SKKN Toán 11

Phơng pháp tọa độ...hitech Page 1 6/24/2013
Bn cú th cha hiu bit (hoc cha kp hiu bit) v vecto (hỡnh phng)
Khụng sao! Chỳng ta s cựng nhau li t u bi ti liu ny.
A. Đặt vấn đề:
I. mở đầu:
Để giải các bài tập hình học không gian ở lớp 11, vẽ hình đúng
và đẹp là yêu cầu có tính bắt buộc của cấu trúc một bài giải; Tìm
ra lời giải cho bài toán phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn đ ợc một
hình vẽ hợp lý, dễ nhìn. Đáp ứng đ ợc yêu cầu này đòi hỏi học
sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản của môn hình học không
gian lớp 11; Thêm vào đó học sinh cũng cần nắm đ ợc các quy tắc
cơ sở và phải có một năng khiếu nhất định về hình họa. Nh ng đây
lại là một hạn chế còn phổ biến ở phần đông các em học sinh hiện
nay. Khả năng vẽ hình và sự t ởng tợng về hình khối không gian
của các em còn kém. Ph ơng pháp véc tơ và tọa độ một phần khắc
phục đợc các hạn chế trên đây. Hơn nữa, trình bày lời giải theo
phơng pháp này thờng theo một lợc đồ nhất định, đơn giản và dễ
nhớ. Tuy nhiên, chính điều này lại là một mặt hạn chế của ph ơng
pháp. Nghĩa là phơng pháp chỉ đợc sử dụng hữu hiệu trong
những dạng toán nhất định theo những dạng hình hình học cụ
thể . Bài viết này nhằm giới thiệu mặt u việt của nó; Giúp số đông
các em học sinh còn yếu về vẽ hình minh họa trong việc ôn tập và
ôn thi vàoĐại học, Cao đẳng. Phần lý thuyết và ví dụ minh họa
đợc trình bày theo hệ thống của sách giáo khoa hình học lớp 12,
phần bài tập tham khảo tác giả s u tầm từ các đề thi vào Đại học
và Cao đẳng hàng năm. Các bạn đồng nghiệp có thể lấy làm tài
liệu tham khảo.
Tác giả rất mong nhận đợc góp ý xây dựng của bạn đọc.
1
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 2 6/24/2013
II. Thực trạng vấn đề Đang đ ợc nghiên cứu

1. Thực trạng:
Trong chơng trình hình học phổ thông sách giáo khoa (SGK); Lớp 10 trình bày
về véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, lớp 11 là chơng trình hình học không gian
( kế tiếp và chi tiết của chơng trình lớp 9). Hình học giải tích lớp 12, phần hình
học không gian chủ yếu là các kiến thức cơ bản về phơng trình đờng thẳng,
mặt phẳng và mặt cầu. Phơng pháp tọa độ cho việc giải các bài toán hình học
không gian của lớp 11 đợc đặt ra chỉ dới dạng giới thiệu một vài bài tập đơn
giản, cha đủ để học sinh hình thành đợc kỹ năng giải toán theo phơng pháp
này. Vì vậy, cần phân phối thêm vào chơng trình chính khóa hoặc ngoại khóa
các buổi ôn tập chuyên đề này, nhằm trang bị thêm cho học sinh một phơng
pháp để giải một số bài toán hình không gian của lớp 11 trong các đề thi tuyển
Đại học và Cao đẳng nh đã nói ở trên. Mặt khác, phơng pháp này sử dụng các
phép toán giải tích để nghiên cứu hình học vừa là sự gắn kết giữa chơng trình
hình học hai lớp 11 và12 vừa giúp học sinh làm quen, tiếp cận dần với toán
học hiện đại ở các bậc học tiếp sau này
2. Biện pháp giải quyết và hiệu quả
Từ thực trạng trên, tôi đã cải tiến giờ dạy của mình bằng cách giới thiệu cho
học sinh một cách chuẩn mực về lý thuyết phơng pháp tọa độ. Thời điểm là
vào khoảng sau khi học xong khái niệm tích có hớng của hai véc tơ. Các bài
tập minh họa sẽ đợc cho rải vào các buổi ngoại khóa sau đó. Và đảm bảo yêu
cầu tăng dần về việc phát huy tính u việt của phơng pháp bằng cách thay đổi
về các dạng câu hỏi trong từng bài tập.
Tôi đã sử dụng phơng pháp này cho tất cả các lớp 12 do tôi dạy toán trong
nhiều khóa học liên tục. Nhận thấy, học sinh rất hứng thú trong việc tiếp nhận
phơng pháp và điều đáng nói là các em vận dụng rất tốt vào các bài giải, góp
một phần vào nâng cao kết quả điểm trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng
hàng năm. Khi thực hiện truyền thụ chuyên đề này cho học sinh tôi thực hiện
theo đúng các bớc nh đã nêu trong phần nội dung. Phần kiến thức phụ trơng
kèm theo có thể coi nh một chuyên đề tổng hợp ôn tập hình giải tích phần hình
học không gian.

b. nội dung:
2
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 3 6/24/2013

nội dung cơ bản:

1. Tóm tắt lý thuyết về tọa độ véc tơ trong không gian:
1.1. Véc tơ trong không gian
1.2. Tọa độ trong không gian
1.3. Tích có hớng của hai véc tơ

2. Một số ứng dụng của các phép toán tọa độ trong không gian

3. Giải một số bài toán bằng phơng pháp tọa độ
3.1. Sơ lợc về phơng pháp tọa độ
(Nhận dạng bài toán và Lợc đồ bài giải)
3.2. Các bài toán và hớng dẫn lời giải.

