GIẢI ĐỀ GIẢI TÍCH 1

ĐỀ ÔN THI CUỐI HỌC KỲ 161 – MÔN GIẢI TÍCH 1
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm sau:

y

1.

2
 e x1

 x  5

2.

x3
y
2x  5

3.

y

x2
1  x2

Câu 2: Tính các tp sau
1
3

I1  



dx

 3x  2 

e2

1
dx
x3dx
, I2   3
, I3  
2
2
x
1

ln
x
1 1  x
x  2x
1  x2
e





Câu 3:

1. Với mỗi miền D cho dưới đây, tính theo yêu cầu của mỗi câu

D1 : y  8  x 2 , y  x, y  0  Vx  ?
D2 : y  x 2 3, y  4  x 2 , y  0  Vy  ?
D3 : y  x , y  2  x, y  0  S  D   ?
2.

D4 : y  ln x, y  0, x  2 . Quay miền D quanh 1 trong 2 trục ta được 2 vật thể. Tính diện tích xung
quanh của 2 vật thể đó

Câu 4: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt:

1

2.  x 2  xy 2  dx  ydy
2


1. y 2 x  y  1  2 x  y
3.

2x
y 2  3x 2
dx

dy  0, y 1  0
y3
y4

Câu 5: Giải các hpt:


 x  t   x  2 y  2cos3t
2. 
3t

 y  t   5x  y  3e

5t

 x  t   4 x  2 y  e
1. 

 y  t    x  7 y  2t  1

 x  t   2 x  y  2e4t
3. 
 y  t   4 x  2 y  3t

Câu 6: Tìm m để tp hội tụ:


1. 

0

m

x
dx

1  x3



2. 

0



1  xm



dx
3

x 2  sin x



3. 

0

x 2  arctan



x 2m3 1  x 2

1
x 2 dx
m1




Đáp án:
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm sau:
1.

2.

2
 e x1

 x  5 . MXĐ: \ 1 ; TC: x  1, y  x  7 ; CT: yct  y 3 , ycd  y  3 ;
Hàm đồng biến với x  ; 3  3;   , nghịch biến với x  3; 1   1;3
y

x3
. MXĐ:
y
2x  5

5

 ;    0;   ;
2



15
5
2
5 2
2
5 2
x ,y
x
T  , y   x 
 P  ; CT: yct  y   
2
2
8
2
8
 4
15 
 15 5 

Hàm đồng biến với x    ;     0;   , nghịch biến với x   ; 

4
 4 2

TC:

3.

x2

y

1 x

\ 1,1 ; TC: x  1, x  1, y   x T  , y  x  P  ;

. MXĐ:
2

 2  , y  y  0
Hàm đồng biến với x    2; 1   0;1   2;   , nghịch biến với
x   ;  2    1;0   1; 2 
CT:





yct  y  2 , yct  y

ct

Câu 2: Tính các tp sau
1

I1  

3



1

dx

 3x  2 

x2  2 x

3x  2  1 
t

0

dt
2

5
9

 4t   
4  16


e2

2
dx

dt
I2   3
t  ln x 
1
1 1  t  3
e x 1  ln x
2

x3dx

1

I3  

1



1  x 

1 x

2

2

. Ta tính nguyên hàm trước:

1  t   tdt    1  1


 2  t  t   2  t
2

x3dx

1  x 

2

1  x2


1
  t 
ln
 2 2

I3  0

t  1 x

2 t
2 t

2

2




 1  x2  1 ln




2 2



2


 dt =


2  1  x 2 
. Thay vào tp:
2 
2  1 x 

Câu 3:
1. Với mỗi miền D cho dưới đây, tính theo yêu cầu của mỗi câu
2 2
2 2
D1 : y  8  x  y  0, y  x, y  0  Vx      x  dx  
2
 0
2

D2 : y  x 2 3, y  4  x 2 , y  0  D2



8 x

2



2


dx 


nhận trục Oy là trục đối xứng vì 3 hàm đều chẵn với x


1

Vy  2  x
0



4x x
2

2



1

3 dx  2  x
0





4  x 2  x 2 3 dx
1

2

0

1

D3 : y  x  y  0, y  2  x, y  0  S  D    xdx    2  x  dx
2.

