Cơ học môi trường liên tục dương văn thứ

D

ng V n Th (ch biên)
Nguy n Ng c Oanh

C
MÔI TR

H C
NG LIÊN T C

NHÀ XU T B N T
I N BÁCH KHOA
HÀ N I – 2007


M CL C
M C L C ..................................................................................................................................................... 2
M C L C ..................................................................................................................................................... 3
L I NÓI
CH

U ............................................................................................................................................... 6

NG I ................................................................................................................................................... 8

NH NG KHÁI NI M BAN

U .................................................................................................................. 8

1.1. NHI M V VÀ
IT
NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT .................................................. 8
1.2. M T S KHÁI NI M C B N......................................................................................................... 8
1.2.1 Môi tr ng liên t c và ph n t v t ch t .................................................................................... 8
1.2.2 M t ơ kh i l ng (ρ)............................................................................................................... 8
1.2.3 Tác d ng ngoài ........................................................................................................................ 8
1.2.4 N i l c, ng su t, ph ng pháp m t c t ................................................................................. 9
1.2.5 Bi n d ng và chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n ơ ng và bi n d ng ............................. 10
1.2.6 Các gi thi t và ký hi u.......................................................................................................... 11
1.3. VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH VÉC T ........................................................................................ 13
1.3.1 Véc t và các thành ph n c a véc t ..................................................................................... 13
1.3.2 S bi n ơ i c a các thành ph n véc t khi xoay h tr c to ơ -.......................................... 14
1.3.3 M t s phép tính c b n v véc t ......................................................................................... 15
1.3.4 Tr ng vô h ng và tr ng véc t ......................................................................................... 15
1.4. VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH TEN X ......................................................................................... 16
1.4.1 Khái ni m v tenx ................................................................................................................. 16
1.4.2 Các phép tính c b n v tenx .............................................................................................. 16
1.4.3 Ten x h ng hai ơ i x ng. Giá tr chính, ph ng chính và các b t bi n................................ 17
CH

NG II LÝ THUY T V

BI N D NG VÀ CHUY N V .................................................................... 19

2.1. H TO
VÀ CÁCH MÔ T CHUY N
NG........................................................................... 19
2.1.1 Mô t chuy n ơ ng theo Lagrange ......................................................................................... 19
2.1.2 Mô t chuy n ơ ng theo Euler ................................................................................................ 20

2.1.3
o hàm v t ch t .................................................................................................................... 21
2.1.4 V n t c và gia t c c a chuy n ơ ng theo bi n Lagrange và bi n Euler................................. 22
2.1.5 Qu ơ o và ơ ng dòng .......................................................................................................... 26
2.2. TR NG THÁI BI N D NG T I M T I M - TEN X BI N D NG TRONG H TO
DESCARTES VUÔNG GÓC.................................................................................................................. 27
2.2.1 Tr ng thái bi n d ng t i m t ơi m .......................................................................................... 27
2.2.2 Tenx bi n d ng trong mô t Lagrange - ten x bi n d ng h u h n Green-......................... 27
2.2.3 Ten x bi n d ng trong mô t Euler - ten x bi n d ng h u h n Almansi-............................ 28
2.2.4 M i quan h gi a ten x bi n d ng h u h n và véc t chuy n v .......................................... 30
2.3. TR
NG H P BI N D NG BÉ ................................................................................................... 31
2.3.1 Ten x bi n d ng bé – ph ng trình hình h c Cauchy .......................................................... 31
2.3.2 Ý ngh a v t lý c a các thành ph n trong ten x bi n d ng..................................................... 32
2.3.3 Bi n d ng chính, ph ng chính và các b t bi n c a tr ng thái bi n d ng t i m t ơi m........ 35
2.3.4 Ten x c u và ten x l ch bi n d ng...................................................................................... 38
2.3.5 Ten x quay tuy n tính ........................................................................................................... 38
2.3.6
i u ki n t ng thích v bi n d ng – Ph ng trình liên t c Saint Venant............................ 41
2.4. TEN X T C
BI N D NG – TEN X V N T C XOÁY ......................................................... 42
BÀI T P CH
NG 2 ............................................................................................................................. 44
CH

NG III LÝ THUY T V

NG SU T................................................................................................ 45

3.1. TR NG THÁI NG SU T T I M T I M – TEN X

NG SU T ............................................... 45
3.1.1 Ký hi u ng su t và qui
c d u ............................................................................................ 45
3.1.2 Tr ng thái ng su t t i m t ơi m - Ten x
ng su t. .............................................................. 46
3.1.3 ng su t trên m t nghiêng ..................................................................................................... 47
3.1.4 ng su t chính, ph ng chính và các b t bi n c a tr ng thái ng su t t i m t ơi m. .......... 49
3.1.5 Ten x c u và ten x l ch ng su t........................................................................................ 50
3.1.6 ng su t ti p chính................................................................................................................. 50
3.1.7 Bi u di n tr ng thái ng su t t i m t ơi m b ng vòng tròn Mohr........................................... 52
3.2. I U KI N CÂN B NG C A MÔI TR
NG LIÊN T C - PH
NG TRÌNH CHUY N
NG.... 57


3.2.1 Xét cân b ng c a phân t hình h p – Ph ng trình vi phân cân b ng Navier - Stokes ........ 57
3.2.2 Xét cân b ng c a phân t t di n trên biên – Ph ng trình ơi u ki n biên v l c ................ 60
BÀI T P CH
NG 3 ............................................................................................................................. 60
CH
NG IV CÁC NH LU T C B N C A C H C MÔI TR
NG LIÊN T C VÀ CÁC MÔ HÌNH
MÔI TR
NG LIÊN T C .......................................................................................................................... 62
4.1. NH LU T B O TOÀN KH I L
NG VÀ PH
NG TRÌNH LIÊN T C C A KH I L
NG .... 62
4.2. NH LÝ BI N THIÊN

NG L
NG .......................................................................................... 63
4.3. NH LÝ BI N THIÊN MÔ MEN
NG L
NG........................................................................... 63
4.4. NH LU T B O TOÀN N NG L
NG - PH
NG TRÌNH N NG L
NG .............................. 64
4.4.1
nh lu t b o toàn n ng l ng c h c................................................................................... 64
4.4.2
nh lu t b o toàn n ng l ng c - nhi t. ............................................................................ 66
4.4.3
nh lu t nhi t ơ ng l c h c th hai. B t ơ ng th c Clausius – Hàm hao tán...................... 69
4.5. H CÁC PH
NG TRÌNH C B N C A C H C MÔI TR
NG LIÊN T C ............................ 71
4.6. MÔI TR
NG CH T L NG.......................................................................................................... 73
4.6.1 Ch t l ng lý t ng................................................................................................................... 74
4.6.2 Ch t l ng nh t tuy n tính Newton .......................................................................................... 75
4.6.3 Khái ni m v dòng ch y d ng, dòng ch y không xoáy và dòng ch y có th .......................... 76
4.7. MÔI TR
NG CH T R N ........................................................................................................... 77
4.7.1 Lý thuy t ơàn h i...................................................................................................................... 78
4.7.2 Lý thuy t d o - ơi u ki n d o – ph ng trình v t li u ........................................................... 78
CH

NG V LÝ THUY T ÀN H I TUY N TÍNH ................................................................................... 81

5.1TH N NG BI N D NG ÀN H I RIÊNG VÀ TH N NG BI N D NG ÀN H I BÙ RIÊNG........ 81
5.1.1 Th n ng bi n d ng ơàn h i riêng trong tr ng h p t ng quát – Công th c Green ............... 81
5.1.2 Th n ng bi n d ng ơàn h i bù riêng trong tr ng h p t ng quát – Công th c Castigliano .. 81
5.1.3 Tr ng h p v t li u ơàn h i tuy n tính .................................................................................... 82
5.2. M I QUAN H GI A TEN X
NG SU T VÀ TEN X BI N D NG BÉ – NH LU T HOOKE. 83
5.2.1 V t th d h ng ..................................................................................................................... 83
5.2.2 V t th tr c h ng ................................................................................................................... 84
5.2.3 V t th ơàn h i tuy n tính, ơ ng nh t, ơ ng h ng ................................................................ 86
5.3. CÁC PH
NG TRÌNH C B N C A BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH
NG H
NG BI N
D NG BÉ ............................................................................................................................................... 89
5.4. CÁC CÁCH GI I BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH ..................................................................... 89
5.4.1 Cách gi i theo chuy n v - Ph ng trình Lamé ....................................................................... 90
5.4.2 Cách gi i theo ng su t – Ph ng trình Beltrami - Michell ..................................................... 91
5.5. I U KI N BIÊN – NGUYÊN LÝ SAINT-VENANT - I U KI N
U ........................................... 92
5.5.1 i u ki n biên .......................................................................................................................... 92
5.5.2 Nguyên lý Saint – Venant ........................................................................................................ 92
5.5.3 i u ki n ơ u ........................................................................................................................... 93
5.6. M T S PH
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH VI PHÂN C B N C A BÀI TOÁN ÀN H I
TUY N TÍNH
NG H
NG ............................................................................................................... 93
5.6.1 Ph ng pháp gi i thu n........................................................................................................... 93

