Skkn phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

MỤC LỤC
1. Cơ sở đề xuất giải pháp................................................................................2
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp.............................................................2
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................2
1.3-Mục tiêu của giải pháp...............................................................................2
1.4-Các căn cứ để xuất giải pháp.....................................................................3
1.5-Phương pháp thực hiện..............................................................................3
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng...................................................................3
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp.................................................3
2.1- Quá trình hình thành nên giải pháp .........................................................3
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiến phát sinh .................................4
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay .......................................................4
3. Hiệu quả giải pháp........................................................................................19
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp.................................19
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được................................................19
3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp ...................................................20
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp...........................................20
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị......................................................................20
4.1. Kết luận.....................................................................................................20
4.2. Đề xuất, kiến nghị......................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................22

GV: Lê Thị Huyền

1

Trường THPT Nguyễn Du

SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

1. Cơ sở đề xuất giải pháp
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp (nhu cầu phải có giải pháp)
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong
quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm
hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với
kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết:
“Phương pháp GD phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo
của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp
mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến
thức, đặc biệt là trong việc dạy bài tập giới hạn. Nhận thấy học sinh còn nhiều lúng
túng trong giải bài tập phần giới hạn của hàm số. Hơn nữa, theo tinh thần đổi mới
của bộ giáo dục thì năm học 2018 chương trình lớp 11 sẽ có mặt trong kì thi tốt
nghiệp, đại học, cao đẳng.
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 khắc phục lúng túng trong giải bài tập giới hạn
hàm số, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11”.
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp (các giải pháp đã có của
các tác giả khác).
Các bài toán tìm giới hạn hàm số tại 1 điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực,
giới hạn một bên,...
1.3-Mục tiêu của giải pháp.
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho

học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn
hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.

GV: Lê Thị Huyền

2

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

1.4-Các căn cứ đề xuất giải pháp.
Học sinh còn lúng túng trong giải quyết các bài toán giới hạn hàm số. Nhất là
phân loại các dạng bài tập giới hạn hàm số, kinh nghiệm này giúp học sinh hệ
thống và phân loại các dạng bài tập và giúp học sinh tránh những sai lầm trong giải
quyết những bài toán trên.
1.5-Phương pháp thực hiện.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….)
Phương pháp thực nghiệm.
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng.
Đề tài này có thể áp dụng cho học sinh lớp 11 các trường THPT.
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp:

Thời gian

Nội dung

Từ tháng 5 năm 2015 đến

Nghiên cứu, đề xuất

hết tháng 9 năm 2016
Từ tháng 01 năm 2016 đến

Áp dụng thử nghiệm

giữa tháng 02 năm 2016

2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiễn phát sinh.
GV: Lê Thị Huyền

3

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Hệ thống lại định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, giới hạn hữu hạn, giới
hạn vô cực, giới hạn một bên.
Học sinh cần nắm rõ các định lí về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, quy tắc về

giới hạn vô cực.
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường
hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
 f ( x ) 
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim
x →a 
Đề bài
 f ( x ) 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : xlim
→±∞ 
Phân
 f ( x )  , lim−  f ( x ) 
Ba là: Giới hạn một bên của dạng
hàm số: xlim
→a + 
x →a
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không
mộtvào
bên
hạncủa
tại hàm
một điểm
Giới dạng
hạn tạitrường
vô cực hợp bằng Giới
xét tínhGiới
chất
số mà chỉ nhận
cáchhạn

nhìn

giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới
hạn phải).
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.
Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ sau:
Dạng 2: ()

Dạng 1:

Dạng 3:()

Dạng:
Dạng 1:

Dạng 2

Dạng3:

Tính trực tiếp
GV: Lê Thị Huyền

4

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu
trong sơ đồ tư duy trên.