4. Bài tập tham khảo

phụ trơng
p.1. Tóm tắt lý thuyết về phơng trình đờng thẳng và mặt phẳng
p.2. Các dạng bài toán về phơng trình mặt phẳng và đờng thẳng
3
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 4 6/24/2013

1. tóm tắt lý thuyết
về tọa độ trong không gian

1.1. véc tơ trong
không gian
*Một số khái niệm và phép toán về véc tơ trong không gian đ ợc giữ
nguyên nh véc tơ trong mặt fẳng. Tuy vậy để giúp các em học sinh
trong việc ôn tập lại các kiến thức cũ, đồng thời tiếp thu kiến thức
mới một cách có hệ thống, các khái niệm đó vẫn đ ợc nhắc lại trong
phần lý thuyết này dới dạng tóm tắt
I. Các định nghĩa:
1. Định nghĩa véc tơ:

Đoạn thẳng AB, quy ớc chiều " từ A đến B " ta đợc một véc tơ AB, ký hiệu
AB
uuur


Véc tơ không: vecto_không là véc tơ dạng
AA
uuur
, ký hiệu
0
r

2. Phơng, hớng, độ dài véc tơ:

Phơng của
AB
uuur
là phơng (song song) của đờng thẳng AB

Hớng (chiều) của

AB
uuur
là hớng "từ A đến B", vectơ_ không quy ớc là cùng
chiều với mọi véc tơ

Độ dài của
AB
uuur
là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu
AB
uuur
3. Hai véc tơ bằng nhau: Nếu chúng có cùng hớng và cùng độ dài
4. Xác định véc tơ:
+ Với mỗi véc tơ
v
r
và một điểm A, tồn tại duy nhất điểm B sao cho
AB
uuur
=
v
r
+ - - - - -- - - - - - - , tồn tại vô số các cặp điểm (A, B) sao cho
AB
uuur
=
v
r
5. Phép cộng, trừ hai véc tơ: ( Quy tắc 3 điểm )

u
r
+
v
r
=
AB
uuur
+
BC AC
=
uuur uuur



u
r

v
r
=
AB
uuur



AC CB
=
uuur uuur

6. Phép nhân một số với một véc tơ:
k.
v
r
=
w
ur
; (
w
ur
cùng chiều
v
r
nếu k

0, ngợc chiều nếu k < 0 và
w k v.=
ur r
)
7. Tích vô hớng của hai véc tơ:
( )
u v u v cos u v. . . ,
=
r r r r r r
8. Diện tích tam giác:
( )
( )
2
2 2
ABC

1
S AB AC AB AC
2
. .

=
uuur uuur
(*)
II. Véc tơ đồng phẳng:
4
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 5 6/24/2013
*Khái niệm tơng tự trong mặt fẳng:

Hai véc tơ cùng phơng:
u
r
//
v
r




a, b

R: a
u
r
+ b
v

r
=
0
r
- Trờng hợp riêng:
u
r
//
v
r
,
u
r
và
v
r
cùng khác
0
r




k

R:
u
r
= k
v

r
- Trong mặt fẳng: Nếu
u
r
,
v
r
không cùng phơng thì mọi véc tơ
w
ur
bất kỳ
trong
mặt fẳng đều có thể biểu diễn đợc qua
u
r
và
v
r
.
Nghĩa là

a, b

R:
w
ur
= a
u
r
+ b

v
r
, (cặp số a, b là duy nhất).
*Khái niệm riêng trong không gian:

Ba véc tơ đồng fẳng:
u
r
,
v
r
,
w
ur
Nếu chúng cùng nằm trên một mặt fẳng, hoặc trên các mặt fẳng song song
- Trờng hợp riêng:
+ Hai véc tơ bất kỳ thì đồng fẳng
+ Ba véc tơ, trong đó có hai véc tơ cùng fơng thì đồng fẳng
+ -----------, -------------- véc tơ
0
r
thì đồng fẳng
- Đ. lý1:
+ Nếu
u
r
,
v
r
,

w
ur
đồng fẳng



a, b, c

R: a
u
r
+ b
v
r
+ c
w
ur
=
0
r
+ -----------------------------, và không có hai véc tơ nào cùng fơng thì
một trong ba véc tơ biểu diễn đợc theo hai véc tơ còn lại.
- Đ. lý2: Nếu
u
r
,
v
r
,
w

ur
không đồng fẳng, thì mọi véc tơ
x
r
bất kỳ trong không
gian đều biểu diễn đợc qua chúng. Nghĩa là