5.6.2 Ph ng pháp gi i ng c ......................................................................................................... 93
5.6.3 Ph ng pháp gi i n a ng c Saint – Venant ......................................................................... 94
5.6.4 Các ph ng pháp gi i b ng s ................................................................................................ 94
5.7 NH LÝ KIRCHHOFF V S DUY NH T NGHI M C A BÀI TOÁN ÀN H I ............................. 94
5.8. CÁC NGUYÊN LÝ V CÔNG VÀ N NG L
NG.......................................................................... 95
5.8.1 Công kh d và công bù kh d ................................................................................................ 95
5.8.2 Nguyên lý chuy n v kh d ...................................................................................................... 95
5.8.3 Nguyên lý l c kh d ................................................................................................................ 96
5.8.4 Các nguyên lý c c tr c a v t th ơàn h i tuy n tính ............................................................... 96
BÀI T P CH
CH

NG 5................................................................................................................................. 97

NG VI BÀI TOÁN

ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H T A

DESCARTES ............ 99

6.1. KHÁI NI M V BÀI TOÁN PH NG VÀ PHÂN LO I ..................................................................... 99
6.1.1 Bài toán ng su t ph ng......................................................................................................... 99
6.1.2 Bài toán bi n d ng ph ng ....................................................................................................... 99
6.2. CÁC PH
NG TRÌNH C B N.................................................................................................. 100
6. 3. GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T – HÀM NG SU T AIRY( 1862)........................... 103


6. 4. HÀM NG SU T D

I D NG A TH C.................................................................................. 106
6.4.1 Bài toán d m công son ch u l c t p trung ơ u t do......................................................... 106
6.4.2 Bài toán ơ p( hay t ng ch n) m t c t tam giác ch u áp l c th y t nh - L i gi i Le’vy 1898)
........................................................................................................................................................ 110
6.4.2 Bài toán ơ p (hay t ng ch n) m t c t ch nh t ch u áp l c th y t nh................................. 112
6.5. HÀM NG SU T D
I D NG CHU I L
NG GIÁC ............................................................... 116
CH

NG VII BÀI TOÁN

ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H TO

C C ...................... 121

7.1 H TO
C C VÀ KÝ HI U...................................................................................................... 121
7.2 CÁC PH
NG TRÌNH C B N ................................................................................................... 123
7.2.1 Ph ng trình vi phân cân b ng.............................................................................................. 123
7.2.2 Ph ng trình hình h c ........................................................................................................... 124
7.2.3 Ph ng trình v t li u (v t lý) - ơ nh lu t Hooke ..................................................................... 126
7.3 GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T TRONG H TO
C C....................................... 126
7.4 BÀI TOÁN KHÔNG PH THU C GÓC C C ................................................................................ 128
7.4.1 L i gi i t ng quát bài toán ng su t không ph thu c góc c c ............................................. 128
7.3.2 Bài toán ơ i x ng tr c (Lamé 1852) ...................................................................................... 130
7.4.3 Bài toán thanh cong ch u u n thu n tuý (Golovin 1881)........................................................ 136
7.5 NG SU T C C B QUANH L KHOÉT TRÒN NH ( KIRSCH 1898) ........................................ 137

7.6 NÊM PH NG C A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN .................................................................... 141
7.7 LÁT PH NG N A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN ..................................................................... 144
BÀI T P CH
NG 7 ........................................................................................................................... 148
TÀI LI U THAM KH O............................................................................................................................ 150


L I NÓI

U

Hi n náy, các tr ng đ i h c k thu t, sinh viên th ng đ c h c nhi u môn h c liên
quan t i l nh v c c h c nh : S c b n v t li u, C h c k t c u, Lý thuy t đàn h i, C h c đ t,
C h c ch t l ng, C h c ch t khí, ….., mà đ i t ng nghiên c u c a chúng (ch t r n, ch t
l ng, hay ch t khí) đ u có c u t o v t ch t liên t c. Vi c nghiên c u riêng r t ng môn h c nh
v y, d n đ n s trùng l p nhi u n i dung, h n n a, không nêu đ c nh ng quan đi m và qui lu t
chung t ng quát v m t c h c, c ng nh v t lý h c c a t ng đ i t ng nghiên c u.
Nh m kh c ph c nh ng nh c đi m trên, nhi u n c đã đ a vào ch ng trình gi ng d y
môn h c C h c môi tr ng liên t c, giúp trang b cho ng i h c nh ng nguyên lý và nh ng
qui lu t chung, nh ng ph ng pháp chung t ng quát đ thi t l p và gi i các bài toán c h c,
đ ng th i cho cách nhìn t ng quát và nh t quán v m i quan h ch t ch gi a các môn h c nêu
trên, c ng nh tránh trùng l p ki n th c trong đào t o.
Trong xu th đ i m i, phát tri n và h i nh p, nh m nâng cao trình đ đào t o k s ngang
t m v i khu v c và th gi i, nh ng n m g n đây, m t s tr ng đ i h c Vi t Nam nh
ih c
qu c gia Hà N i, i h c Xây d ng, i h c Th y l i… c ng b t đ u đ a n i dung môn C h c
môi tr ng liên t c vào ch ng trình đào t o c a mình.
Các tài li u h c t p liên quan t i môn h c này n c ta hi n nay còn ít, đ c bi t là cho
kh i tr ng k thu t. Chúng tôi biên so n giáo trình này nh m ph c v công tác gi ng d y và
h c t p cho sinh viên tr ng

i h c Th y l i. Sách c ng ph c v cho sinh viên các tr ng đ i
h c k thu t khác c ng nh tài li u tham kh o cho nh ng ng i quan tâm t i C h c môi tr ng
liên t c.
N i dung cu n sách có th phân thành hai ph n: ph n đ u (g m 4 ch ng 1, 2, 3, 4) trình
bày các khái ni m, các ph ng trình, các đ nh lu t c b n t ng quát c a C h c môi tr ng liên
t c c ng nh các mô hình môi tr ng liên t c; ph n sau (g m 3 ch ng 5, 6, 7) có tính ch t ng
d ng. Do đ i t ng ph c v chính c a giáo trình là sinh viên các ngành k thu t công trình nh
Xây d ng công trình th y l i, th y đi n, xây d ng dân d ng và công nghi p, c u, đ ng, h m c
khí..v..v.. nên ph n ng d ng ch y u đ c p t i các bài toán liên quan t i v t r n đàn h i. Cu i
m i ch ng đ u có m t s bài t p v n d ng nh m giúp ng i đ c hi u sâu h n nh ng n i dung
đ c trình bày trong sách.
Vi c biên so n đ c phân công nh sau:
PGS.TS D ng V n Th - ch biên và vi t các ch ng 1, 2, 3, 4, 5, 7
PGS.TS Nguy n Ng c Oanh - vi t ch ng 6.
Trong quá trình biên so n, do trình đ , kinh nghi m c ng nh th i gian còn h n ch nên
khó tránh kh i các sai sót. Chúng tôi mong nh n đ c nhi u ý ki n đóng góp c a sinh viên, c a
đ ng nghi p c ng nh nh ng ng i quan tâm t i môn h c này, nh m giúp chúng tôi hoàn thi n
h n cho các l n xu t b n sau.
Chúng tôi chân thành c m n các b n đ ng nghi p b môn S c b n v t li u và C h c k t
c u tr ng i h c Th y l i Hà N i đã luôn luôn đông viên và có nhi u ý ki n đóng góp quí báu


giúp chúng tôi hoàn thành b n th o này. C m n đ ng nghi p tr Lê Thu Mai đã giúp đ trong
quá trình ch b n cu n sách.