GV: Lê Thị Huyền

5

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

 f ( x ) 
2.3.1 GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ: lim
x→ a 
f ( x ) = f ( a)
Dạng 1: lim
x →a

Phương pháp:

f ( x ) = f ( a)
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: lim
x →a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

( 2 x + 3)

1/ xlim
→2

2/

x −1
3/ lim
x→3 x + 2

 2x 2 + 3x +1 
4/ lim  2
÷
x→-1 -x + 4x + 2



lim ( x 2 + 5 − 1)

x→−2

Bài giải:

1 / lim ( 2 x + 3) = 2.2 + 3 = 7
x →2

2 / lim (
x→−2

x 2 +5 −1) = ( −2) 2 +5 −1 =2

x −1
3 −1
2
=
=
x →3 x +2
3 +2
5

3 / lim

 2 x 2 + 3 x + 1  2.( − 1) 2 + 3.( − 1) + 1 0
=
4 / lim  2
=
=0
x→−1 − x + 4 x + 2  − ( − 1) 2 + 4( − 1) + 2 − 3
Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:

GV: Lê Thị Huyền

6

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

2
+ 2x +1)
1. lim(x
x → -1

x +1
4. lim
;
x →1 2x - 1
Dạng 2: lim
x →a

( 3 - 4x )
3. lim
x →3

+ 2 x +1)
2. lim(x
x →1

2

x 2 + x +1
5. lim
x →-1 2x 5 + 3

f ( x)  0 
 ÷. Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x).
g( x)  0 

Ta thấy f(a) = g(a) = 0. Nên lim
x →a

f ( x)
g( x)

0
lúc này có dạng  ÷.
0

Phương pháp:
Phương pháp 1: Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số
và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử
và mẫu cho các biểu thức liên hợp
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:

 x+3 
1/lim  2
x→−3  x + 2 x − 3 ÷


 x2 + 2x − 3 
2 / lim  2
x→1 2 x − x − 1 ÷



4x



4 / lim 
x→0  9 + x − 3 ÷


5 / lim

x →2

2x − 2
x−2

3 / lim

( 1+ x)

x→0

6 / lim

x→1

3

−1

x
x+2 −2
x+7 −3

Bài giải.
x +3
1
−1
 x +3 
1/ lim  2
= lim
=
÷= lim
4
x →−3  x + 2x − 3 
x →−3 ( x − 1) ( x + 3 )
x →−3 x − 1
 x2 + 2x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = lim x + 3 = 4
2 / lim  2
= lim
÷
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3
2
2
GV: Lê Thị Huyền

7

Trường THPT Nguyễn Du

SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

3
( 1 + x ) 2 + ( 1 + x ) + 1
1
+
x
−
1
(
)
1
+
x
−
1
(
)


3 / lim
= lim
x→0
x→0
x
x
x( x 2 + 3 x + 3)
= lim

= lim ( x 2 + 3 x + 3) = 3
x→0
x→0
x

4x


4 / lim 
= lim
x→0  9 + x − 3 ÷
 x→0
= lim

4x

(

(

2x − 2
= lim
x →2
x−2

6 / lim

x+2 −2
= lim
x + 7 − 3 x→1

x →2

x→1

9+ x +3

9+ x −3

4x

(

)(

)(

) = lim 4
x→0

x

2x − 2

)

9+ x +3

9+ x +3

x→0

5 / lim

(

2x + 2

)

(

) = lim

= lim

x→0

4x

(

9+ x +3

9+ x−9

)

)

9 + x + 3 = 24

2x − 4

( x − 2 ) ( 2 x + 2 ) x →2 ( x − 2 ) ( 2 x + 2 )
2 ( x − 2)
2
1
= lim
= lim
=
x →2 x − 2
(
) ( 2 x + 2 ) x →2 2 x + 2 2

(
(

) ( x + 2 + 2 ) ( x + 7 + 3)
x + 7 − 3) ( x + 7 + 3 ) ( x + 2 + 2 )
( x − 2 ) ( x + 7 + 3)
x+7 +3 6 3
= lim
= lim
= =
x+2+2 4 2
( x − 2) ( x + 2 + 2)
x+2 −2

x→1

x→1

Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:

1 / Lim
x→3

2
x + 2x - 15
x-3

3
8x − 1
4 / Lim
2
x→1 6x − 5x + 1
2

Dạng 3: lim
x →a
GV: Lê Thị Huyền

2 / lim
x→0
5 / lim
x→1

x+4 −2

x − 2x − 1
3 / lim
x→1 x 2 − 12x + 11

x
2x − 1 −
x −1

x

6 / lim
x→0 3 −

x +1 −1
2x + 9

f ( x)

L
dạng  ÷ (với L ≠ 0 ).
g( x)
0
8

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(a)=L, g(a)=0
nên lim
x →a

f ( x)
g( x)

