Bai 1 HDGBTTL phuong trinh phan 1

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Phương trình – hệ phương trình – bất phương trình

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Giải phương trình: 4 2 x + 3 − 4 x =

9 − x2
2x + 3

Giải:
ðiều kiện :

2x + 3 > 0 ⇔ x > −

3
2

Phương trình ⇔ 4(2 x + 3) − 4 x 2 x + 3 = 9 − x 2

⇔ 4(2 x + 3) − 4 x 2 x + 3 + x 2 = 9

(

⇔ 2 2x + 3 − x

)

2

2 2 x + 3 − x = 3
=9⇔ 
 2 2 x + 3 − x = −3

 2 2 x + 3 = 3 + x (1)
⇔
 2 2 x + 3 = x − 3 (2)

 x = −1
(thỏa mãn)
Phương trình (1) ⇔ 4(2 x + 3) = (3 + x)2 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
x = 3

x > 3

x > 3
 x = 7 − 52 ⇔ x = 7 + 52
Phương trình (2) ⇔ 
⇔

2
4(2
3)
(
3)
+
=
−

x
x



  x = 7 + 52
Bài 2 : Giải phương trình : x + 1 + 2 x − 1 = 3 x 2 − 1
Giải :
ðiều kiện : x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∪ x ≥ 1
+ Với x ≤ −1 thì phương trình ⇔ 1 − 3 x = 3 x 2 − 1 ⇔ (1 − 3 x) 2 = 9( x 2 − 1) ⇔ 6 x = 10 ⇔ x =
+ Với x ≥ 1 thì phương trình ⇔ 3 x − 1 = 3 x 2 − 1 ⇔ (3 x − 1)2 = 9( x 2 − 1) ⇔ 6 x = 10 ⇔ x =
ðáp số : Vậy x =

5
(loại)
3

5
3

5
là nghiệm của phương trình.
3

Bài 3 : Giải phương trình :

− x2 + x x + 5 + 7 = − x2 − 2 x + 3

Giải :
2

− x − 2 x + 3 ≥ 0
−3 ≤ x ≤ 1
Phương trình ⇔ 
⇔
2
2
− x + x x + 5 + 7 = − x − 2 x + 3  x x + 5 = −2( x + 2) (*)

+ Với x = 0 thì (*) không thỏa mãn
 x+2
+ Với −3 ≤ x < 0 ∪ 0 < x ≤ 1 thì (*) ⇔ x + 5 = −2 

 x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Phương trình – hệ phương trình – bất phương trình

  x+2
−2  x  > 0
−2 < x < 0
 


⇔
⇔ 3
2
2
 x + x − 16 x − 16 = 0
 x + 5 = 4 ( x + 2)

x2

 −2 < x < 0
 −2 < x < 0

⇔
⇔   x = −1 ⇔ x = −1
2
( x + 1)( x − 16) = 0
  x = ±4

ðáp số : x = −1
Bài 4 : Giải phương trình :

x + 2x −1 + x − 2x −1 = 2

Giải :
 x + 2x −1 ≥ 0
x ≥ 2x −1

1

ðiều kiện :  x − 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ 

⇔ x≥
1
2
2 x − 1 ≥ 0
x ≥

2

Phương trình ⇔ x + 2 x − 1 + 2 ( x − 1)2 + x − 2 x − 1 = 2

1 − x ≥ 0
x ≤ 1
⇔ ( x − 1) 2 = 1 − x ⇔ 
⇔
2
2
2
2
( x − 1) = (1 − x)
( x − 1) = (1 − x)
1
Kết hợp ñiều kiện suy ra ñáp số : ≤ x ≤ 1
2
1
Bài 5 : Giải phương trình : x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = −
2
Giải :
ðiều kiện ∀x ∈ R
1
Phương trình ⇔ x 2 + x + 1 + = x 2 − x + 1

2
1
Bình phương 2 vế ta ñược : x 2 + x + 1 = −2 x −
4

⇔ 4 x 2 + x + 1 = −8 x − 1
1

−8 x − 1 ≥ 0
15
x ≤ −
⇔
⇔
8 ⇔ x=−
2
2
48
16( x + x + 10 = ( −8 x − 1)
48 x 2 = 15


Bài 6 : Tìm m ñể phương trình
Giải :

x 4 + 4 x3 − 2 x 2 − 3 x − m + x 2 − 1 = 0 có nghiệm thực.

2
1 − x ≥ 0
Phương trình ⇔ x 4 + 4 x3 − 2 x 2 − 3 x − m = 1 − x 2 ⇔  4
3

2
2 2
 x + 4 x − 2 x − 3 x − m = (1 − x )

−1 ≤ x ≤ 1
⇔ 3
4 x − 3x − 1 = m
ðể phương trình ñã cho có nghiệm thì phương trình : 4 x 3 − 3 x − 1 = m phải có nghiệm thực thỏa mãn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Phương trình – hệ phương trình – bất phương trình

3
 y = 4 x − 3 x − 1; x ∈ [ −1;1]
phải có ñiểm chung
−1 ≤ x ≤ 1 ⇔ hai ñồ thị 
 y = m

Xét hàm số : y = 4 x 3 − 3 x − 1; x ∈ [ −1;1]
Ta có : y ' = 12 x 2 − 3; y ' = 0 ⇔ x = ±

1

2

Bảng biến thiên :

x

−

-1

y’
y

+

1
2
0
0

1
2
0

-

1
+
0

-2

-2

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là : −2 ≤ m ≤ 0
3x 2 − 1
= 2 x − 1 + mx
Bài 7 : Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất :
2x −1
Giải :
1
ðiều kiện : x >
2
Phương trình ⇔ 3 x 2 − 1 = 2 x − 1 + mx 2 x − 1

⇔

3x − 2
=m
2x −1

ðể phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất thì 2 ñồ thị y =

3x − 2
1
, x > và y = m phải cắt nhau tại duy
2
2x −1

nhất một nghiệm.

3x − 2
1
, x>
2
2x −1
3x − 1
1
> 0 với x >
Ta có : y ' =
2
(2 x − 1) 2 x − 1
Xét hàm số : y =

Bảng biến thiên :

x

1
2

y’
y

+∞
+
+∞

-∞

Từ bảng biến thiên suy ra với mọi m thì phương trình ñã cho luôn có nghiệm duy nhất.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 3 -