CÁC TÁC GI


CH

NG I

NH NG KHÁI NI M BAN

U

1.1. NHI M V VÀ

IT
NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT
C h c môi tr ng liên t c [CHMTLT] là môn khoa h c nghiên c u các chuy n đ ng v mô
c a môi tr ng liên t c [MTLT].
MTLT là môi tr ng có c u t o v t ch t liên t c nh : v t th r n, kh i ch t l ng, hay ch t
khí. CHMTLT c ng nghiên c u c các môi tr ng đ c bi t - phi v t ch t - nh tr ng đi n t ,
tr ng nhi t, tr ng b c x , t tr ng..v..v..
Nhi m v c a môn h c là xây d ng các hàm đ c tr ng cho môi tr ng. Các hàm này xác
đ nh tr ng thái bên trong c a môi tr ng v chuy n đ ng, v s t ng tác gi a các ph n t môi
tr ng. Nghiên c u thi t l p các quan h c b n, t ng quát, mô t các tính ch t v t lý c a môi
tr ng, c ng nh các qui lu t bi n đ i c a nó (nh b o toàn kh i l ng, xung l ng, n ng
l ng….).
CHMTLT phát tri n song song v i c h c lý thuy t, nó th a h ng các ý t
k t qu nghiên c u c a C h c lý thuy t, song nó c ng có các h tiên đ riêng.

ng và nh ng

Các ph ng pháp c a CHMTLT cho phép đoán nh n v i đ chính xác cao nh ng hi n
t ng v mô trong thiên nhiên, giúp phân tích và l a ch n các tham s thi t k k t c u công
trình, máy móc và các quá trình. ây là môn khoa h c r ng và nhi u phân nhánh nh : Lý thuy t
đàn h i, đàn nh t, nhi t đàn h i, th y-khí đàn h i, d o, đàn-d o, t bi n, th y khí đ ng l c, đ ng
l c h c các môi tr ng v i các quá trình không cân b ng, thay đ i c u trúc, hay là phá h y..v..v..

1.2. M T S
1.2.1 Môi tr

KHÁI NI M C

B N

ng liên t c và ph n t v t ch t

MTLT là môi tr ng g m có các ph n t v t ch t s p x p liên t c trong m t không gian nào
đó, và chuy n đ ng so v i nhau khi có các tác đ ng bên ngoài.
đ n gi n trong trình bày, ta
đ ng nh t khái ni m ph n t v t ch t và đi m v t ch t, là s l ng v t ch t trong m t phân t
th tích dV nh tùy ý, đ c tách ra t i đi m đang xét c a MTLT. i m v t ch t hoàn toàn khác
v i khái ni m đi m hình h c trong không gian tính toán.

1.2.2 M t đ kh i l

ng (ρ)

M t đ kh i l ng (còn g i là kh i l ng riêng hay t kh i) là đ i l ng đ c tr ng cho đ
đ m đ c c a v t ch t trong môi tr ng, là s đo l ng v t ch t có trong m t đ n v th tích c a
môi tr ng.

ρ=

dm
dV

(1-1)

Trong đó: dm là kh i l ng v t ch t có trong phân t th tích dv t i đi m xét. N u m t đ
kh i l ng nh nhau t i m i đi m ta có môi tr ng đ ng nh t.

1.2.3 Tác d ng ngoài
Tác d ng ngoài là nh ng tác đ ng bên ngoài vào môi tr ng đang xét, nó bao g m tác d ng
l c: ta g i là ngo i l c, và các tác d ng không ph i l c nh : tác d ng nhi t, đi n t …..
Ngo i l c đ

c phân thành hai lo i:


L c kh i là l c tác d ng bên trong môi tr ng nh ; tr ng l c, l c quán tính… và đ c đ c
ur
tr ng b ng c ng đ l c th tích, ký hi u là P , là giá tr l c tác d ng trong m t đ n v th tích.
L c kh i có th nguyên là [L c]/[Chi u dài]3
L c m t là l c tác d ng trên b m t bao xung quanh môi tr ng, nó là k t qu c a s tác
d ng t ng h c a môi tr ng bao quanh lên môi tr ng đang xét: nh l c ti p xúc, áp
uur
su t..v..v… L c m t đ c đ c tr ng b ng c ng đ l c m t, ký hi u là q n , là giá tr l c tác d ng
r
trên m t đ n v di n tích b m t t i đi m xét có pháp tuy n ngoài là n . (H.1-1). L c m t có th
nguyên là [L c]/[Chi u dài]2
qn
n

P

Hình.1-1

1.2.4 N i l c, ng su t, ph

ng pháp m t c t

Khi ch u tác d ng ngoài nào đó, môi tr ng s chuy n đ ng và bi n d ng, các ph n t v t
ch t d ch chuy n, l c t ng tác gi a các ph n t thay đ i. L ng thay đ i l c t ng tác gi a các
ph n t g i là n i l c.
xác đ nh n i l c t i đi m M nào đó trong tr ng thái bi n d ng c a môi tr ng, ta dùng
ph ng pháp m t c t nh sau: t ng t ng c t môi tr ng thành hai ph n riêng bi t b ng m t
ph ng n đi qua M(T nay tên m t ph ng đ c g i b ng tên pháp tuy n ngoài c a nó) (Hình.12a).

dPn

n
M

dF

n

n

M

(a)

Hình.1-2

(b)

L c tác d ng t ng h gi a hai ph n c a môi tr ng do m t c t n phân chia, chính là n i
l c tác d ng trên m t c t đó. N i l c là h l c phân b b m t, và đ c đ c tr ng b ng c ng đ
c a nó. C

uur

ng đ n i l c t i đi m M, ký hi u là Pn , đ
uur
uur dP
pn = n
dF

c tính nh sau:
(1-2)


uur

Trong đó: dPn là h p n i l c tác d ng trên vi phân di n tích dF bao quanh đi m M
(H.12b) (Xét tr ng h p phi mômen, ngh a là khi d i h n i l c phân b trên di n tích dF v đ t t i
M thì véc t mômen chính b ng không).
uur
p n g i là ng su t toàn ph n t i đi m M t

là đ i l

ng ng v i m t c t n đi qua đi m xét.
ng véc t và có th nguyên là [L c]/[Chi u dài]2

ng su t

uur

Rõ ràng, véc t ng su t p n không nh ng ph thu c vào v trí đi m M, mà còn ph thu c
vào ph ng pháp tuy n c a m t c t và ch a bi t tr c ph ng.

1.2.5 Bi n d ng và chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n đ ng và bi n d ng
Xét MTLT có th tích V, b m t bao quanh S, chi m mi n nào đó trong không gian Euclide
ba chi u. Hình thái c a MTLT (bao g m hình thái c h c, hình h c, n ng l ng ….) t i th i
đi m t nào đó đ c coi là xác đ nh, n u ta ch ra đ c s t ng ng gi a các ph n t c a th tích
môi tr ng v i các đi m c a không gian do chúng chi m ch .
Bi n d ng c a môi tr ng là s thay đ i hình dáng, kích th c hình h c ban đ u c a nó khi
chuy n t tr ng thái ban đ u sang tr ng thái bi n d ng. Nghiên c u bi n d ng không c n xét quá
trình trung gian, tuy nhiên n u nghiên c u s ch y thì quá trình bi n đ i tr ng thái là r t quan
tr ng.
xác đ nh bi n d ng t i m t đi m nào đó c a môi tr ng, xu t phát t phân tích hình h c,
ta đi xác đ nh nh ng thay đ i c a m t s y u t hình h c nh là: chi u dài, góc, th tích t i đi m
đó.
Quá trình bi n đ i tr ng thái c a MTLT, các ph n t v t ch t c a nó s chuy n d ch. S
thay đ i v trí c a các ph n t v t ch t g i là chuy n v và đ c đ c tr ng b ng véc t chuy n v ,
là véc t n i v trí c a ph n t
th i đi m ban đ u to so v i v trí c a nó th i đi m t đang xét.
Xét đi m M thu c MTLT trong không
gian tính toán, và hai đi m N, P lân c n M,
đ ng th i MN vuông góc v i MP. Khi bi n
d ng, các đi m M, N, P d ch chuy n t i M1,
N1, P1 (Hình.1-3).
r uuuuur
Nh v y, véc t u = MM1 là véc t

chuy n v c a đi m M. Ph ng chuy n v u
c ng ch a bi t, nên khi tính toán, ta phân tích
thành ba thành ph n đã bi t tr c ph ng
(trong không gian ba chi u) ho c hai thành
ph n (trong không gian hai chi u). T
P,..v..v…

N1

P1
M1

N
P
M

Hình.1-3

ng t c ng có véc t chuy n v c a đi m N, đi m

T s gi a l ng thay đ i chi u dài (do bi n d ng) và chi u dài ban đ u c a đo n phân t
v t ch t MN, g i là bi n d ng dài t đ i theo ph ng MN, ký hi u là εn.
εn =

Δ MN M1 N1 − MN
=
MN
MN

(1-3)

V ý ngh a, bi n d ng dài t đ i theo ph ng nào đó t i đi m xét, là l ng thay đ i chi u
dài c a m t đo n dài b ng đ n v theo ph ng đó. T ng t , c ng có bi n d ng dài t đ i theo
M P − MP
Δ
..v..v..
ph ng MP là: ε MP = MP = 1 1
MP
MP
L ng thay đ i góc vuông gi a hai ph ng MN và MP g i là bi n d ng góc trong m t
ph ng t o nên b i hai ph ng này và ký hi u là γMNxMP
γ MNxMP =

π ·
− N1 M1 P1
2

(1-4)

T ng t , l ng thay đ i th tích c a m t đ n v th tích t i đi m xét g i là bi n d ng th
tích t đ i t i đi m đó
Các bi n d ng ε và γ là các vô h

ng, không có th nguyên.