L
lúc này có dạng  ÷.
0

Phương pháp:
f ( x ) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính lim
x →a
g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a
Bước 2: : Tính lim
x →a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x →a

f ( x)
g( x)
f ( x)
g( x)

lim f ( x ) = L

lim g( x ) = 0

L>0

g(x) > 0

+∞

L>0

g(x) < 0

−∞

L<0

g(x) > 0

−∞

L<0

g(x) < 0

+∞

x →a

lim

x →a

x →a

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x →4

x+2

( x − 4)

2

2 / lim
x →3

x−5

( x − 3)

2

3x + 1
x →−2 x + 2
(
) ( x 3 + 8)

3/ lim

Bài giải:
1/ lim
x →4

x+2

( x − 4)

GV: Lê Thị Huyền

2

9

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Ta có:
 lim ( x + 2 ) = 6 > 0
 x →4

2
2
x − 4 ) = 0 va ( x − 4 ) > 0 (∀x ≠ 4)
 lim
(

 x →4
Vậy lim
x →4

2 / lim
x →3

x+2

( x − 4)

= +∞

2

x −5

( x − 3)

2

Ta có:
 lim ( x − 5) = −2 < 0
 x →3

2
2
x − 3) = 0 va ( x − 3) > 0 (∀x ≠ 3)
 lim
(

 x →3
Vậy lim
x →4

3 / lim

x →−2

x−5

( x − 3)

= −∞

2

3x + 1

( x + 2) ( x

3

+8

)

= lim

x →−2

= lim

x →−2

3x + 1

( x + 2) ( x + 2) ( x

2

− 2x + 4

3x + 1

( x + 2) ( x
2

2

− 2x + 4

)

)

 lim ( 3 x + 1) = −5 < 0
 x →−2
Ta có: 
2
2

x + 2 ) x 2 − 2 x + 4 = 0, ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4 > 0 (∀x ≠ −2)
 lim
(
 x →−2

(

Vậy

lim

x →−2

3x + 1

(

( x + 2) x3 + 8

)

)

(

)

= −∞

Bài tập tham khảo:

GV: Lê Thị Huyền

10

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x →2

x+2

( x − 2)

3 / lim

x →−2

2 / lim

2

x →−2

2x + 1

( x + 2)

( x + 2)

4 / lim

2

x3 + 1

x →−3

2

x +1

( x + 3) ( x

2

+ 4x + 3

)

( )

2.3.2- GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: lim  f x 
x → ±∞
Dạng 1: xlim

→±∞

f ( x)

g( x )

dạng

∞
∞

Phương pháp:
Rút xp với p là lũy thừa cao nhất của tử và rút xq với q là lũy thừa cao nhất
của mẫu rồi đơn giản. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞
thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:

2x +1
x→−∞ x − 2

1/ lim

4/ lim

x→−∞

x2 − 1
x +1

x −1

x→+∞ x 2 − 1

2/ lim

3/ lim

x→+∞

x2 − 1
x +1

x2 − x + 9
x →−∞ −2 x + 18

5/ lim

Bài giải:

1

1
x2 + ÷
2+
2x +1
x
x = 2 =2
= lim 
= lim
1/ lim
x→−∞ x − 2

x →−∞ 
2 1
2  x→−∞
1−
x 1 − ÷
x
x

GV: Lê Thị Huyền

11

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

 1
1
x 1 − ÷
1−
x −1
1
x
x = 0.1= 0
= Lim 
= lim .
2/ xlim

2
→+∞ x − 1 x→+∞ 2 
1
1  x→+∞ x
1− 2
x 1 − 2 ÷
x
x



x −1
= lim
x→+∞
x +1
2

3 / lim

x→+∞

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= lim

x→+∞
x +1
 1
x 1 + ÷
 x

1 

x 1 − 2 ÷
 x 
= lim
= lim
x→+∞
x→+∞
 1
x 1 + ÷
 x

x −1
= lim
x→−∞
x +1
2

4 / lim

x→−∞

1 


1 − 2 ÷
 x  1
= =1
1
1
1+
x

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= lim
x→−∞
x +1
 1
x 1 + ÷
 x

