Đại Số Và Giải Tích 11

ĐẠI SỐ
& GIẢI TÍCH 11
Chương Trình Nâng Cao

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 08 - 2016

Copyright c 2016 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.


2


Mục lục
Chương 1. Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Phương Trình Lượng Giác Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
7
8
9

Chương 2. Tổ Hợp Và Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§1. Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Hoán Vị. Chỉnh Hợp. Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Các Quy Tắc Tính Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6. Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
13
13
15
15
16

Chương 3. Dãy Số. Cấp Số Cộng - Cấp Số Nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Dãy Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Cấp Số Cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Cấp Số Nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
20
21
22
23

Chương 4. Giới Hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Giới Hạn Của Dãy Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Giới Hạn Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Hàm Số Liên Tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
28
30
31

Chương 5. Đạo Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Khái Niệm Đạo Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Đạo Hàm Của Các Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Vi Phân Và Đạo Hàm Cấp Cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôn Tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33
34
35
36
37
38

3

MỤC LỤC

4


Chương 1

Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình
Lượng Giác
§1. Hàm Số Lượng Giác
1. Hàm số y = sin x.
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = [−1; 1].
• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2π.
• Tính đơn điệu: Đồng biến trên − π2 + k2π; π2 + k2π và nghịch biến trên
y

• Đồ thị:

−2π

π
−π

π
2

+ k2π; 3π

2 + k2π .

x

2π

O

2. Hàm số y = cos x.
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = [−1; 1].
• Tính chất: Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kỳ 2π.
• Tính đơn điệu: Đồng biến trên (−π + k2π; k2π ) và nghịch biến trên (k2π; π + k2π ).
y

• Đồ thị:

− π2

π
2

− 3π
2

x
3π
2

O

3. Hàm số y = tan x.
• Tập xác định: D = R\ π2 + kπ, k ∈ Z .
• Tập giá trị: T = R.
• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ π.
• Tính đơn điệu: Luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
y

• Đồ thị:

π
2

− 3π
2

− π2

x
3π
2

O

4. Hàm số y = cot x.
• Tập xác định: D = R\ {kπ, k ∈ Z}.
• Tập giá trị: T = R.
• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ π.
• Tính đơn điệu: Luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
y

• Đồ thị:

−π
−2π

O

π

x

2π

5


§2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Bài Tập
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1 − cos x
.
sin x
√
e) y = 3 − sin x.

a) y = 2 cos 2x − 1.
d) y =

b) y =

sin x + cos x
.
2 cos x − 1

g) y = 3 + tan 2x.

h) y = tan 2x +

π
.
3

c) y =

1
.
1 − sin x

x
1 + sin2 .
2
x π
−
i) y = 4 cot
.
3
6
f) y =

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, nếu có, của các hàm số sau:
a) y = 4 sin x + 7.
b) y = 2 − 7 cos 5x.
√
1
x π
d) y = 1 − cos 4x − 2.
e) y = sin
−
− 3.
2
2
2

√
c) y = 2 sin x + 6.
3
f) y =
.
1 + tan2 x

3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = −2 sin x.
b) y = 2 cos 3x − cos x.
√
e) y = 2 sin x cos x + sin x.
d) y = 1 − cos 4x.

c) y = sin x − cos x.

f) y = sin xcos2 x + tan x.

§2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
1. Phương trình sin x = a.
• Nếu | a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu | a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
x = α + k2π
∗ sin x = a ⇔ sin x = sin α ⇔
, ( k ∈ Z).
x = π − α + k2π
x = arcsin a + k2π
∗ sin x = a ⇔
, ( k ∈ Z).
x = π − arcsin a + k2π
π
Đặc biệt: sin x = 0 ⇔ x = kπ; sin x = ±1 ⇔ x = ± + k2π.
2
2. Phương trình cos x = a.
• Nếu | a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu | a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
∗ cos x = a ⇔ cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π, (k ∈ Z).
∗ cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k2π, (k ∈ Z).
π
Đặc biệt: cos x = 0 ⇔ x = + kπ; cos x = 1 ⇔ x = k2π; cos x = −1 ⇔ x = π + k2π.
2
3. Phương trình tan x = a.
∗ tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, (k ∈ Z).
∗ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, (k ∈ Z).
4. Phương trình cot x = a.
∗ cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, (k ∈ Z).

