CĐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BUỔI 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Mục tiêu:
- Luyện tập cho học sinh thành thạo việc giải hệ phương trình bằng phương pháp
cộng đại số, phương pháp thế và mộ số bài toán có liên quan đến việc giải hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Rèn kỹ năng vận dụng lý thuyết vào giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
đại số, phương pháp thế nhanh và chính xác.
- Rèn kỹ năng trình bày lời giải khoa học.
II.Tiến trình bài dạy:
1. Tổ chức: 9A:
9B:
2.Kiểm tra:
- Nêu định nghĩa hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm nghiệm và tập
nghiệm của nó? Thế nào là hệ hai phương trình tương đương?
- Nêu quy tắc cộng và quy tắc thế để giải hệ phương trình?
3.Dạy học bài mới:
A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa: (SGK)
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
ax + by = c
(I ) 
(trong đó a, b, c, a’, b’, c’ có thể chứa tham số)
a ' x + b ' y = c '

2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm: (SGK)
- Nghiệm (x0; y0) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ
- Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô
nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
3. Điều kiện để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô

số nghiệm, vô nghiệm.
ax + by = c
(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
a ' x + b ' y = c '
a b c
+ Hệ có vô số nghiệm nếu: = =
a' b' c'
a b c
+ Hệ vô nghiệm nếu: = ≠
a' b' c'
a b
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu: ≠
a' b'

Hệ: ( I ) 

4. Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
a) Phương pháp cộng đại số:
1


+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số
của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, tong đó có một phương
trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 ( tức là phương trình một ẩn)
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
b) Phương pháp thế:
+ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình
mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

c) Phương pháp đồ thị.

B. BÀI TẬP:
*Bài tập 1:
Giải các hệ phương trình sau:
 2x − 11 y = −7
a) 
10x + 11y = 31
( x + 14)( y − 2) = xy
c) 
( x − 4)( y + 1) = xy

4x + 7 y = 16
b) 
4x − 3 y = −24
 2x − 3 y = −5
d) 
 −3x + 4 y = 2

Đáp số:
a) (x; y) = (2; 1)
b) (x; y) = (-3; 4)
c) (x; y) = (28; 6)
d) (x; y) = (14; 11)
*Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
1 1
 x − y =1

a) 
2 + 3 = 5

 x y

15 7
 x − y =9

b) 
 4 + 9 = 35
 x y

1
5
 1
x+ y + x− y = 8

c) 
 1 − 1 =−3
 x + y x − y
8

Đáp số:
5 5
8 3
1 1
b) ( x; y ) = ( ; )
2 3
(
x
;
y
)

=
(5;3)
c)

a) ( x; y ) = ( ; )

------------------------------------------------------------------

Buổi 2:
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Mục tiêu:
- Ôn tập và củng cố các kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Học sinh hiểu và giải được các dạng toán: Giải hệ phương trình không chứa tham
số; giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số; giải và biện luận hệ phương trình
theo tham số; tìm giá trị của tham số khi biết dấu của nghiệm.
2


- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình, suy luận, trình bày.
- Rèn thái độ học tập tích cực, chủ động, sáng tạo.
II.Tiến trình bài dạy:
1.Tổ chức:
2.Kiểm tra:
- Nêu các phương pháp giải hệ phương trình?
3.Bài mới:
Dạng 1: Giải hệ phương trình không chứa tham số.
*Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
 −5x + 2 y = 4
a) 
6x − 3 y = −7

3x − 2 y = 10

b)  2
1
 x − 3 y = 3 3

Dạng 2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số
Hướng dẫn: Thay giá trị của tham số vào hệ pt, sau đó giải hệ.
+ Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
Chú ý: Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm (hoặc y theo tham số m), làm xuất
hiện phương trình có dạng: Ax = B (1) (hoặc Ay = B)
+ Nếu A= 0 thì pt (1) có dạng: 0x = B
- Khi B = 0 thì pt (1) có dạng 0x = 0
=> phương trình có vô số nghiệm => hệ có vô số nghiệm.
- Khi B ≠ 0, phương trình (1) vô nghiệm => hệ vô nghiệm.
+ Nếu A ≠ 0, thì pt (1) có nghiệm duy nhất
*Bài tập 3: Giải và biện luận hệ pt theo tham số m:
 mx + y = 2

 2x − y = 1

Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được:
(m + 2)x = 3 (1)
+ Nếu m + 2 = 0 => m = -2 thì pt (1) có dạng 0x = 3 , pt vô nghiệm. Do đó hệ vô
nghiệm.
+ Nếu m + 2 ≠ 0 => m ≠ - 2 thì pt (1) có nghiệm duy nhất x =
6
4−m
−1 =

2+m
2+m
3

 x = 2 + m
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 
y = 4− m
2+m


3
. Thay vào pt thứ
m+2

hai của hệ ta được: y = 2x − 1 =

*Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô
nghiệm, vô số nghiệm.
x = 7 − y
 mx = 2 y + p

*Bài tập 4: Tìm giá trị của m và p để hệ phương trình 
a) Có 1 nghiệm duy nhất

3


b) Có vô số nghiệm
c) Vô nghiệm.
Giải:

m −2
≠
⇔ m ≠ −2
1
1
m −2 p
b) Hệ có vô số nghiệm ⇔ = = ⇔ m = −2; p = −14
1
1
7
m −2 p
c) Hệ vô nghiệm ⇔ = ≠ ⇔ m = −2; p ≠ −14
1
1
7

a) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔

*Dạng 5: Tìm giá trị của tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phương trình.
x + 2 y = 5
 mx + y = 3

*Bài tập 5: Cho hệ phương trình: 
Tìm m để x < 0; y < 0.
Giải: Trước hết giải hệ pt.

x < 0
⇒m=?
y < 0

Sau đó giải hệ bất phương trình 

Kết quả: Không tìm được giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
4. Bài tập về nhà:
*Bài tập 6: Giải và biện luận hệ theo n:
 nx + y = 2n

 nx + ny = n

Hướng dẫn: - Xét với n = 0 (hệ có vô số nghiệm (x ∈ R; y = 0)
- Với n ≠ 0.
*Bài tập 7: Tìm giá trị của m để hệ phương trình
x − y = 3

 mx + y = m

a) Có 1 nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm
c) Vô nghiệm
Kết quả:
a) m ≠ -1; b) Không có giá trị nào của m;
*Bài tập 8:Cho hệ phương trình:

c) m = - 1

 x + ay = a 2 + a + 1
. Tìm m để x > 0; y < 0.