a, b, c

R:
x
r
= a
u
r
+ b
v
r
+ c
w
ur
1.2. tọa độ trong không gian
* Các khái niệm vè tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, độ dài véc tơ... Và
các phép toán cộng, trừ hai véc tơ, nhân một số với một véc tơ,
tích vô hớng của hai véc tơ,... Hoàn toàn t ơng tự nh tọa độ trong
mặt fẳng. Từ đây, các em có thể tự ôn tập lại các kiến thức về tọa
độ trong mặt fẳng.
I. Các định nghĩa:
1. Hệ tọa độ Đề-các :
Oxyz trong đó Ox, Oy, Oz là ba đờng thẳng vuông góc

với nhau từng đôi một.
i
r
,
j
r
,
k
r
là các véc tơ đơn vị tơng
ứng trên ba trục Ox, Oy, Oz
2. Tọa độ :

Véc tơ
v
r
đợc gọi là có tọa độ a, b, c
và viết là
v
r
= (a; b; c) hoặc
v
r
(a; b; c). Nếu
v
r
= a
i
r
+ b

j
r
+ c
k
r

5
z
x
y
O
k
i
j
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 6 6/24/2013

Véc tơ không:
0
r
= ( 0; 0; 0)

Tọa độ điểm: M = (a; b; c)

OM
uuuur
= (a; b; c)

Tọa độ véc tơ
MN
uuuur

= (x
N

x
M
; y
N


y
M
; z
N

z
M
)
I. Các phép toán:
Ta giả sử
u
r
=(x
1
; y
1
; z
1
) ,
v
r

=(x
2
; y
2
; z
2
)
1. Hai véc tơ bằng nhau :
u
r
=
v
r


1 2
1 2
1 2
x x
y y
z z
=


=


=

2. Cộng , trừ hai véc tơ :

u
r

v
r
=
w
ur
( x
1


x
2
;

y
1

y
2
; z
1

z
2
)
3. Nhân một số với một véc tơ : k

R

,
v
r
= ( x; y; z )

k.
v
r
=
w
ur
( kx;
ky; kz)
4. Độ dài véc tơ :
v
r
= ( x; y; z )

v
r
=
2 2 2
x y z
+ +
5. Tích vô hớng của hai véc tơ:
u
r
.
v
r

= x
1
.

x
2
+

y
1
.y
2
+ z
1
.z
2

6. Góc giữa hai véc tơ : cos (
u
r
,
v
r
) =
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x x y y z z
x y z x y z
. . .

.
+ +
+ + + +
1.3. tích có hớng
của hai véc tơ
* Đây là một phần kiến thức mới hoàn toàn khác với kiến
thức trong hình fẳng. Hơn nữa khái niệm này là cơ sở để tiếp tục
phát triển các kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong không
gian. Vì vậy, yêu cầu đối với học sinh fần này cần nắm chính xác
định nghĩa khái niệm và kỹ năng tính nhanh tọa độ véc tơ có h -
ớng cùng với khả năng vận dụng các ứng dụng của nó trong giải
toán.
1. Định nghĩa:
Ta gọi tích có hớng của hai véc tơ:
u
r
=(x
1
; y
1
; z
1
)
và
v
r
=(x
2
; y
2

; z
2
) là một véc tơ
w
ur
.
Và ký hiệu là:
w
ur
=
u v,


r r
=
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
; ;

ữ

Ví dụ :
( )
( )
( )
u 5 2 1
u v 0 13 14
v 3 4 2

; ;
, ; ;
; ;

=


=


=


r
r r
r

6
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 7 6/24/2013
2. Tính chất:
1. Hai véc tơ cùng fơng:
u
r
//
v
r


u v,

r r
=
0
r
.
2. Tích có hớng vuông góc với mỗi véc tơ thành fần:
u v,


r r


u
r
,
u v,


r r

v
r

3.
u v,


r r
=

u
r
.
v
r
.sin

. Trong đó

là góc giữa hai véc tơ
u
r
và
v
r


2. một số ứng dụng
của các phép toán tọa độ
* Phần này đ ợc trình bày một cách tóm tắt theo kiểu liệt kê,
những ứng dụng của các phép toán tọa độ d ới dạng công thức đã
đợc công nhận mà không chứng minh. Mỗi ứng dụng có kèm theo
một ví dụ minh họa trực tiếp, có lời giải hoặc h ớng dẫn cụ thể . Ví
dụ đơn giản, lời giải ngắn gọn , dễ hiểu và phù hợp với mọi đối t -
ợng học sinh
2.1. Tính độ dài đoạn thẳng :

MN
=
( ) ( ) ( )

2 2 2
N M N M N M
x x y y z z + +

Ví dụ: Cho M = (1;

2; 0) và N = ( 3; 2;

4)
a) Tính độ dài MN
b) Tìm điểm I

Oz và cách đều M, N

Giải:
a) MN =
( )
2
2 2
2 4 4+ +
= 6
b) I

Oz

I(0; 0; k)

IM
uuur
=

( )
1 2 k; ;

,
IN
uur
=
( )
3 2 4 k; ;

.
IM = IN

1+ 4 + k
2
= 9 + 4 +(4+k)
2

k =
3


I =
( )
0 0 3; ;


