Tuyển tập các bài toán hệ phương trình trên k2pi.net.vn

Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phần I. Đề Bài
x 2 + y 2 = y

x (x + y) + x y (y − x)

Ne
t.V
n

Bài Toán 1 . Giải hệ phương trình sau

x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y


√y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2
Bài Toán 2 . Giải hệ phương trình sau
x√x = y (x − 1) + x2 − y



y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x
Bài Toán 3 . Giải hệ phương trình sau
√
x3 y 3


2
x
−
y
+
√

2 = xy
(xy + x − y)

(x + 1)y 2014 = 2√x
Bài Toán 4 . Giải hệ phương trình sau
2x + 3 = 4√x − y 2015


4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x
Bài Toán 5 . Giải hệ phương trình sau
√
 x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy


√
xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2
Bài Toán 6 . Giải hệ phương trình sau
29y 2 + 8y y 2 − xy + 4xy = x2 + 16y 3y 2 + xy

Bài Toán 7 . Giải hệ phương trình sau



x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y
x 2 + y 2 = 2 y

x (x + y) + x

y (y − x)

pi.


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2
Bài Toán 8 . Giải hệ phương trình sau √
√
 2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y

x2 + y 2 + (xy)2 = 3
Bài Toán 9 . Giải hệ phương trình sau
√
x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y)

K2


√
 y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
Bài Toán 10 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

x y +

y 2 + 1 = y (x2 + 1)
Bài Toán 11 . Giải hệ phương trình sau
√
(x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1


√
 x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = 1
Bài Toán 12 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 2


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n


(√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y
Bài Toán 13 . Giải hệ phương trình sau
4
x√x + y + (y + 1)√
x + 3y = xy + 3x − 1


x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy
Bài Toán 14 . Giải hệ phương trình sau
 √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1


(x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1
Bài Toán 15 . Giải hệ phương trình sau
√
 1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1
 2
√
x

 + 2 x2 + 1 + y 2 = 3
2
Bài Toán 16 . Giải hệ phương trình sau y
y

x + √
+ y2 = 0
1 + x2 + x

x
1
y
1
1

+ = 2 + 2 −1

 −
y xy x
x
y
Bài Toán 17 . Giải hệ phương trình sau
2
y
x
−
xy + y 2
x


+
=
x+1 y+1
xy

21√x + (y − 7x2 ) √y = 315
Bài Toán 18 . Giải hệ phương trình sau
xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14)


3
4 (x2 + y 2 ) + 6y √
1 − x = 3x + 4y + 6
Bài Toán 19 . Giải hệ phương trình sau
√
√
4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23

pi.


√x + 2y − √2x − 3y = 1
Bài Toán 20 . Giải hệ phương trình sau
x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y

x√x + y √y = 1
Bài Toán 21 . Giải hệ phương trình sau
2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y)

K2



 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2
Bài Toán 22 . Giải hệ phương trình sau
√
√

√
4
 x+ 4y+1= y+√
x+1


√

2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0
Bài Toán 23 . Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1

(y − 1) √x − 1 = x2 −y
2
Bài Toán 24 . Giải hệ phương trình sau
√
x + y + 4 2x − x2 = 2y − y 2 + 2

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 3


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n


√x − y + 1 + √3x + 2y + 6 = 3x + 1
Bài Toán 25 . Giải hệ phương trình sau
x√x − 2 + √x + 3y + 1 = (y + 5) √y + 1
 √
3y 2 + x + 8√2 + x = 10y − 3xy + 12
Bài Toán 26 . Giải hệ phương trình sau

5y 3 √2 − x − 8 = 6y 2 + xy 3 √2 − x


 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2
Bài Toán 27 . Giải hệ phương trình sau
√
√

√
4
 x+ 4y+1= y+√
x+1

Bài Toán 28 . Giải hệ phương trình sau


x − √ x = y + √ y


√
(x − y)2 + y + 3 = 2 4x − 2y


√

x2 + 6xy + 4y 2 + 1 = 2x + 4y + 2 2xy
Bài Toán 29 . Giải hệ phương trình sau 2xy + 10 2x4 + 32y 4



= 21
x3 y + 4xy 3

x − y = √ y + 3
Bài Toán 30 . Giải hệ phương trình sau
(x − y)2 + 4 (y + 1) = 24 √2x − y − 2

(7x + 5)√x = 12 2x2 − xy
Bài Toán 31 . Giải hệ phương trình sau
4y − 5x + 1 = 4 (x − y) (2x − y)

pi.


√

x − y = 6(1 − xy)
Bài Toán 32 . Giải hệ phương trình sau
6 2(x6 + y 6 )

x + 2
= 3 + 2(x2 + y 2 )
x + xy + y 2

(x + y + 3)√x − y + 2y + 4 = 0
Bài Toán 33 . Giải hệ phương trình sau
(x − y)(x2 + 4) = y 2 + 1

K2

Bài Toán 34 . Giải hệ phương trình sau


(x2 + y 2 − 7)(x + y)2 + 2 = 0
(x − 3)(x + y) = 1


x2 + y 2 + 2xy = 1
x+y
Bài Toán 35 . Giải hệ phương trình sau
√
x + y = x2 − y


6x − 5y + 4 (x − y) (2x − y) = 11 + 4√6
Bài Toán 36 . Giải hệ phương trình sau √
 y + 1 2y + 3 + 4 √x − y + √2x − y = 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 4