2

ax + 3 y + a + 4a

*Bài tập 9: Hãy biện luận theo tham số m về số nghiệm của hệ phương trình sau:
 mx + y = m3 (1)

 x + my = 1(2)

Hướng dẫn: Xét hai trường hợp m = 0 và m ≠ 0.
- Với m =0 thì hệ có nghiệm duy nhất (1; 0)
- Với m ≠ 0, ta sử dụng của điều kiện đã biết
*Kết quả:
4


m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
m = ± 1 thì hệ vô số nghiệm
Không có giá trị nào của m để hệ vô nghiệm.
*Bài tập 10: Hãy biện luận theo tham số a về số nghiệm của mỗi hệ phương trình
sau:
x − y = 5
a) 
y = a

ax + 2 y = 3
b) 
x + y = 1

- Kết quả: a) Hệ có một nghiệm duy nhất với mọi a
b) Với a = 2 thì hệ vô nghiệm; a ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
*Bài tập 11: Chứng tỏ rẳng:

x + y = 1
luôn có nghiệm duy nhất với mọi k.
y = k
 4x − 3 y = 7
b) Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất khi k ≠ - 4
 kx + 3 y = 8

a) Hệ phương trình: 

5x − y = 5

c) Hệ phương trình  1
có vô số nghiệm khi k = 1 và vô nghiệm khi k ≠ 1.
 x − 5 y = k

*Bài tập 12: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m:
 mx + y = m + 1

 x + my = 2

Kết quả:
m = -1 thì hệ vô nghiệm.
x ∈ R
y = 2− x

m = 1 thì hệ có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là: 
m+2

1 

;
m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất 
÷
 m −1 m +1 
*Bài tập 13: Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m:
 mx + (m − 1) y = m + 1
a) 
 2x + my = 2
(m − 1) x + 2 y = 3m − 1
c) 
(m + 2) x − y = 1 − m

 mx + (m − 2) y = 5
b) 
(m + 2) x + (m + 1) y = 2
(m + 4) x − (m + 2) y = 4
d) 
(2m − 1) x + (m − 4) y = m

Kết quả:
 m2 − m + 2

−2
; 2
a) Hệ có nghiệm duy nhất  2
÷
 m − 2m + 2 m − 2m + 2 
 3m + 9 −3m − 10 
;

b) m ≠ -4 hệ có nghiệm duy nhất: 
÷
m+4 
 m+4

m = - 4 hệ vô nghiệm.
 1 4m − 1 

c) m ≠ - 1 hệ có nghiệm duy nhất  ;
÷
3 
3
m = -1 hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 2
5


 m+8

m−2 

;
d) m ≠ 2; m ≠ 3 thì hệ có nghiệm duy nhất 
÷
 3(m + 3) 3(m + 3) 
 mx + my = m
 mx + y = 2m

*Bài tập 14: Cho hệ phương trình: 

a) Giải và biện luận theo tham số m

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm m để nghiệm thỏa mãn x >0 và y <
0
- Kết quả:
 2m − 1 − m 

;
a) m ≠ 0; m ≠ 1 thì hệ có nghiệm duy nhất 
÷
 m −1 m −1 
m= 0 thì hệ có vô số nghiệm (x ∈ R; y = 0)
m = 1 thì hệ vô nghiệm
b) m < 0 hoặc m > 1
---------------------------------------------------------------BUỔI 3
CÁC DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (TT)
I.Mục tiêu:
- Ôn tập và củng cố các kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Học sinh hiểu và giải được các dạng toán: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm
của hệ; tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y; tìm giá trị tham số để
hệ phương trình có nghiệm nguyên; tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x và
y là P(x; y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tìm giá trị tham số để hệ hai
phương trình tương đương.
- Giải hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ và giải một số hệ phương trình
không ở dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (hệ đặc biệt)
II.Tiến trình dạy học:
1.Tổ chức: 9A:
9B:
2.Kiểm tra:
Kết hợp trong quá trình dạy học bài mới
3.Bài mới:
Dạng 6: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

3x − 2 y = 7

*Bài tập 1: Cho hệ phương trình: 

2
(5n + 1) x − ( n − 2) y = n − 4n − 3

Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1 ; -2)
Hướng dẫn: Thay (x; y) = (1 ; -2) vào hệ , ta tính được n = 0; n = 11
1

2
5m(m − 1) x + my = (1 − 2m)
3
*Bài tập 2: Cho hệ phương trình: 
 4mx + 2 y = m 2 + 3m + 6


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhấy (x; y) = (1; 3)
Giải:
6


Thay x = 1; y = 3 vào hệ, sau đó ta tính được m = 1
 2mx + 9n − 2) y = 9
(m + 3) x + 2ny = 5

*Bài tập 3: Cho hệ phương trình: 

Tìm m; n để hệ có nghiệm (x; y) = (3; -1)

Giải: Thay x = 3; y = -1 vào hệ, ta giải được m = 2; n = 5
*Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y
- Phương pháp:
ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

Cho hệ phương trình: 

có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức px + qy = d (3)
- Trước hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất
- Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thỏa mãn (3) nên (x; y) là nghiệm của (1); (2); (3)
- kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất
- Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại
=> Giải phương trình chứa ẩn là tham số.
3x + 2 y = −8
 −3mx + (m + 5) y = ( m − 1)(m + 1)

*Bài tập 4: Cho hệ phương trình 

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn : 4x – 2y = - 6 (3)
Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất :
3(m + 5) + 6m ≠ 0 ⇔ m ≠ −