2.2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc hai đ ờng thẳng song
song:
A, B, C thẳng hàng

AB
uuur
//
AC
uuur

Ví dụ: Các điểm A(1;

2; 0), B(2; 1;

1), C( 0; 3; 5), D( 4; m+ 5; 2n+1)
a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng .
b) Tìm các giá trị của m và n sao cho AB//CD

Giải:
a) Ta có:
AB
uuur
(1; 3;

1),
AC
uuur
(

1; 5; 5 ). Tỉ số (1:3:

1)

(

1:5:5)

đpcm
b) Ta có
AB
uuur
(1; 3;

1),
CD
uuur
( 4; m + 2; 2n

4), với A, B, C không thẳng
hàng.
7
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 8 6/24/2013
Vậy AB//CD


4
1
=
m 2
3
+
=

2n 4
1




m = 10 và n = 0
2.3. Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc:
AB

CD

AB
uuur
.
CD
uuur
= 0

Ví dụ:
Trong hệ Oxyz. Cho các điểm A(1;

2; 0), B(2; 1;

1), C( 0; 3; 5).
a) Tìm trên trục Oz điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại A .
b) Tìm điểm O' là hình chiếu vuông góc của O trên mf(ABC)

Giải:
a) M

Oz

M( 0; 0; m)

AB
uuur
= (1; 3;

1),
AM
uuuur
= (

1; 2; m).
AB

AM

AB
uuur
.
AM
uuuur
= 0



1 + 6

m = 0

m = 5 .

M( 0; 0; 5)
( Chú ý: Có thể sử dụng định lý Pitago: AB
2
+ AM
2
= BM
2
)
b) Giả sử O' = ( x; y; z )

OO'
uuuur
= ( x; y; z ) , ta cú:
AB
uuur
= (1; 3;

1),
AC
uuur
= (

1; 5; 5 ) và
AO'
uuuur
= ( x

1; y+2; z ).
O' là hình chiếu của O trên (ABC)

AB
uuur
,
AC
uuur
,
AO'
uuuur
cùng vuông góc
OO'
uuuur
(*)

( ) ( )
2
x 3y z 0
x 5y 5z 0
x x 1 y y 2 z 0.

+ =

+ + =


+ + + =

Giải hệ

O' =
7 7
6 30
7
; ;
15


ữ

.
Chú ý :
+ Trờng hợp x = y = z = 0, thỏa mãn hệ. Lúc này
OO'
uuuur
=
0
r
, thỏa mãn (*).
Nhng vì O

(ABC)

O'

O không đúng!
+ Cách khác: O' = mf(ABC)
I

(d).
Trong đó (d) là đờng thẳng qua O và vuông góc với mf(ABC). Tọa độ O'
thỏa mãn hệ hai phơng trình (d) và (ABC).
2.4. Tính diện tích tam giác :

áp dụng tính chất 3. của tích có hớng
đối với hai véc tơ
AB
uuur
và
AC
uuur
của
ABC

.

Diện tích
ABC

là : S =
1
AB AC
2
,


uuur uuur

Ví dụ : Cho A = (1;

2; 0) , B = (2; 1;

1) .
a) Tính diện tích tam giác AOB
b) Tìm C

Ox sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
c) Khi đó, chứng minh rằng góc
ã
ACB
tù

Giải:
a) Ta có:
OA
uuur
= (1;

2; 0)
8
A
B
C
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 9 6/24/2013
và
OB
uuur
= (2; 1;

1)


OA OB,


uuur uuur
= ( 2; 1; 5 ).
Vậy: S
OABV
=
1
OA OB
2
,


uuur uuur
=
2 2 2
1
2 1 5
2
+ +
=
30
2
(đvdt)
b) C

Ox

Tọa độ có dạng C = ( a; 0; 0)

CA
uuur
= (1

a;

2; 0)
và
CB
uuur
= (2

a; 1;

1)
Ta đợc:
CA CB,


uuur uuur
= ( 2; 1

a; 5

3a ). Diện tích
ABC

là :
S =
1
CA CB
2
,


uuur uuur
=
( ) ( )
2 2
2
1
1 1 a 5 3a
2
+ +
=
2
1
10a 32a 27
2
+
.
S đạt min

a =
8
5

. Vậy C =
8
0 0
5
; ;

ữ

c) Khi đó:
CA
uuur
=
3
2 0
5
; ;


ữ

,
CB
uuur
=
2
1 1
5
; ;

ữ




cos
ã
ACB
= cos
( )
CA CB,
uuur uuur
=
6
2
25
9 4
4 1 1
25 25
.

+ + +
< 0

ã
ACB
tù.
2.5. Tính thể tích hình hộp:
Hình hộp ABCD.A'B'C'D', đờng cao AH ,

là
góc giữa
AA'
uuuur
với
AB AD,


uuur uuur


bằng hoặc bù
ã
A AH'


AH =
AA'
uuuur
.
cos

.
Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là:
V = S
ABCD
. AH
=
AB AD,

uuur uuur
.
AA'
uuuur
.
cos

=
AB AD AA, . '


uuur uuur uuuur

Hệ quả: Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD
1
V AB AC AD
6
, .

