Ứng Dụng Về Tính Chất Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

BẢN MÔ TẢ
ỨNG DỤNG VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh được học ở năm học
lớp 7. Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng nhiều trong việc giải các
bài toán thực tế, được vận dụng trong các bài tập môn lý, môn hóa, môn sinh.
* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau có tác dụng lớn trong việc rèn
luyện tư duy, suy luận cho học sinh, đồng thời giúp cho học sinh rất nhiều trong
những năm học tiếp theo.
* Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán giúp cho học
sinh biết cách làm các bài toán tương tự, đồng thời củng cố các kiến thức cơ bản
mà học sinh đã được học.
* Chuyên đề phù hợp với học sinh lớp 7 có trình độ khá, giỏi.
* Chuyên đề đã được đăng trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 8, tháng 9 năm
2016. (Số 470, số 471)
Người viết:
VŨ HỮU CHÍN

1


Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.
Chuyên đề:

ỨNG DỤNG VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh được học ở năm học
lớp 7. Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng nhiều trong việc giải các
bài toán thực tế, được vận dụng trong các bài tập môn lý, môn hóa, môn sinh.
* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau có tác dụng lớn trong việc rèn
luyện tư duy, suy luận cho học sinh, đồng thời giúp cho học sinh rất nhiều trong
những năm học tiếp theo.

* Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán giúp cho học
sinh biết cách làm các bài toán tương tự, đồng thời củng cố các kiến thức cơ bản
mà học sinh đã được học.
* Chuyên đề phù hợp với học sinh lớp 7 có trình độ khá, giỏi.
* Chuyên đề dựa vào kiến thức lớp 7 là:
+ Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức.
+ Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
+ Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a
a1 a2 a3
=
= = .... = n thì
Cho n tỉ số bằng nhau ( n ≥ 2 ) :
b1 b2 b3
bn
ak a1 + a2 + a3 + ..... + an x1a1 + x2 a2 + x3a3 + ..... + x nan
=
=
, k ∈ { 1,2,3,..., n} .
bk b1 + b2 + b3 + .... + bn
x1b1 + x2 b2 + x3b3 + .... + x nbn
B. NỘI DUNG:
DẠNG 1. VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM CÁC GIÁ TRỊ X, Y,
Z, …
2 3 1
Bài toán 1.1. Cho x, y, z thỏa mãn = = . Tìm x, y, z trong các trường
x y z
hợp:
a) 2 x − 3y + 4 z = 5
b) x 2 y 2 z 2 = 36 .

Lời giải : a) Cách 1:
2 3 1
x y z
x y z
Từ = = ⇒ = = . Đặt = = = k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = k .
x y z
2 3 1
2 3 1
Thay vào 2 x − 3y + 4 z = 5 , suy ra 2.2k − 3.3k + 4 k = 5 ⇔ k = −5
Suy ra: x = −10, y = −15, z = −5 .
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có
2 3 1 4
9
4
4−9+ 4
−1
= = =
=
=
=
= .
x y z 2x 3y 4z 2x − 3y + 4z 5
2


Suy ra: x = −10, y = −15, z = −5 .
b) Cách 1:
2 3 1
x y z
x y z

Từ = = ⇒ = = . Đặt = = = k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = k .
x y z
2 3 1
2 3 1
2 2 2
Thay vào x y z = 36 .
Suy ra: ( 2k ) ( 3k ) k 2 = 36 ⇔ k 6 = 1 ⇔ k = ±1 .
+ Với k = 1, suy ra: x = 2, y = 3, z = 1.
+ Với k = - 1, suy ra: x = - 2, y = - 3, z = - 1.
Vậy các cặp (x, y) là ( 2;3;1) , ( −2; − 3; − 1) .
2

2

3

2 3 1
4
9
1
4 9 1
36
36
 4
= 1.
Cách 2: Từ = = ⇒ 2 = 2 = 2 ⇒  2 ÷ = 2 . 2 . 2 = 2 2 2 =
x y z
x
y
z

x . y .z
36
x  x y z
3
4
 4
Suy ra  2 ÷ = 1 ⇔ 2 = 1 ⇔ x = ±2 .
x
x 
x y z
+ Với x = 2, thay vào = = , suy ra y = 3, z = 1.
2 3 1
x y z
+ Với x = - 2, thay vào = = , suy ra y = - 3, z = - 1.
2 3 1
* Nhận xét: Trong phần a) phần b) cách 1 đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng k,
rồi rút x, y, z theo k. Sau đó thay vào đề bài. Trong cách 2 sử dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau thì sẽ nhanh hơn.
5 x + 3 3 y − 8 5 x + 9 y − 21
=
=
Bài toán 1.2. Tìm cặp số x, y thoả mãn:
.
9
5
8x
Lời giải: Cách 1:
3
8
+ Xét 5 x + 9 y − 21 = 0 , thì x = − , y = thỏa mãn đề bài.