5
3

- Do (x; y) là nghiệm của hệ phương trình (I) và thỏa mãn (3) nên (x; y) là nghiệm
của (1); (2); (3)
3x + 2 y = −8
 x = −2

⇔
 4x − 2 y = −6
 y = −1

- Kết hợp (1) và (3) ta có: 

- Thay x = - 2; y = -1 vào phương trình (2) ta được:
6m – (m + 5) = m2 – 1 ⇔ m 2 − 5m + 4 = 0
m = 1
⇔
(TM )
m = 4

Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thỏa mãn 4x – 2y = - 6
 mx + y = 5;(1)
 2mx + 3 y = 6;(2)

*Bài tập 5: Cho hệ phương trình: 

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn:
(2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)
Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất m.3 ≠ m.2 => m ≠ 0
- Từ (1) => y = 5 – mx . Thay vào (2) ta có:
2mx+3(5-mx)=6 ⇔ x =
- Thay x =

9
(m ≠ 0)
m

9
9m
= −4
vào y = 5 – mx ta có: y = 5 −
m
m
7


- Vậy với m ≠ 0; hệ (I) có nghiệm x =

9
; y = −4
m

9
; y = −4 vào phương trình (3) ta được:
m
9
9
(2m − 1) + (m + 1)(−4) = m ⇔ 18 − − 4m − 4 = m
m
m

Thay x =

9
⇔ 5m 2 − 14m + 9 = 0 ⇔ (m − 1)(5m − 9) = 0 ⇔ m = 1; m = (TMm ≠ 0)
5
9

Vậy với m = 1 hoặc m = thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thỏa mãn
5

(2m – 1)x + (m + 1)y = m
*Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên
(m + 2) x + 2 y = 5
 mx − y = 1

*Bài tập 6: Cho hệ phương trình 

Tìm m thuộc Z để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên
Giải:
Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta được:
(m + 2)x + 2(mx – 1) = 5 ⇔ 3mx + 2x = 7 ⇔ x.(3m + 2) = 7 ⇔ x =
Thay vào y = mx – 1 => y =

7
4m − 2
.m − 1 ⇒ y =
3m + 2
3m + 2

7
2
;(m ≠ − )
3m + 2
3

7
∈ ¢ ⇔ 3m + 2 ∈ Ư(7) = {-1; 1; 7; - 7}

3m + 2
- Với 3m + 2 = - 7 ⇔ m = - 3
5
- Với 3m + 2 = 7 ⇔ m = ∉ ¢ (loại)
3
1
- Với 3m + 2 = 1 ⇔ m = − ∉ ¢ (loại)
3
- Với 3m + 2 -1 ⇔ m = -1
4m − 2
⇒ y = 2(t / m)
+ Thay m = - 3 vào y =
3m + 2
4m − 2
⇒ y = 6(t / m)
+ Thay m = -1 vào y =
3m + 2
Kết luận: m ∈ ¢ để hệ có nghiệm nguyên là m = -3; m = -1
(m − 3) x + y = 2
*Bài tập 7: Cho hệ phương trình: 
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
 mx + 2 y = 8

Để x ∈ ¢ ⇔

Giải:
Từ (1) ta có: y = 2 – (m – 3)x ⇔ y = 2 – mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2(2 – mx + 3x) = 8 ⇔ -mx + 6x = 4
⇔ x(6 – m) = 4
(m ≠ 6)

4 .
⇔ x=
6−m

8


Thay vào ta tìm được: y = 2 – (m – 3)x ⇒ y =

24 − 6m
6−m

4
∈ ¢ ⇔ 6 − m ∈ Ư(4) = {1; -1; 2; -2; 4; -4}
6−m
+6–m=1 ⇔m=5
+ 6 – m = -1 ⇔ m = 7
+6–m=2 ⇔ m=4
+ 6 – m = -2 ⇔ m = 8
+6–m=4 ⇔m=2
+ 6 – m – 4 ⇔ m = 10
24 − 6m
⇒ y = −6(t / m)
-Thay m = 5 vào y =
6−m
24 − 6m
⇒ y = 18(t / m)
-Thay m = 7 vào y =
6−m
24 − 6m

⇒ y = 0(t / m)
- Thay m = 4 vào y =
6−m
24 − 6m
⇒ y = 17(t / m)
- Thay m = 8 vào y =
6−m
24 − 6m
⇒ y = 3(t / m)
- Thay m = 2 vào y =
6−m
24 − 6m
⇒ y = 9(t / m)
- Thay m = 10 vào y =
6−m
Vậy để hệ có nghiệm nguyên thì m ∈ {5; 7; 4; 8; 2; 10}

Để x ∈ ¢ ⇔

*Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là
P(x; y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
+ Lý thuyết:
- Cách 1:
•Trước hết tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
• Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:
P(x; y) = k.A2(x) + d ( với d là hằng số)
Nếu k < 0 thì k.A2(x) ≤ 0 => k.A2(x) + d ≤ d => P(x; y) ≤ d
Giá trị lớn nhất của P(x; y) bằng d, giá trị này đạt được khi A(x) = 0
Nếu k > 0 thì k.A2(x) ≥ 0 => k.A2(x) + d ≥ d => P(x; y) ≥ d
Giá trị nhỏ nhất của P(x; y) bằng d đạt được khi A(x) = 0

- Cách 2:
P(x; y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x; y) = 0
+ Tính ∆ hoặc ∆ '
+ Đặt điều kiện ∆ ≥ 0(∆ ' ≥ 0) ⇒ Giải bất phương trình chứa ẩn P(x; y)
•P(x; y) ≥ e => Giá trị nhỏ nhất của P(x; y) bằng e, giá trị này đạt được khi
∆ = ∆' = 0 ⇔ x = −

b
b'
=−
2a
a

•P(x; y) ≤ e ⇒ Giá trị lớn nhất của P(x; y) bằng e, giá trị này đạt được khi
9


∆ = ∆' = 0 ⇔ x = −

b
b'
=−
2a
a

 mx − y = m 2 ;(1)
*Bài tập 8: Cho hệ phương trình: 
2
 2x + my = m + 2m + 2;(2)

a) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.
Giải:
a) Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: m = 0 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 0)
+ Trường hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⇔ ab ' ≠ a ' b ⇔ m.m ≠ (−1).2 ⇔ m 2 + 2 ≠ 0

