0 là?
A. x0  x0  x

C. y0  y0  y

B. x  x  x0

D. y  y  y0

áp án: B.
Câu 3: Cho hƠm s y  f ( x) . S gia hƠm s t i x0 là?
A. y  f  x0  x  f  x0 

C. y  f  x  x  f  x

B. y  f  x  f  x0 

D. y  f  x0  x  f  x0 

áp án: A.
Câu 4: Cho hƠm s y  f ( x) xác đ nh t i x0 .
A. f ( x0 )

f ( x)  f ( x0 )
B.
x  x0

o hƠm c a hƠm s y  f ( x) t i x0 là?
C. lim

f ( x)  f ( x0 )
(n u t n t i gi i h n).
x  x0

D. lim

f ( x)  f ( x0 )
(n u t n t i gi i h n)
x  x0

x0

x x0

áp án: D.


15

1.2.ăBàiăt păthôngăhi u.
Hoàn thành các câu sau b ng cách đi n vƠo ch tr ng.
Câu 1: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x . S gia c a đ i s t i x0  3 lƠ ……………?
áp án: x  x  3

Câu 2: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x . S gia c a hƠm s t i x0  3 lƠ ……………?
áp án: y  f (3  x)  f (3)  3x  2 x
Câu 3: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x xác đ nh t i x0  3 . Khi đó f '(3)  lim
x3

áp án: f '(3)  lim
x3

y
=......?
x

y
3x   2 x
 lim
 lim(3  x)  0
x3
x x3
x

Câu 4: Tính đ o hƠm c a hƠm s

f  x  x2  2 x  1 t i x0  1 b ng đ nh ngh a?

BƠi gi i: HƠm s f  x  x2  2 x  1 xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  1 . Ta có:
f (1)  0

x
 lim

2

...(1)...

 2 x  1  0

x1

x 1

( x  1)2
 lim( x  1)  0
x1
x1
x 1

 lim

V y ...(2)...  0 .
áp án: (1) : lim
x1

f ( x)  f (1)
;
x 1

Câu 5: Tính đ o hƠm c a hƠm s

(2): f '(1)

f  x  x2  x t i x0  0 b ng đ nh ngh a?

BƠi gi i: Gi s x lƠ …(1)… t i x0  0 . Ta có:
f (0)  0
y  ...(2)...

y
y
 ...(4)...
 ...(3)... ; lim

x

0
x
x

V y f '(0)  1.


16

áp án:
(1): s gia c a đ i s
2
(2) : f  0  x  f  0    x   x   0=x.(x  1)


x.(x  1)
 x  1

(3) :
x
(4) : lim  x  1  1
x0

1.3.ăBàiăt păv năd ng.
1.3.1. D ng toán 1:
Tínhăđ oăhàmăc aăhàmăs y  f ( x) t iăđi m x0 b ngăđ nhăngh a.
PH

NG PHÁP CHUNG

Ta th c hi n m t trong hai cách sau:
Cách 1: Th c hi n theo các b

c:

B

c 1: Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0 . Tính y  f  x0  x  f  x0  .

B

c 2: L p t s

B

c 3: Tìm lim

B

c 4: K t lu n.

y
x

y
x0 x

Cách 2: HƠm s y  f  x xác đ nh trong m t lơn c n c a x0 .
Ta có: f '( x0 )  lim
x x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

BƠi t p 1: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x  2 x2  4 x  1 t i x0  1.
HD:
Cách 1:


17

Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0  1 . Ta có:
f (1)  1
y  f 1  x  f 1   2 1  x  4 1  x  1  (1)  2  x  1  1  2  x


2

2

2

y 2  x

 2x
x
x
2

y
 lim  2x  0
x0 x
x0
lim

V y f '(1)  0.
Cách 2:
HƠm s f  x  2 x2  4 x  1 xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  1 . Ta có:
f (1)  1
2 x2  4 x  1  (1)

f ( x)  f (1)
2( x  1) 2
lim
= lim
= lim
 lim  2  x  1   0
x1

x1
x1
x1
x 1
x 1
x 1

V y f '(1)  0 .
BƠi t p 2: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x 

4x  7
t i x0  2.
3 x

HD:
Cách 1:
Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0  2 . Ta có:
f (2)  3
y  f  2  x  f  2  

y
1

x 5  x

y
 1  1
 lim 

x0 x

x0 5  x

 5
lim

1
5

V y f '(2)  .

4  2  x  7
15  4x
x
 (3) 
3
3   2  x
5  x
5  x


18

Cách 2:
HƠm s f  x 

4x  7
xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  2 . Ta có:
3 x

f (2)  3

4x  7
4 x  7  3(3  x)
 (3)
f ( x)  f (2)
3 x
lim
 lim 3  x
 lim
x2
x2
x2
x 2
x 2
x 2
x 2
1
1
= lim
 lim

x2 ( x  2)(3  x)
x2 3  x
5
1
5

V y f '(2)  .
BƠi t p 3: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s

f  x 

x2  x  1
t i x0  3.
x 1

HD:
Cách 1:
Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0  3 . Ta có:
f (3) 

13
4

 3  x   3  x  1  13  4  x  15x
f  3  x  f  3 
4
4x  16
 3  x  1
2

y 

2

y 4  x  15x

x x.(4x  16)
2

 4  x2  15x 

4x  15 15
y
lim
 lim 

  lim
x0 x
x0 x.(5x  20)

 x0 4x  16 16

V y f '(3) 

15
.
16

Cách 2:
HƠm s f  x 

x2  x  1
xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  3 . Ta có:
x 1


19

f (3) 

13

4

x2  x  1 13

2
f ( x)  f (3)

x
1
4  lim 4 x  9 x  9  lim 4 x  3  15
 lim
lim
x3
x3
x3 4  x  1 x  3 
x2 4( x  1)
x3
x3
16

V y f '(3) 

15
.
16

1.3.2. D ng toán 2:
 f1 ( x)
Choăhàmăs ă f ( x)  
 f2 ( x)

x  x0
x  x0

.