∗ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ, (k ∈ Z).

Bài Tập
4. Giải các phương trình sau:
4
a) sin x = .
3
1
d) sin x = .
4

√

b) 2 sin x = 1.
e) sin 2x −

π
4

= 0.

3
c) sin x = −
.
2
π
f) sin
− x = −1.
6

5. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin 2x + 1 = 0.
d) sin 2x − 450 =

√

3
.
2

3
.
4
π
e) sin 2x +
4

c) 2 sin (5x − 2) =

b) sin 3x =

= sin 5x.
6

f) sin

√

3.

π
π
− x = sin 3x +
.
3
6


Chương 1. Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác
6. Giải các phương trình sau:
a) 2013 cos x = 2014.
d) 3 cos 3x − 1 = 0.

√

2
.
b) cos x =
2
π
e) cos 3x −
= 1.
4

√

3
c) cos x = −
.
2

π
− x = −1.
f) cos
6

7. Giải các phương trình sau:
1
a) cos 2x = .
2
π
d) cos 5x +
= cos 2x.
4

√
π
1
b) 2 cos 2x −
+ 2 = 0.
c) cos 600 − x = .
3
2
π
π
π
π
+ 2x = 0.
= cos 3x +
. f) cos x +
+ sin

e) sin x −
4
3
3
2

8. Giải các phương trình sau:
√
a) tan x = − 3.

b) cot x =

d) cot 5x = −1.
√
π
g) 3 tan
− 2x + 3 = 0.
4

√

3.
√

e) 2 cot 2x + 3 = 0.
π
4
h) cot
−x = .
6

3

c) tan x = 2014.
π
f) tan x −
= 0.
4
√
i) tan 450 − 3x = − 3.

9. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho
√trước:
a) sin 2x = 0 trên [0; 2π ].
b) 3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π ).
π
π
d) cot 2x +
= −1 trên (0; 5π ).
c) cos x −
= 1 trên [−π; 3π ].
6
4

§3. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
• Dạng: at2 + bt + c = 0 (a = 0; t là một hàm số lượng giác).
2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x.
• Dạng: a sin x + b cos x = c ( a2 + b2 = 0).
• Cách giải:
b

c
a
sin x + √
cos x = √
.
∗ Phương trình tương đương với √
2
2
2
2
2
a +b
a +b
a + b2
b
a
= cos α; √
= sin α.
∗ Đặt √
2
2
2
a +b
a + b2
c
∗ Phương trình trở thành sin ( x + α) = √
.
2
a + b2
Lưu ý: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .

3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x.
• Dạng: asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = 0.
• Cách giải:
∗ Với cos x = 0, thay vào phương trình để giải.
∗ Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta có: atan2 x + b tan x + c = 0.
Lưu ý: Phương trình sau có cách giải tương tự asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = d.
4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x.
• Dạng: a (sin x ± cos x ) + b sin x cos x + c = 0.
• Cách giải:
√
∗ Đặt sin x ± cos x = t, |t| ≤ 2.
∗ Rút sin x cos x theo t rồi thay vào phương trình để giải.
√
π
Lưu ý: t = sin x ± cos x = 2 sin x ±
.
4

Bài Tập
10. Giải các phương trình sau:
a) sin2 x − 3 sin x + 2 = 0.
c) 2cos2 2x − 3 cos 2x + 1 = 0.
e) cot2 x + 3 cot x − 4 = 0.

b) 3cos2 x + 4 cos x + 1 = 0.
d) tan2 x − 5 tan x + 6 = 0.
f) cos3 x − 3 cos x + 2 = 0.
7

§4. Phương Trình Lượng Giác Khác
11. Giải các phương trình sau:
a) cos2 x − 5 sin x + 5 = 0.
c) cos2 2x − 6 sin x cos x − 3 = 0.
e) 5 tan x + 2 cot x = 7.

b) sin2 x + 3 cos x − 3 = 0.
d) cos2 2x + 2(sin x + cos x )2 = 0.
f) 4 tan 2x − cot 2x + 3 = 0.

12. Giải các phương trình sau:
a) 3 sin x − 5 cos x =√0.
c) 2 sin x + √
cos x = 5.
e) sin 7x − 3 cos 7x = 2.

√
b) sin 2x + 3 cos 2x = 0.
d)√
3 cos 2x − 4 sin 2x − 5 = 0.
f) 2 (sin 3x + cos 3x ) = 2.

13. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x − 3 cos x = 2.
√
c) cos 2x − 2 3 sin x cos x = 2 sin x.

b)

√

3 sin x + cos x = 2 sin 4x.
x
x 2 √
d) sin + cos
+ 3 cos x = 2.
2
2

14. Giải các phương trình sau:
a) 3sin2 x − 4 sin x cos x + cos2 x = 0.
c) 2sin2 x − 3cos2 x + 5 sin x cos x − 2 = 0.

b) 3sin2 x + 2 sin 2x − 5cos2 x = 1.
d) 4sin3 x + 3cos3 x − 3 sin x − sin2 x cos x = 0.

15. Giải các phương trình sau:
a) 3 (sin x + cos x ) + 2 sin x cos x + 3 = 0.
c) 2 sin x + sin 2x − 2 cos x + 2 = 0.
√
π
= 1.
e) sin 2x + 2 sin x −
4

b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1.
d) |sin x − cos x | + 4 sin 2x = 1.
3
f) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x.
2

§4. Phương Trình Lượng Giác Khác
16. Giải các phương trình sau:
a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
c) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

b) 2 cos 2x + sin x = sin 3x.
d) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.

17. Giải các phương trình sau:
a) cos 5x cos x = cos 4x.

b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
3x
5x
cos
+ 2 (8 sin x − 1) cos x = 5.
d) 4 cos
2
2

c) cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0.
18. Giải các phương trình sau:
a) sin2 x + sin2 3x = 2sin2 2x.
17π
c) sin2 2x − sin2 8x = sin
+ 10x .
2

b) sin2 4x + sin2 3x = sin2 2x + sin2 x.

x
π
x
d) 1 + sin 2x sin x − cos sin2 x = 2cos2
−
.
2
4
2

19. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x + 5 sin x + 2 = 0.
c) cos 2x + (1 + 2 cos x ) (sin x − cos x ) = 0.
e) 2 cos x (1 − cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 sin x.

b) cos 4x − 3 cos 2x + 2 = 0.
d) 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3 (4 sin x − 1).
f) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.

20. Giải các phương trình sau:
a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x.
c) 3 + sin 2x = tan x + cot x.
e) sin2 x (tan x + 1) = 3 sin x (cos x − sin x ) + 3.

b) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1.
d) (1 − tan x ) (1 + sin 2x ) = 1 + tan x.
f) tan xsin2 x − 2sin2 x = 3 (cos 2x + sin x cos x ).

21. Giải các phương trình sau:
√

sin x + sin 2x + sin 3x
a)
= 3.
cos x + cos 2x + cos 3x
√
cos x 2 sin x + 3 2 − 2cos2 x − 1
c)
= 1.
1 + sin 2x
2sin2 x + cos 4x − cos 2x
e)
= 0.
(sin x − cos x ) sin 2x

3sin2 2x + 8sin2 x − 11 − 3 cos 2x
= 0.
1 + cos 4x
2 cos3 x + 2sin3 x
d)
= sin 2x.
2 sin x + 3 cos x
1
1
2
f)
+
=
.
cos x sin 2x
sin 4x

b)

8


Ôn Tập Chương 1

Ôn Tập Chương 1
22. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
sin x
.
a) y =
2 cos x − 1
tan x
c) y =
.
sin x − cos x

b) y = tan x +
d) y =

2−

√

1
.
sin x
1

3 sin 2x −

π
3

.

23. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x − 1 = 0.
π
c) 2sin2 x −
− 1 = 0.
√3
e) sin 2x = 3 cos 2x.

√
b) 2 sin 2x + 3 = 0.
√
π
+ 3 = 0.
d) 3 tan x −
√ 4
f) sin 2x + 3 sin x = 0.

24. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2 x − 3 sin x + 1 = 0.
c) 1 − 5 cos 3x
+ 2sin2 3x = 0.
√
e) 2sin2 x − 3 sin x cos x + cos2 x = 1.

b) 2cos2 x − sin x + 1 = 0.
d) 2 cos 2x − 3 cos x − 5 = 0.
f) 2sin2 x − 2 sin 2x + 4cos2 x = 1.