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V

n


4x2 + 4xy + y 2 + 2x + y = 2
Bài Toán 37 . Giải hệ phương trình sau
8√1 − 2x + y 2 − 9 = 0

Bài Toán 38 . Giải hệ phương trình sau

√
 4x − 3 = (2y 2 + 11)(17 − y) + √y
y(y − 3x + 3) = 15x + 10


(x + 5) (x2 + 5x + 9) = (2y + 1) (3 − y)
Bài Toán 39 . Giải hệ phương trình sau √
√
3
 x+3+√
30 − 2y = 4 (y − 1) + 2y − 2

y 3 = 2(√2x3 + √2x − y)
Bài Toán 40 . Giải hệ phương trình sau
y(y − x − 2) = 3 − 3x


2

 xy − 1 − 1 = x
1 + xy 1 + y 2

1 + x2
Bài Toán 41 . Giải hệ phương trình sau √
√
√

 x − 1 y − 1 x2 + x + 1 + (x + 1)√x2 − x + 1 = 2x2 − x + y

x + √x + y − 2y = y 2 + 2
Bài Toán 42 . Giải hệ phương trình sau
 4 x + √x + y − 1 = 2 − 2y − x

√
 4 2x2 − x3 = 9 + 4y 2 − 12y
Bài Toán 43 . Giải hệ phương trình sau √
 4 x(2y 2 + √2 − x) = 4y 4 + x − 2

pi.


2x2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = 2xy + x
Bài Toán 44 . Giải hệ phương trình sau
2y 2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = −xy + 2y

Bài Toán 45 . Giải hệ phương trình sau

 √
3x( x − 3 − y √y) +

3x − 3y 3 +

√
x+y−5=3

3y 3 − 3y + 8 = 2x

K2


2y − 3x + y (x − 2) = 4 √x − 2 − √y − 6
Bài Toán 46 . Giải hệ phương trình sau √
 y + 2 y (xy − x + 5) = 2 (y + 2) − √5x + 6


x2 (y 2 + 1 + √x) − (√x + 1) (y − 2) = y 3 − 2y 2
Bài Toán 47 . Giải hệ phương trình sau
√
y x2 − x + 1 = x3 − 3x − 3 + 2y

 3x2 + 6xy + 4y 2 + 2y + 1 = 3x + 2y − 1
Bài Toán 48 . Giải hệ phương trình sau
4√x + y + 2 + 4y 2(y + 1) = 5y 2 + 6x + 3 +

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

2(y 2 + x)

Trang 5


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

K2

pi.

Ne
t.V
n


y 4 − 2xy 2 + 7y 2 = −x2 + 7x + 8
Bài Toán 49 . Giải hệ phương trình sau √
 3 − x + y 2 + 1 = x3 + x2 − 4y 2 + 3

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 6


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phần II. Lời Giải Chi Tiết

Bài toán 1

Ne

t.V
n


x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y (1)
Giải hệ phương trình sau
x2 + y 2 = y x (x + y) + x y (y − x) (2)

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x (x + y) ≥ 0 , y (y − x) ≥ 0
Ta có

2
2

 y x (x + y) ≤ x + xy + y
2
2
2 ⇒ y

 x y (y − x) ≤ x − xy + y
2
Khi đó

 
√

−1 + 5



y
x=

 
2
2
2√
y = x + xy

−1 − 5
⇔
x=
y

x, y ≥ 0


2

 x, y ≥ 0

(2) ⇔

√
 
−1 + 5

x=
y


2
 

 x, y ≥ 0 √
⇔
 
−1 − 5

y
x=

2

x, y ≥ 0



√

5

y

√
 
−1 + 5

x=
y


2


⇔
x, y ≥ 0
x=y=0

thay lên phương trình còn lại ta được

pi.

−1 +
x=
Với
2

x, y ≥ 0

−1 +
2

⇔ −4 +

√

√

y (y − x) ≤ x2 + y 2 (3)

x (x + y) + x

5

3

y

−1 +
+3
2

3

5 y −

√

√
3+3 5
2

5

2

y

−1 +
+ 3.

2

√
5

y = 2y 3 + 6y 2 + 6y

√
−15 + 3 5
y +
y=0⇔y=0⇒x=0
2
2

K2

Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 0)
Bài toán 2


√y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2
Giải hệ phương trình sau
x√x = y (x − 1) + x2 − y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ hai của hệ ta có:
y (x − 1) +

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

√
x2 − y = x x
Trang 7


LateX by Trần Quốc Việt
⇔

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

√
xy − y −

x2 − y =

xy − y − (x2 − y)
x2 − y

y (x − 1) +

=

x (y − x)
y−x
√
= √
x x
x

Ne
t.V
n

√
√
y−x
x2 − x + y
√
√
⇒ 2 xy − y =
+x x=
x
x
⇒ 2 y (x2 − x) = x2 − x + y

⇒ 4y x2 − x = x2 − x + y
⇔ y − x2 + x

2

2

=0

⇔ y = x2 − x

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có
√

√
x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 = x2 − x + 2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x2 − x + 2 =

√
√
x2 + x − 1 + 1 −x2 + x + 1 + 1
x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 ≤
+
2
2
⇔ (x − 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0

Thử lại thấy thõa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)
Bài toán 3

pi.



y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x
Giải hệ phương trình sau
√
x3 y 3

√
2 x − y +
2 = xy

(xy + x − y)