5
3
3
8
+ Xét 5 x + 9 y − 21 ≠ 0 , thì x ≠ − , y ≠ . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
5
3
5 x + 3 3 y − 8 9 y − 24 5 x + 9 y − 21 5 x + 9 y − 21
=
=
=
=
9
5
15
24
8x
x
=
3,
y
=
6
Suy ra:
.
 3 8
Vậy các cặp (x, y) là:  − ; ÷, (3; 6).
 5 3
5 x + 3 3 y − 8 5 x + 9 y − 21
=

=
=k.
Cách 2: Đặt
9
5
8x
Suy ra: 5x = 9k − 3, 3y = 5k + 8, 5x + 9y − 21 = 8kx.
⇒ 8k(x − 3) = 0 ⇒ k = 0 hoặc x = 3.
3


 3 8
Với k = 0, suy ra (x, y) =  − ; ÷.
 5 3
Với x = 3, suy ra (x, y) = (3; 6).
 3 8
Vậy các cặp (x, y) là:  − ; ÷, (3; 6).
 5 3
* Nhận xét : Trong cách giải 1, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
xảy ra sai sót là xét thiếu trường hợp. Cách giải 2 đã khắc phục được việc xét thiếu
trường hợp. Tương tự có bài toán 1.3.
5x − 1 7 y − 6 5x + 7 y − 7
=
=
Bài toán 1.3. Tìm x và y biết :
.
3
5
4x
5x − 1 7 y − 6 5x + 7 y − 7

=
=
Lời giải : Từ đề bài:
.
3
5
4x
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
5x − 1 7 y − 6 5x + 7 y − 7 5x + 7 y − 7
=
=
=
3
5
8
4x
Xét 2 trường hợp:
1

x
=

5 x − 1 = 0
5
⇒
Trường hợp 1: 5 x + 7 y − 7 = 0 ⇒ 
.
7 y − 6 = 0  y = 6

7

Trường hợp 2: 5 x + 7 y − 7 ≠ 0 ⇒ 4 x = 8 ⇒ x = 2; y = 3 .
1 6
Vậy cặp (x, y) là :  ; ÷, ( 2;3) .
5 7
*Nhận xét: Có thể giải theo cách 2. Ưu điểm trong cách giải thứ 2, sẽ tránh
được trường hợp học sinh xét thiếu trường hợp.
x
y
z
=
=
= x+ y+ z.
Bài toán 1.4. Tìm x, y z biết:
y + z +1 x + z +1 x + y − 2
Lời giải:
+ Xét x = 0, từ đề bài suy ra x = y = 0. Bộ (x, y, z) là (0; 0; 0) thỏa mãn.
+ Xét x ≠ 0 ⇒ y , z , x + y + z ≠ 0 .
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
x
y
z
=
=
= x+ y+z
y + z +1 x + z +1 x + y − 2
x+ y+z
x+ y+z
1
=
=

= . (vì x + y + z ≠ 0 ).
( y + z + 1) + ( x + z + 1) + ( x + y − 2 ) 2 ( x + y + z ) 2
Do đó x + y + z = 0,5 , thay kết quả này vào đề bài ta được :
x
y
z
x
y
z
=
=
= 0,5 ⇔
=
=
= 0,5 .
0,5 − x + 1 0,5 − y + 1 0,5 − z − 2
1,5 − x 1,5 − y −1,5 − z
4


Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.
1 1 1
Vậy bộ (x, y, z) là : (0; 0; 0),  ; ; − ÷.
2 2 2
Nhận xét : Trong lời giải trên xét trường hợp x = 0, từ đó tìm được bộ giá trị
(x, y, z). Sau đó xét trường hợp x ≠ 0 . Trong quá trình giải bài toán 1.4, hay xét
thiếu trường hợp.
1 1 1
Bài toán 1.5. Cho + + = 3 và 2 x = −3 y = 4 z . Tìm x, y, z.
x y z

2 −3 4 2 − 3 + 4 3
2 x = −3 y = 4 z ⇔ =
= =
= =1
1 1 1 1 1 1 3
Lời giải. Cách 1. Từ
+ +
x
y z x y z
1
1
1
Suy ra: 2x = 1 ⇒ x = ; −3 y = 1 ⇒ y = − ; 4 z = 1 ⇒ z = .
3
2
4
 1 −1 1 
Vậy bộ (x, y, z) là  ; ; ÷.
2 3 4
1
1
1
1
Cách 2. Đặt 2 x = −3 y = 4 z = ⇒ = 2k , = −3k , = 4k ,
k
x
y
z
1 1 1
Thay vào + + = 3 , suy ra 2k − 3k + 4k = 3 ⇔ k = 1 .

x y z
1
1
1
1
−1
1
Suy ra: = 2.1, = −3.1, = 4.1 ⇒ x = , y = , z = .
x
y
z
2
3
4
Nhận xét: Trong cách giải 1 cần xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau phù hợp để kết hợp
với điều kiện đề bài. Từ đó vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.
1
Cách giải 2 bằng cách đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng , từ đó biểu diễn x, y, z theo
k
k để giải bài toán.
Bài toán 1.6. Tìm các số x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
x y
= , x + y + z = 2 và x = 4 z .
y z
2

Lời giải: Từ x = y ⇒  x  = x . y = x = 4 z = 4 .
y z  y ÷
z
 y z z

x
x y
⇒ = ± 2 ⇒ = = ±2.
y
y z
y
+ Trường hợp: = 2 ⇒ y = 2 z , thay vào x + y + z = 2
z
5


⇒ 4z + 2z + z = 2 ⇒ 7z = 2 ⇒ z =

2
4
8
⇒ y = , x= .
7
7
7

y
= − 2 ⇒ y = − 2 z thay vào x + y + z = 2
z
2
−4
8
⇒ 4 z − 2 z + z = 2 ⇒ 3z = 2 ⇒ z = ⇒ y =
,x = .
3

3
3
 8 4 2   8 −4 2 
; ÷.
Vậy các bộ ( x; y; z ) là  ; ; ÷ ,  ;
7 7 7 3 3 3
2
a c
a
a c

Nhận xét: Trong bài toán trên áp dụng tính chất là: Nếu = thì  ÷ = . .
b d
b d
b
8 64 216
Bài toán 1.7. Tìm các số x, y, z thoả mãn: 3 = 3 = 3 và
x y
z
x 2 + y 2 + z 2 = 14 .
+ Trường hợp:

3

3

3

8 64 216
x y z

 x  y   z
Lời giải: Từ 3 = 3 = 3 ⇔  ÷ =  ÷ =  ÷ ⇔ = =
x y
z
1 2 3
1  2  3
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x + y + z 14
⇒ 2 = 2 = 2= 2
= = 1.
1
2
3
1 + 2 2 + 32 14
Suy ra x 2 = 1, y 2 = 22 , z = 32 ⇒ x = ±1, y ± 2, z = ±3 .
x y z
Từ = = , nên x, y, z cùng dấu.
1 2 3
Vậy bộ (x, y, z) là (1; 2; 3), (- 1; - 2; - 3).
Nhận xét : Trong quá trình giải bài toán trên cần chú ý x, y, z là cùng dấu, hay bị
sai là lấy kết quả thừa bộ giá trị (x, y, z).
Bài toán 1.8. Tìm các số x, y, z thoả mãn:

xy
yz
zx
x2 + y 2 + z 2
=
=
=
.
2 y + 4 x 4 z + 6 y 6 x + 2 z 2 2 + 42 + 62
+ Xét x = 0, từ đề bài suy ra y = z = 0. Suy ra 2y + 4x = 0 (vô lí).
2 y + 4 x 4 z + 6 y 6 x + 2 z 2 2 + 42 + 62
x
,
y
,
z
≠
0
=
=
= 2
+ Do đó
, từ đề bài suy ra
xy
yz
zx
x + y2 + z2
2 4 4 6 6 2 22 + 4 2 + 62
⇔ + = + = + = 2
(1)

x y y z z x x + y2 + z2
2 4 6 1 2 3
Suy ra = = ⇔ = = .
x y z
x y z

(

)

(

)

2
2
2
2
2
2
2
2
4
6 2 1 +2 +3
1 2 3 1 + 2 +3
Từ (1) suy ra ⇔ 2. = 2. = 2. = 2
(2)
⇔ = = = 2
x
y

z
x + y2 + z2
x y z x + y2 + z2

6


1 2 3
12
2 2 32
12
22 32 12 + 22 + 32
2
2
Đặt = = = k ⇒ 2 = 2 = 2 = k ⇒ k = 2 = 2 = 2 = 2
.
x y z
x
y
z
x
y
z
x + y2 + z2
2
Thay vào (2) suy ra: k = k ⇔ k ( k − 1) = 0 ⇔ k − 1 = 0 (vì k ≠ 0 )
1 2 3
Suy ra k = 1, thay vào = = = k = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3 .
x y z
Vậy bộ (x, y, z) là (1; 2; 3).

Nhận xét : Trong lời giải bài toán trên cần xét trường hợp x = 0 và x ≠ 0 , từ đó
xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau đơn giản hơn. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để giải bài toán.
DẠNG 2. VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU
THỨC.
x+ y x− y
(x ≠ ± z; x ≠ 0; z ≠ 0)
=
Bài toán 2.1. Cho tỉ lệ thức:
x+z x−z
2014 y 2 + 2015 yz + 2016 z 2
Tính M =
.
2015 y 2 + 2016 yz + 2017 z 2
x + y x − y ( x + y ) + ( x − y ) 2x
=
=
= 1.
=
Lời giải: Từ tỉ lệ thức k =
x + z x − z ( x + z ) + ( x − z ) 2x
⇒ x + y = x + z ⇒ y = z . Thay vào biểu thức M
2014 y 2 + 2015 yy + 2016 y 2 6045 y 2 2015
M=
=
=
.
2015 y 2 + 2016 yy + 2017 y 2 6048 y 2 2016
Nhận xét: Trong bài toán trên có thể thay đề bài bằng việc tính giá trị biểu
thức M bằng việc so sánh M với 1.

a +b b+c c+a
=
=
Bài toán 2.2. Cho x =
, (a, b, c ≠ 0) .
c
a
b

(

Tính A = x 2 − x + 1

)

10

.

Lời giải:
+ Xét a + b + c = 0, suy ra: a + b = - c. Suy ra x =

(

Suy ra A = 12 + 1 + 1

)

10

a + b −c
=
= −1 .
c
c

= 310 = 59049 .

+ Xét a + b + c ≠ 0
Từ đề bài, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a + b b + c c + a ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 2.( a + b + c )
x=
=
=
=
=
=2
c
a
b
c+a+b
a+b+c

(

Suy ra A = 22 − 2 + 1

)

10

= 310 = 59049 .

Vậy trong các trường hợp có A = 59049 .
7


Nhận xét: Trong lời giải trên nếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
phải xét đủ các trường hợp. Tương tự bài toán 2.2, ta có bài toán
a+b b+c c+a
=
=
Bài toán 2.3. Cho các số a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thoả mãn:
.
c
a
b
 b  c  a 
Tính giá trị của P =  1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷.
 a  b  c 
Lời giải: Cách 1:
+ Xét trường hợp: a + b + c = 0, suy ra a + b = −c, a + c = −b, b + c = − a .
Thay vào biểu thức:
 b  c  a  a + b b + c a + c −c − a −b
P = 1 + ÷ 1 + ÷1 + ÷ =
.
.
= . . = −1 .
a
b

c
a b c
 a  b  c 
+ Xét trường hợp: a + b + c ≠ 0, từ giả thiết
a + b b + c c + a ( a + b) + ( b + c) + ( c + a ) 2( a + b + c )
k=
=
=
=
=
= 2.
c
a
b
c+a+b
c+a+b
Suy ra: a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b. Thay vào biểu thức:
a + b b + c a + c 2c 2a 2b
P=
.
.
= . . =8.
a
b
c
a b c
Kết luận: Với a + b + c = 0 thì P = −1 ; với a + b + c ≠ 0 thì P = 8.
Cách 2: Từ
a+b b+c c+a
a+b