=

uuur uuur uuur



Ví dụ 1: Cho A(1;

2; 0), B(2; 1;

1), C(3; 2; 1), D(0; 3; 0)
a) Tính
ABCD
V
, b) Tìm M

Oy:
ABCM
V
= 10(đvtt).
9
B'
C'
D'
C
A'
D
A
B
H
A
B
C
D
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 10 6/24/2013

Hớng dẫn giải:
a)

AB
uuur
=(1; 3;

1)

AC
uuur
=(2; 4; 1)

AB AC,


uuur uuur
= (7;

3;

2),
AD
uuur
=(

1; 5; 0)


AB AC,


uuur uuur

.
AD
uuur
=
7 15

=
22



ABCD
V
=
11
3
(đvtt)
b) M(0; m; 0)

AM
uuuur
=
( )
1 m 2 0; ;
+

AB AC,


uuur uuur

.
AM
uuuur
=
7 3m 6

ABCM
V
= 10

13 + 3m
= 60

m =
47
3
hoc
73
3



3. một số bài toán
Giải bằng phơng pháp tọa độ
3.1 L ợc đồ b ớc giải:

B ớc 1: Chọn hệ trục tọa độ:
+ Chọn, hoặc tạo ra trong hình vẽ đã cho 3 đờng thẳng đồng quy ( tại O), đôi
một vuông góc với nhau. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
+ Trên 3 trục Ox, Oy và Oz lấy tơng ứng 3 điểm có dạng A(a; 0; 0), B(0; b; 0)

và C(0; 0; c)
B ớc 2: Tính tọa độ các điểm, các véc tơ liên quan
B ớc 3: Thực hiện tính toán các đại l ợng theo yêu cầu của bài toán
* Chú ý:
1. Nếu chọn hệ trục tọa độ hợp lý thì các bớc tiếp theo sẽ đơn giản hơn rất nhiều
2. Dạng toán phù hợp theo phơng pháp tọa độ:
Trong hình vẽ có sẵn hoặc dễ dàng tạo ra 3 đờng thẳng đồng quy, vuông góc
từng đôi một và các yêu cầu của bài toán ứng dụng đợc các phép toán tọa độ
3. 2. các bài toán và h ớng dẫn giải:
Bài 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz. Cho bốn điểm :
A = ( 1;

2; 0 ), B = (

1; 1; 2 ), C = ( 3;

3; 1) và D = ( 0; 2;

1)
1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng
2. Tính cosin góc: a)
ã
ABC
b) Giữa hai đờng thẳng AB và CD
c) Giữa hai mặt fẳng (ABC) và (ABD)
d) Nhị diện (C;AB;D)
3. Tính sin góc giữa đờng thẳng AB và mặt phẳng (BCD)
4. Tính thể tích tứ diện ABCD
10

Phơng pháp tọa độ...hitech Page 11 6/24/2013
5. Tính diện tích tam giác BCD
6. Tính khoảng cách: a) Từ A đến mf(BCD)
b) Từ B đến đờng thẳng CD
c) Giữa hai đờng thẳng AB và CD
d) Độ dài đờng phân giác trong góc A của
ABCV
7. Tìm tọa độ điểm E nếu:
a) ABCE là hình bình hành
b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c) E là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV
d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C
8. Tìm tập hợp điểm M thỏa:
MA MB MC MD 4+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur



Chú ý:
Bài toán này không hoàn toàn theo lợc đồ chung của phơng pháp tọa độ.
Dụng ý là cho việc thực hành trực tiếp các công thức, các phép toán cơ bản của
tọa độ đã nêu ở phần trên!
h ớng dẫn giải:
1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng (

AB AC,


uuur uuur

.
AD
uuur

0)
( )
AB 2 3 2; ;
uuur

( )
AC 2 1 1; ;
uuur

AB AC,


uuur uuur
= (5; 6;

4),
( )
AD 1 4 1; ;
uuur

D =
AB AC,


uuur uuur
.

AD
uuur
=

5 + 24 + 4 = 23

0

đpcm.
(A, B, C, D không đồng fẳng

D

0 )
2. Tính cosin góc:
a)
ã
ABC
= góc
( )
BA BC,
uuur uuur
,
( )
BA 2 3 2; ;
uuur
v
( )
4 4 1BC ; ;=
uuur

cos
ã
ABC
=
( )
cos BA BC,
uuur uuur
=
BA BC
BA BC
.
.
uuur uuur
uuur uuur
=
8 12 2 22
4 9 4 16 16 1 561.
+ +
=
+ + + +
b)
( )
AB 2 3 2; ; ,
uuur
( )
CD 3 5 2; ; .
uuur

cos ((AB), (CD)) =

( )
cos AB CD,
uuur uuur
=
AB CD
AB CD
.
.
uuur uuur
uuur uuur
=
17
646

c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù góc giữa hai véc tơ pháp tuyến
1
n
uur
và
2
n
uur
của hai mặt fẳng ấy
11
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 12 6/24/2013
1
n
uur
=
AB AC,

uuur uuur
= (5; 6;