25. Giải các phương trình sau:
a) √
3 sin x + 4 cos x = 1.
c) 2 (sin 3x + cos 3x√) = 2.
e) (sin x + cos x )2 + 3 cos 2x = 2.

√
b) √3 sin 2x − cos 2x = 2.
d) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x√= 0.
f) 1 − cos 2x + cos x (1 − 2 cos x ) = 3 sin x.

26. Giải các phương trình
√ sau:
2
a) (sin x + cos x ) + 3 cos 2x = 2.

√
b) 4 sin x cos x cos 2x − 3 cos 4x − 1 = 0.
√
3π
d) 2cos2 x −
+ 3 cos 2x = 0.
4

c) 1 − cos 2x + cos x (1 − 2 cos x ) =

√

3 sin x.

27. Giải các phương trình sau:
a) sin 3x + sin x − 2cos2 x = 0.

√

3 2cos2 + cos x − 2 + (3 − 2 cos x ) sin x = 0.
√
√
d) 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 1 − 4cos2 x.
b)

c) 2 cos 3x − 2 cos 2x + 2 cos x = 1.
28. Giải các phương trình sau:
a) 3 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x.
c) 2 + cos x + 2 tan 2x = 0.

2 x = 1.
b) 4sin2 x + 3tan√
d) 1 + tan x = 2 2 sin x.

29. Giải các phương trình sau:
cos 2x sin 2x
a) 3 + cot2 x = 3
+
.

sin x
cos x
sin2 x − 2 sin 2x − 5cos2 x
√
c)
= 0.
2 sin x + 2

1 − cos 2x
.
sin2 2x
cos 3x + sin 3x
d) 5 sin x +
1 + 2 sin 2x
b) 1 + cot 2x =

9

= cos 2x + 3.


Ôn Tập Chương 1

10


Chương 2

Tổ Hợp Và Xác Suất
§1. Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản

1. Quy tắc cộng.
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện
phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
2. Quy tắc nhân.
Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi
cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo n.m cách.
3. Số phần tử của một tập hợp.
Số phần tử của tập hợp X, ký hiệu | X |. Nếu A ∩ B = ∅ thì ta có | A ∪ B| = | A| + | B|.

Bài Tập
30. Một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
b) Một đôi song ca nam - nữ.
a) Một đơn ca.
31. Trong một lớp có 18 nam và 12 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Một bạn phụ trách quỹ lớp.
b) Hai bạn trực nhật gồm một nam và một nữ.
32. Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh:
b) Có đúng một học sinh nữ.
a) Bất kỳ.
d) Có không quá hai học sinh nữ.
c) Có ít nhất một học sinh nữ.
33. Trên giá sách có 10 sách Toán, 8 sách Lý và 6 sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Ba cuốn sách thuộc ba loại khác nhau.
b) Hai cuốn sách thuộc hai loại khác nhau.
34. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà
không có đường nào được đi hai lần.
35. Có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 3 chữ số bất kỳ.

b) Có 5 chữ số đôi một khác nhau.

36. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số biết hai số kề nhau phải khác nhau.
37. Từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 7 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau.
b) Số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
38. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7 nếu:
a) Các chữ số bất kỳ.
b) Các chữ số đôi một khác nhau.
39. Từ các chữ số 1, 2, 5, 6, 7, 9 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau.
b) Số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
40. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) tạo nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu:
a) Các chữ số bất kỳ.
b) Các chữ số đôi một khác nhau.
41. Có bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau và bé hơn 432 000 được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
11


§2. Hoán Vị. Chỉnh Hợp. Tổ Hợp

§2. Hoán Vị. Chỉnh Hợp. Tổ Hợp
1. Hoán vị.
Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị
các phần tử của A. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) ...2.1 (Quy
uớc 0! = 1).
2. Chỉnh hợp.
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và xếp chúng
theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n)
của một tập hợp có n phần tử là Akn = n (n − 1) (n − 2) ... (n − k + 1). (Quy uớc A0n = 1).

3. Tổ hợp.
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử
Ak
n (n − 1) (n − 2) ... (n − k + 1)
là Cnk = n =
(Quy ước Cn0 = 1).
n!
k!
Một số công thức về tổ hợp: Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n), Cnk +1 = Cnk + Cnk−1 (1 ≤ k ≤ n).