b+c
c+a
a+b+c a +b+c a+b+c
=
=
⇔
+ 1=
+ 1=
+1⇔
=
=
c
a
b
c
a
b
c
a
b
+ Xét trường hợp: a + b + c = 0, tính được:
 b  c  a  a + b b + c a + c −c − a −b
P = 1 + ÷ 1 + ÷1 + ÷ =
.
.
= . . = −1 .
a
b
c
a b c

 a  b  c 
+ Xét trường hợp: a + b + c ≠ 0, thì a = b = c, tính được P = 8.
Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không xét 2 trường hợp thì bài toán chỉ
được một kết quả. Trong cách giải 2 xuất hiện việc xét hai truờng hợp. Trong quá
trình giải các bài toán về dãy số cần chú ý xét đủ các trường hợp.
Bài toán 2.4. Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2 x + y + z + t x + 2 y + z + t x + y + 2 z + t x + y + z + 2t
=
=
=
.
x
y
z
t
x+ y y+ z z +t t + x
+
+
+
Tính giá trị biểu thức: P =
.
z+t t + x x+ y y+ z
Lời giải: Cách 1. Từ giả thiết, ta có
2x + y + z + t
x + 2y + z + t
x + y + 2z + t
x + y + z + 2t
−1 =
−1 =
−1 =

−1
x
y
z
t
x+ y + z +t x+ y+ z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
⇔
=
=
=
x
y
z
t
8


Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.
* Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì x = y = z = t, khi đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
* Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = − ( z + t ) ; y + z = − ( t + x ) ;
z + t = − ( x + y ) ; t + x = − ( y + z ) . Khi đó P = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) = −4 .
Vậy P = 4 hoặc P = - 4.
2 x + y + z + t x + 2 y + z + t x + y + 2 z + t x + y + z + 2t
=
=
=
=k
Cách 2. Đặt
x
y

z
t
Suy ra 2 x + y + z + t = kx; x + 2 y + z + t = ky; x + y + 2 z + t = kz; x + y + z + 2t = kt .
Cộng các đẳng thức có
5 ( x + y + z + t ) = k ( x + y + z + t ) ⇔ ( x + y + z + t ) ( k − 5) = 0
* Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì k = 5, suy ra x + y + z + t = 4 x = 4 y = 4 z = 4t ,
⇔ x + y + z + t , khi đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
* Nếu x + y + z + t = 0 thì thì x + y = − ( z + t ) ; y + z = − ( t + x ) ;
z + t = − ( x + y ) ; t + x = − ( y + z ) . Khi đó P = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) = −4
Vậy M = 4; M = - 4.
Nhận xét: Từ dãy tỉ số bằng nhau ta đưa về dãy tỉ số bằng nhau đơn giản
hơn, để vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Cần chú ý xét các trường hợp.
Bài toán 2.5. Cho x, y, z > 0 và dãy tỉ số bằng nhau:
( 3 x − 2 y ) ( 3 y − 2 z ) ( 3z − 2 x )
2y + z − x 2z − y + x 2x + y − z
=
=
. Tính P =
.
x
y
z
( 3 x − z ) ( 3 y − x ) ( 3z − y )
Lời giải: Từ giả thiết
2y + z − x 2z − y + x 2x + y − z 2 x + 2 y + 2 z y + 3 z x + 3 y z + 3 x
=
=
=
=
=

=
= 2.
x
y
z
x+ y+z
x+ y
x+z
y+z
 y + 3z = 2 x + 2 y
 y = 3z − 2 x
2 x = 3z − y



⇒  x + 3 y = 2 x + 2 z ⇔  x = 3 y − 2 z ⇔ 2 z = 3 y − x
z + 3x = 2 y + 2z
z = 3x − 2 y
2 y = 3 x − z




( 3 x − 2 y ) ( 3 y − 2 z ) ( 3z − 2 x )
( 3 x − z ) ( 3 y − x ) ( 3z − y )

x.z.y
1
= .
2 y.2 z.2 x 8

Nhận xét: Trong quá trình giải bài toán trên cần vận dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau một cách phù hợp khi kết hợp 2 hoặc 3 tỉ số bằng nhau.
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
a+b c+a
=
Bài toán 3.1. Chứng minh rằng: a 2 = bc khi và chỉ khi
a−b c−a
(với a ≠ b, a ≠ c ).
Lời giải:
⇒P=

=

9


⇒ Có a 2 = bc , a ≠ b, a ≠ c ⇒ a, b, c ≠ 0 ⇒
.

a b a +b a−b
a+b c+a
= =
=
⇒
=
c a c+a c−a
a −c c−a

a+b c+a
=

⇒ (a + b)(c − a) = ( a − b)(c + a ) ⇒ a 2 = bc .
a−b c−a
Nhận xét: Bài toán trên chứng minh điều kiện cần và đủ, vận dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh bài toán.
a
b
c
=
=
Bài toán 3.2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
.
2014
2015
2016
2
Chứng minh: 4 ( a − b ) .( b − c ) = ( c − a ) .
Lời giải:
Cách 1. Từ đề bài áp dụng tính chất của dãy số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a −b
b −c
c−a
=
=
=
=
=
2014

2015
2016
−1
−1
2
Suy ra: a − c = 2 ( a − b ) = 2 ( b − c )
⇐ Có

⇒ ( a − c ) .( a − c ) = 2.( a − b ) .2 ( b − c ) ⇔ ( c − a ) = 4.( a − b ) ( b − c )
a
b
c
=
=
=k
Cách 2. Đặt
2014
2015
2016
Suy ra a = 2014k, b = 2015k, c = 2016k.
Thay vào vế trái:
2
VT = 4 ( a − b ) .( b − c ) = 4.( 2014k − 2015k ) .( 2015k − 2016k ) = 4k .
2

Thay vào vế phải: VP = ( c − a ) = ( 2014k − 2016k ) = ( −2k ) = 4k 2 .
Do đó VT = VP, ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để xuất hiện các thừa
số của tích, từ đó chứng minh bài toán. Hai cách giải đưa ra 2 phương pháp khác
nhau chứng minh đẳng thức.