- Do m2 ≥ 0, với mọi m => m2 + 2 > 0, với mọi m
Hay m2 + 2 ≠ 0 với mọi m.
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3)
Thế vào (2) ta được:
2x + m(mx – m2) = m2 + 2m + 2
⇔ 2x + m2x – m3 = m2 + 2m + 2
⇔ 2x + m2x = m3 + m2 + 2m + 2
⇔ x(2 + m2) = (m + 1)(m2 + 2)
Do m2 + 2 ≠ 0, nên x = m + 1
Thay vào (3) => y = m(m + 1) – m2 = m
Thay x = m + 1 và y = m vào x2 + 3y + 4 ta được:
5
2

x2 + 3y + 4 = (m +1 )2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5 = (m2 + 2. m +
5
5
5
5
= (m + ) 2 − ≥ −
(Do (m + )2 ≥ 0

2
4
4
2
5
5
Vậy min(x2 + 3y + 4) = − khi m = −
4
2
2
3mx − y = 6m − m − 2;(1)
*Bài tập 9: Cho hệ phương trình: 
2
5x + my = m + 12m;(2)

Tìm m để biểu thức A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Giải:
Từ (1) ta có: y = 3mx – 6m2 + m + 2 (3). Thay vào (2) ta có:
5x + m(3mx – 6m2 + m + 2) = m2 + 12m
⇔ x(5 + 3m2) = 6m3 + 10m
Do 5 + 3m2 ≠ 0, với mọi m
6m3 + 10m
= 2m
nên x =
3m 2 + 5

Thay x = 2m vào (3) ta được: y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào biểu thức A ta được:
A = 2y2 – x2 = - 2(m2 – 4m + 4 – 8)
10

25 5
)−
4
4


= -2(m2 – 4m + 4) + 16
= -2(m – 2)2 + 16 ≤ 16 (Do -2(m – 2)2 ≤ 0, với mọi m.
Vậy maxA = 16 khi m – 2 = 0 hay khi m = 2
*Bài tập 10: Biết cặp số (x; y) là nghiệm của hệ phương trình :
x + y = m
 2
2
2
 x + y = −m + 6

Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt GTNN.
x + y = m

Hướng dẫn: Biến đổi hệ pt trên trả thành: 

2
 xy = m − 3
Hệ phương trình có nghiệm ⇔ m2 ≥ 4(m2 – 3) ⇔ 3m2 ≤ 12 ⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Khi đó P = (m + 1)2 – 4 ≥ - 4
Vậy MinP = - 4 ⇔ m = -1 (thỏa mãn - 2 ≤ m ≤ 2)
*Bài tập 11: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình
(m + 1) x − y = m + 1

có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt GTNN.

 x + ( m − 1) y = 2

Hướng dẫn:
Cách 1: Tìm được với m ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là
 m2 + 1 m + 1 
( x; y ) = 
; 2 ÷
2
m 
 m
2

m2 + 1 m + 1  2
1  7 7
x
+
y
=
+ 2 = 
+
Ta có:
÷
2
÷ +8≥8
m
m
m
2

2



Min(x+y) =

7
2
1
⇔
+
= 0 ⇔ m = −4 (thỏa mãn m ≠ 0)
8
m 2 2

*Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
*Bài tập 12:
 mx + y = 1
 x + my = 2

Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Giải:
 2x + y = 1
Giải ra ta được (x; y) = (0; 1)
x + 2 y = 2

a) Thay m = 2 vào hệ ta được: 

b) Giải và biện luận:
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: y = 1 – mx (3), thế vào phương trình thứ hai:
x + m(1 – mx) = 2 ⇔ x + m – m2x = 2 ⇔ (1 – m2)x = 2 – m (*)
- Trường hợp 1 ; m2 = 1 ⇔ m = ± 1

11


x + y = 1
hệ pt này vô nghiệm vì
x + y = 2

+ Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có: 
1 1 1
= ≠
1 1 2

− x + y = 1
hệ này vô nghiệm.
x − y = 2

+ Nếu m = -1 , thay vào hệ ta có: 

- Trường hợp 2: m2 ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1 , khi đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất:
2−m
, thay vào (3) ta tìm được y:
1 − m2

1 − 2m
y=
1 − m2
Vậy với m ≠ ±1 thì hệ pt có 1 nghiệm duy nhất:
 2 − m 1 − 2m 
( x; y ) = 
;
2
2 ÷
 1− m 1− m 
x=

Kết luận:
+ Nếu m = ± 1 thì hệ phương trình vô nghiệm
2 − m 1 − 2m 
;
2
2 ÷
 1− m 1− m 


+ Nếu m ≠ ±1 thì hệ pt có 1 nghiệm duy nhất: ( x; y ) = 

c) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 1
2 − m 1 − 2m
−
= 1 ⇔ 2 − m − (1 − 2m) = 1 − m 2 ⇔ m 2 + m = 0
2
2
1− m 1− m

m = 0
⇔ m(m + 1) = 0 ⇔ 
 m = −1
⇔

Với m = 0 (nhận); m = -1 (loại)
Vậy với m = 0 thì hệ pt trên có nghiệm thỏa mãn điều kiện x – y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m:
 mx + y = 1
 x + my = 2

Xét hệ pt: 

Từ pt (1) => mx = 1 – y ⇒ m =

1− y
, thay vào pt thứ hai ta có:
x

y − y2
1− y 
x+
.
y
=
2
⇔
x
+
= 2 ⇔ x 2 + y − y 2 = 2x ⇔ x 2 + y − y 2 − 2x = 0

÷
x
 x 

Đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
(m − 1) x + y = m
có nghiệm duy nhất (x; y)
 x + (m − 1) y = 2

*Bài tập 13: Cho hệ pt: 

a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị
của m thỏa mãn 2x2 – 7y = 1
2x − 3y