Bài Tập
42. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế kê thành một dãy.
43. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng,
biết không có hai đội nào có điểm trùng nhau.
44. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau.
45. Có 7 sách Toán, 6 sách Lý và 4 sách Hóa. Có bao nhiêu cách xếp sách lên một kệ dài sao cho:
a) Các cuốn sách xếp tùy ý.
b) Các cuốn sách cùng môn xếp cạnh nhau.
46. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có A và B, vào 10 ghế hàng ngang, sao cho:
a) A và B luôn ngồi cạnh nhau.
b) A và B không ngồi cạnh nhau.
47. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí
nhất, nhì, ba biết không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc.
48. Một Ban chấp hành đoàn có 7 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào Ban thường vụ nếu:
a) Không phân biệt chức vụ.
b) Ba người lần lượt làm các chức vụ: Bí thư, Phó Bí thư và Uỷ viên.
49. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm. Hỏi có bao nhiêu:
−
→

a) Đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc P.
b) Véc tơ khác 0 có hai đầu mút thuộc P.
50. (D-2014) Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo.
51. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành:
a) Hai nhóm 7 người và 3 người.

b) Ba nhóm 5 người, 3 người và 2 người.

52. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho có ít nhất một nam và ít nhất một nữ.
53. (B-05) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
54. (B-04) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15
câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu dễ không ít hơn 2.
55. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn để số bi lấy ra không đủ ba màu.
56. Chứng minh các hệ thức sau:
+2
n +1
2 n
a) Ann+
k + An+k = k An+k .
c) Pk A2n+1 A2n+3 A2n+5 = nk!A5n+5 .

2
b) k (k − 1) Cnk = n (n − 1) Cnk−
−2 .

d) (B-08)

12

n+1
n+2

1
Cnk +1

+

1
1
Cnk+
+1

=

1
.
Cnk


Chương 2. Tổ Hợp Và Xác Suất
57. Giải phương trình, bất phương trình sau:
7
a) Cx1 + Cx2 + Cx3 = x.
2
c) 23A4x = 24 A3x+1 − Cxx−4 .
1

6
e) A22x − A2x ≤ Cx3 + 10.
2
x
58. Tính M =

b) Cx1 + 6Cx2 + 6Cx3 = 9x2 − 14x.
−4
x −4
2 3
d) x2 Cxx−
1 = A4 Cx −1 − xCx −1 .

f) A3n + 2Cnn−2 ≤ 9n.

A4n+1 + 3A3n
biết Cn2 +1 + 2Cn2 +2 + 2Cn2 +3 + Cn2 +4 = 149.
( n + 1) !

§3. Nhị Thức Newton
1. Công thức nhị thức Newton.

( a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + ... + Cnk an−k bk + ... + Cnn bn =

n

∑ Cnk an−k bk

k =0

2. Tính chất.
• Có tất cả n + 1 số hạng; số hạng tổng quát thứ k + 1 là Tk+1 = Cnk an−k bk .
• Số mũ của a giảm từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n; tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
• Các hệ số có tính đối xứng và chạy từ Cn0 đến Cnn .

Bài Tập
59. Khai triển các biểu thức sau:
a) ( x + 2y)4 .

b) (3x − y)6 .

c) (3x − 2)5 .

60. Khai triển các biểu thức sau đến số hạng thứ bốn:
a) (1 − 3x )12 .

b) (1 − 2x )9 .

c) 1 −

x
3

20

.

61. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (2x + 3)16 .
62. Tìm hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển (2 − 3x )19 .
15

63. Tìm hệ số của số hạng chứa x25 trong khai triển 2x3 + x
64. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

1
− 2x2
x

.

21

.

65. Tìm n, biết hệ số chứa x2 trong khai triển (1 − 3x )n là 90.
66. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị
n
1
nx2
−
, x = 0.
thức Newton của
14
x

§4. Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố
1. Phép thử ngẫu nhiên.
• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà:
∗ Kết quả của nó không đoán trước được;
∗ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.
2. Biến cố.
• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào
kết quả của T. Mỗi kết quả của T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các
kết quả thuận lợi cho A ký hiệu là Ω A . Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập Ω A .
• Biến cố chắc chắn Ω là biến cố luôn xảy ra; biến cố không thể ∅ là biến cố không bao giờ xảy ra.
13


§4. Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố
3. Xác suất của một biến cố.
• Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.
Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của A là một số, ký hiệu là P( A), được xác
|Ω A |
định bởi công thức P( A) =
.
|Ω|
• Tính chất: 0 ≤ P ( A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1.