Tínhăđ oăhàmăho căxácăđ nhăgiáătr ăc aăthamăs ăđ ăhàmăs ăcó đ oăhàmăt iăđi m x0 .
PH

NG PHÁP CHUNG

Ta th c hi n theo các b

c sau:

B

c 1: Xét tính liên t c c a hƠm s t i đi m x0 .

B

c 2: Tính đ o hƠm bên trái: f '( x0 )  lim

B

c 3: Tính đ o hƠm bên ph i: f '( x0 )  lim

B

c 4: Nh n xét ho c gi i f '( x0 )  f '( x0 ) , t đó đ a ra k t lu n.

x x0

x x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

 x2  3x
BƠi t p 1: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x  
 x  1

x 1
x 1

t i x0  1.

HD:
f (1)  2
f '(1 )  lim
x1

 x  1  (2)
( x  1)
f ( x)  f (1)

 lim
 lim
 lim(
1)  1


x
x
x1
1
1
x 1
x 1
x 1

( x  1)( x  2)
f ( x)  f (1)
x2  3x  (2)
f '(1 )  lim
x  2)  1
 lim
 lim
 lim(
x1
x1
x1
x1
x 1
x 1
x 1



Vì f '(1 )  f '(1 )  1 nên hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1 và f '(1)  1 .


20

sin x

BƠi t p 2: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x  0
 tan x


x0
x  0 t i x0  0.
x0

HD:
f (0)  0
f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
sin x  0
sin x
 lim
 lim
1
x0
x0
x0

x
x

f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
tan x  0
tan x
 lim
 lim
1


x
x
0
0
x0
x
x

x0

x0

Nh n xét r ng f '(0 )  f '(0 )  1.
V y hƠm s

y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  0 và f '(0)  1.

 2 x2  7 x  3

BƠi t p 3: Cho hƠm s f  x   2 x  1
a


1
2.
1
x
2

x

1
2

Xác đ nh a đ hƠm s trên có đ o hƠm t i x0  . Tính đ o hƠm t i đi m đó.
HD:
1
f a
2

 2 x  1 x  3  lim x  3   5
2 x2  7 x  3
 lim


1
1

1
2x 1
2x 1
2
x
x
x

lim f ( x)  lim
x

1
2

2

2

2

1
2

hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  , tr
1

1
 

c h t hƠm s y  f ( x) ph i liên

5

t c t i đi m x0  , do đó: f    lim1 f ( x)  a  
2
2
2
x

2

HƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0 

5
1
1
và f '    lim1 f ( x)   .
2
2
 2  x 2


21

BƠi t p 4: Cho hƠm s

 x2
; x 1
y  f ( x)  
.



ax
b
;
x
1


Tìm a , b đ f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1.
HD:
f (1)  lim f ( x)  1
x1

lim f ( x)  a  b

x1

hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1 , tr

c h t hƠm s y  f ( x) ph i liên t c

t i đi m x0  1 , do đó: f (1)  lim f ( x)  lim f ( x)  a  b  1  b  1  a
x1

x1

f '(1 )  lim

 x  1 x  1  lim( x  1)  2
f ( x)  f (1)

x2  1
 lim
 lim
x1 x  1
x1
x1
x 1
x 1

f '(1 )  lim

f ( x)  f (1)
ax  b  1
ax  1  a  1
a( x  1)
 lim
 lim
 lim
a
x1
x1
x1
x 1
x 1
x 1
x 1

x1

x1

HƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1  f '(1 )  f ' 1   a  2
Thay a  2 vào b  1  a ta đ

c b  1

V y hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1 khi vƠ ch khi a  2, b  1.
1.3.3. D ng toán 3:
Tínhăđ oăhàmăc aăhàmăs y  f ( x) trênăkho ngă  a , b  b ngăđ nhăngh a.
PH

NG PHÁP CHUNG

Ta th c hi n theo các b

c sau:

B

c 1: Tính y  f  x  x  f  x .

B

c 2: L p t s

B

c 3: Tìm lim

B

c 4: K t lu n.

y
.
x

y
.
x0 x

L uăý: Trong phép tính nƠy đi m x coi nh c đ nh còn x thì ti n v 0.


22

BƠi t p 1: Tính đ o hƠm c a hƠm s y  f ( x)  x3 trên kho ng  ,   b ng đ nh ngh a.
HD:
V i m i x thu c kho ng  ,   , ta có:
y  f  x  x  f  x
  x  x  x3
3

2
 x 3x2  3xx   x 



y
2

 3x2  3x.x   x
x
y
2
 lim 3x2  3x.x   x   3x2

x0 x
x0 
lim

V y hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm trên kho ng  ,   và f '( x)  3x2 .
BƠi t p 2: Tính đ o hƠm c a hƠm s y  f ( x)  x3  5x2  2 x  3 trên kho ng  0,   b ng
đ nh ngh a.
HD:
V i m i x thu c kho ng  0,   , ta có:
y  f  x  x  f  x
3
2
  x  x  5  x  x  2  x  x  3   x3  5 x2  2 x  3


2
2
 x. 3 x  3 x.x   x  10 x  5x  2 



y
2
 3x2  3x.x   x  10 x  5x  2

x
lim

x0

y
2
 lim 3x2  3x.x   x  10 x  5x  2  3x2  10 x  2



x

0
x

V y hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm trên kho ng  0,   và f '( x)  3x2  10 x  2.