Hướng Dẫn Giải

K2

Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình thứ hai
Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được
√
2 x−y
1
√
+
=1
x−y 2
xy
(1 +
)
xy
√
x−y
Đăt t =
thì phương trình trở thành
xy

t=0
1
2

2t +

=
1
⇔
(1
−
2t)(1
+
t)
=
1
⇔
3
(1 + t)2
t=−
2
• Với t = 0 ⇒ x = y

1
Thay vào phương trình đầu ta được nghiệm x = y = √
4
2
√
3
• Với t = − ⇔ 2 x − y + 3xy = 0
2
Từ phương trình đầu của hệ ta có được
y4 + y2

(T /M )

x4 + y 4 = xy(x2 + 1) ⇒ xy > 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 8


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Từ đó suy ra trường hợp này vô nghiệm

Bài toán 4

Ne
t.V
n

1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = √
4
2

(x + 1)y 2014 = 2√x
Giải hệ phương trình sau
2x + 3 = 4√x − y 2015

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ≥ 0.
Xét phương trình thứ nhất của hệ,

√
(x + 1)y 2014 = 2 x ≤ x + 1 ⇒ y 2014 ≤ 1 ⇒ y ∈ [−1; 1].
√
√
√
2
Khi đó 0 = 2x − 4 x + 3 + y 2015 ≥ 2x − 4 x + 3 − 1 = 2( x − 1) ≥ 0.
Do đó x = 1 và y = −1 thõa mãn hệ
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; −1)
Bài toán 5


4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x
Giải hệ phương trình sau
√
 x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy

√

Hướng Dẫn Giải

pi.

Ta có 3xy = x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 ≥ 0.
Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm nên xét hai trường hợp sau
Nếu x > 0 thì y > 0 và có
x+

√

4x2 + 1

y+2

y 2 + 1 ≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy

Suy ra trường hợp này vô nghiệm.
Nếu x < 0 thì y < 0 và xét phương trình thứ nhất

4x3 y 2 y 2
− 2x − y = −3xy +
+
+
≥ −3xy + 3xy +
y
2
2

2x − y = 0 ⇒ y = 2x.

K2

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x+

√
4x2 + 1

√
2x + 2 4x2 + 1 = 6x2

2
√
⇔ x + 4x2 + 1 = 3x2
√
√
⇔ x + 4x2 + 1 = − 3x
1
2
⇔x=−
⇒y=−
√
√ (T /M )
2 3
2 3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

−

1
√ ;−
2 3

2

√
2 3
Trang 9


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 6

Ne
t.V
n


√
xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2
Giải hệ phương trình sau
29y 2 + 8y y 2 − xy + 4xy = x2 + 16y 3y 2 + xy

Hướng Dẫn Giải

Ta có

xy =

x2 + y 2

√

x + x2 + 1

≥0

y2

y+

+1

Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì tương ứng từ phương trình thứ nhất ta có y = 0 hoặc x = 0
Đồng thời thấy (x; y) = (0; 0) cũng thỏa mãn phương trình thứ hai.
Với xy > 0 ta lần lượt xét hai trường hợp sau
• Nếu y > 0 thì với phương trình thứ hai, ta có
29 + 8
⇔ 16

1−

x
x
+4 =
y
y

x
y

2

+ 16

3+

x
y

√
√
x
3 + t − 2 − 8 1 − t + t2 − 4t + 3 = 0 ; Với t = ∈ (0; 1]
y
√
16(t − 1)
⇔√
− 8 1 − t + (t − 1)(t + 3) = 0
3+t+2
√
√
√
−16 1 − t
⇔ 1−t √
− 8 − 1 − t(t + 3) = 0
3+t+2

√
√
−16 1 − t
Do √
− 8 − 1 − t(t + 3) < 0 ∀t ∈ (0; 1] nên phương trình suy ra t = 1

3+t+2
Khi đó x = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được
√

pi.
x2 x +

⇔x+

√

2

x2 + 1

x2 + 1 =

= 2x2

√
1
2⇔x= √
2 2

• Nếu y < 0 thì với phương trình thứ hai, ta có
x
x
29 − 8 1 − + 4 =
y
y

x
y

2

− 16

3+

x
y

K2

√
√
x
∈ (0; 1] ta xét hàm số f (t) = t2 − 4t − 16 3 + t + 8 1 − t − 29
y
Dễ dàng nhận thấy f (t) nghịch biến trên (0; 1] nên f (t) < f (0) < 0 ; ∀t ∈ (0; 1].
1
1
√ ; √
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (0; 0) và
2 2 2 2
Với t =

Bài toán 7

Giải hệ phương trình sau


x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y
x 2 + y 2 = 2 y

x (x + y) + x y (y − x)

Hướng Dẫn Giải

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 10


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n

Nếu một trong hai số x = 0 hoặc y = 0 thì từ phương trình thứ nhất nhận số còn lại là 0, nó
cũng thỏa phương trình còn lại nên (0; 0) là một nghiệm của hệ.
Đặt f (t) = t3 + 3t2 + 3t thì phương trình thứ nhất của hệ là f (x) = 2f (y).
Do f (t) = 3t2 + 6t + 3 = 3(t + 1)2 ≥ 0 nên f đồng biến trên R.
Khi đó nếu x > 0 thì 0 = f (0) < f (x) = 2f (y) ⇒ f (y) > 0 ⇒ y > 0.
Tương tự nếu x < 0 thì dẫn đến y < 0.
Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau

Nếu x < 0 thì y < 0 khi đó phương trình thứ hai
0 < x2 + y 2 = 2 y

x(x + y) + x y(y − x) < 0.