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
12


Giải:
 2x + y = 3
 4 1
Giải hệ ta được nghiệm (x; y) =  ; ÷
 3 3
x + 2 y = 2

a) Thay m = 3 vào hệ ta được: 

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
(m − 1) x + y = m
 x + (m − 1) y = 2

Xét hệ pt 

Từ pt (2) ta có: x + my – y = 2 => my = 2 – x + y

2− x+ y
, thay vào phươngt rình (1) ta có:
y
 2− x+ y 
 2− x+ y 
2− x+ y
2− x+ y
− 1÷+ y =
⇔

÷.x + y =
y
y
y
y




⇒m=

 2− x 

2− x+ y
2x − x 2 + y 2 2 − x + y
⇔
.
x
+
y
=
⇔
=
÷
y
y
y
 y 
⇔ 2x − x 2 + y 2 = 2 − x + y ⇔ x 2 − y 2 − 3x + y + 2 = 0

c) Giải và biện luận theo tham số m:
(m − 1) x + y = m

 x + ( m − 1) y = 2

Từ phương trình thứ hai của hệ: x = 2 – (m – 1)y (3), thế vào phương trình (1)
(m – 1)[2 – (m – 1)y] = m
⇔ 2(m – 1) – (m – 1)2y + y = m
⇔ (m – 1)2y - y = 2m – 2 – m ⇔ (m2 -2m + 1 – 1)y = m – 2
⇔ m(m – 2)y = m – 2 (*)
- Trường hợp 1: m = 0 hoặc m = 2
+ Với m = 0, pt (*) trở thành 0x = - 2 , pt vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm.
+ Với m = 2, pt (*) trở thành 0x = 0, pt có vô số nghiệm, nên hệ có vô số nghiệm:

y∈¡

x = 2 − y

- Trường hợp 2: m ≠ 0; m ≠ 2; pt (*) có nghiệm duy nhất: y =
được : x = 2 − (m − 1).

1 2m − m + 1 m + 1
=
=
m
m
m

1
, thay vào (3) ta tìm
m

m +1 1 
; ÷
 m m


Với m ≠ 0; m ≠ 2 , hệ có nghiệm duy nhất: ( x; y ) = 

* Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x2 – 7y = 1
2

1
2m 2 + 4 m + 2 7

 m +1 
⇔ 2
− =1
÷ − 7. = 1 ⇔
m
m2
m
 m 
2
2
2
⇔ 2m + 4m + 2 − 7m = m ⇔ m − 3m + 2 = 0 ⇔ (m − 2)(m − 1) = 0
m − 2 = 0
m = 2
⇔
⇔
m − 1 = 0
m = 1

m = 2 (loại); m = 1 (nhận)
13


Vậy với m = 1 thì hệ phương trình trên có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2x2 – 7y = 1
2x − 3y
m +1 1 
; ÷ vào biểu thức A =
ta được:
x+ y
 m m

1 2m + 2 − 3
 m +1 
2. 
÷− 3.
2m − 1 m + 2
m 
m
m
A= 
=
=
:
m +1 1
m +1+1
m
m
+
m
m
m
2(m + 2) − 5 2(m + 2)
5
5
=
=
−
= 2−
m+2
m+2
m+2

m+2
2x − 3y
5
Để biểu thức A = x + y nhận giá trị nguyên ⇔ 2 −
nhận giá trị nguyên
m+2
5
⇔
nhận giá trị nguyên ⇔ 5M(m + 2) ⇔ m + 2 ∈ Ư(5)
m+2

d) Thay ( x; y ) = 

Mà Ư(5) = {1; -1; 5; - 5}
* m + 2 = 1 => m = -1 (t/m)
* m + 2 = - 1 => m = - 3 (t/m)
* m + 2 = 5 => m = 3 (t/m)
* m + 2 = - 5 => m = - 7 (t/m)

2x − 3y

Vậy với m ∈ {-3; -1; 3; 7} thì giá trị của biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
 2 mx + 3 y = 5
 − x + 3my = 4

*Bài tập 14: Cho hệ pt: 

a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Giải:

a) xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: m = 0 => hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = ( -4;
- Trường hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ ab ' ≠ a ' b
Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:
2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0, với mọi m
Vậy 6m2 + 3 ≠ 0, với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
b) Rút m từ (1) ta được: m =
− x + 3.

5
)
3

5 − 3y
thay vào (2) ta có:
2x

5 − 3y
= 4 ⇔ 2x 2 + 8x − 15 y + 9 y 2 = 0
2x

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
 mx + y = 2m
 x + my = m + 1

*Bài tập 15: Cho hệ phương trình : 

a) Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b) Giả sử (x; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với
m

14


c) Tìm m nguyên để x, y nguyên.
d) Chứng tỏ (x; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với (x; y) là nghiệm của
hệ phương trình)
Hướng dẫn:
Từ hệ ta rút ra được: (m2 – 1)x = 2m2 – m – 1 (3)
Với m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
b) Rút m từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai ta được hệ thức:
y(y – 1) = (x – 1)(x – 2) , đó là hệ thức độc lập với m.
2m + 1
1
= 2−
m +1
m +1
1
∈¢
Vì x, y ∈ ¢ ⇒
m +1

c) x =

(4) ; y =

m
1
= 1−
m +1
m +1

(5)

m = 0 => (x = 1; y = 0)
m = - 2 => (x = 3; y = 2)
d) Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 => y = x – 1
Vậy (x; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1
*Dạng 11: Tìm giá trị của tham số m để hệ hai phương trình tương đương
Bài tập 16: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phương trình sau tương đương:
x − 2 y = 1
(I ) 
và
4x + 5 y = 17

 mx + ny = 6
( II ) 
3mx + 2ny = 10

Hướng dẫn:
- Trước hết giải hệ (I) được kết quả nghiệm duy nhất (x = 3; y = 1)
- Hai hệ phương trình trên tương đương khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhấy
(x = 3; y = 1).
Để tìm m, n ta thay x = 3; y = 1 vào hệ (II)
2
3