D4 : y  ln x, y  0, x  2 . Quay miền D quanh 1 trong 2 trục ta được 2 vật thể. Tính diện tích xung
quanh của 2 vật thể đó
Quay miền D quanh trục Ox ta được vật thể có diện tích xung quanh gồm phần mặt cong tạo ra khi
quay phần cung y  ln x,1  x  2 quanh Ox và phần đt x  2,0  y  ln 2 quay quanh Ox tạo thành
hình tròn bán kính

R  ln2 . Do đó, ta có kết quả:

2

1
y  ln x,1  x  2, R  ln 2, x  2,0  y  ln 2; S  2  ln x 1    dx   ln 2 2
 x
1
Quay D quanh trục Oy: phần mặt cong tạo ra khi quay phần cung y  ln x,1  x  2 quanh Oy, đoạn
thẳng x  2,0  y  ln 2 quay tạo thành hình trụ, đoạn thẳng y  0,1  x  2 quay tạo thành hình
2

tròn. Do đó, ta được:

  dy  ln 2. 2

ln 2

S  2  e y 1  e y
0

2

2

  .12

Câu 4: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt:
1.

y 2 x  y  1  2 x  y. z  x   2 x  y  1  y  2  2 zz  . Thay vào pt đã cho:
4 z 2 dz

dx 
 x  C  4 z  4ln  z 2  2 z  1  3 2 ln
2
2z  z  1

2   z  1
2   z  1

 x  C  4 2 x  y  1  4ln 2 x  y  2 2 x  y  1  3 2 ln

2.


2 

2


2 x  y  1  1
2x  y  1  1

1 1
1
1
2
2
2
2  1
  x  xy  dx  ydy  y  xy    x  y . Đặt z  y  y  2 z y . Thay vào
2


2

pt đã cho:







z   2 xz  1  2 x 2  z  e  2 xdx  1  2 x 2 e  2 xdx dx  C  y   Ce x  x
3.

2

2x
y 2  3x 2
dx 
dy  0, y 1  0 . BỎ vì đây là pt Bernoulli với x=x(y)
y3
y4

Câu 5: Giải các hpt:

 x  t   4 x  2 y  e5t
 D  4  x  2 y  e5t
.
1. 


 y  t    x  7 y  2t  1  x   D  7  y  2t  1
Khử x:
Tính x:

4
23
t
15 225
2
4
x   y  7 y  2t  1  2C1e5t  C2e6t  2te5t  e5t  t 
15 225

y  11y  30 y  e5t  8t  6  y  C1e5t  C2e6t  te5t 


 x  t   x  2 y  2cos3t
 D  1 x  2 y  2cos3t
2. 


3t
3t
 y  t   5 x  y  3e
5x   D  1 y  3e
5
1
y  9 y  10cos3t  6e3t  y  C1 cos3t  C2 sin3t  t sin3t  e3t
3
3

1
5
5
11 
x  y  y  3e3t    3C2  C1  cos3t   3C1  C2  sin3t  5t cos3t  t sin3t  sin3t  e3t 
5
5
3
3
3

 x  t   2 x  y  2e4t
 D  2  x  y  2e4t
3. 


y
t


4
x

2
y

3
t
  
4 x   D  2  y  3t

3
3
 y  4 y  8e4t  6t  3  y  C1  C2e4t  2te4t  t 2  t
4
8
1
1
3
15 3 
x    y  2 y  3t    2C1  2C2e4t  4te4t  2e4t  t 2  t  
4
4
2
4
8





Câu 6: Tìm m để tp hội tụ:


1

xm
xm
xm
1. 
dx  

dx  
dx  J1  J 2
3
3
3
1

x
1

x
1

x
0
0
1

J1 : m  0  Tp HT , m  0 : Tp HT  m  1  m  1. Suy ra: J1 HT  m  1

xm
1
J2 :
1  x3 x x3m

. Suy ra:

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi


2. 

0

1  x 

dx

m 3

x2  sin x

J 2 HT  m  2

1  m  2
1



0

1

  f  x  dx   f  x  dx  J1  J 2 , f  x  

1  x 

1

m 3

x 2  sin x

 1
 1 ,m  0
x 3
. Suy ra: J1 HT m
J1 : Khi x  0 : f 
1

,m  0
 13 m
x
 1
 2 m , m  0
1
x 3
. Suy ra: J 2 HT  m 
J 2 : Khi x   : f 
3
 1 ,m  0
 23
x
1
Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi m 
3


3. 

0

1
1
x 2  arctan 2
1

2
x dx  f  x  dx  f  x  dx  J  J , f  x  
x


1
2
m

1
m1
0
1
1  x2
x 2 m3 1  x 2

x 2  arctan
x 2m3










J1 : Khi x  0 : f


x

2

2 m3

1

nên

J1 HT  m  2

nên J 2 HT  m  1
x4m3
Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi 1  m  2

J 2 : Khi x   : f