Với x > 0 thì y > 0, đặt y = tx, t > 0 và thay vào phương trình thứ hai của hệ
x2 + t2 x2 = 2 tx

x(x + tx) + x tx(tx − x)

√
√
t2 + 1
2
⇔t t+1+ t −t=
, (a)
2
t(t2 + 1)
t2 + 1
√
⇒ √
=
2
t t + 1 − t2 − t
√
√
⇒ t t + 1 − t2 − t = 2t , (b)

Cộng hai phương trình (a) và (b) theo vế ta có
√

t2 + 4t + 1
2t t + 1 =
2
√

2 t+

√

2

t+1

=

√

2

⇔

3 (t + 1)

√
√
√
2 t + t + 1 = 3 (t + 1)

pi.

⇔

√
3(t2 + 2t + 1)
⇔ t2 + 2t t + 1 + t + 1 =
2

√
√
√
t=2+ 6− 3− 2
√
√
√
⇔
t=2+ 6+ 3+ 2

Với t = 2 +

√

6−

√

3−

√
2 ta thay y = t1 x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
(2t31 − 1)x3 + (6t21 − 3)x2 + (6t1 − 3)x = 0

K2

Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương.
√
√
√
Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp t = 2 + 6 + 3 + 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0).
Bài toán 8


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2
Giải hệ phương trình sau √
√
 2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y

Hướng Dẫn Giải

Ta có phương trình thứ nhất tương đương
x + y + 1 + (x + y)2 + 2(x + y) =

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

√

2x + 1 + 1 + (2x + 1)2 + 2(2x + 1)
Trang 11

LateX by Trần Quốc Việt
Xét hàm f (t) =

√

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

t + 1 + t2 + 2t với t ≥ −1

Ne
t.V
n

1
f (t) = √
+ 2t + 2 > 0 ∀t ≥ −1
2 t+1
Vậy hàm đồng biến suy ra x + y = 2x + 1 ⇔ y = x + 1
Thế vào phương trình thứ hai ta có
√
√
2x2 + 4x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = 3x + 2
2
2
Thấy x = − không phải là nghiệm nên điều kiện là x > − .
3
3
Phương trình tương đương với

3x2 + 2x

√
√
= 3x + 2
5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3
√
√
x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3
√
√
x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3
√
√
⇒
3x + 2 = 5x2 + 6x − 3 + 2x2 + 4x − 3
√
⇔ 2x + 1 = 5x2 + 6x − 3

1

√
√
x≥−
⇔
⇔x= 5−1→y = 5
2
4x2 + 4x + 1 = 5x2 + 6x − 3
Thử lại thấy thõa mãn
√
√
5 − 1; 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) =
Bài toán 9

pi.


x2 + y 2 + (xy)2 = 3
Giải hệ phương trình sau
√
x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y)

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình một ta có :

3 − x2 y 2 = x2 + y 2 ≥ 2xy

K2

⇔ (xy)2 + 2xy − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ xy ≤ 1

Xét phương trình hai chúng ta được :
y2 + 1 − 1 + y

⇔x

⇔

xy 2
y2 + 1 + 1

⇔ xy



x
⇔ xy  √

+√

y
y2 + 1 + 1
y2

√
x2 + 1 − 1 = x + y
yx2
=x+y
x2 + 1 + 1

+√

x
x2 + 1 + 1

=x+y


√
2

+ 1 + y x + 1 + x + y

x2 + 1 + 1

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

=x+y

y2 + 1 + 1

Trang 12


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

√

Kết hợp với phương trình đầu suy ra
Mặt khác

√
x2 + 1 + 1

x+y =0
x2 + 1 + 1

y 2 + 1 + 1 = 3xy

Ne
t.V
n

4
3
Kết hợp với điều kiện xy đã tìm được suy ra hệ phương trình đã cho tương đương với
3xy =

y 2 + 1 + 1 ≥ 4 ⇔ xy ≥

x+y =0
x + y 2 + x2 y 2 = 3
2

Giải hệ phương trình trên ta thu được các nghiệm (1; −1) và (−1; 1)
Bài toán 10

√
 y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

Hướng Dẫn Giải

Xử lý phương trình một như
 sau 2

x = a − 1
√

2a
Đặt a = x + x2 + 1 ⇒ √
(a > 0)
2

 x2 + 1 = a + 1
2a

2
b
−
1

y =
2b
Và b = y + y 2 + 1 ⇒
(b > 0)
2

 y2 + 1 = b + 1
2b
Khi đó phương trình thứ nhất trở thành :

a2 + 1 b 2 − 1
+
2a
2b

=1

pi.

a2 − 1 b 2 + 1
+
2a
2b

⇔

ab = 1
⇒ ab = 1
ab (a + b) + (a − b)2 = 0 (V T > 0)
√
⇒ y + x2 + 1 x + y 2 + 1 = 1
2

Phương trình này ta suy ra được x = −y. Thế vào phương trình thứ hai ta có

K2

√
√
3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x

Phương trình này giải ra chỉ có nghiệm x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; −1)
Bài toán 11


x y +

y 2 + 1 = y (x2 + 1)
Giải hệ phương trình sau
√
(x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1

Hướng Dẫn Giải

Do x = −2 không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

x
√
=y
(x + 2) x2 + 1
Trang 13


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được
x2
+1
(x + 2)2 (x2 + 1)

√
x x2 + 1

=
(x + 2)

Ne
t.V
n

x

x
√
+
(x + 2) x2 + 1

Do x = 0 không là nghiệm và x > −2 nên phương trình tương đương với
x+

√

x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 4 = x2 + 1

⇔ 6x3 + 3x2 + 6x + 3 = 0
√
2 5
1
(T /M )
⇔x=− ⇒y=−
2
15
√

1 2 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm − ; −
2
15
Bài toán 12


√
 x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = 1
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ nhất tương đương với
x+

√

x2 + 1 = (−y) +

(−y)2 + 1 ⇔ y = −x

Thay vào phương trình còn lại ta có

pi.