Khi môi tr ng chuy n đ ng và bi n d ng, ngoài các khái ni m v chuy n v , bi n d ng nh
trên, còn có khái ni m v v n t c, gia t c c a chuy n v và bi n d ng, đó là các đ o hàm b c m t
và b c hai theo th i gian c a các đ i l ng t ng ng này.
Các đ i l ng nghiên c u nh ng su t, bi n d ng, chuy n v ..v..v.. c a MTLT trong tr ng

h p t ng quát, đ c bi u di n b ng các hàm liên t c và có đ o hàm c ng liên t c theo to đ
không gian và th i gian.

1.2.6 Các gi thi t và ký hi u
i t ng ph c v chính c a giáo trình này là sinh viên các tr ng k thu t, nên chúng tôi
ch trình bày nh ng n i dung c b n nh t - có tính ch t ng d ng - c a môn CHMTLT.
Môi tr ng đ c coi là liên t c, đ ng nh t và đ ng h ng.
ng th i, không làm gi m tính
t ng quát, l i gi i đ c trình bày trong h to đ Descartes vuông góc c a không gian Euclide ba
chi u.
Các đ i l ng nghiên c u đ c ký hi u theo h th ng ký hi u trong gi i tích ten x , ngh a là
có ch s
“chân”. Ví d ai, aij, aijk..v..v…Các ch s i, j, k… này đ c qui c nh n ba giá tr 1,
2, 3 trong không gian ba chi u.
H th ng có m t ch s : ai, bj,..v..v…(i,j = 1, 2, 3) g i là h th ng h ng nh t, t t nhiên h
th ng này có 31 = 3 ph n t , đó là a1, a2, a3 hay b1, b2, b3. Ví d , h to đ Descartes vuông góc
ba chi u v n quen ký hi u là (xyz), thì theo h th ng m i s là (x1, x2, x3) vi t g n là xi (i=1, 2,

r

3).Véc t chuy n v u c a đi m M, phân tích thành ba thành ph n t
xi là u1, u2, u3, vi t g n là ui.

ng ng v i các tr c to đ

H th ng có hai ch s : aij, bks..v..v.. g i là h th ng h ng hai, và nó có 32 = 9 ph n t (i,j=1,
2, 3): a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33. T ng t , ta có h th ng h ng cao h n, ví d trong h
th ng h ng ba có 33 = 27 ph n t . Tuy v y, ta ch nghiên c u k các h th ng h ng m t và h ng
hai, là hai h th ng đ c dùng nhi u trong giáo trình này.
H th ng h ng hai đ i x ng, n u aij = aji

H th ng h ng hai ph n đ i x ng, n u aij= - aji, t t nhiên lúc này a11= a22= a33=0.
Nh v y, ch s có th dùng b t k ch cái nào mà không thay đ i ý ngh a, ví d h tr c to
đ 3 chi u có th ký hi u là xi ho c xj ho c xk đ u nh nhau vì đ u cùng ch 3 tr c x1, x2, x3.
Ngoài qui c v ch s nêu trên, Einstein còn đ a ra vài qui
phép t ng và phép đ o hàm nh sau:

c nh m đ n gi n ký hi u


a) Ký hi u phép t ng.
Ð

Trong m t bi u th c, ch s đ

c vi t l p l i hai l n, bi u th t ng t 1 đ n 3 theo ch s đó.

3

a i bi = ∑ a i bi = a1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b3

Ví d :

i =1

3

σii = ∑ σii = σ11 + σ 22 + σ33
i =1

Ð

N u có hai ch s khác nhau cùng l p l i, c ng bi u th t ng t 1 đ n 3 theo c hai ch s đó.
Ví d :
3

3

σij εij = ∑∑ σij εij =σ11ε11 + σ12 ε12 + σ13 ε13 + σ 21ε 21 + σ 22 ε 22 + σ 23 ε 23 + σ31ε31 + σ32 ε32 + σ33 ε33
j=1 i =1

Trong m t bi u th c, n u có c ch s không l p l i, có c ch s l p l i, thì qui t c v n nh
v y. Ngh a là, ch s không l p l i s nh n ba giá tr : 1, 2, 3; còn ch s l p l i bi u th phép t ng
t 1 đ n 3. Ví d ph ng trình:

Ð

σijnj = 0

(a)

Ch s i không l p l i, ch s j l p l i, ph
trình sau:
V i i = 1 có:

σ11n1 + σ12n2 + σ13n3 = 0

i = 2 có:

σ21n1 + σ22n2 + σ23n3 = 0

i = 3 có:

σ31n1 + σ32n2 + σ33n3 = 0

ng trình này s t

ng đ

ng v i h ba ph

ng

b) Ký hi u phép đ o hàm riêng.

Trong m t bi u th c, n u có d u ph y ( , ) đ ng tr c m t hay nhi u ch s nào đó, nó bi u
th phép đ o hàm riêng bi u th c đó theo các ch s đ ng sau d u ph y. Ví d trong h to đ xi
(i=1, 2, 3).

Ð

u1,2 =

∂u1
;
∂x2

u1,23 =

∂ 2 u1
;

∂x2 ∂x3

f ,1 =

Ma tr n

Ð

∂f
∂x1

⎡ u1,1
⎢
⎣⎡ u i, j ⎦⎤ = ⎢ u 2,1
⎢ u 3,1
⎣

u1,2
u 2,2
u 3,2

⎡ ∂u1
⎢
∂x
u1,3 ⎤ ⎢ 1
⎥ ⎢ ∂u
u 2,3 ⎥ = ⎢ 2
∂x
u 3,3 ⎥⎦ ⎢ 1
⎢ ∂u

⎢ 3
⎣⎢ ∂x1

∂u1
∂x 2
∂u 2
∂x2
∂u 3
∂x2

∂u1 ⎤
⎥
∂x3 ⎥
∂u 2 ⎥
⎥
∂x3 ⎥
∂u 3 ⎥
⎥
∂x3 ⎦⎥

Trong m t bi u th c, có th có c phép đ o hàm, c phép t ng. Ví d :


σ 2 j, j = σ 21,1 + σ 22,2 + σ23,3 =

∂σ21 ∂σ22 ∂σ 23
+
+
∂x1
∂x2

∂x3

c) Ký hi u Kronecker.

Ma tr n đ n v c p 3 th

ng đ

c ký hi u là δij, còn g i là ký hi u Kronecker.

⎡1 0 0 ⎤
⎧1 nÕu i=j
δij = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ hay δij = ⎨
⎩0 nÕu i ≠ j
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

Nh ký hi u này mà nhi u phép bi n đ i toán h c đ
dùng nhi u trong tài li u này. Ví d :

c trình bày khá đ n gi n, và đ

c

o hàm riêng c a các bi n s đ c l p xi:

Ð

∂xi
= xi, j = δij
∂x j

Ð

xi xi = x12 + x22 + x32 = δij xi xj

Ð

δikxk = xi

1.3. VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH VÉC T
Gi i tích véc t cho ta m t cách ký hi u v n t t thu n ti n, đ vi t và bi u di n các h th c
toán h c gi a các đ i l ng v t lý m t cách cô đ ng, h n n a, nó còn giúp ta d làm sáng t h n
ý ngh a v t lý c a các h th c và đ nh lý toán h c đó.
Có hai lo i đ i l ng v t lý: Nh ng đ i l ng vô h ng, và nh ng đ i l ng véc t .
i
l ng vô h ng là nh ng đ i l ng hoàn toàn đ c xác đ nh khi bi t đ l n, kích th c, ý ngh a,
hay s đ n v theo m t thang đ nào đó nh : kh i l ng, chi u dài, th tích, nhi t đ , n ng
l ng..v..v…
h

i l ng véc t là nh ng đ i l ng mà mu n xác đ nh nó, ngoài đ l n còn ph i bi t
ng c a nó nh : chuy n v , v n t c, gia t c, l c, ng su t, gradien nhi t đ ..v..v..