- Kết quả: m = − ; n = 8
*Dạng 12: Giải hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ và giải một số hệ
phương trình ở dạng đặc biệt.
*Bài tập 17:

Giải các hệ phương trình sau:
 y + 4x = 13
a)  2
2
 2x − y = −7
2

2

t = v + 4

b) u = 3v − 1
v − 4t − 5u = −29


x−m y − p
 2 + 3 = m
c) 
x− p + y −m = p
 3
2

Hướng dẫn:
a) Đặt X = x2 ≥ 0; Y = y2 ≥ 0
Kết quả các nghiệm của hệ là:
(1; 3); (-1; -3) (1; -3); )-1; 3)
b) Thay t = v + 4 và u = 3v – 1 vào phương trình (*), tìm được v.
Từ đó tìm được t và u.
15

Kết quả (t =5; u = 2; v = 1)
21m − 10 p −9m + 20 p 
;
÷
5
5




c) Kết quả: ( x; y ) = 

*Bài tập 18: Giải các hệ phương trình sau:
 y = x + 1
a) 
2 y − x = 5

 x − 1 + y − 2 = 1;(1)
b) 
 x − 1 + 3 y = 3;(2)

x + y = 5

c)  x
y +1
=2
 y +1 +
x


Hướng dẫn:
a) Xét hai trường hợp x < 0 và x ≥ 0. Giải các hệ tương ứng.
Kết quả: hệ phương trình có hai nghiệm là (-1; 2) và (3; 4)
b) Từ (2) => x − 1 = 3 − 3 y , thế vào (1) được phương trình chỉ có ẩn y.
Tìm y và suy ra x = ?.
Kết quả hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)
c) Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ −1; x( y + 1) > 0 ⇔ x( y + 1) > 0
y +1 1
= . Thay vào phương trình (2) ta có:
x
t
x + y = 5
t = 1 => x – y = 1, kết hợp với x + y = 5 ta được hệ: 
x − y = 1

Đặt

x
=t >0⇒
y +1

Nghiệm của hệ phương trình là (3; 2)
*Bài tập 19: Giải các hệ phương trình sau:
 x + 3 − 2 y + 1
a) 
2 x + 3 + y + 1

 7
 x−7 −


b) 
 5 +
 x − 7

4
5
=
y+6 3
3
1
=2
6
y+6

Hướng dẫn: Giải hệ theo phương pháp đặt ẩn phụ
Đáp số: a) (1; -1) ;
*Bài tập 20: Giải các hệ phương trình sau:
3
3
 4
 x + y = 36

a) 
 6 + 10 = 1
 x
y
5
5
 4

 x + y − 1 − 2x − y + 3 = − 2

c) 
1
7
 3
+
=−
 x + y − 1 2x − y + 3
5

5
 10
 12x − 3 + 4 y + 1 = 1

b) 
7
8

+
=1
 12x − 3
4 y +1
x

x + y + y

d) 
( x + y ) x = 20


y

Hướng dẫn: Giải theo phương pháp đặt ẩn phụ
Kết quả:
a) (6; 2 3)
b) (19; 56)
16


c) (2; -3)


d) (4; 1) và  ; ÷
 3 3
10 2

BUỔI 4

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Mục tiêu:
- Luyện tập cho học sinh thành thạo giải một số bài toán có liên quan đến việc giải hệ
hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Củng cố cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
- Rèn kỹ năng phân tích đề bài và tìm hướng giải.
- Trình bày lời giải khoa học, chính xác.
- Giáo dục ý thức học tập tích cực.
- Biết liên hệ kiến thức vào thực tiễn.
II.Tiến trình bài dạy:
1.Tổ chức: 9A:
9B:

2.Kiểm tra:
- Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình?
3.Bài mới:
*Bài tập 1: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc
thêm 14km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn 1
giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
*Bảng phân tích số liệu:
Vận tốc (km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường AB
Dự định
x
y
x.y
Lần 1
x + 14
y–2
(x + 14)(y – 2)
Lần 2
x–4
y+1
(x – 4)(y + 1)
Giải:
- Gọi vận tốc dự định là x(km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h) (Điều kiện
x > 4; y > 2)
- Nếu tăng vận tốc thêm 14km/h thì vận tốc là x + 14 (km/h) và đến B sớm hơn 2 giờ
nên thời gian thực đi là y – 2 (h), do đó ta có phương trình:
(x + 14)(y – 2) = xy (1)
- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là x – 4 (km/h) và đến B muộn 1 giờ thì thời
gian thực đi là y + 1 (h), do đó ta có phương trình:

17


(x – 4)(y + 1) = xy (2)
- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
( x + 14)( y − 2) = xy
 xy − 2x + 14 y − 28 = xy
⇔

( x − 4)( y + 1) = xy
 xy + x − 4 y − 4 = xy
−2x + 14 y = 28
6 y = 36
y = 6
⇔
⇔
⇔
((TM))
x − 4 y = 4
x − 4 y = 4
 x = 28

Vậy vận tốc dự định là 28km/h; thời gian dự định là 6 (h)
* Hỏi thêm: Nếu bài toán yêu cầu tính quãng đường AB thì ta làm thế nào?
HS: Cách đặt ẩn có thể vẫn như vậy. Nhưng trả lời bài toán khác.
*Bài tập 2:
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm
3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
- Bảng phân tích số liệu:

Thời gian hoàn
Năng suất 1 giờ
thành (giờ)
1
Người 1
x
Người 2

y

Hai người

16

x
1
y
1
16

Giải:
Gọi thời gian để người thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ); thời gian
để người thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là y (giờ).
- Khi đó một giờ người thứ nhất làm được
cả hai người làm được

1
1
(CV), người thứ hai làm được y (CV),
x

1
(CV). Do đó ta có phương trình:
16

1 1
1
+y =
(1)
x
16

- Người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì được 25% công việc nên ta có
pt:
3 6 1
+ = (2).
x y 4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 1
 x + y = 16

. Giải hệ ra ta được (x; y) = (24; 48)