1 
1 


− x 1 − 2 ÷
− 1 − 2 ÷
 x 

 x  −1
= lim
= lim
=
= −1
x→−∞
x→−∞
1
 1
1
1+
x 1 + ÷
x
 x
 1 9
1 9
x 2 1 − + 2 ÷
1− + 2
x −x+9
x
x
 = lim x. x x = +∞
= lim 
5/ xlim
→−∞ −2 x + 18
x →−∞
x →−∞
18
18 


−2 +
x  −2 + ÷
x
x

2

 lim x = −∞
 x→−∞
1 9

1− + 2
vì 
x x =−1
 xlim
→−∞
18
2

−2 +
x


Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:
GV: Lê Thị Huyền

12

Trường THPT Nguyễn Du

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

SKKN:

2x − 3
x →+∞ 1 − 3 x

2 / lim

1/ lim

x →−∞

x 2 + 3x − 8
4 / lim 4
x →+∞ x − 6 x + 1
7 / lim

5 / lim

x →−∞

14 − x

x →−∞

( x − 2 ) ( 2 x + 1) ( 1 − 4 x )
( 3x + 4 )

3

x2 + 2x + 3
3

6 / lim

x3 − x + 1

x →−∞

4x2 + 1
3x − 1

3x − 1

8 / lim

x − x2 − 1

x4 + 2x2 + 1
x →−∞
x 3 + 27

3 / lim

x →−∞

x2 − 1 + 2x

f ( x ) .g ( x ) dạng ( 0.∞ )
Dạng 2: lim
x →∞
Phương pháp:
f ( x ) .g ( x ) dạng ( 0.∞ ) về dạng 1: lim
Ta biến đổi lim
x →∞
x →∞

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)
∞

Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: A B = A2 B với A, B ≥ 0
A B = − A2 B với A ≤ 0, B ≥ 0
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
x3 + x

2) lim ( x+1)
x→ -∞

2x+1

x + x+ 2
3

Bài giải:

GV: Lê Thị Huyền

13

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2

x -1
= lim
x 3 + x x → +∞

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

( x+ 2 ) ( x - 1) =

 2  1
x  1+ ÷ .x  1- ÷
 x  x
1


x 3  1+ 2 ÷
 x 
2

2

x3 + x

lim

x→ +∞

2

2

 2  1
 2  1
x  1+ ÷ . 1- ÷
 1+ ÷ . 1- ÷
 x   x  = lim  x   x  = 1 = 1
x→ +∞
1
1


1
x 3  1+ 2 ÷
1+


2 ÷
 x 
 x 
3

= lim

x→ +∞


2x+1
= lim  −
3
x + x+ 2 x→ - ∞ 


2) lim ( x+1)
x→ - ∞

( x+1) ( 2x+1) 
2




x 3 + x+ 2

2

 1  1
x  1+ ÷ .x  2+ ÷
2
( x+1) ( 2x+1) = − lim  x   x 
= − lim
x→ - ∞
x→ - ∞
1 2
x 3 + x+ 2
x 3 (1+ 2 + 3 )
x x
2

2

2

 1  1
 1  1
x  1+ ÷ . 2+ ÷
 1+ ÷ . 2+ ÷ − 2
x  x
x  x

= − lim
= − lim 
=
=− 2
x→ - ∞
x→ - ∞

1 2
1 2
1
3
x (1+ 2 + 3 )
1+ 2 + 3
x x
x x
3

Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:

1 ) lim ( 1 - 2x )
x →+∞

3x +1
x 3 +1

2x 3 + x
2 ) lim x 5 2
.
x →- ∞
x - x +3

 f ( x) ± g( x )  →
Dạng 3: lim
x →∞ 


3 ) lim x
x →- ∞

2x +1
.
3x + x 2 + 2
3

( ∞ ± ∞)

Phương pháp:

GV: Lê Thị Huyền

14

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

1. Rút xk với k là lũy thừa cao nhất của f(x) và g(x) để đưa về giới hạn
dạng ∞.L (nếu được).
lim  f ( x ) ± g ( x )  về
x →∞ 


2. Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa

f ( x) − g( x)

dạng lim
x →∞

f ( x) + g( x )

hoặc lim
x →∞

f ( x) − g( x)

f ( x) − g( x )

Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp

Chú ý:

 A neu A ≥ 0
A2 = A = 
− A neu A < 0

Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:

1/ lim

x →+ ∞

(

x2 + x − x2 − 2

(

3 / lim x+ x 2 + x + 1
x → +∞

)