1.3.1 Véc t và các thành ph n c a véc t
có th chuy n ký hi u véc t sang ký hi u to đ Descartes vuông góc và ng

c l i, ta

ur
gán cho véc t m t h t a đ vuông góc xi có các véc t c s ei (i=1,2,3) (Hình.1- 4).
r

Xét véc t a b t k , g c M, có các thành

x

ph n trên ba tr c to đ là ai, khi đó ta có
ur
uur
ur
ur
r
a = a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e3 = a i ei
(1-5)
dài véc t đ
2
1

2
2

a

c tính:

a = a + a + a = aiai
2

2
3

e2

(1-6)

r
Các cosin ch ph ng c a véc t a , ký hi u là
ni đ

c tính:
ni =

ai
a

2

M

e3
3

a2
a3

o

x

a1

e1

x

1

Hình.1-4
(1-7)


Và có đi u ki n

n12 + n 22 + n 32 = n i n i = 1

(1-8)

1.3.2 S bi n đ i c a các thành ph n véc t khi xoay h tr c to đ Ma tr n bi n đ i to đ

uur
ur
’
Ta xoay h tr c xi có các véc t c s ei sang v trí m i xi có các véc t c s ei ' . Các
cosin ch ph

ng gi a hai h tr c l p thành ma tr n vuông c p 3:
⎡ c11
⎡⎣ cij ⎤⎦ = ⎢c 21
⎢
⎢⎣ c31

c13 ⎤

c 23 ⎥⎥
c33 ⎥⎦

c12
c 22
c32

uur
ur
Trong đó, ph n t cij là cosin c a góc h p gi a ei ' và e j .

(1-9)
ây là ma tr n c a phép bi n đ i

tr c giao nên
[cij]-1 = [cij]T

(1-10)

Nh ma tr n [cij], ta có th bi u di n h véc t c s này qua h véc t c s kia và ng c
l i, c ng nh có th bi u di n các thành ph n c a m t vec t trong h to đ này qua các thành
ph n c a nó trong h t a đ kia và ng c l i [1,4,5]. Ma tr n [cij] (1-9) g i là ma tr n bi n đ i
t ađ :
a) S bi n đ i h véc t c s khi xoay tr c
ur
ur
uur
ur
e1' = c11 e1 + c12 e 2 + c13 e3
uur

ur
uur
ur
e'2 = c 21 e1 + c22 e 2 + c23 e3
ur
ur
uur
ur
e3' = c31 e1 + c32 e2 + c33 e3
Hay vi t g n:
ur
ur
ei' = cij e j

Ng

(1-11)

cl i
ur
ur
ei = c ji e'j

1-11)’

b) S bi n đ i các thành ph n c a véc t khi xoay tr c

r

r

Ký hi u ai’ là các thành ph n c a a trong h tr c to đ m i xi’. Vì véc t a b t bi n qua
phép đ i to đ , ngh a là:
ur
r
ur
a = a i' ei' = a j e j
T
và ng

ng t nh (1-11), ta có:
ai’ = cijaj

(1-12)

ai = cjiaj’

(1-12)’

cl i

hay d ng t

ng minh


a1' = c11a1 + c12 a 2 + c13 a 3
a '2 = c 21a1 + c 22 a 2 + c23 a 3

(1-12)’’

a 3' = c31a1 + c32 a 2 + c33 a 3

1.3.3 M t s phép tính c b n v véc t
r r
ur
ur
ur
a + b = a i ei + bi ei = (a i + bi )ei

a) Phép t ng:
b) Tích vô h

ng đ

ng gi a hai véc t là m t vô h
rr
rr
a.b = a.bcos(ab) = a i bi

(1-13)
c tính nh sau:
(1-14)

c) Tích có h ng (tích véc t ) gi a hai véc t là m t véc t , có ph ng vuông góc v i m t
ph ng t o nên b i hai véc t thành ph n, chi u theo qui t c tam thu n
ur uur ur
e1 e 2 e3
r r
ur

uur
ur
(1-15)
ax b = a1 a 2 a 3 = ( a 2 b3 − a 3 b 2 ) e1 − ( a1 b3 − a 3 b1 ) e 2 + ( a1 b 2 − a 2 b1 ) e3
b1

1.3.4 Tr
tr

b2

ng vô h

b3

ng và tr

ng véc t

Ta đ a ra m t s đ i l ng đ c dùng nhi u trong các bài toán v tr
ng véc t , trong h to đ vuông góc xi nh sau:

ng vô h

ng và

ur

a) Toán t vi phân véc t Nabla ( ký hi u là ∇ ) là m t véc t :
ur

∂ ur
∂ uur
∂ ur
∂ ur
∇=
e1 +
e2 +
e3 =
ei
∂x1
∂x2
∂x3
∂xi

(1-16)

b) Toán t vi phân Laplace (ký hi u là ∇2) là tích vô h ng gi a hai toán t Nabla:
ur uur
∂2
∂2
∂2
∂2
∇ 2 = ∇⋅∇ = 2 + 2 + 2 =
(1-17)
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi ∂xi
c) Véc t gradien c a m t hàm đi m vô h

ng.

ur

N u a(xi) là m t hàm đi m vô h ng, thì ∇ .a(xi) là m t véc t vuông góc v i m t ph ng có

a(xi) b ng h ng s , g i là véc t gradien c a a(xi), ký hi u là grad a(xi).
ur
∂a ur ∂a uur ∂a ur ∂a ur
e1 +
e2 +
e3 =
ei
grad a = ∇.a( xi ) =
∂x1
∂x2
∂x3
∂xi
tr

Khái ni m gradien c a hàm đi m vô h
ng vô h ng.
Hàm a(xi) g i là hàm đi u hoà n u

(1-18)

ng đóng vai trò quan tr ng trong các bài toán v

∇2 a(xi)=0

d) Dive và rote c a m t hàm đi m véc t , ký hi u là div và rot.

r

N u a (xi) là m t hàm đi m véc t , thì ta có đ nh ngh a sau:
r ur r
∂a
∂a
∂a
∂a
div a = ∇.a( xi ) = 1 + 2 + 3 = i
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

(1-19)


r ur r
rot a = ∇x a( xi ) =

ur
e1

uur
e2

ur
e3

∂
∂x1

∂
∂x2

∂
∂x3

(1-20)

a1
a2
a3
Các khái ni m dive và rote c a m t hàm véc t đóng vai trò quan tr ng trong các bài toán
v tr ng véc t .
e)
nh lý dive
Gauss và Ostrogradsky đã ch ng minh m t đ nh lý quan tr ng (g i là đ nh lý dive), cho
phép chuy n đ i gi a tích phân th tích và tích phân m t, nh nó mà nhi u nguyên lý t ng quát
c a c h c đ c ch ng minh d dàng. nh lý phát bi u nh sau:

r

r

Hàm đi m véc t a (xi) thu c tr ng véc t có th tích là V, m t gi i h n S; n là véc t
pháp tuy n đ n v t i vi phân di n tích b m t ds, thì ta có:
r
rr
div
a(
)dV
=
n.a(
x

(1-21)
i
∫
∫ xi )dS
V

S

1.4. VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH TEN X
1.4.1 Khái ni m v tenx
Ten x là m t h th ng các đ i l ng hay các hàm mà các thành ph n c a nó thay đ i theo
qui lu t nh t đ nh v i phép bi n đ i tuy n tính c a các bi n. Ng i ta phân ten x thành nhi u
h ng. D i đây, ch xét khái ni m ten x trong h t a đ vuông góc.
Ten x h ng không có m t thành ph n (30=1). Các đ i l ng vô h ng là các ten x h ng
không. Ph n t c a chúng không thay đ i khi xoay h tr c.
Ten x h ng m t có 31 = 3 thành ph n . Véc t là m t ten x h ng m t, các thành ph n c a
nó bi n đ i theo qui lu t (1-12) khi xoay h tr c to đ .
Ten x h ng hai có 32 = 9 thành ph n , và th ng đ c đ t trong m t ma tr n vuông c p ba.
N u ký hi u các thành ph n c a ten x h ng hai là aij thì:
⎛ a11
⎜
Ta = ⎡⎣ a ij ⎤⎦ = ⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
Khi xoay h tr c to đ , các thành

a13 ⎞
⎟
(1-22)
a 22 a 23 ⎟

⎟
a 32 a 33 ⎠
ph n c a ten x h ng hai (1-22) thay đ i theo qui lu t
a12

sau:
a’ij = cikcjlakl

(1-23)

trong đó [cik] là ma tr n bi n đ i to đ (1-9).
T ng t ta có đ nh ngh a ten x h ng cao h n.