3 + 6 = 1
 x y 4
18


Vậy người thứ nhất làm một mình hết 24 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai

làm hết 48 giờ thì hoàn thành công việc.
*Bài tập 3: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể
sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12
phút thì chỉ được

2
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi
15

chảy đầy bể là bao nhiêu?
- Bảng phân tích số liệu:
Vòi 1

Thời gian hoàn
thành (giờ)
x

Vòi 2

y

Hai vòi

4
3

Năng suất 1 giờ
1
x
1

y
3
4

Giải:
Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là x (giờ), thời gian vòi 2 chảy một mình
đầy bể là y (giờ). (ĐK: x, y >0)
- Khi đó một giờ vòi 1 chảy được

1
1
(bể); vòi 2 chảy được y (bể), cả hai vòi chảy
x

3
(bể). Do đó ta có phương trình:
4
1 1
3
+ y = (1)
x
4
1
1
- Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút = (giờ) và vòi thứ hai trong 12 phút = (giờ) thì
6
5
2
được , nên ta có phương trình:
15

1 1 1 1 2
. + . =
(2)
6 x 5 y 15
1 1 3
x + y = 4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
1 + 1 = 2
 6x 5 y 15
1
1
Đặt x = u; y = v , hệ trên trở thành:
3

u + v = 4
1 1
Giải hệ ra ta được (u; v) =  ; ÷. Do đó (x; y) = (2; 4)

2 4
1 u + 1 v = 2
 6
5
15

được

19

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình 4 giờ thì
đầy bể.
*Bài tập 4: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả
thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với
loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả
tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao
nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
- Bảng phân tích số liệu:
Số tiền chưa Số tiền kể Số tiền kể
kể VAT
cả VAT1 cả VAT2
(triệu đồng)
110
109
Loại hàng 1 x
x
x
Loại hàng 2

y

Hai loại hàng x + y

100
108
y
100

100
109

y
100

2,17

2,18

Giải:
Gọi số tiền không kể thuế VAT mà nười đó phải trả cho mặt hàng thứ nhất là x (triệu
đồng), cho mặt hàng thứ hai là y (triệu đồng) ĐK: x, y >0.
- Nếu thuế VAT mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai
thì số tiền phải trả cho mặt hàng thứ nhất là

110
x , số tiền phải trả cho mặt hàng thứ
100

108
y . Cả hai loại hàng phải trả 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình:
100
110
108
x+
y = 2,17 (1)
100
100

hai là

- Nếu thuế VAT mức 9% với cả hai loại hàng thì số tiền phải trả cho cả hai loại hàng

109
( x + y ) . Theo bài ra, người đó phải trả 2,18 triệu đồng. Do đó ta có phương
100
109
( x + y ) = 2,18 (2)
trình:
100

là

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
108
110
100 x + 100 y = 2,17
110x + 108 y = 217
110x + 108 y = 217
⇔
⇔

109x + 109 y = 218
x + y = 2
109 ( x + y ) = 2,18
100
x = 2 − y
x = 2 − y
 x = 0,5
⇔
⇔
⇔
110(2 − y ) + 108 y = 217

220 − 110 y + 108 y = 217
 y = 1,5

Vậy số tiền phải trả không kể thuế VAT cho mặt hàng thứ nhất là 0,5 triệu đồng, số
tiền phải trả cho mặt hàng thứ hai là 1,5 triệu đồng.
*Bài tập 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một
lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng
20


giữ nguyên giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn
xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính
vận tốc của mỗi người.
Giải:
Gọi vận tốc của người đi nhanh là x (m/phút), vận tốc của người đi chậm là y
(m/phút) (ĐK: x, y >0)
- Nếu hai người cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đường người đi nhanh đi
được là 2km = 2000m và quãng đường người đi chậm đi được là 3,6 – 2 = 1,6 (km) =
1600m.
Thời gian người đi nhanh đi là :

1600
2000
( phút). Thời gian người đi chậm đi là
y
x

(phút)
Do hai người cùng xuất phát và gặp nhau nên ta có phương trình:
2000 1600

5 4
=
⇔ = (1)
x
y
x y

- Nếu người đi chậm đi trước 6 phút, đến khi gặp nhau mỗi người đi được 1800m thì
thời gian người đi nhanh đến chỗ gặp nhau là
gặp nhau là

1800
, thời gian người đi chậm đến chỗ
x

1800
.
y

Theo bài ra ta có phương trình:

1800
1800
+6=
(2)
x
y

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
5 4

x = y

Giải hệ ta được nghiệm: (x; y) = (75; 60)

1800 + 6 = 1800
 x
y

Vậy vận tốc của người đi nhanh là 75m/phút, vận tốc người đi chậm là 60m/phút.
*Bài tập 6:
Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem
trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có
thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích 1cm3.
Giải:
- Gọi số gam đồng và kẽm có trong vật đó lần lượt là x (g); y(g) (x, y >0)
Vì vật năng 124g nên ta có phương trình: x + y = 124 (1)
10
x(cm3 )
89
1
- Thể tích của y gam kẽm là y (cm3 )
7

- Thể tích của x gam đồng là

- Vì thể tích của vật là 15cm3 nên ta có phương trình:

10
1
x + y = 15 (2)

89
7
21


Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x + y = 124
 x = 89

1
Giải hệ ta được: 
 10
 y = 35
 89 x + 7 y = 15

Vậy 89 g đồng và có 35g kẽm trong vật đó.
*Bài tập 7: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong
12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc
khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất
của đội II tăng gấp đôi, nên học đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi
với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày
mới xong công việc trên?
*Bảng phân tích đại lượng:
Thời gian
Năng suất
hoàn thành
một ngày
1
Đội I
x

Đội II

y

Hai đội

12

x
1
y
1
12

Giải:
Gọi thời gian để đội I làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày); thời gian để
đội II làm một mình hoàn thành công việc là y (ngày) (ĐK: x, y >0)
- Năng suất làm việc một ngày của đội I là