2 / lim

x →−∞

)

(

x2 + x − x2 − 2

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1
x→ −∞

)

)

Bài giải:

1 ) lim

x→ +∞

= lim

x → +∞

(

x2 + x −

(
x − 2 ) = lim
2

x2 + x - x2 + 2
x2 + x + x2 − 2

GV: Lê Thị Huyền

x2 + x − x2 − 2

x→ + ∞

x2 + x + x2 − 2

)

x2 + x + x2 − 2

x→ +∞

= lim

)(

x+ 2
x2 + x + x2 − 2

15

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

 2
 2
x 1+ ÷
x 1+ ÷
 x
 x
= lim
= lim
x→ +∞
1
2 x→ + ∞

1
2
x 1+ + x 1− 2
x 1+ + x 1− 2
x
x
x
x
 2
2
x 1+ ÷
1+
1
 x
x
= lim
= lim
=
x→ +∞ 
1
2 2
1
2  x → +∞
1+ + 1− 2
x  1+ + 1− 2 ÷
x
x
x
x 


2 ) lim

x →−∞

= lim

x →−∞

(

x + x − x −2
2

2

x + x-x +2
2

2

x + x + x −2
2

2

 2
x 1 + ÷
 x
= lim
x→−∞

1
2
-x 1 + - x 1 − 2
x
x

(

)

(
= lim

= lim

x→−∞

x2 + x − x2 − 2

)(

x2 + x + x2 − 2

)

x2 + x + x2 − 2

x →−∞

 2

x 1 + ÷
x+2
 x
= lim
x 2 + x + x 2 − 2 x→−∞ x 1 + 1 + x 1 − 2
x
x2

 2
 2
x 1 + ÷
− 1 + ÷
1
 x
 x
= lim
= lim
=−
x →+∞
x
→
+
∞

2
1
2
1
2 
1+ + 1− 2

-x  1 + + 1 − 2 ÷
x
x
x
x 


)


1 1 
3 / lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x + x 1 + + 2 ÷÷
x→ +∞
x→ +∞
x x 


1 1 
= lim x  1 + 1 + + 2 ÷÷ = +∞
x→ +∞
x x 

 lim x = +∞
 x→ +∞
Vì 

1 1 
lim
1
+

1
+
+ 2 ÷÷ = 2
 x→ +∞ 
x
x 


GV: Lê Thị Huyền

16

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

x+
(
4 / lim ( x+ x + x + 1 ) = lim
2

x→ −∞

x→ −∞

)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x
−
1
−

÷
x - ( x + x + 1)
−x −1
x

= lim
= lim
= lim
2
2
x→ −∞
x→ −∞
x- x + x+1
x - x + x + 1 x→ −∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
2

2

1
1


x  −1 − ÷
x  −1− ÷
x
x


= lim
= lim
x→ −∞
1 1 x→ +∞ 
1 1
x+ x 1 + + 2
x  1+ 1 + + 2
x x
x x

=

1
x
= lim
 x → +∞
1 1
1+ 1 + + 2

÷
x x

−1−

−1
2

• Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4
này có thể giải theo cách của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo của bài 3 ta sẽ có:

)

(



1 1 
1 1 
4 / lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x 1 + + 2 ÷÷ = lim  x - x 1 + + 2 ÷÷
x → −∞
x → −∞
x x  x → −∞ 
x x 


1 1 
= lim x  1- 1 + + 2 ÷÷
x → −∞

x x 



1

1 

kết quả lim x  1- 1 + + 2 ÷÷ sẽ dẫn đến dạng vô định (0. ∞ )
x → −∞
x x 

Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:

GV: Lê Thị Huyền

17

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

1) lim

x→+∞

4) lim

x→−∞

(

(

7) lim x
x →+ ∞

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

x+1 - x

)

3x 2 + x+1 + x 3

(

x 2 +1 - x

(
5 ) lim (
8) lim (

x 2 + x+1 - x

2) lim

)

)

x→ +∞

x2 + x - x2 + 4

x→+∞

x→+∞

)

3

x3 + x2 − x

)

3) lim

)

x→−∞

(

6 ) lim x
x→−∞

(

x 2 +1+ x - 1

(

4x 2 +9 + 2x

9) lim x+ 3 3x 2 − x 3
x→+∞

)

)