1.4.2 Các phép tính c b n v tenx
a) Phép c ng: T ng (hay hi u) hai ten x cùng h ng là m t ten x cùng h ng, mà các thành
ph n c a nó là t ng (hay hi u) c a các ph n t có cùng ch s
các ten x thành ph n.

Ví d : T ng hai ten x h ng hai là m t ten x h ng hai:
Ta + Tb = Tc v i

cij = aij + bij

b) Phép nhân: (ký hi u phép nhân ten x là vi t hai ten x li n nhau). Phép nhân hai ten x
có th th c hi n v i hai ten x có h ng b t k . Ten x tích có h ng b ng t ng h ng c a hai ten


x thành ph n. M i thành ph n c a ten x tích b ng tích c a thành ph n ten x th nh t v i
thành ph n c a ten x th hai l y theo đúng th t ch s .

r

r

Ví d : Tích c a hai ten x h ng m t (hai véc t ) a và b :
ur
uur
ur
ur
r
a = a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e3 = a i ei
r
ur
uur
ur
ur
b = b1 e1 + b 2 e2 + b3 e3 = b j e j

là ten x h ng hai, ký hi u là cij, có các thành ph n cij đ c tính nh sau:
r r
ur ur
ur ur
c = a b = a i ei b j e j = a i b j ei e j = cij
Các thành ph n c a ten x tích cij đ
⎛ c11
⎜
Te = ⎡⎣ cij ⎤⎦ = ⎜ c 21
⎜c
⎝ 31

c x p trong m t ma tr n vuông c p ba nh sau:
c12
c 22
c32

c13 ⎞ ⎛ a1 b1
⎟ ⎜
c 23 ⎟ = ⎜ a 2 b1
c33 ⎟⎠ ⎜⎝ a 3 b1

1.4.3 Ten x h ng hai đ i x ng. Giá tr chính, ph
a)

a1 b 2
a 2 b2
a 3 b2

a1 b3 ⎞
⎟
a 2 b3 ⎟
a 3 b3 ⎟⎠

ng chính và các b t bi n

nh ngh a

Ten x h ng hai A, có các thành ph n aij, g i là đ i x ng n u aij = aji.
r
H ng có véc t đ n v n , g i là h ng chính c a ten x đ i x ng h ng hai A, n u véc t
r

r
A. n đ ng ph ng v i véc t n , ngh a là:
r
r
A. n = k. n
(1-24)
hay theo các thành ph n c a A:
aijnj = kδijnj

hay

(aij - kδij)nj = 0
D ng t

(1-24)’

ng minh c a (1-24)’ là:
+ a13 n 3
=0
⎧(a11 − k)n1 + a12 n 2
⎪
=0
+ (a 22 − k)n 2 + a 23 n 3
⎨ a 21 n1
⎪ a n
+ a 32 n 2
+ (a 33 − k)n 3 = 0
31 1
⎩

(1-24)’’

Trong đó, h s k g i là giá tr chính c a ten x đ i x ng h ng hai aij.
b) Xác đ nh các giá tr chính và ph

Các giá tr chính k là nghi m c a ph
t (1-24)’ có
Det

ng chính

ng trình (1-24)’. Vì nj không đ ng th i b ng không, nên

a ij - kδij = 0

hay
k3 – D1k2 + D2k – D3 = 0

(1-25)

Trong đó ký hi u
D1 = a11 + a22 + a33 = aii
D2 =

a11 a12
a 21 a 22

+

a11 a13

a 31 a 33

+

a 22 a 23
a 32 a 33


=

1
(aiiajj – aijaji )
2

D3 = Det

(1-26)

a ij

(1-25) g i là ph ng trình đ c tr ng c a ten x đ i x ng h ng hai, dùng đ xác đ nh các
giá tr chính k1, k2, k3.
V i phép bi n đ i to đ , ph ng trình (1-25) không thay đ i d ng, ngh a là ba nghi m c a
nó b t bi n. Nh v y, khi h tr c to đ thay đ i, các thành ph n c a ten x aij thay đ i theo qui
lu t(1-23), nh ng các h s c a ph ng trình (1-25) là D1, D2, D3 không đ c thay đ i. D1, D2,
D3 tính theo (1-26) g i là các b t bi n c a ten x đ i x ng h ng hai aij.
xác đ nh ph ng chính, ta l i thay l n l t các giá tr chính Ki vào h ph ng trình (124)’ k t h p v i đi u ki n nini = n12 + n 22 + n 32 = 1 , s xác đ nh đ c ba h ng chính t ng ng
v i ba giá tr chính.
Ví d : Các cosin ch ph

ng c a ph

ng chính th 2, là nghi m h ph

ng trình sau:

+ a13 n 3
=0
⎧(a11 − k 2 )n1 + a12 n 2
⎪ a n
=0
+(a 22 − k 2 )n 2 +
a 23 n 3
⎪
21 1
⎨
+ a 32 n 2
+ (a 33 − k 2 )n 3 = 0
⎪ a 31 n1
2
2
⎪
=1
n1
+
n2
+
n 32
⎩
Xu t phát t đ nh ngh a (1-24), ma tr n c a ten x đ i x ng h ng hai trong h to đ các

tr c chính có d ng đ ng chéo:
⎛ k1 0 0 ⎞
⎜
⎟
Ta = ⎡⎣ a ij ⎤⎦ = ⎜ 0 k 2 0 ⎟
(1-27)
⎜0 0 k ⎟
3⎠
⎝
Ng i ta ch ng minh đ c r ng v i ten x h ng hai đ i x ng, ba nghi m c a ph
đ c tr ng (1-25) luôn luôn th c, và ba ph ng chính luôn vuông góc v i nhau.

ng trình


CH

NG II LÝ THUY T V

2.1. H TO

BI N D NG VÀ CHUY N V

VÀ CÁCH MÔ T CHUY N

NG

CHMTLT ch y u xét các t ng tác c nhi t và bi n d ng c a các ph n t v t ch t c a
MTLT, Các đ i l ng này đ c bi u di n qua các đ i t ng toán h c, đó là tenx các h ng: ten
x h ng không hay là các vô h ng nh nhi t đ , n ng l ng,...v..v..; ten x h ng nh t hay là

các véc t nh : bán kính véc t đi m, chuy n v , v n t c, gia t c,…v..v…; ten x h ng hai nh :
ten x bi n d ng, ten x ng su t ...v…v…
Trong CHMTLT, qui lu t chuy n đ ng c a các ph n t v t ch t môi tr ng trong không
gian, th ng đ c mô t theo bi n Lagrange ho c theo bi n Euler.

2.1.1 Mô t chuy n đ ng theo Lagrange
Xét ph n t v t ch t M thu c môi tr ng, t i th i đi m ban đ u (to) có v trí đ
ur
b ng bán kính véc t R trong h to đ vuông góc Xi:
ur ur
ur
uur
ur
ur
R = R(X i ) = X1 e1 + X 2 e 2 + X 3 e3 = X i ei

c xác đ nh
(2-1)

Vì Xi là to đ đi m v t ch t M t i th i đi m ban đ u to, và Xi không ph thu c th i gian.

r
Sau th i gian (t) nó chuy n đ ng t i v trí M1 và đ c xác đ nh b ng bán kính véc t r
trong h to đ xi
r r
ur
uur
ur
ur
(2-2)

r = r( xi ) = x1 e1 + x2 e 2 + x3 e3 = xi ei

Do xi là to đ đi m v t ch t M1 t i th i đi m (t) đang xét, do đó xi ph thu c c th i gian.
Trong tr ng h p t ng quát, hai h to đ Xi và xi, ng v i hai tr ng thái c a môi tr ng,
hoàn toàn có th khác nhau. Tuy v y, đ đ n gi n, ta ch n hai h to đ này có cùng h véc t
c s (Hình.2-1).

x2

x

2

M
u
M1

R
e2

x3

x

r

o
3

e3

x1 , x 1

e1

Hình.2-1

r
ur
Chuy n đ ng c a ph n t v t ch t M coi nh bi t, n u ta bi t quan h gi a r và R t i th i
đi m (t) b t k , ngh a là bi t véc t hàm:
r r ur
r
r
r = r(R, t) = r(X1 , X 2 , X 3 , t) = r(X i , t)
(2-3)

hay các thành ph n c a nó (xem 2-2).
x1 = x1(X1, X2, X3, t)=x1(Xi,t)
x2 = x2(X1, X2, X3, t)=x2(Xi,t)
x3 = x3(X1, X2, X3, t)=x3(Xi,t)
xj = xj(Xi,t)
hay

(2-3)’
(2-3)”


Các hàm trong (2-3), (2-3)’ kh vi và liên t c, và có s t
c a nó khác không.