1
1
; năng suất của đội II là y . Cả hai đội
x

làm trong 12 ngày là xong công việc nên ta có phương trình:
1 1 1
+ =
(1)
x y 12

- Khi làm chung được 8 ngày, đội II tăng năng suất gấp đôi và hoàn thành công việc
còn lại trong 3,5 ngày nên ta có phương trình:
1 1
2
8( + ) + 3,5. = 1 (2)
x y
y

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 1
 x + y = 12

Giải ra ta được (x;y) = (28; 21)

8( 1 + 1 ) + 3,5. 2 = 1
 x y
y

Vậy đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày.
*Bài tập 8: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn
thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so
với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi
đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
22


Giải:
Gọi số tấn thóc của đơn vị I năm ngoái thu hoạch được là x (tấn), của đơn vị II là y
(tấn) (ĐK x, y >0)
Do đó ta có pt: x + y = 720 (1)

- Số tấn thóc của đơn vị I năm nay là 115%x; số tấn thóc của đơn vị II năm nay là
12%y. Cả hai đội thu hoạch được 819 tấn, nên ta có phương trình:
115%x + 112%y = 819 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x + y = 720
Giải hệ ta được: (x; y) = (420; 300)

115% x + 112% y = 819

Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch
được 300 tấn thóc.
Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 115%.420 = 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu
hoạch được 112%.300 = 336 tấn thóc.
------------------------------------------------------------------------

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN CỦA CHUYÊN ĐỀ
5x = y = 3
 mx + 3 y = 1

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để hệ pt: 

có nghiệm duy nhất? vô nghiệm? vô số nghiệm?
Kết quả:
- Hệ có nghiệm duy nhất  m ≠ - 15
- Hệ vô nghiệm khi m = - 15
- Không có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm.
x − y = 3
 mx + y = m

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để hệ pt: 

a) Có 1 nghiệm là (2; -1)
b) Có một nghiệm duy nhất
c) Vô nghiệm
d) Có vô số nghiệm.
- Kết quả:
a) m = 1;
b) m ≠ -1 ;

c) m = - 1

d) không tồn tại m.

 2x + (9a 2 − 2) y = 3a;(1)
Bài 3: Tìm giá trị của tham số a để hệ pt sau: 
 x + y = 1;(2)

Có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
- Kết quả:
+ Hệ có nghiệm duy nhất khi a ≠ ±
+ Hệ vô nghiệm khi a = −

2
3

2
3
23


+ Hệ có vô số nghiệm khi a =

2
3

*Bài 4: Tìm các giá trị của a và b sao cho đa thức
f(y) = ay3 + (a – 1)y2 – (b – 3)y – 6b chia hết cho y – 1 và y + 2
Kết quả:
Đa thức f(y) chia hết cho y – 1 và y + 2 khi và chỉ khi f(y) có các nghiệm là 1 và – 2
 f ( −1) = 0
2a − 7b + 2 = 0
⇔
⇔
 f (2) = 0
−4a − 4b − 10 = 0
1
1
Giải hệ này nhận được a = −2 ; b = −
6
3

*Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
3 x + 5 y + 9 = 0
b) 
2x − y − 7 = 0

 x + 2 y = 3
a) 
5 y + 7x = 2

- Kết quả:

a) Xét các trường hợp (x < 0; y < 0); (x > 0; y > 0); (x > 0; y < 0); (x < 0; y > 0);
(x = 0; y = 0)
−11 23



; ÷
Nghiệm của hệ là (1; -1) và 
 19 19 
5 y = −3 x − 9
 2x = y + 7

b) Hệ đã cho tương đương với: 

3x + 5 y = −9
 2x + y = 7

Nhận xét: Ta thấy x > 0 và y < 0 nên hệ tương đương với: 

Hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = 

44 39 
;− ÷
7 
 7

*Bài 6: Với giá trị nào của a thì hệ sau vô nghiệm:
 −4x + ay = 1 + a
Kết quả a = - 4


(6 + a ) x + 2 y = 3 + a

 mx − y = 2
3x + my = 5

*Bài 7: Tìm giá trị của tham số m để hệ pt sau 
m2
m2 + 3
 2 m + 5 5m − 6 
Kết quả: Nghiệm duy nhất là  2 ; 2 ÷
 m +3 m +3
2
4
m
⇒m
Theo đề bài x + y = 1 - 2
7
m +3
ax − 2 y = a
*Bài 8: Cho hệ pt: 
 −2x + y = a + 1

có nghiệm thỏa mãn x + y = 1 -

a) Giải hệ khi a = 2
b0 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x – y = 1
- Kết quả:
24

3 2 +2 3 2 +2
;
÷
2 −4 ÷
 2 −4


a) Nghiệm của hệ là 
b) a =2 hoặc a = - 3

 mx + my = −3
(1 − m) x + y = 0

*Bài 9: Cho hệ pt: 

a) Giải hệ khi m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x < 0 và y < 0
x + y = m
 mx + y = 1

*Bài 10: Cho hệ pt: 

a) Giải hệ với m = 2
b) Xác định m để hai đường thẳng có pt (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên parabol
y = - 2x2
- Kết quả:
a) (-1; 3)
b) Trước hết ta tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (-1; m+ 1). Theo đề bài
hai đường thẳng có pt (1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm trên parabol y = - 2x2. Khi đó tọa
độ giao điểm của hai đường thẳng nghiệm đúng y = - 2x2, nghĩa là m + 1 = - 2.(-1)2

=> m = - 3
(m + 1) x + 2 y = 5
. Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
 mx − y = 1

*Bài 11: Cho hệ pt: 

3mx − y = 6m 2 − m − 2
*Bài 12: Cho hệ pt: 
2
5x + my = m + 12m

Tìm m để biểu thức A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
(a − 1) x + y = a
có nghiệm duy nhất (x; y)
 x + (a − 1) y = 2

*Bài 13: Cho hệ pt: 

a) Tìm đẳng thức lien hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
b) Tìm giá trị của a thỏa mãn điều kiện 6x2 – 17y = 5
2x − 5y

c) Tìm a để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.

25