√
√
3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x

K2

√
√
⇔ 12 1 − x + 4 2 − 1 + 3x − 3x2 + 12x − 9 = 0
√
√
√
4 1−x
√
⇔ 1 − x 12 +
+ 3 1 − x(x − 3) = 0
2 + 1 + 3x
√
√
2−x
3
Ta có 1 − x ≤
nên 3(x − 3) 1 − x ≥ (2 − x)(x − 3) = f (x)
2
2
Dễ dàng có được
1
35
minf (x) = f −
=−
3
3
√

√
4 1−x
35
1
√
Do đó 12 +
+ 3(x − 3) 1 − x ≥ 12 −
= >0
3
3
2 + 1 + 3x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; −1)
Bài toán 13


(√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y
Giải hệ phương trình sau
4
x√x + y + (y + 1)√
x + 3y = xy + 3x − 1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện:x ≥ 1 ; y ≥ 0
c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 14


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình thứ nhất tương đương với
√
x + y + 1√
x + y − 1√
y+1+y x−1=
x+
y (∗)
2
2

Ne
t.V
n

x
Ta có
V T (∗) =

√ √
x + y + 1√
x + y − 1√
√ √ √
x x y+1+ y y x−1≤
x+
y = V P (∗)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi y = x − 1.Thế vào phương trình hai ta có
√
√
x 2x − 1 + x 4 4x − 3 = x2 + 2x − 1

3
(x ≥ )
4
√
√
√
1
2x
−
1
≥ 2 2x − 1
⇒ 2x − 1 + 4 4x − 3 = x + 2 − = x +
x
x
√
√
⇔ 4 4x − 3 ≥ 2x − 1
⇔ 4x − 3 ≥ (2x − 1)2
⇔ 4(x − 1)2 ≤ 0

⇔x=1⇒y=0

x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là

y = 0
Bài toán 14

(T /M )

pi.


x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy
Giải hệ phương trình sau
 √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x, y ≥ 0
√
√
a= x+ x+1
Đặt
(Với a, b ≥ 1)
√
√
b= y+ y+1

K2


1




 a


√
1
1


x=
a−



2
a

√
√


√
1
1

= x+1− x

a+
 x+1=
2

a
⇒
1
1
√


√
√
y=
b−


= y+1− y

2
b



√
1
1


b+
 y+1=
2
b

⇒




 1
b

Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra
a+

1 1
+ −b
b a

⇔

a+

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

1
b

a+

1
1
+b−
b

a

2

− b−

1
a

=4

2

=4
Trang 15


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
a4 − 1 b 4 − 1
⇔
+
+2
a2
b2

a
−
b

b
a

2

=0

Bài toán 15

Ne
t.V
n

a4 − 1 ≥ 0
b4 − 1 ≥ 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 hay x = y = 0
Thay x = y = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn.
Vậy nghiệm của hệ là (0; 0)
Mà


(x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1
Giải hệ phương trình sau
√
 1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1

Hướng Dẫn Giải

1

Điều kiện của hệ phương trình: x ≥ −1; y ≥ −
2
Phương trình thứ hai tương đương với

√
√
1 + 2 x + 1 2y = (2y x2 + 1) 1 +

2y + 1 .

pi.

• Nếu y = 0 hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0)
• Nếu y = 0 hệ tương đương với

√
√
2x2 + 1


 y + 2y + 1 =
√ x2 + 1
√
2 x+1+1


 2y + 1 + 1 = √ 2
x +1

√


√
2x2 + 1 + 1

2

√
( 2y + 1 + 1) =
x2 + 1
⇔
√

√

2 x+1+1


2y + 1 + 1 = √
x2 + 1
√
√
√
2 ± 10
2
Từ đây suy ra 2x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x =
2
Thay x tìm được vào phương trình thứ hai ta tính được y

2

K2

Bài toán 16

 2
√
x

 + 2 x2 + 1 + y 2 = 3
2
Giải hệ phương trình sau y
y

x + √
+ y2 = 0
2
1+x +x

Hướng Dẫn Giải

2
√
x



+ y + 2( 1 + x2 − x) = 3
y
Hệ phương trình tương đương với
√

x



+ y + ( 1 + x2 − x) = 0
y

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 16


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cộng đại số suy ra phương trình

x

 + y = −1
x
x
y
+y −2
+y −3=0⇔ x

y
y
 +y =3

y
√
x
• Trường hợp 1. Với + y = −1 ⇒ 1 + x2 − x = 1 hệ này có nghiệm (x; y) = (0; −1)
y
√
√
x
4
3
±
5
• Trường hợp 2. Với + y = 3 ⇒ 1 + x2 − x = −3, hệ này có 2 nghiệm (x; y) =
;
y
3
2
√
4 3± 5
;
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (0; −1) ,
3
2