J = Det

∂x1
∂X1

∂x1
∂X 2

∂x1
∂X 3

∂x2
∂X1

∂x2
∂X 2

∂x2
∂X 3

∂x3
∂X1

∂x3
∂X 2

∂x3
∂X 3

Véc t chuy n v c a M (xem hình 2-1).
r
r ur
u = r -R
hay các thành ph n c a nó:
uj = xj – Xj
c ng là hàm c a Xi và th i gian t.
r r
u = u(X i , t)

≠ 0

ng ng m t-m t, nên Jacobien

(2-4)

(2-5)
(2-5)’
(2-6)

(2-6)’
uj = uj(Xi,t)
Các quan h (2-3) ho c (2-6) đ u bi u di n qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng: (2-3) là
bi u di n qua véc t to đ đi m, (2-6) là bi u di n qua véc t chuy n v .
r
Rõ ràng, bán kính véc t r (có các to đ xj) theo (2-3) xác đ nh v trí t i th i đi m (t) c a
ph n t v t ch t, mà tr c đó, t i th i đi m ban đ u (to) nó đ c xác đ nh b ng bán kính véc t
ur
R (có to đ Xj). H th c (2-3) này, xác đ nh s t ng ng gi a các ph n t v t ch t hình thái
ban đ u và v trí c a chúng hình thái ti p theo. Cách mô t chuy n đ ng theo (2-3) ho c (2-6)

g i là mô t theo Lagrange. Các bi n Xi đ c tr ng cho t ng ph n t v t ch t riêng c a môi
tr ng và th i gian (t) g i là bi n Lagrange, (còn g i là to đ Lagrange, hay to đ v t ch t).
N u c đ nh Xi, còn t thay đ i, thì (2-3) cho ta qui lu t chuy n đ ng c a m t ph n t v t
ch t xác đ nh, t c là cho ta qu đ o chuy n đ ng c a ph n t đang xét. N u Xi thay đ i, còn t c
đ nh, thì (2-3) cho ta s phân b c a các ph n t v t ch t môi tr ng t i th i đi m xét. N u c Xi
và t cùng thay đ i, thì (2-3) cho ta qui lu t chuy n đ ng c a c môi tr ng. Nh v y, mô t theo
Lagrange là mô t theo qu đ o, ngh a là xác đ nh v trí c a các ph n t môi tr ng t i th i đi m
xét.
Nghiên c u chuy n đ ng theo Lagrange d a trên l ch s chuy n đ ng c a t ng ph n t môi
tr ng, t c là quan tâm t i qui lu t thay đ i c a các đ i l ng đ c tr ng đ i v i ph n t v t ch t
M cho tr c c a môi tr ng.
hay

2.1.2 Mô t chuy n đ ng theo Euler
Ng c l i v i Lagrange, Euler không quan tâm t i l ch s chuy n đ ng c a m t ph n t
riêng bi t c a môi tr ng, mà quan tâm t i cái gì đã x y ra t i đi m không gian M1 vào th i
đi m t; t c là c n xác đ nh xem ph n t v t ch t nào th i đi m ban đ u (đi m M), sau th i
gian t s chuy n đ ng t i đi m không gian M1, c ng có ngh a là ph i xác đ nh bán kính véc t
ur
r
R theo r .
ur ur r
ur
ur
R = R(r, t) = R( x1 , x2 , x3 , t) = R( xi , t)
(2-7)


hay các thành ph n c a nó (xem 2-2).
X1 = X 1(x1, x2, x 3, t)= X 1(xi,t)

X 2 = X 2(x1, x2, x3, t)= X 2(xi,t)
X 3 = X 3(x1, x2, x3, t)= X 3(xi,t)
Xj = Xj(xi,t)
T ng t (2-3), Jacobien c a (2-7)’ c ng khác không.
r
Véc t chuy n v u (2-5) lúc này c ng là hàm c a xi và t.
r r
u = u( xi , t)

(2-7)’
(2-7)”

(2-8)

(2-8)’
uj = uj(x i,t)
Mô t chuy n đ ng theo (2-7) ho c (2-8) là mô t theo Euler. Các bi n xi và th i gian t g i
là bi n Euler (còn g i là to đ Euler hay to đ không gian). Mô t theo (2-7) là mô t qua véc
t to đ đi m, còn mô t theo (2-8) là mô t qua véc t chuy n v .
N u c đ nh xi, t c là c đ nh M1, thì (2-7) s xác đ nh dòng các ph n t v t ch t có to đ
th i đi m ban đ u Xi c a môi tr ng l n l t đi qua đi m không gian M1 t i các th i đi m khác
nhau.
Dùng bi n Lagrange hay bi n Euler đ mô t chuy n đ ng, là tu thu c vào bài toán đang
xét, là hai cách mô t khác nhau, nh ng hoàn toàn t ng đ ng: bi t qui lu t chuy n đ ng theo
Lagrange thì c ng suy ra đ c qui lu t chuy n đ ng theo Euler và ng c l i, nh Jacobien c a
chúng khác không.
C ng c n chú ý r ng, hai h to đ Xi và xi, tuy có cùng h véc t c s , nh ng chúng hoàn
toàn khác nhau v b n ch t. To đ v t ch t Xi không ph thu c th i gian, còn to đ không
gian xi ph thu c th i gian.
hay

2.1.3

o hàm v t ch t

Khi môi tr ng chuy n đ ng, các đ i l ng đ c tr ng cho tính ch t c a môi tr ng s thay
đ i. Gi s xét đ i l ng nào đó, ký hi u là A. T c đ thay đ i theo th i gian c a A g i là đ o
hàm v t ch t c a A theo th i gian (còn g i là đ o hàm toàn ph n), nó xem nh t c đ thay đ i
c a đ i l ng đang xét đ i v i ng i quan sát cùng chuy n đ ng v i ph n t c a môi tr ng.
o hàm v t ch t theo th i gian t i m t th i đi m xác đ nh g i là v n t c t c th i c a chuy n
đ ng.
a) Trong mô t Lagrange

(2-9)
A = A(Xi, t)
Vì Xi không ph thu c th i gian, nên đ o hàm v t ch t c a A theo th i gian s là:
dA ∂A(X i , t)
(2-9)’
=
∂t
dt
b) Trong mô t Euler

A = A(xi, t)
Vì xi ph thu c th i gian, nên đ o hàm v t ch t c a A theo th i gian s là:
dA ∂A( xi , t) ∂A( xi , t) dx1 ∂A( xi , t) dx2 ∂A( xi , t) dx3
=
+
⋅
+

⋅
+
⋅
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
dt
dt
dt
dt

(2-10)


dA( xi , t) ∂A( xi , t) ∂A( xi , t)
=
+
⋅ vk
∂t
∂xk
dt

Trong đó v k =

(2-11)

dx k
là các thành ph n c a v n t c t c th i c a ph n t (Xem (2-13)’).
dt

2.1.4 V n t c và gia t c c a chuy n đ ng theo bi n Lagrange và bi n Euler.
V n t c chuy n đ ng t c th i c a các ph n t v t ch t (ký hi u là v) là đ o hàm v t ch t
theo th i gian c a chuy n v , trong tr ng h p chung:
r
r r du
v = u&=
(2-12)
dt
hay các thành ph n c a v n t c:
du j
vj =
(j = 1, 2, 3)
(2-12)’
dt
r ur
r
M t khác, theo (2-5) u = r - R , nên c ng có th tính v n t c theo công th c sau:
r ur
r
r
r du d r − R
dr
=
=
v=
(2-13)
dt
dt
dt

hay các thành ph n c a v n t c
dx j
(2-13)’
vj =
dt
Nh v y, ta có hai cách đ xác đ nh v n t c chuy n đ ng: ho c là theo (2-12), (2-12)’ ho c
r
(2-13), (2-13)’ tu thu c qui lu t chuy n đ ng đ c bi u di n qua véc t chuy n v u , hay qua
r
bán kính véc t r .
T ng t , đ o hàm v t ch t theo th i gian c a v n t c là gia t c chuy n đ ng, ký hi u là w.
r
ur r dv
&
w=v=
(2-14)
dt
hay các thành ph n c a nó
dv j
wj =
(2-14)’
dt

