chuyen de he phuong trinh boi duong hsg

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau (theo hướng dẫn về PP thực hiện)
 x 5 + xy 4 = y10 + y6
1. 
2
 4x + 5 + y + 8 = 6

Chia hai vế của PT 1 cho y5 sau đó xét hàm số đặc

 3 + x 2 + 2 x = 3 + y
2. 
 3 + y 2 + 2 y = 3 + x

Cộng vế theo vế ta có:

trưng và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để có
được mối liên hệ giữa x và y.
3 + x 2 + 3 x + 3 = 3 + y2 + 3 y + 3 .

Xét hàm số

f (t ) = 3 + t 2 + 3 t + 3 sử dụng tính đơn điệu của

hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.
 2x − 2y = y − x
2
2
 x + xy + y = 12

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

 2 x + 1 − 2 y + 1 = x − y
2
2
 x − 12 xy + 9 y + 4 = 0

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

3. 

4. 

 x3 = −3x + y ( y 2 + 3)
5. 
2
2
 y ( y + 1) + x + y + x + 2 − 5 = 0

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

1
1

x − 3 = y − 3
x
y

6. 
( x − 4 y )(2 x − y + 4) = −36


Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng, kết hợp khéo léo với
PT 2 và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để có
được mối liên hệ giữa x và y.

 x 3 − 3 x = ( y − 1)3 − 9( y − 1)
7. 
1 + x − 1 = y − 1

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng, kết hợp khéo léo với
điều kiện của hệ đồng thời sử dụng tính đơn điệu
của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
8. 
4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng, kết hợp khéo léo với
điều kiện của hệ đồng thời sử dụng tính đơn điệu
của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y
 2
2
 x − 12 xy + 20 y = 0

Từ PT 1 xét hàm số đặc trưng, kết hợp khéo léo với

điều kiện của hệ đồng thời sử dụng tính đơn điệu
của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

9.

 x3 − 5 x = y 3 − 5 y

10.  8
4

x + y = 1

Từ PT thứ hai của hệ nhận xét về khoảng giới hạn
của x, y. Xét hàm số đặc trưng của 2 vế PT thứ
nhất, từ đó đưa ra mối quan hệ giữa x và y.

 x 3 − y 3 − 2 = 3 x − 3 y 2
11.  2
2
2
 x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.
Trang 1


Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:

 x 3 − 2 y + 1 = 0
12. 
(3 − x) 2 − x − 2 y 2 y − 1 = 0

Biến đổi PT 2 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

 x 2 − y − 1 = 2 2 x − 1
13.  3
3
2
 y − 8 x + 3 y + 4 y − 2 x + 2 = 0

Biến đổi PT 2 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

 x 6 − y 3 + 2 x 2 − 9 y 2 − 33 = 29 y
14. 
 2 x + 3 + x = y

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

e

x +1

15. 

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

− e y = e( y − x + 1)

3
2
2
3
 x y − xy = 6 x + 6 y − xy − 6

 x 3 ( 4 y 2 + 1) + 2 ( x 2 + 1) x = 6

16.  2
2
2
x y 2 + 2 4 y +1 = x + x +1


Chia 2 vế PT2 cho x 2 sau đó xét hàm số đặc trưng
và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để có được
mối liên hệ giữa x và y.

 2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x
17. 
2
2

2
 9 − 4 y = 2 x + 6 y − 7

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

e x − e y = x − y

18. 
x
3
log 2 + log 2 ( 4 y ) = 10

2

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng, chú ý đến điều kiện
PT2 và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để có
được mối liên hệ giữa x và y.

 x3 +12 y2 + x+ 2 = 8 y3 + 8y
19.  2
 x + 8y3 + 2 y= 5x

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

 x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y

20.  2
2
 x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0

Đặt t = 4 x − 1 . Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế

21.

Biến đổi PT 2 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

(

)

chứa một biến) sau đó xét hàm số đặc trưng và sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để có được mối liên
hệ giữa x và y.

 x 2 y − 2 x 2 − 2 y 2 + 5 y − 2 = 0
 2
2
2
2
 y + 1 + x − y = 2 xy − x + x − 2 xy + y + 1 + y

1
1


 x + x2 + 1 = y + y 2 + 1

22. 
2
 9 x 2 + 4 = 3x + 2 x − 2

y2
y

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.
Trang 2


Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:

)(

(

)

 x + x2 + 4 y + y 2 + 1 = 2

23. 
2
3 3


12 y − 10 y + 2 = 2 x + 1

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

 3 + x 2 + 2 x + 3 = 5 + y + 3
24. 
 3 + y 2 + 2 y + 3 = 5 + x + 3

Cộng theo vế sau đó chuyển thành 2 vế (mỗi vế
chứa một biến) sau đó xét hàm số đặc trưng và sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để có được mối liên
hệ giữa x và y.