Bài Tập
67. Gieo một đồng tiền hai lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để kết quả gieo lần hai xuất hiện mặt ngửa.
c) Tính xác suất để kết quả hai lần gieo khác nhau.
68. Gieo một con súc sắc.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để mặt xuất hiện có số chấm là chẵn.
c) Tính xác suất để mặt xuất hiện có số chấm bé hơn 3.
69. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9.
a) Mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất để số được chọn là số nguyên tố.
c) Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
70. Một xạ thủ bắn vào bia cho tới khi trúng bia hoặc bắn đủ 5 viên thì ngừng.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn không quá 3 viên.
c) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn đúng 5 viên.
71. Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7.
c) Tính xác suất để có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
72. (A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4
thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
73. (A-2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là
số chẵn.
74. (B-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4
học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
75. Một tổ có 13 học sinh, trong đó có 4 nữ. Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ nhất có 4 học sinh,
nhóm thứ hai có 4 học sinh, nhóm thứ ba có 5 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm có ít nhất một học
sinh nữ.
76. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn
để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc
bạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai.
77. (B-2013) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa
2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được
lấy ra có cùng màu.
78. (B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu, 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên ba hộp sữa
để phân tích mẫu. Tính xác suất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại.
14

Chương 2. Tổ Hợp Và Xác Suất

§5. Các Quy Tắc Tính Xác Suất
1. Quy tắc cộng xác suất.
• Biến cố hợp: Là biến cố "A hoặc B xảy ra", ký hiệu là A ∪ B. Ta có Ω A∪ B = Ω A ∪ Ω B .
• Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A và B mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại.
• Quy tắc cộng xác suất: Nếu A, B xung khắc thì P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B).
2. Xác suất của biến cố đối.
• Biến cố đối: Là biến cố "Không xảy ra A", ký hiệu là A. Ta có Ω A = Ω\Ω A ; Ω A ∩ Ω A = ∅.
• Xác suất của biến cố đối: P( A) = 1 − P( A).
2. Quy tắc nhân xác suất.
• Biến cố giao: Là biến cố "Cả A và B cùng xảy ra", ký hiệu là A ∩ B. Ta có Ω A∩ B = Ω A ∩ Ω B .
• Biến cố độc lập: Là hai biến cố A và B mà việc xảy ra hay không xảy ra A không ảnh hưởng đến việc
xảy ra hay không xảy ra B và ngược lại.
• Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập thì P ( A ∩ B) = P ( AB) = P ( A) .P ( B).

Bài Tập
79. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.
Tính xác suất để số bi lấy ra không đủ cả ba màu.
80. Có 7 sách Toán, 5 sách Lý và 6 sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 6 sách. Tính xác suất để số sách được chọn
có không quá 5 sách Toán.
81. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên mỗi hộp một bi. Tính xác suất để được ít nhất một bi đỏ.
82. Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện ít nhất là 6.
83. Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để ba lần bắn độc lập.
a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.
84. Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II

bị hỏng lần lượt là 0,01 và 0,02.
a) Tính xác suất để hai động cơ đều chạy tốt.
b) Tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

§6. Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Là giá trị độc lập X = { x1 , x2 , ..., xn } nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được.
• Xác suất tại xk : P ( X = xk ) = pk , (k = 1..n). Khi đó p1 + p2 + ... + pn = 1.
X
x1
x2
...
xn
• Bảng phân bố xác suất:
P
p1
p2
...
pn
2. Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
n

• Kỳ vọng: E ( X ) = ∑ xi pi .
i =1

n

• Phương sai: V ( X ) = ∑ xi2 pi − E2 ( X ).
i =1

• Độ lệch chuẩn: σ ( X ) =

V ( X ).