4),
2
n
uur
=
AB AD,


uuur uuur
= (

11;

4;

5)
cos((ABC),(ABD)) =
( )
1 2
cos n n,
uur uur
=
55 24 20
25 36 16 121 16 25.
+

+ + + +
=
59
12474
d) Tính cosin góc nhị diện (C,AB,D)

Xác định góc nhị diện :

= (C,AB,D)
+ Dựng mf(P), (Q) lần lợt qua C, D và

(AB)
+ Dựng E = (AB)
I
(P), F = (AB)
I
(Q)


( )
EC FD, =
uuur uuur

Tính cosin nhị diện:
( )
cos cos EC FD, =
uuur uuur
+
( )
AB 2 3 2; ;=

, C( 3;

3; 1), D( 0; 2;

1)
(P):

2(x

3) +3(y+3) +2(z

1) = 0, (Q):

2(x

0) +3(y

2) +2(z +1) = 0
+ E

(AB)

E = (1

2t;

2+3t; 2t)

(P)

t =
5
17


E =
27 49 10
17 17 17
; ;


ữ

,
Tơng tự: F =
7 2 24
17 17 17
; ;


ữ



24 2 27
EC
17 17 17
; ;

=
ữ

uuur
,
7 32 41
FD
17 17 17
; ;


=
ữ

uuur
( )
cos cos EC FD, =
uuur uuur
=
2 2 2 2 2 2
24 7 2 32 27 41 1003
1309 2754
24 2 27 7 32 41
. . .
.
.

=
+ + + +

Cách khác:
5
0
1 22
; ; , .
A B
x kx
E EC AB k
k


= =
ữ


uuur uuur
...
3. Tính sin góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng
( )
BC 4 4 1; ;=
uuur
( )
BD 1 1 3; ;=
uuur

n
r
=
BC BD,

uuur uuur
= (13; 11; 8),
( )
AB 2 3 2; ;=
uuur


sin((AB);(BCD)) =
( )
cos AB n,
uuur r
=
26 33 16
17 354.
+ +
=
23
6018
4. Tính thể tích tứ diện ABCD
áp dụng kết quả câu 1:
AB AC,


uuur uuur
.
AD
uuur
= 23

Thể tích tứ diện ABCD là:
ABCD
1
V AB AC AD
6
, .

=

uuur uuur uuur
=
23
6
(đvtt)
5. Tính diện tích tam giác BCD
áp dụng kết quả câu 3:
BC BD,


uuur uuur
=
( )
13 11 8; ;
.
12
A
B
C
D
E

M
F
N
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 13 6/24/2013
Diện tích tam giác BCD là:
BCD
S
V
=
1
BC BD
2
,


uuur uuur
=
2 2 2
13 11 8
2
+ +
=
354
2

6. Tính khoảng cách
a) Từ A đến mf(BCD)

Cách 1: Khoảng cách từ A đến mf(BCD) là đờng cao của tứ diện ABCD.
Theo các kết quả câu 5, câu 6. Ta đợc:

( )
( )
ABCD
BCD
3V
d A BCD
S
/ =
=
23
354
.

Cách 2:
+ mf(BCD): Qua B(

1; 1; 2) và có vtpt là
BC BD,


uuur uuur
=
( )
13 11 8; ;
.

Phơng trình (BCD):
( ) ( ) ( )
13 x 1 11 y 1 8 z 2 0
+ + + =

+ Khoảng cách:
( )
( )
d A BCD/
=
2 2 2
13 2 11 3 8 2
13 11 8
. . .
+ +
=
23
354
b) Từ B đến đờng thẳng CD
Ta có:
( )
CD 3 5 2; ;=
uuur
Khoảng cách từ B đến đờng thẳng CD là đờng cao của tam giác BCD.
Theo kết quả câu 6, ta đợc:
( )
( )
BCD
2S
d B CD
CD
/ =
V
uuur

=
2 2 2
354 177
19
3 5 2
=
+ +

Cách khác:
Gọi (P) là mặt phẳng qua B,

CD, H =
P CD( ) ( ).I
Ta có:
d B CD( / )
= BH.
(P):
( ) ( ) ( )
3 x 1 5 y 1 2 z 2 0
+ + =
(1)
(CD):
x 3 y 3 z 1
3 5 2
+
= =

(2). Tọa độ H thỏa (1) và (2)

H

12 18 11
19 19 19
; ;


ữ

Khoảng cách: d(B/(CD)) = BH =
2 2 2
31 1 49
19 19 19

+ +
ữ ữ ữ

=
177
19

c) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CD
Là chiều cao AH của hình hộp
( ) ( )
( )
AB CD AC
d AB CD
AB CD
, .
/
,

=


uuur uuur uuur
uuur uuur

( )
AB 2 3 2; ; ,
uuur
( )
CD 3 5 2; ;
uuur
và
( )
AC 2 1 1; ;=
uuur


( )
AB CD 16 10 1, ; ;

=

uuur uuur
,

AB CD,

uuur uuur
.
AC
uuur
=
23


13
D
A
B
D'
C
H
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 14 6/24/2013
và
2 2 2
AB CD 16 10 1 357,

= + + =

uuur uuur
. Vậy:
( ) ( )
( )
d AB CD/
=
23
357

d) Độ dài đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC

Hớng dẫn: Gọi AM là đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC,

AB
MB MC
AC
.=
uuur uuur

Tọa độ M

Độ dài AM

Cách khác:
2 2
2 2
cos . .cos
a
A A
bc AB AC
l
b c AB AC
= =
+ +
. Ta cần tính
2
cos
A
, không đơn giản!