(

)

a) Trong mô t Lagrange
r r
Vì u = u(Xi , t) nên theo (2-12) và chú ý t i (2-9)’:

r
r
r du(X , t) ∂ u(X , t)
i
i
=
v=
∂t
dt
hay các thành ph n c a nó theo (2-12)’ có
∂u j (X i , t)
vj =
∂t
còn gia t c
r
ur ∂ v(X , t)
∂v j (X i , t)
i
w=
hay
wj =
∂t
∂t

(2-15)

(2-15)’

(2-16)

b) Trong mô t Euler

r

r

Vì u = u( xi , t) , mà to đ không gian xi ph thu c th i gian, nên theo (2-12) và chú ý t i
(2-11) có:
r
r
r
r du( x , t) ∂ u( x , t) ∂ u( x , t)
i
i
i
(2-17)
v=
=
+
⋅ vk
dt
∂t
∂x k
hay các thành ph n c a nó
vj =
còn gia t c

du j ( xi , t)
dt

=

∂u j ( xi , t)
∂t

+

∂u j ( x i , t)
∂xk

⋅ vk

(2-17)’

r
r
ur ∂ v( x , t) ∂ v( x , t)
i
i
+
⋅ vk
w=
∂t
∂xk

hay các thành ph n

(2-18)
wj =

∂v j ( xi , t)
∂t

+

∂v j ( xi , t)
∂xk

⋅ vk

Ví d 2-1
Cho qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng theo bi n Lagrange:
x1 = X1et + X3(et-1) ; x2 = X2 + X3(et - e-t) ; x3 = X3
(a)
Yêu c u: Xác đ nh tr ng v n t c và gia t c theo to đ Lagrange và Euler.
Bài gi i
1-V n t c
Nh đã trình bày, có hai cách đ xác đ nh tr ng v n t c: dùng (2-12)’ ho c (2-13)’.
a) Theo bi n Lagrange
Cách 1: T ph ng trình chuy n đ ng (a), thay vào (2-13)’ có:
dx
v1 = 1 = X1e t + X 3 e t = (X1 + X 3 )e t ;
dt
dx
v 2 = 2 = X 3 e t + X 3 e − t = X 3 (e t + e − t );
(b)
dt
dx
v3 = 3 = 0;

dt

r

Cách 2: Thay (a) vào (2-5)’ nh n đ c các thành ph n c a véc t chuy n v u theo bi n
Lagrange:
u1 = x1 – X1 = X1et + X3(et - 1) – X1 = (X1 + X3). (et – 1)
(c)
u2 = x2 – X2 = X2 + X3(et – e-t) – X2 = X3. (et – e-t)
u3 = x3 – X3 = X3 - X3 = 0
Thay (c) vào (2-15)’ s nh n đ c các thành ph n c a véc t v n t c. K t qu trùng v i cách
gi i m t (b).
b) Theo bi n Euler
Jacobien c a ph ng trình chuy n đ ng (a) khác không:


J = Det

∂x1
∂X1

∂x1
∂X 2

∂x1
∂X 3

∂x2
∂X1

∂x2
∂X 2

∂x2
∂X 3

∂x3
∂X1

∂x3
∂X 2

∂x3
∂X 3

= et ≠ 0

Do đó, t (a) gi i ng c ra ph ng trình chuy n đ ng theo bi n Euler:
X1 = x1 e-t + x3(et - 1)
(d)
X2 = x2 - x3(et – e-t)
X3 = x3
V n t c chuy n đ ng theo Euler c ng có th xác đ nh b ng hai cách.
Cách 1: Thay ph ng trình chuy n đ ng theo bi n Euler (d) vào bi u th c tính các thành
ph n v n t c (b) có:
v1 = (X1 + X3)et = ⎡⎣ x1e − t + x3 (e − t − 1) + x3 ⎤⎦ e t = ( x1 + x3 )
v2 = X3(et + e-t) = x3(et + e-t)
v3 = 0
Cách 2: Thay (d) vào (2-5)’ nh n đ
Euler:

(e)

r

c các thành ph n c a véc t chuy n v u theo bi n

u1 = x1 - X1 = x1 − ⎡⎣ x1e − t + x3 (e − t − 1) ⎤⎦ = ( x1 + x3 ).(1 − e − t )
u2 = x2 – X2 = x2 − ⎣⎡ x2 - x3 (e t − e − t ) ⎦⎤ = x3 .(e t − e − t )
u3 = x3 - X3 = x3 - x3 = 0
Thay (f) vào (2-17)’ ta có:
∂u ∂u
∂u
∂u
v1 = 1 + 1 ⋅ v1 + 1 ⋅ v 2 + 1 ⋅ v3
∂t ∂x1
∂x2
∂x3

(f)

= (x1 + x3 )e − t + (1 − e − t )v1 + (1 − e − t )v3
T

ng t có:

(g)
t

-t

t

-t

v2 = x3(e + e ) + (e - e ) v3
v3 = 0
Gi i h ph ng trình (g), nh n đ c các thành ph n véc t v n t c theo bi n Euler:
v1 = ( x1 + x3 ) ; v2 = x3(et + e-t); v3 = 0
K t qu trùng v i k t qu gi i theo cách 1 (e).
2-Gia t c
a) Theo bi n Lagrange, gia t c tính theo (2-16) v i v j (X i , t) l y theo (b), ta có:
∂v1 (X i , t)
= (X1 + X 3 )e t
∂t
∂v (X , t)
= X 3 (e t − e − t )
w2 = 2 i
∂t
∂v (X , t)
=0
w3 = 3 i
∂t
w1 =

(h)


b) Theo bi n Euler, gia t c tính theo (2-18) v i v j ( x i , t) l y theo (e) ta có:
∂v1 ∂v1

∂v
∂v
+
⋅ v1 + 1 ⋅ v 2 + 1 ⋅ v3 = 0 + v1 + 0 + v3
∂t ∂x1
∂x2
∂x3
= (x1 + x3) +0 = x1 + x3; t ng t
∂v
∂v
∂v
∂v
w 2 = 2 + 2 ⋅ v1 + 2 ⋅ v 2 + 2 ⋅ v3
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
t
-t
t
-t
=x3(e - e )+1.(e + e ).v3 =x3(et - e-t)+(et + e-t).0=x3(et - e-t);
w1 =

(i)

w3 = 0

Ví d 2-2
Cho tr ng v n t c c a môi tr ng

(a)
v1 = -kx2; v2 = kx1; v3 = 0 v i k > 0
Yêu c u: Xác đ nh qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng, chuy n v và v n t c chuy n đ ng
theo bi n Lagrange và Euler.
Bài gi i
1-Xác đ nh qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng
Thay (a) vào (2-13)’, ta có:
dx
dx
dx
v1 = 1 = − k.x2 ; v 2 = 2 = k.x1 ; v3 = 3 = 0
(b)
dt
dt
dt
o hàm ph ng trình th nh t trong (b) theo th i gian và k t h p v i ph ng trình th hai,
cho ta ph ng trình vi phân c p hai đ i v i x1 nh sau:
d 2 x1
dx
= −k 2 = −k.k.x1 hay
2
dt
dt
2
d x1
có nghi m
+ k 2 .x1 = 0
dt 2
x1 = C1coskt + C2sinkt
(c)

L i thay (c) vào ph ng trình th nh t và th ba trong (b) đ c:
1 dx1
x2 = −
= C1 sin kt − C2 coskt
(c)’
k dt
x3 = C3
(c)”
Các h ng s tích phân C1, C2, C3 đ c xác đ nh t các đi u ki n đ u: t i th i đi m ban đ u
to = 0 thì x1=X1; x2 = X2; x3=X3, nên
C2 = -X2,
C3 = X3
(d)
C1 = X1,
Thay (d) vào các bi u th c (c) ta có qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng theo bi n
Lagrange:
x1 = X1coskt – X2sinkt
x2 = X1sinkt + X2coskt
(e)
x3 = X3
Qui lu t chuy n đ ng c a môi tr ng theo bi n Euler có đ c nh gi i ng c h ph ng
trình (e) (Jacobien c a (e) khác không).
X1 = x1coskt + x2sinkt
(f)
X2 = -x1sinkt + x2coskt
X3 = x3
2-Xác đ nh các thành ph n c a véc t chuy n v