Bài Tập
85. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:
X
P

0
0,01

1
0,05

2
0,1

3
0,14

4
0,18
15

5
0,25

6
0,15

7
0,07

8
0,04

9
0,01


Ôn Tập Chương 2
Hãy tính P (2 < X < 7) và P ( X > 5).
86. Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:
X
P

0
0,01

1
0,09

2
0,3

3
0,3

4

0,2

5
0,1

a) Tính xác suất để trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi.
b) Tính xác suất để trên trang sách có nhiều nhất 2 lỗi.
87. Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó.
Hãy lập bảng phân bố xác suất của X, biết xác suất sinh con trai là 0,5.
88. Một nhóm có 7 người, trong đó gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong
ba người được chọn.
b) Tính E( X ) và V ( X ).
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
89. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen. Một người lấy ngẫu nhiên ba quả từ hộp đó. Gọi X là
số quả cầu trắng được lấy ra.
b) Tính E( X ), V ( X ) và P(0 < X < 3).
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

Ôn Tập Chương 2
90. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 8 cuốn sách Lý khác nhau và 6 cuốn sách Hóa khác nhau. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn:
a) Một cuốn sách.
b) Mỗi môn một cuốn sách.
91. Từ các số 0, 2, 4, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và hai chữ số 7 và
8 không đứng cạnh nhau.
92. Giải vô địch bóng đá Việt Nam có 14 đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt tính điểm. Giả sử cuối mùa
bóng không có hai đội nào có cùng số điểm. Hỏi có bao nhiêu:
a) Kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba.
b) Cách chọn ra ba đội bóng để trao giải phong cách.
93. Cho đa giác đều A1 A2 ...A2n , (n ∈ N, n ≥ 2). Hãy tính:

a) Số đường chéo của đa giác.
b) Số tam giác có các đỉnh là ba trong đỉnh của đa giác.
c) Số hình chữ nhật có các đỉnh là bốn trong đỉnh của đa giác.
−1
5 2
n
94. Giải bất phương trình Cnn+
2 + Cn+2 > 2 An .

95. Chứng minh rằng Cnk + 2Cnk−1 + Cnk−2 = Cnk +2 .
96. Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển (2 − x )10 .
97. Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển x2 + 1
khai triển đó.

n

bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong

98. Trong hộp có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi. Tìm xác suất để:
a) Ba bi được chọn có đúng một bi màu xanh. b) Ba bi được chọn không đủ ba màu.
99. Có 6 nhà Toán học nam và 3 nhà Toán học nữ lập thành một đoàn công tác gồm bốn người. Tìm xác
suất sao cho:
a) Trong đoàn có đúng một nhà Toán học nữ.
b) Trong đoàn có ít nhất một nhà Toán học nữ.
100. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất chứa 7 bi đỏ và 5 bi vàng, hộp thứ hai chứa 6 bi đỏ và 8 bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi. Tính xác suất để:
a) Lấy được ít nhất một bi màu xanh.
b) Lấy được hai bi khác màu.
16

Ôn Tập Chương 2
101. Ba học sinh An, Bình, và Chi cùng giải một bài toán độc lập với nhau. Xác suất giải được của An là
0,7, của Bình là 0,6, của Chi là 0,5. Tính xác suất để:
a) Có đúng hai học sinh giải được bài toán.
b) Có ít nhất một học sinh giải được bài toán.
102. Số điểm kiểm tra Toán của lớp 11A là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:
X
P

1
0,01

2
0,02

3
0,4

4
0,1

5
0,15

6
0,16

7
0,12

8
0,2

9
0,1

10
0,1

a) Tính xác suất để số điểm thấp nhất là 7.
b) Tính xác suất để số điểm dưới trung bình.
c) Tính xác suất để số điểm từ 7 đến 9.
103. Xác suất bắn trúng vòng 10 của một xạ thủ là 0,3. Xạ thủ đó bắn 3 lần. Gọi X là số lần bắn trúng vòng
10 của xạ thủ.
b) Tính E( X ) và V ( X ).
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

17


Ôn Tập Chương 2

18


Chương 3

Dãy Số. Cấp Số Cộng - Cấp Số Nhân
§1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng ∀n ≥ p, (n, p ∈ N∗ ), ta thực hiện theo hai bước sau:
• Bước 1: (bước cơ sở) Chứng minh A(n) đúng khi n = p.
• Bước 2: (bước quy nạp) Giả sử A(n) đúng khi n = k ≥ p, ta chứng minh A(n) đúng khi n = k + 1.