Từ bài toán 3.3 ta có thể đề xuất bài toán tương tự: Cho ba số a, b, c thỏa
a
b
c
2
=
mãn: =
. Chứng minh rằng: 4 ( a − b ) .( b − c ) = ( c − a ) .
k
k +1 k + 2
a1 a2 a3
a
= = = ..... = 2015
Bài toán 3.4. Cho dãy tỉ số
a2 a3 a4
a2016
2

2

2

2015

 a + a + a3 + .... + a2015 
= 1 2
Chứng minh :
÷ .
a2016  a2 + a3 + a4 + .... + a2016 
a1 a2 a3

a2015 a1 + a2 + a3 + .... + a2015
=
Lời giải: Đặt k = = = = ..... =
(1)
a2 a3 a4
a2016 a2 + a3 + a4 + .... + a2016
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.
a1

10


2015
=
Lại có k

a1 a2 a3
a
a
. . . ..... 2015 ⇒ k 2015 = 1
a2 a3 a4
a2016
a2016

(2)
2015

 a + a + a3 + .... + a2015 
= 1 2
Từ (1) và (2) suy ra

÷ .
a2016  a2 + a3 + a4 + .... + a2016 
Nhận xét: Lời giải bài toán trên sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ giả
thiết bài toán trên có thể chứng minh được
a1

2015

 1.a + 2.a2 + 3.a3 + .... + 2015.a2015 
= 1
÷ .
a2016  1.a2 + 2.a3 + 3.a4 + .... + 2015.a2016 
y2
y2
2
2
x
+
xy
+
=
2015;
z
+
= 1009; x 2 + xz + z 2 = 1006
Bài toán 3.5. Biết
3
3
và x ≠ 0; z ≠ 0; x ≠ − z .
2z y + z

=
Chứng minh rằng:
.
x x+z
y2
y2
2
2
x
+
xy
+
=
z
+
+ x 2 + xz + z 2 .
Lời giải: Vì 1009 + 1006 = 2015, nên
3
3
2 z y − z (vì
x ≠ 0, z ≠ 0)
⇔ x ( y − z ) = 2z2 ⇒
=
,
x
z
2z y − z 2z + y − z y + z
⇒
=
=

=
, (vì x ≠ − z ) .
x
z
x+z
x+z
2z y + z
=
.
Vậy
x x+z
a1

Nhận xét: Từ đề bài có 1009 + 1006 = 2015, ta lập được đẳng thức. Từ đẳng
thức đã cho suy ra tỉ lệ thức.
Từ bài toán 3.5 ta có thể đề xuất bài toán mới:
y2
y2
2
2
= a + b; z +
= a; x 2 + xz + z 2 = b và
Cho biết x + xy +
3
3
x ≠ 0; z ≠ 0; x ≠ − z .
2z y + z
=
Chứng minh rằng:
.

x x+z
x
y
z
=
=
Bài toán 3.6. Cho
.
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
a
b
c
=
=
Chứng minh rằng:
.
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
Lời giải:
11


+ Xét a = b = c = 0, không thỏa mãn a + 2b + c ≠ 0 .
+ Xét a, b, c ≠ 0 .
x
y
z
=
=
Đặt k =
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
x
2y
z
=
=
k=
a + 2b + c 2.( 2a + b − c ) 4a − 4b + c
x + 2y + z
x + 2y + z
=
k=
.
9a
( a + 2b + c ) + 2.( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c )
Lập luận tương tự:
2x + y − z
2x + y − z
=
k=
.
2 ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c )
9b
4x − 4 y + z
4x − 4 y + z
=
k=
.
4 ( a + 2b + c ) − 4 ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c )
9c

x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
=
=
Suy ra:
(vì a, b, c ≠ 0 ).
9a
9b
9c
a
b
c
=
=
Vậy
.
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
Nhận xét: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính

x + 2y + z
theo k.
9a

2x + y − z 4x − 4 y + z
,
theo k. Từ đó suy ra điều chứng minh.
9b
9c
x y z
Bài toán 3.7. Cho = = và a + b + c = a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
a b c

Tìm hệ thức giữa x, y, z không phụ thuộc vào a, b, c.
Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z x+ y+z
= = =
= x + y + z (do a + b + c = 1 ).
a b c a+b+c
x2
2
Suy ra 2 = ( x + y + z ) .
a
x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2
= x 2 + y 2 + z 2 (do a 2 + b 2 + c 2 = 1 )
Mặt khác 2 = 2 = 2 = 2
2
2
a
b
c
a +b +c
2
2
Do đó ( x + y + z ) = x + y 2 + z 2 .
Nhận xét: Tìm hệ thức giữa x, y, z không phụ thuộc vào a, b, c tức là lập
một đẳng thức chỉ có x, y, z. Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau và đề bài để giải
bài toán.
Tương tự tính được