Ne
t.V
n

2

Bài toán 17

x
1
y
1
1

+ = 2 + 2 −1
 −
y xy x
x
y
Giải hệ phương trình sau
2
x
y
x
−
xy + y 2


+
=
x+1 y+1
xy

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x, y = {0, −1}

Phương trình đầu tương đương với

(xy − 1)(x2 + y 2 + xy) = 0

⇔ xy = 1 ⇔

1
1
+
= 1 (3)
x+1 y+1

Phương trình thứ hai tương đương

1
x2 + y 2
1
+
)=
(4)
x+1 y+1
xy

pi.
3−(

Kết hợp (3) và (4)

x2 + y 2
⇔x=y

xy
Từ đó ta kết hợp các dấu bằng tìm được x = y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)
⇒2=

K2

Bài toán 18


21√x + (y − 7x2 ) √y = 315
Giải hệ phương trình sau
xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14)

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y = 7x2 + 21x + 21
Thay vào phương trình đầu tiên ta có
√
√
x + (x2 + x) 7x2 + 21x + 21 = 15
⇔ (x − 1) √

1
(x2 + x)(x + 4)
+√
+ 7(x + 2) = 0
x+1
7x2 + 21x + 21

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 17


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 19

Ne
t.V
n

Vì x ≥ 0 ⇒ x = 1
Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 49)

3
4 (x2 + y 2 ) + 6y √
1 − x = 3x + 4y + 6
Giải hệ phương trình sau
√
√
4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23


a = √2y − x + 2
Đặt
b = √y − 7x + 8

Hướng Dẫn Giải

suy ra

a2 + b2 + 13 = 3y − 8x + 23 = 4a + 6b
⇔ (a − 2)2 + (b − 3)2 = 0


a = 2
x = 0
⇔
⇔
(T /M )
b = 3
y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 1)
Bài toán 20


√x + 2y − √2x − 3y = 1
Giải hệ phương trình sau
x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y

Hướng Dẫn Giải

pi.



x + 2y ≥ 0
Điều kiện
2x ≥ 3y

Phương trình đầu tương đương với

x + 2y =

2x − 3y + 1

⇔ x + 2y = 2x − 3y + 1 + 2 2x − 3y
⇔ 5y = x + 1 + 2 2x − 3y

K2

Thế vào phương trình hai ta được

x2 + x − 3y − x + 1 + 2 2x − 3y + 2 = 2(x − 3) 2x − 3y
⇔ x2 + 1 = 2(x − 1) 2x − 3y + 3y
2

2x − 3y = 0

x ≥ 1
2x − 3y ⇔
x2 + 1 = 4x − 3y

⇔ x−1−

⇔x−1=

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 18


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

⇔

Ne
t.V
n


x − 1 = √2x − 3y
Do đó hệ phương trình đã cho trở thành
5y = x + 1 + 2√2x − 3y

x − 1 = √2x − 3y

⇔

5y = 3x − 1


x = 2

(T /M )

y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)
Bài toán 21


x√x + y √y = 1
Giải hệ phương trình sau
2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y)

Hướng Dẫn Giải

Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương
2

√
1+x

Thay vào ta có hệ sau

2

−

2 − 5y

=

(1 + x) (2 − 5y) ⇒ x = 1 − 5y


3
3

 a +b =1




a = √1 − 5y
Với
b = √y

2

5 (a2 − 1) = b2

. Từ phương trình thứ hai cho ta thấy hệ có nghiệm khi a ≥ 1

pi.

Phương trình a3 − 1 + b3 = (a − 1) (a2 + a + 1) + b3 ≥ 0 (a ≥ 1)
Dấu bằng xảy ra tương ứng y = 0 ⇒ x = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; 0)
Bài toán 22

1
1

2


x+
−1= 3 3 + 2
x+1
y
y
Giải hệ phương trình sau
√

√
4
√x + √
4
y+1= y+ x+1

Hướng Dẫn Giải

K2

Điều kiện x, y ≥ 0
Phương trình đầu tương đương với


a = √ x ≥ 0
√
√
4 2
4

⇔ a + b + 1 = b + a2 + 1 (Với
b = √ y ≥ 0

)

(a − b)(a + b)
√
√
√
⇔a−b= √
( 4 a2 + 1 + 4 b2 + 1)( a2 + 1 + b2 + 1)

⇔

(

√
4

a2

+1+

√
4

a−b=0⇔x=y >0
√
√
+ 1)( a2 + 1 + b2 + 1) = a + b (∗)

b2

Ta có V T (∗) > (a + b)(1 + 1) > V P ⇒ (∗) V N

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 19


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thay vào phương trình hai,ta được
x2 =

√

√
x + 1 3 2x + 1

Ne
t.V
n

√
√
√
x + 1) + x + 1(x − 3 2x + 1) = 0

√
x2 − x − 1
x + 1(x + 1)(x2 − x − 1)
√
√
√
+
⇔ x.
=0
x + x + 1 x2 + x 3 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2
√
x + 1(x + 1)
x
2
√
√
√
⇔ (x − x − 1)
+ 2
=0
3
x + x + 1 x + x 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2
⇔ x(x −

Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương ∀x, y ≥ 0 nên suy ra x2 − x − 1 = 0
√
√
1+ 5
1+ 5
⇔x=

⇒y=
2
2
√
√
1+ 5 1+ 5
,
)
Vậy nghiệm (x, y) của hệ phương trình là (
2
2
Bài toán 23


√
2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0
Giải hệ phương trình sau
3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1

Hướng Dẫn Giải

Từ phương trình thứ hai của hệ, nhân lượng hiên hợp ta có
(x + y) x + 3y + √

8
√
x + 2y + 1 + y + 1

= 4 (x + y)

pi.