)

2.3.3- GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ: lim+  f ( x )  hoặc lim−  f ( x )  .
x→ a
x→ a
Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một điểm,
lúc này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x → a − ), hoặc tiến về bên
phải điểm a ( x → a + ). Bài tập Giới hạn một bên: lim+  f ( x )  hoặc lim−  f ( x )  chủ
x→ a
x→ a
yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp Giới hạn tại một điểm là lim±
x →a

f ( x)
g( x)

L
→  ÷.
0

(với L ≠ 0 ) . Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(a)=L,
g(a)=0 nên lim±
x →a

f ( x)
g( x)

L
lúc này có dạng  ÷.
0

Phương pháp:
f ( x ) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính xlim
→a±
g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x < a hoặc x > a
Bước 2: : Tính xlim
→a±

Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x →a

f ( x)
(bảng xét dấu đã
g( x)

nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:

GV: Lê Thị Huyền

18

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

1/ lim−
x →1

2x − 3
x −1

2 / lim+
x →1

2x − 3
x −1

Bài giải:
1/ lim−
x →1

2x − 3
x −1

 lim− ( 2 x − 3) = 2.1 − 3 = −1 < 0
 x →1
Ta có: 
 lim− ( x − 1) = 0 va x − 1 < 0
∀x < 1
 x →1
2 / lim+
x →1

Vậy lim−

2x − 3
= +∞
x −1

Vậy lim−

2x − 3
= −∞
x −1

x →1

2x − 3
x −1

 lim+ ( 2 x − 3) = 2.1 − 3 = −1 < 0
 x →1
Ta có: 
 lim+ ( x − 1) = 0 va x − 1 > 0
∀x > 1
 x →1

x →1

Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:
2x - 1
x→ 2 x - 2
x2 - 2
3) lim−
x→ 2 x - 2

1) lim+

2x - 1
x→ 2 x - 2
2 x -7
4) lim−
x →1 x - 1
2) lim−

5 ) lim+
x →1

2 x -7

x -1

3. Hiệu quả giải pháp
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp
Từ tháng 01 năm 2016 đến tháng giữa tháng 02 năm 2016, tiến hành áp dụng
thử nghiệm.
Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận.
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được:
GV: Lê Thị Huyền

19

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp này trong một số bài tập
cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinh các
lớp kết quả như sau:

Năm học

2015-2016

Lớp

Số học sinh giải được

Sĩ số

Trước khi thực hiện

Sau khi thực hiện đề

đề tài

tài

11A3

36

13

33

11A11

32

5

25

3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 11 ở các trường THPT.
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở
trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, đa số
các em điều nhận dạng được và phân loại được giới hạn hàm, nhiều em cảm thấy
bất ngờ khi mà một số bài toán dạng

∞
khi đưa về tích thì lại rõ ràng tuyệt đối.
∞

Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận thấy chất lượng của
môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng
lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị
4.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường
THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, các em học
sinh hiểu được bài, phân loại và vận dụng giải quyết được các bài toán tương tự.
GV: Lê Thị Huyền

20

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

4.2. Đề xuất, kiến nghị:
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 11 ở các trường THPT.

Kính mong sự đóng góp ý kiến của các đồng chí chuyên viên có trách nhiệm thẩm
định đề tài và các đồng nghiệp bổ khuyết. Đồng thời đề nghị nhà trường, tổ chuyên
môn có kế hoạch triển khai áp dụng giải pháp đến học sinh lớp 11 của trường.
CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là giải pháp do tôi dựa trên các tài liệu tham khảo và
thực tế giảng dạy viết ra.
Châu Đức, ngày 01 tháng 01 năm 2017
Người viết

Lê Thị Huyền

GV: Lê Thị Huyền

21

Trường THPT Nguyễn Du


SKKN:

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11

TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 11, Đại số và giải tích 11 (nâng cao)
 Sách giáo viên: Đại số và giải tích 11, Đại số và giải tích 11 (nâng cao)
 Bồi dưỡng đại số và giải tích của NGƯT. Phạm Quốc Phong.
 Đại số và giải tích 11 – Bài tập tự luận và trắc nghiệm. Lê Hồng Đức – Lê
Bích Ngọc.
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
....................................................................................................................................

....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

GV: Lê Thị Huyền

22

Trường THPT Nguyễn Du