12

bz + cy
cx + az
ay + bx
=
=
(1)
x(−ax + by + cz ) y (ax − by + cz ) z (ax + by − cz )
ay + bx bz + cy cx + az
=
=
Chứng minh: a)
;
c
a
b
x
y
z
=
=
b)
.
a(b 2 + c 2 − a 2 ) b(a 2 + c 2 − b 2 ) c (a 2 + b 2 − c 2 )
Lời giải:
xyz ( bz + cy )
xyz ( cx + az )
xyz ( ay + bx )
=
=
a) Đặt k =

x(−ax + by + cz ) y (ax − by + cz ) z (ax + by − cz )
yz ( bz + cy )
xz ( cx + az ) xy ( ay + bx )
k=
=
=
−ax + by + cz ax − by + cz ax + by − cz
Suy ra
2
2
yz ( bz + cy )
xz ( cx + az ) yz ( bz + cy ) + xz ( cx + az ) c x + y + z ( ax + by )
k=
=
=
=
−ax + by + cz ax − by + cz
2cz
2c
a ( y 2 + z 2 ) + x ( by + cz ) b ( z 2 + x 2 ) + y ( cz + ax )
Lập luận tương tự có: k =
=
2a
2b
2
2
2
2
c ( x + y ) + z ( ax + by ) a ( y + z ) + x ( by + cz ) b ( z 2 + x 2 ) + y ( cz + ax )
Suy ra:

=
=
c
a
b
2
2
2
Trừ mỗi tỉ số trên với x + y + z , suy ra
Bài toán 3.8. Cho

(

(

)

)

z ( ax + by − cz ) x ( by + cz − ax ) y ( cz + ax − by )
=
=
(2)
c
a
b
Nhân các đẳng thức của (2) với các đẳng thức của (1) tương ứng, ta có
ay + bx bz + cy cx + az 1
=
=

=
.
c
a
b
M
b) Từ phần a) suy ra: c 2 = ( ay + bx ) cM , b2 = ( cx + az ) bM , a2 = ( bz + cy ) aM

⇒ b2 + c 2 − a2 = 2bcxM , c 2 + a2 − b 2 = 2cayM , a2 + b2 − c 2 = 2 abzM .
1
x
y
z
⇒
=
=
=
.
2abcM a b2 + c 2 − a2
b c 2 + a2 − b2 c a2 + b2 − c 2

(

)

(

) (

)

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán khó, phải nhân các tỉ số bằng nhau với cùng
xyz ≠ 0 , vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đưa dãy số đã cho về dãy số đơn
giản, sau đó nhân phù hợp với dãy tỉ số ban đầu để được kết quả cần chứng minh.
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.

13


Bài toán 3.9. Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z và
x 2 − yz y 2 − xz z 2 − xy
2
2
2
x − yz ≠ 0; y − zx ≠ 0; z − xy ≠ 0 thỏa mãn
=
=
. Chứng
a
b
c
a 2 − bc b 2 − ca c 2 − ab
=
=
minh rằng:
.
x
y
z

x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xy
a
b
c
=
=
⇔ 2
= 2
= 2
=k
Lời giải: Từ đề bài
a
b
c
x − yz y − zx z − xy
a2
bc
a 2 − bc
2
⇒k = 4
=
=
( 1)
x − 2 x 2 yz + y 2 z 2 y 2 z 2 − xy 3 − xz 3 + x 2 yz x x3 + y 3 + z 3 − 3xyz

(

)

Lập luận tương tự:

b2
ac
b 2 − ac
k2 = 4
=
=
y − 2 y 2 xz + x 2 z 2 x 2 z 2 − yx3 − yz 3 + y 2 xz y x3 + y 3 + z 3 − 3xyz

(

c2
ab
c 2 − ab
k = 4
=
=
z − 2 z 2 xy + x 2 y 2 x 2 y 2 − zx 3 − zy 3 + z 2 xy z x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz
2

(

)

)

( 2)
( 3)

Từ (1) (2) (3) ta có ĐPCM.
Nhận xét: Từ đề bài để xuất hiện a2 − bc , ta phải xét k 2 . Từ đó xuất hiện

dãy tỉ số bằng nhau, suy ra điều cần chứng minh.
DẠNG IV. VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU GIẢI CÁC BÀI TOÁN
THỰC TẾ.
Bài toán 4.1. Cho ba cạnh của một tam giác có số đo là a, b, c còn 3 đường
cao tương ứng có số đo là x, y, z. Biết rằng x: y: z = 6: 8: 9 và b - c = 2cm. Tính
chu vi của tam giác đó ?
x y z
Lời giải: Theo đề bài = = .
6 8 9
x y z
Đặt = = = k ⇒ x = 6k ; y = 8k ; z = 9k.
6 8 9
ax by cz a.6k b.8k c.9k
=
= =
=
=
Ta có S =
(S là diện tích tam giác)
2
2
2
2
2
2
⇒ 6a = 8b = 9c .
6a 8b 9c a b c a + b + c b − c
⇒
=
=

= = = =
=
= 2.
72 72 72 12 9 8 12 + 9 + 8 9 − 8
⇒ a + b + c = 58 (cm).
Vậy chu vi của tam giác là 58cm.