Bài toán trong hình phẳng.
+ Viết phơng trình hai đờng thẳng AB và AC
+ --------------------------------- phân giác góc tạo bởi AB và AC: f(x,y) = 0
+ Thử tọa độ B và C vào biểu thức f(x,y) xác định dấu. Suy ra phơng trình
phân giác trong.

7. Tìm tọa độ điểm E nếu
a) ABCE là hình bình hành:
A, B, C không thẳng hàng; ABCE là hình bình hành

AB EC
=
uuur uuur
,(1)
Gọi E = (x; y; z)

( )
EC 3 x 3 y 1 z; ;
uuur
,
( )
AB 2 3 2; ;
uuur
.
Vậy (1)

E = (5;

6;

1)
b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (1). Giả sử E(x; y; z)
(1)

AE = BE = CE = DE

AE
2
= BE
2
= CE
2
= DE
2

151 57 77
E
46 46 46
; ;

=
ữ

c) E là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV

Hớng dẫn:
( ) ( )
E d mf ABC= I
. (d) là đờng thẳng qua tâm I mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD và vuông góc với mf(ABC). Chú ý rằng, điểm D của
tứ diện có thể chọn tùy ý và việc tìm I tơng tự câu 7b. Ta có thể tìm toạ độ I
bằng hệ ba phơng trình ba mặt phẳng (ABC) và các mặt phăng trung trực của
BA, AC.
d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C
E
Oxy( )


tọa độ có dạng E(x; y; 0).
E cách đều A, B, C

AE = BE = CE. Vậy
43 15
E 0
8 4
; ;

=


8. Tìm tập hợp điểm m thỏa :
MA MB MC MD 4+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
, (1)

Cách 1: Gọi G là trọng tâm tứ diện, (1)

MG = 1

M

(G;1) là mặt
cầu tâm G, bán kính 1

Cách 2:
14
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 15 6/24/2013
Giả sử M(x; y; z).Ta có:
( )
MA MB MC MD 3 4x 2 4y 2 4z; ;+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
.
(1)

2 2 2
3 1 1
x y z 1
4 2 2

+ + + =
ữ ữ ữ

. (phơng trình mặt cầu)
Bài 2:
Chứng minh các tính chất trong tứ diện vuông OABC ( vuông tại O )
1. H

mf(ABC) , OH

mf(ABC)

H là trực tâm
ABC


2. S
2
ABCV
= S
2
OABV
+ S
2
OBCV
+ S
2
OACV
3.
2
1
OH
=
2
1
OA
+
2
1
OB

+
2
1
OC
4.
ABC

có 3 góc nhọn
5. cos
2

+ cos
2

+ cos
2

= 1; Trong đó

,

,

lần lợt là góc hợp bởi các mặt fẳng
(OBC), (OCA), (OAB) với mf(ABC)
h ớng dẫn giải:
Không mất tổng quát ta có thể chọn hệ tọa
độ Oxyz sao cho: A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và
C(0; 0; c); a, b, c >0
1. Nếu H

mf(ABC), OH

mf(ABC)
mf(ABC):
1 1 1
x y z 1
a b c
+ + =
.
Tọa độ H thỏa mãn hệ:
( )
( ) ( )
bcx cay abz abc 0 1
x y z
2
bc ca ab
,
; = t ,

+ + =


= =


,
(2) là phơng trình đờng thẳng (OH)

Tọa độ H

AH BC BH CA 0. .
= =
uuur uuur uuur uuur

H trực tâm
ABCV
.
Ngợc lại, chứng minh tơng tự
2.
( )
AB a b 0; ;
uuur

( )
AC a 0 c; ;
uuur
( )
AB AC bc ca ab, ; ;

=

uuur uuur

S
2
ABCV
=
2
1

AB AC
4
,


uuur uuur
=
2 2 2 2 2 2
b c c a a b
4
+ +
= S
2
OBCV
+ S
2
OACV
+ S
2
OABV
.
3. Phơng trình mf(ABC):
x y z
1
a b c
+ + =

bcx + cay + abx - abc = 0
15
z

x
b
c
a
O
B
C
A
D
H
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 16 6/24/2013

OH =
( )
d O ABC/( )
=
2 2 2 2 2 2
abc
b c c a a b+ +


2 2 2 2
1 1 1 1
OH a b c
= + +
=
2
1
OA
+

2
1
OB
+
2
1
OC
.
4. cosA = cos
( )
AB AC,
uuur uuur
=
2
AB AC a
AB AC AB AC
.
. .
=
uuur uuur
> 0