2 x + 4 x 1 + 4 x 2 − y = 2 y + y 2
25.  2
2
 y − 3 x + 1 = 0

Biến đổi PT 1 thành hai vế (mỗi vế chứa một biến)
sau đó xét hàm số đặc trưng và sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để có được mối liên hệ giữa x và y.

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
1.

(

)

 xy 2 x 2 + 1 + 1 = 3 y 2 + 9 + 3 y

( x, y ∈ ¡ ) .

2
3
3

3
x
−
1
x
y
+
xy
−
5
−
4
x
+
3
x
y
−
7
x
=

0
(
)


 x 3 − y 3 − 12 x + 6 y 2 − 16 = 0
2.  2
2
2
 4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + 2 = 0

 x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y

3.  2 2
1
x + y − x + y =
2


 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1
4. 
2
x −1
 y + y − 2 y + 2 = 3 + 1

5.

( 2 x + 2 ) 2 x − 1 = y 3 + 3 y
6.  2
 y − xy + 5 = 5 x − 6 y

( 2 + x ) x 2 + 4 x + 7 + y 3 + y 2 + x + y + 2 = 0
 2
 x + y + 1 = x − y + 1
 x 3 + 2 x 2 = 5 − 2 y
7. 
( 15 − 2 x ) 6 − x − ( 4 y + 9 ) 2 y + 3 = 0

 x 6 + 2x 4 = 2x 2 y + y 3
8. 
2
( x + 2 ) y + 1 = ( x + 1)

 x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0
Bài 3. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm  2
2
2
 x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0

----------------------------------------------------------------Vấn đề 4. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giải các hệ phương trình sau (theo hướng dẫn về PP thực hiện)

Trang 3


Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:
2 xy

= x2 + y

x + 2
x − 2x + 9

2. 
2 xy
y +
= y2 + x
2

y − 2y + 9

 x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
1. 
 x + y = 4

 x2 + y 2
x 2 + xy + y 2
+
= x+ y

2
3
4. 
 2
3 3
 x − 2 y − 1 + x + x − y − 14 = y − 2

 x + y − xy = 3

3. 

 x + 1 + y + 1 = 4

(2x 2 − 3x + 4)(2y 2 − 3y + 4) = 18
5.  2
2
 x + y + xy − 7x − 6y + 14 = 0

 x 2 + 2 x − 2 = − y 2 − 4 y − 2
6. 
6 x − y − 11 + 10 − 4 x − 2 x 2 = 0

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12
7.  3
 x − 8 x − 1 = y − 2

 xy + 1 − y = y
8. 
 2 xy − y − y = −1

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016
Giải các hệ phương trình sau (theo hướng dẫn về PP thực hiện)
 x + 1 + ( x + 1) ( y − 2 ) + x + 5 = 2 y + y − 2

1.  ( x − 8) ( y + 1)
 2
= ( y − 2) x + 1 − 3
 x − 4x + 7

(

)

Trang 4

Từ (1) ta có

x +1 =

y − 2 ⇔ y = x + 3 thế

vào (2) ta có

( x − 8) ( x + 4 )

(

= ( x + 1) x + 1 − 3
x2 − 4 x + 7
( x − 8 ) ( x + 4 ) = ( x + 1) ( x − 8)
⇔ 2
x − 4x + 7
x +1 + 3

)


Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:
2 x 3 + xy 2 + x = 2 y 3 + 4 x 2 y + 2 y


2.  2 y 2 − x − 2 y − 16 
1
=  y + ÷ x +1 − 3
 x2 − 8 y + 7
2



(

(1)

)

(2)

Từ (1) ta có
( x − 2 y ) + (2 x 3 − 4 x 2 y ) + ( xy 2 − 2 y 3 ) = 0
⇔ ( x − 2 y )(1 + 2 x 2 + y 2 ) = 0 ⇔ x = 2 y

3.