Với x = −y thay lại được phương trình cơ bản
x+

√

x2 + 1 − 2015x2 (−x +

⇔x+

√
x2 + 1 −

√
x2 + 1) = 0

2015x2
√
=0
x + x2 + 1

K2

2
√
⇔ x + x2 + 1 − 2015x2 = 0
√
⇔ 2x x2 + 1 − 2013x2 + 1 = 0

....
8
√
Với x + 3y + √
=4
x
+
2y
+
1
+
√
√ y+1
Đặt a = x + 2y + 1 , b = y + 1, sử dụng đánh giá sau
8 = a2 + 1 + b 2 + 1 +

8
8
≥ 2 (a + b) +
≥8
a+b
a+b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Từ đó giải ra nghiệm

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 20

LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 24

Ne
t.V
n


2
(y − 1) √x − 1 = x − y
2
Giải hệ phương trình sau
√

4
2
x + y + 2x − x = 2y − y 2 + 2

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2
Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương
y−1−

√

x−1

2

= (y − x) (x + y − 1)

Từ đây chúng ta có: x ≤ y là điều kiện để hệ có nghiệm.
Hơn thế nữa, chỉ ra được rằng 1 ≤ x, y ≤ 2
Sử dụng phân tích đánh giá cơ bản phương trình thứ hai như sau
(x − 1) 1 − √

2x −

x2

2y (y − 1)
x−1
√
+
4
2
+1
2x − x + 1
y + 2y − y 2

=0

√
√
2x − x2 + 1 − (x − 1) > 2 − x ≥ 0
Dễ thấy 4 2x − x2 + 1

Và y ≥ 1. Do đó f (x) + g (y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 1
Bài toán 25


√x − y + 1 + √3x + 2y + 6 = 3x + 1
Giải hệ phương trình sau
x√x − 2 + √x + 3y + 1 = (y + 5) √y + 1

pi.

Hướng Dẫn Giải



x−y+1≥0





3x + 2y + 6 ≥ 0
Điều kiện:
x≥2



y ≥ −1




 x + 3y + 1 ≥ 0

Phương trình thứ hai tương đương với

⇔ x. √

x−y−3
+
√
x−2+ y+1

⇔ (x − y − 3) √



⇔

y + 1(x − y − 3) +

y + 1) +

K2

√
x( x − 2 −

x + 3y + 1 − 2 y + 1 = 0

x−y−3

√
y + 1(x − y − 3) + √
=0
x + 3y + 1 + 2 y + 1

x
+
√
x−2+ y+1

y+1+ √

1
√
=0
x + 3y + 1 + 2 y + 1

x−y−3=0
√
x
1
√
√
+ y+1+ √
(∗)
√
x + 3y + 1 + 2 y + 1
x−2+ y+1

⇒ x = y + 3 Do V T (∗) > 0

Thế vào phương trình đầu ta được
2+

2y + 6 + 3(y + 3) = 3(y + 3) + 1

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 21


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
⇔

5y + 15 = 3y + 8

⇔ 9y 2 + 43y + 49 = 0 (Vô nghiệm do y ≥ −1)

Ne
t.V
n

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán 26

 √
3y 2 + x + 8√2 + x = 10y − 3xy + 12
Giải hệ phương trình sau

5y 3 √2 − x − 8 = 6y 2 + xy 3 √2 − x

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ∈
Phương trình thứ hai tương đương

√
y 3 2 − x(5 − x) = 6y 2 + 8

Từ đó suy ra y > 0
Phương trình thứ hai cũng biến đổi thành

√
2
4
4y 3 (5 − x)( 2 − x − ) + 2y 2 (2 − x − 2 ) = 0
y
y


⇔

2−x−

 4y 3 (5 − x)

2

+

2y
√
=0
2
2−x+
y
4
⇔2−x− 2 =0
y
4
y2

pi.

Thế vào phương trình (1) ta có

2y 2 + 6y + 6 = (3y + 8)

y2 − 1

Nhường lại cho bạn đọc,chắc không khó với sự hỗ trợ CASIO
Bài toán 27

K2



 x+ 1 −1= 3 1 + 2
x+1
y3 y2

Giải hệ phương trình sau
√
√
√

√

x+ 4y+1= y+ 4x+1

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện x ≥ 0, y > 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
√
√
√
x− 4x+1= y−

Xét hàm số f (t) =

4

y + 1 (∗)

√
√
t − 4 t + 1 trên [0; +∞) ta có
√
1
1
4

f (t) = √ −
= 0 ⇔ 2 (t + 1)3 = t
2 t 4 4 (t + 1)3
⇔ 16(t + 1)3 = t2 ⇔ 16t3 + 47t2 + 48t + 16 = 0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 22


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ne
t.V
n

Vô nghiệm do t > 0, mà f (t) liên tục trên (0 ; +∞)
Suy ra f (t) không đổi dấu trên (0; +∞)
Suy ra f (t) đồng biến trên (0; +∞)
Mặt khác (∗) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y
Do x ≥ 0 và y > 0 ⇒ x > 0
Thế vào phương trình thứ nhất ta được
x+