14


Nhận xét: Trong bài toán trên sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao
tương ứng trong tam giác, suy ra quan hệ giữa ba cạnh của tam giác. Từ đó giải
được bài toán. Tương tự bài toán 4.1 ta có bài toán 4.2.
Bài toán 4.2. Tìm ba cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác bằng 99cm.
Biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng 2 đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ với
5: 7: 8.
Lời giải: Gọi ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là a, b, c và ba đường cao
tương ứng với ba cạnh là ha , hb , hc .
h + h h + h h + ha ( ha + hb + hc )
=
Theo đề bài có a b = b c = c
= k.
5
7
8
10
Suy ra ha + hb = 5k ; hb + hc = 7k ; hc + ha = 8k ; ha + hb + hc = 10k .
Suy ra hc = 5k ; hb = 2k ; ha = 3k
a b c a + b + c 99
=

Có 2S = aha = bhb = chc ⇒ a.3k = b.2k = c.5k ⇒ = = =
10 15 6
31
31
990
1485
594
;b=
;c=
Suy ra a =
.
31
31
31
Nhận xét: Cách giải bài toán 4.2 tương tự bài toán 4.1.
Bài toán 4.3. Cho tam giác ABC. Có góc ngoài của tam giác tại A, B, C tỉ lệ
với 7: 6: 5. Tính các góc trong của tam giác ABC.
µ ,B
µ ,C
µ .
Lời giải: Gọi các góc trong của tam giác ABC là A
µ µ µ µ µ µ
µ +C
µ : A
µ +C
µ : A
µ +B
µ = 7:6:5 ⇔ B + C = A + C = A + B = k .
Ta có B
7

6
5
µ +C
µ + A
µ +C
µ + A
µ +B
µ
µ +B
µ +C
µ
B
2. A
2.180 0
k=
=
=
= 20 0
7+6+5
18
18
µ +C
µ = 140 0 , A
µ +C
µ = 120 0 , A
µ +B
µ = 100 0 .
Suy ra B
µ = 40 0 , B
µ = 60 0 , C

µ = 80 0 .
Do đó A

(

(

)(
) (

)(
) (

)

)

(

)

Nhận xét: Bài toán trên dựa vào tính chất góc ngoài của tam giác, tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau.
Bài toán 4.4. Một hỗn hợp gồm 5 chất và nặng 5 327 156 605 gam. Biết
rằng tỉ lệ về khối lượng giữa các chất như sau: tỉ lệ giữa chất thứ nhất với chất thứ
hai là 2: 3, tỉ lệ giữa chất thứ hai với chất thứ ba là 4: 5, tỉ lệ giữa chất thứ ba với
chất thứ tư là 7: 6, tỉ lệ giữa chất thứ tư với chất thứ năm là 11: 7. Hãy tìm và cho
biết mỗi chất có trong hỗn hợp này nặng bao nhiêu gam?
Lời giải: Gọi tên các chất từ thứ nhất đến thứ năm trong hợp chất đó tương
ứng là x, y, z, t, u ( x, y, z , t , u > 0 ) .

x 2 y 4 z 7 t 11
Ta có x + y + z + t + u = 5 327 256 605, = , = , = , = .
y 3 t 5 t 6 u 7
15


z
x y y z
x y
=
,
=
=
=
 2 3 4 5
 8 12 15
⇒
Từ đó ta suy ra : 
z = t , t = u
 z = t = u
 7 6 11 7  77 66 42
x
y
z
t
u
x+ y + z +t +u
⇒
=
=

=
=
=
616 924 1155 990 630 616 + 924 + 1155 + 990 + 630
5327156605
=
= 1234567
4315
Vậy: x = 760 493 272, y = 1 140 739 908, z = 1 425 924 885,
t = 1 222 221 330, u = 777 777 210.
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán khó, phải lập được dãy tỉ số bằng nhau.
Trong quá tình tính toán cần sử dụng thêm máy tính thì kết quả sẽ nhanh hơn.
Bài toán 4.5. Một bãi cỏ đủ nuôi con bò và con dê trong 45 ngày, hoặc con
bò và con ngỗng trong 60 ngày, hoặc con dê và con ngỗng trong 90 ngày. Hỏi bãi
cỏ ấy nuôi cả ba con trong bao lâu, biết rằng trong một ngày số cỏ bò ăn bằng tổng
số cỏ dê và ngỗng ăn.
Lời giải : Gọi số cỏ bò, dê, ngỗng ăn trong 1 ngày x, y, z, số cỏ có sẵn ở bãi
cỏ là u, số cỏ mọc thêm trong 1 ngày là v, số ngày cần tìm là t. Theo đề bài có :
45 ( x + y ) = u + 45v (1)

60 ( x + z ) = u + 60v (2)

90 ( y + z ) = u + 90v (3)

t ( x + y + z ) = u + tv (4)
x
= y+z
(5)

Từ bốn đẳng thức đầu có :

45 ( x + y − v ) = u

60 ( x + z − v ) = u

90 ( y + z − v ) = u
t ( x + y + z − v ) = u

Suy ra 45 ( x + y − v ) = 60 ( x + z − v ) = 90 ( y + z − v ) = t ( x + y + z − v ) = u
x+ y −v x+ z −v y + z −v
u
=
=
=
hay
.
4
3
2
180
Theo tính chất của dãy số bằng nhau, mỗi tỉ số trên bằng :
( x + z − v ) − ( y + z − v ) = x − y = z (do x = y + z).
3−2
1
Do đó : x + y – v = 4z ⇒ x + y + z − v = 5 z và u = 180z.
16


u
180 z
=

= 36 .
x+ y+ z −v
5z
Kết luận : Cả ba con ăn trong 36 ngày thì hết bãi cỏ.
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán khó, chọn các ẩn một cách phù hợp, phải
lập được dãy tỉ số bằng nhau. Từ dãy tỉ số bằng nhau sẽ giải được bài toán.
Bài toán 4.6. Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 2100 triệu
đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 30 xe ở cách cầu
2km, xí nghiệp III có 50 xe ở cách cầu 3km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc
xây cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch
với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu ?
Lời giải: Gọi x, y, z (triệu đồng) theo thứ tự là số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III
phải trả. Theo đề bài x, y, z tỉ lệ thuận với 40; 30; 50.
x, y, z tỉ lệ nghịch với 1,5; 2; 3.
40 30 50
: : = 16 : 9 :10 ; x + y + z = 2100 .
Suy ra: x : y : z =
1,5 2 3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x y z
x+y+z
2100
= =
=
=
= 60 .
16 9 10 16 + 9 + 10
35
Vậy xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 960 (triệu đồng), 540 (triệu đồng), 600
(triệu đồng).