Từ (1) ta có: y = x + 2 thay vào (2) ta có

(x + 2) 2 + x + y + 1 = (3x − 2y + 6)y + 2y − 1 (1)

(y − 2)(3 x + 2 + 5x + 6 + 3 3y − 4) = 3(3x + 2) (2)

3 x + 2 + 5x + 6 + 3 3x + 2 − 9 −

4.

( 1) ⇔ ( 2

(

)

(

8 2 x − 1 2 x − 2 x − 1 = y y 2 − 2 y + 4


 4 xy + 2 ( y + 2 ) ( y + 2 x ) = 5y + 12 x − 6


)

( x; y ∈ ¡ )

) (
3

)

6
=0
x

2

(

2x −1 − 2 2 2x −1 + 4 2 2x −1

)

= y3 − 2 y 2 + 4 y

Thay vào pt ( 2 ) ta được pt
y 3 + 2 ( y + 2 ) y + 2 = 3y ( y + 2 )

1
−
 2
5
x −y
x2 − y
2
+2
=
( x, y ∈ ¡ ) .
5. 
2

4 x y − 8 x + y + 1 = 4 y − x − 2

x 2 − y = 1 ⇔ y = x 2 − 1.

Từ PT (1) ta có

Thay vào PT (2) ta có:

) (

(

)

4 x2 − 1 x − x2 −1 + x + 2 − x2 + 8x = 0
⇔

4 x2 −1
x + x2 −1

−

4( x − 1)
x + 2 + x 2 + 8x

=0



x +1
x −1
⇔ x −1 
−
=0

2
2
 x + x −1 x + 2 + x + 8x 

ìï x3 + 8xy2 = 8y4(y2 + 2)
ïï
(x, y Î ¡ )
6. í
ïï 4x + 1 + 23 6y2 + 2 = 7
ïî

(2) trở thành

7.

2 y + 2 y (2 y ) 2 + 1 =

1 1 1 2
1
+
( ) + 1 ⇔ f (2 y) = f ( )
x x x
x

khi đó (1) trở thành:
4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2

a = 1 + x ≥ 0 2a 2 = 2 + 2 x
⇒ 2
⇒ 2a 2 − b 2 = 1 + 3 x


b = 1 − x ≥ 0 b = 1 − x

Trang 5


Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015-2016.
Ths Đỗ Hồng Thái-giáo viên trường THPT Đại Từ. ĐT: 0986965911, Email:
x
 2
 x + x + 1 = ( y + 2 ) ( x + 1) ( y + 1)
8. 
3 x 2 − 8 x − 3 = 4 ( x + 1) y + 1


3

( x, y ∈ ¡ )

(

x
 x 
(1) ⇔ 
=
÷+
x +1
 x +1 
 x 
f

÷= f
 x +1 

(

)

3

y +1 + y +1

)

x
=
x +1

y +1 ⇔

y +1

Thay vào (2) ta được 3 x 2 − 8 x − 3 = 4 x x + 1 .

(

⇔ ( 2 x − 1) = x + 2 x + 1
2

)

2

 x 3 − y 3 + 3 y 2 + x − 4 y + 2 = 0 (1)
9.  3
(2)
 x + x − 3 = 2 x + 2 + y

)

(

1

2
3xy 1 + 9y + 1 =
x +1 − x
10. 
 x 3 (9y 2 + 1) + 4(x 2 + 1). x = 10


(

)(

)

 x3 + x − y = y y 2 + 1 + 1
x2 + 1 −1

11. 

x
 x2 +
= ( 3 − y ) − x2 + y + 2
y +1


(

)

(1)

PT (1) ⇔ x

(2)

Xét hàm số f (t ) = t

x2 + 1 +1 +

(

x− y
x + 1 −1
2

=y

(

)

y2 +1 +1

)

t 2 + 1 + 1 trên R.

Chứng minh hàm số đồng biến trên R
Với đk x ≥ y ⇔ f ( x) ≥ f ( y ) ⇒ VT (*) ≥ VP(*)
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Thay x = y vào phương trình (2) ta được:
x2 +

x
= ( 3 − x ) − x2 + x + 2
x +1

PT ⇔

x3 + x 2 + x
= ( ( 2 − x ) + 1) 2 − x .
( x + 1) x + 1
3

x
 x 
⇔
=
÷+

x +1
 x +1 

Trang 6

(

2− x

)

3

+ 2 − x.