⇔

1
−1=

x+1

3

1
2
+ 2
3
y
y

√
3
x2
1
2x + 1
2
x
3
√
=
=
⇔
+
⇔
x+1
x3 x2
x
x+1
√

√
√
3
2x + 1
x
x − x + 1 x − 3 2x + 1
√
−1 + 1−
=0⇔ √
+
=0
x
x
x+1
x+1
⇔

x2 − x − 1
√
√
+
x+ x+1 x+1

x3 − 2x − 1
=0
√
2
3
3
2

x x + x 2x + 1 + (2x + 1)

⇔

x2 − x − 1
√
√
+
x+ x+1 x+1

(x + 1) (x2 − x − 1)
=0
√
2
3
3
2
x x + x 2x + 1 + (2x + 1)

√
1+ 5
⇔x −x−1=0⇔x=
2
√
√
1+ 5 1+ 5
Nghiệm có hệ duy nhất (x; y) =
;
.
2

2
2

pi.

Bài toán 28

Giải hệ phương trình sau


x − √ x = y − √ y
(x − y)2 + y + 3 = 2√4x − 2y

Hướng Dẫn Giải

Phương trình đầu tương đương với

K2

√
√ √
√
( x − y)( x + y − 1) = 0

⇔

√

x=y
√

x+ y =1

• Với x = y thì thay vào phương trình hai ta được nó vô ngiệm
√
√
• Với x + y = 1
Ta xét phương trình hai,sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
(x − y)2 + y + 3 = 2 4x − 2y ≤

4x − 2y + 4
= 2x − y + 2
2

⇔ (x − y − 1)2 ≤ 0 ⇔ x − 1 = y

x − 1 = y
x=1
⇔ √
⇔
(T /M )
√
 x+ y =1
y=0

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 23


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x=1
y=0

Ne
t.V
n

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Bài toán 29


√

x2 + 6xy + 4y 2 + 1 = 2x + 4y + 2 2xy
Giải hệ phương trình sau 2xy + 10 2x4 + 32y 4


= 21
x3 y + 4xy 3

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện xy > 0
Phương trình thứ nhất tương đương với

2xy − 1)2 + (x + 2y)2 ≥ (x + 2y)2

2(x + 2y) = (

⇔ 0 < x + 2y ≤ 2

Phương trình thứ hai tương đương

21xy(x + 2y)2 − 84x2 y 2 = 2xy + 10

2(x4 + 16y 4 ) ≥ 2xy + 5(x + 2y)2

⇔ (21xy − 5)(x + 2y)2 ≥ 84x2 y 2 + 2xy
⇔ (x + 2y)2 ≥

84x2 y 2 + 2xy
21xy − 5

√
1
Ta có 2 ≥ x + 2y ≥ 2 2xy suy ra 0 < xy ≤
2
84x2 y 2 + 2xy
1
Xét f (xy) =
trên 0;
21xy − 5
2
Ta có

1
2

pi.

(x + 2y)2 ≥ maxf (xy) = f





x = 2y
Từ đó suy ra 2xy = 1



x + 2y = 2


x = 1
⇔
y = 1
2

= 4 ⇔ x + 2y ≥ 2

(T /M )

K2


x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

y = 1
2
Bài toán 30


x − y = √ y + 3
Giải hệ phương trình sau
(x − y)2 + 4 (y + 1) = 24 √2x − y − 2

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện y ≥ 0
Từ phương trình đầu suy ra x > 0
√
Thế x = y + y + 3 vào phương trình hai,ta có
√
√
( y + 3)2 + 4y + 4 + 48 = 24 y + 2 y + 6

c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 24


LateX by Trần Quốc Việt

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
√
√
⇔ 5y + 6 y + 61 = 24 y + 2 y + 6

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

Ne
t.V
n

√
√
√
V P = 4.2.3 y + 2 y + 6 ≤ 4(y + 2 + 15) = 4y + 8 y + 61
√
√
⇒ 5y + 6 y + 61 ≤ 4y + 8 y + 60
√
⇔y−2 y+1≤0
√
⇔ ( y − 1)2 ≤ 0
⇔y=1⇒x=5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5, 1)
Bài toán 31


(7x + 5)√x = 12 2x2 − xy
Giải hệ phương trình sau
4y − 5x + 1 = 4 (x − y) (2x − y)

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện


x ≥ 0
x ≥ y

Phương trình thứ nhất tương đương
√

pi.

x(7x + 5 − 12 2x − y) = 0

x = 0
Với trường hợp x = 0 ta giải được
y = − 1
8
√
Với trường hợp 7x + 5 − 12 2x
−y =0

7x + 5 = 12a



√

a = 2x − y
4y − 5x + 1 = 4ab
Đặt

ta có hệ
b = √x − y


2x − y = a2




x − y = b2

K2

Thế x, y rồi giải theo 2 ẩn a, b ta sẽ có các nghiệm là

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm


x=1  x=0
;
1
y = 1 y = −
8


x=1  x=0
;
1 và
y = 1 y = −
8

√


 x = 4 22 − 3
√ 49
và

8
22 − 20
y =
63

√

4
22 − 3

x=
√ 49

8
22 − 20
y =
63

Bài toán 32


√


x − y = 6(1 − xy)
Giải hệ phương trình sau
6 2(x6 + y 6 )

x + 2
=3+
x + xy + y 2

2(x2 + y 2 )

Hướng Dẫn Giải
c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn

Trang 25