TÍCH PHÂN hệ số bất định

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
ax+b
dx
Vấn đề 1: Tính tích phân I = ∫m 2
cx + dx + e
Ta xét ba trường hợp:
• Mẫu số có hai nghiệm phân biệt.
• Mẫu số có nghiệm kép.
• Mẫu số vô ngiệm.
2
Trường hợp 1: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 .Ta có: cx + dx + e = c ( x − x1 ) ( x − x2 ) .
n

n
ax+b
A
B 
dx = ∫ 
+
÷dx
m x−x
cx + dx + e
x − x2 

1
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.
2
0
7 x − 12
x +1
dx

dx
1. I = ∫1 2
2. I = ∫−1 2
x − 7 x + 12
x − 3x + 2
5
1
3x − 7
4 x + 11
dx
dx
3. I = ∫4 2
4. I = ∫0 2
x − 5x + 6
x + 5x + 6
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai.
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định.
2
2
0 x − 2x + 3
x2
1. I = ∫ 2
2. I = ∫ 2
dx
dx
1 x − 7 x + 12
−1 x − 3 x + 2
2
2
0 x + x +1

1 x − 2x −1
3. I = ∫ 2
4. I = ∫ 2
dx
dx
−1 x − 3 x + 2
0 x − 5x + 6
Nhận xét: Từ bài số 1 ta lấy tử số cộng cho mẫu số ta được bài số 2.
2
Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có: cx 2 + dx + e = c ( x − x0 )
n

Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m

n

Ta biến đổi tích phân về dạng I = ∫m

2

n
ax+b
ax+b
dx = ∫
dx .
2
m
cx + dx + e
c ( x − x0 )
2

Ta đặt t=x-x0.
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
0
1
2x +1
3x
dx
dx
1. I = ∫−1 2
2. I = ∫0 2
x − 2x +1
x + 2x + 1
1
1
2 − 3x
2x
dx
dx
3. I = ∫0 2
4. I = ∫0 2
x − 6x + 9
x + 6x + 9
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai hoặc bậc ba.
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
0
1
x2
x2 + 2
1. I = ∫ 2

2. I = ∫ 2
dx
dx
−1 x − 2 x + 1
0 x + 2x + 1
2
1 2 x − 3x
1
x3 − 2
3. I = ∫ 2
4. I = ∫ 2
dx
dx
0 x − 6x + 9
0 x + 6x + 9
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm.
Ta phân tích ax+b=p( cx 2 + dx + e )’+q.
2
n ( cx + dx + e )
n
ax+b
1
Khi đó: I =
∫m cx2 + dx + edx = p∫m cx2 + dx + e dx + q∫m cx 2 + dx + edx
/

n

Ta tính tích phân A = p
∫

n

m

( cx

2

+ dx + e )

cx 2 + dx + e

/

dx bằng cách đổi biến.

1


1
dx bằng cách biến đổi như sau.
cx + dx + e
n
n
1
1
dx = q ∫
dx .
Ta phân tích B = q ∫m 2

2
m
cx + dx + e
( x − x0 ) + u2
n

Ta tích tích phân B = q ∫m

2

Khi đó ta đổi biến bằng cách đặt: x − x0 = u tan t .
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
2
2
2x + 3
2x + 9
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫−1 2
x + 2x + 4
x + 2 x + 10
4
1 2x + 2
2x + 7
dx
dx
3. I = ∫2 2
4. I = ∫0 2
x + 6 x + 10

x + x +1
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
1 2x + 3
2 2x + 8
dx
dx
1. I = ∫0 2
2. I = ∫0 2
x +1
x +4
3 x +1
2 x+2
dx
dx
3. I = ∫0 2
4. I = ∫0 2
x +9
x +2

2