A- nhọn. B, C tơng tự.
5. Véc tơ pháp tuyến (vtpt) của mf(ABC) là:
n AB AC,

=

r uuur uuur
= (bc; ca; ab),

vtpt của mf(OBC) là
OA
uuur
( )
a 0 0; ;


cos
2

=
2 2
2 2 2 2 2 2
b c
b c c a a b
+ +
.
Tơng tự: cos
2

=
2 2
2 2 2 2 2 2
c a
b c c a a b+ +

và cos
2

=

2 2
2 2 2 2 2 2
a b
b c c a a b
+ +
.
Cộng theo vế của ba đẳng thức trên

đpcm
Bài 3:
Hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng
a
1. CMR: A'C

(AB'D')
2. A'C cắt mf(AB'D') tại trọng tâm của
tam giác AB'D'
3. Tính khoảng cách giữa hai mặt fẳng (AB'D') và (C'BD)
4. Tính cosin của góc giữa hai mặt fẳng (DA'C) và (ABB'A')
h ớng dẫn giải:
Chọn hệ tọa độ Axyz sao cho: B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; a), với a > 0
1. Ta tìm đợc: C(a; a; 0), B'(a; 0; a), D'(0; a; a)

( )
A C a a a' ; ;=
uuuur

( )
AB a 0 a' ; ;=
uuuur

và
( )
AD 0 a a' ; ;=
uuuur

A C AB A C AD 0' . ' ' . '
= =
uuuur uuuur uuuur uuuur
.

đpcm
2. Tọa độ G thỏa mãn hệ tơng giao của đờng thẳng (A'C) và mf(AB'D'):

x a t y a t z 0 t
x y z 0
, ,= + = + =


+ =


a a 2a
G
3 3 3
; ;

=
ữ

đpcm.
3. Ta có: B(a; 0; 0), phơng trình mf(AB'D'): x + y

z = 0. Khoảng cách
giữa hai mặt fẳng (AB'D') và (C'BD) là d =
( )
d B AB D/( ' ')
=
a
3
.
4. Ta có:
( )
AD 0 a a' ; ;=
uuuur
và
AD
uuur
= (0; a; 0) là các vtpt của (DA'C) và (ABB'A').
16
x
z
y
a
a
a
C'
B'
D'
C

B
A'
D
A
O
O'
G1
G
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 17 6/24/2013
( ) ( )
( )
cos DA C ABB A' , ' '
=
AD AD
AD AD
'.
'.
uuuur uuur
=
2
a 1
a a 2 2.
=

45
=
o


Nhận xét:

Tất nhiên; Ta có thể giải hai bài toán trên bằng kiến thức thông thờng của hình
học không gian lớp 11. Phơng pháp tọa độ ở đây cha thực sự thể hiện đợc tính -
u việt của nó. Bạn đọc tự trình bày lời giải khác và so sánh!
Bài 4:
Hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a.
M

AD', N

DB: AM=DN=k, ( 0 < k < a
2
)
1. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất
2. CMR: MN luôn song song với mf(A'D'CB)
khi k biến thiên
3. Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN là đ-
ờng vuông góc chung của AD' và BD và MN
song song với A'C
h ớng dẫn giải:
Chọn hệ tọa độ Axyz: B(a; 0; 0), D(0; a; 0) và A'(0; 0; a); (
0 k a 2
< <
)
1.
k k
M 0
2 2
; ;

ữ

,
k k
N a 0
2 2
; ;


ữ



k k
MN a k 2
2 2
; ;


=
ữ

uuuur


2 2 2
MN 3k 2 2ak a
= +
.
Vậy MN ngắn nhất

MN
2
đạt min


a 2
k
3
=
.
2.
( )
BC AD 0 a 0; ;= =
uuur uuur
,
và
( )
BA a 0 a' ; ;=
uuuur

BC BA, '


uuur uuuur
=( a
2
; 0; a
2
)

BC BA, ' .


uuur uuuur
MN 0=
uuuur
(1)
Mặt khác N

(BD), (BD) cắt mf(A'D'CB) tại B

N

N

mf(A'D'CB), (2)
Từ (1) và (2)

MN// mf(A'D'CB). đpcm.
3. Khi MN ngắn nhất

k =
a 2
3
. Khi đó
MN
uuuur
=
a a a
3 3 3

; ;


ữ

,
AD'
uuuur
=(0; a; a),
BD
uuur
= (

a; a; 0)

MN
uuuur
.
AD'
uuuur
=
MN
uuuur
.
BD
uuur
= 0, với M

AD', N

BD

đpcm.
C(a; a; 0)

A C'
uuuur
(a; a; - a) = 3
MN
uuuur
, N

mf(A'D'CB)

MN// AC. đpcm
Bài 5: (Thi thử ĐH. Khối A, Lam Sơn 2005)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi,

BAC
=
60
o
, O là giao của AC và BD,
SO

mf(ABCD). M là trung điểm SC, K thuộc đoạn BM sao cho
BK
BM
=
2

5
.
Chứng minh rằng: mf(SOK)

mf(SBC)
17
x
z
y
a
a
a
C'
B'
D'
C
B
A'
DA
N
M