Nhận xét: Bài toán trên là bài toán thực tế, mối quan hệ giữa đại lượng tỉ lệ
thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch.
Bài toán 4.7. Một nông trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III
tỉ lệ với 8: 7: 6. Nhưng sau đó vì số người các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với
7: 6: 5. Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 8 m 2 đất. Tính số đất
đã phân chia cho mỗi đội ?
Lời giải: Gọi số đất dự định chia cho đội I, II, III lần lượt là x1, y1, z1 (m2).
Gọi số đất đã chia cho đội I, II, III lần lượt là x2 , y2 , z2 (m2).
Theo đề bài và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x1 y1 z1 x1 + y1 + z1 k
8k
k
2k
= = =
=
⇒ x1 = , y1 = , z1 =
8 7 6
8+7+6
21
21
3
7
x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 k
7k
k
5k
= = =
= ⇒ x2 = , y2 = , z2 =
7 6 5
7+6+5

18
18
3
18
7 k 8k
k
k
−
=
>0⇒
= 8 ⇒ k = 1024 .
Có x2 − x1 =
18 21 126
126
3584
2
1024
1
= 398 (m2),
= 341
Vậy số đất đã chia cho đội I, II, III lần lượt là:
9
9
3
3
2560
4
= 284 (m2).
(m2),
9

9
Vậy t =

17


Nhận xét : Bài toán trên là bài toán thực tế khi chia tỉ lệ có sự thay đổi.
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài tập 1. Tìm x, y, z biết:
y 2 − x2 x2 + y 2
=
a)
và x10 . y10 = 1024 .
3
5
2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1
=
=
b)
.
5
7
6x
4
2
3
=
=
c)

và xyz = 12.
x +1 y − 2 z + 2
x −9
x − 1 x 2 − 2 x3 − 3
=
=
= .... = 9
Bài tập 2. Tìm x1, x2 , x3 ,...., x9 , biết 1
9
8
7
1
và x1 + x2 + x3 + .... + x9 = 90 .
Bài tập 3. Tìm x1, x2 , x3 , x 4 , biết x1 + x2 + x3 + x4 = 15, x1 = 8 x4
x1 x2 x3
=
=
và
.
x 2 x3 x 4
a bbb
14 2....b
43

Bài tập 4. Cho tỉ lệ thức

a
ab a
n sè b
= ,

= , chứng minh rằng:
bbb
bc c
14 2....b
43 c c
n sè b

(với n là số tự nhiên).
Bài tập 5.
a c
a n + bn a n − bn
= n
( n∈ ¥ * ) .
a) Từ tỉ lệ thức = . Chứng minh rằng: n
n
n
b d
c +d
c −d
2k
2k
2k
2k
a
c
a +b
a −b
=
±
=

(
k
∈
¥
)
b) Cho 2 k
.
Chứng
minh
rằng:
.
b
d
c + d 2k c 2k − d 2k
n
a n + bn
a
( n∈¥ * ) . Chứng minh rằng:
c) Cho  ÷ = n
n
c +d
c
a c
=
+
nếu n là số tự nhiên lẻ.
b d
a
c
=±

+
nếu n là số tự nhiên chẵn.
b
d
Bài tập 6. Cho a, b, c, d thỏa mãn a > b > c > d > 0 và a: b = c: d.
Chứng minh: a + d > b + c.
x
y
6 x − 15 y
=
=
Bài tập 7. Cho
. Tìm giá trị (x + y) khi
3y 2x − 5 y
x
− 4x2 + 36y − 8 đạt giá trị lớn nhất.
18


Bài tập 8. Cho tam giác ABC với ba cạnh a = BC , b = CA, c = AB thỏa
mãn a ≥ b ≥ c. Gọi ha , hb , hc lần lượt là chiều cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của
tam giác ABC . Chứng minh rằng:
hc − hb hb − ha ha − hc
+
+
≥ 0.
ha
hc
hb
a x c

Bài tập 9. Cho > > với x, y, a, b, c, d ∈ ¢ + . Nếu ad - bc = 1.
b y d
Chứng minh: x ≥ a + c ; y ≥ b + d .
Bài tập 10. Tìm giá trị x, y, z để biểu thức
A = 7 x − 5 y + 2 z − 3 x + xy + yz + zx − 2000 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất.
D. KẾT LUẬN:
* Trong toán học việc ứng dụng một tính chất của toán học để giải các bài toán,
đồng thời giải quyết các bài toán thực tế đóng một vai trò quan trọng hàng đầu.
* Việc ứng dụng về tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong chuyên đề này giúp cho
học sinh giải quyết được một số dạng bài tập về dãy số, đồng thời giải quyết được
một số bài toán thực tế khá là khó.
* Ứng dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, giải quyết một số bài toán thực tế về
chia tỉ lệ trong các lĩnh vực.
* Khi làm các bài tập này yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc biến đổi các
tỉ lệ thức một cách thành thạo.
* Qua chuyên đề này rèn luyện cho học sinh về khả năng tư duy, khả năng biến
đổi, khả năng suy luận sáng tạo, khả năng giải các bài toán thực tế.
* Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các cấp quản lí lãnh đạo
trong ngành giáo dục đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hải Phòng, ngày 20 tháng 1 năm 2016
Chủ đề tài:

Vũ Hữu Chín

19