Bài Tập
104. Chứng minh rằng ∀n ∈ N∗ , ta có các đẳng thức sau:
n ( n + 1)
b) 1 + 3 + ... + (2n − 1) = n2 .
a) 1 + 2 + ... + n =
.
2
n (n + 1) (2n + 1)
n2 ( n + 1)2
d) 12 + 22 + ... + n2 =
.
c) 13 + 23 + ... + n3 =
.
6
4
2n (n + 1) (2n + 1)
n 4n2 − 1
f) 22 + 42 + ... + (2n)2 =
.
.
e) 12 + 32 + ... + (2n − 1)2 =
3
3
105. Chứng minh rằng ∀n ∈ N∗ , ta có các đẳng thức sau:
n ( n + 1) ( n + 2)
.

a) 1.2 + 2.3 + ... + n (n + 1) =
3
b) 1.2 + 2.5 + ... + n (3n − 1) = n2 (n + 1).
1
1
1
n ( n + 3)
c)
+
+ ... +
=
.
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2)
4 ( n + 1) ( n + 2)
1
1
1
n+1
d) 1 −
1−
... 1 − 2 =
, ( n ≥ 2).
4
9
n
2n
106. Chứng minh rằng ∀n ∈ N∗ , ta có đẳng thức:

2+

√
π
2 + ... 2 = 2 cos n+1 .
2

n dấu căn

107. Cho số thực x = k2π. Chứng minh rằng ∀n ∈

N∗ ,

ta có đẳng thức:

1 + cos x + ... + cos nx =

sin

( n +1) x
2

cos nx
2

sin 2x

108. Chứng minh rằng ∀n ∈ N∗ , ta có:
a) n2 − n chia hết cho 2.
c) 9n − 1 chia hết cho 8.
e) 7.22n−2 + 32n−1 chia hết cho 5.

b) n 2n2 − 3n + 1 chia hết cho 6.
d) 32n−1 + 1 chia hết cho 4.
f) 11n+1 + 122n−1 chia hết cho 133.

109. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 2n > 2n + 1, ∀n ∈ N∗ , n ≥ 3.
1
1
13
c)
+ ... +
> , ∀n ∈ N∗ , n ≥ 2.
n+1
2n
24
√
1
1
e) 1 + √ + ... + √ < 2 n, ∀n ∈ N∗ .
n
2

b) 3n−1 > n (n + 2) , ∀n ∈ N∗ , n ≥ 4.
1
1
1
d)
+
+ ... +

> 1, ∀n ∈ N∗ .
n+1 n+2
3n + 1
1 3 5 2n + 1
1
f) . . ...
<√
, ∀ n ∈ N∗ .
2 4 6 2n + 2
3n + 4
19


§2. Dãy Số
110. Cho số thực a > −1 và n ∈ N∗ , chứng minh bất đẳng thức: (1 + a)n ≥ 1 + na.
111. Cho các số thực a1 , a2 , ..., an ∈ (0; 1) và n ∈ N∗ , n ≥ 2, chứng minh bất đẳng thức:

(1 − a1 ) (1 − a2 ) ... (1 − an ) > 1 − a1 − a2 − ... − an
112. Cho các số thực không âm a1 , a2 , ..., an và n ∈ N∗ , n ≥ 2, chứng minh bất đẳng thức:

√
a1 + a2 + ... + an
≥ n a1 a2 ...an
n

§2. Dãy Số
1. Định nghĩa.
Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N∗ gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy
số). Ký hiệu là (un ). u(1) = u1 gọi là số hạng đầu; u(n) = un gọi là số hạng tổng quát.
Nếu u xác định trên M = {1, ..., m} thì (un ) gọi là dãy số hữu hạn.

2. Các cách cho dãy số.
C1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
C2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.
C3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm.
• Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 ≥ un , ∀n ∈ N∗ .
• Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 ≤ un , ∀n ∈ N∗ .
4. Dãy số bị chặn.
• Dãy số (un ) gọi là bị chặn trên nếu ∃ M : un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .
• Dãy số (un ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : un ≥ m, ∀n ∈ N∗ .
• Dãy số (un ) gọi là bị chặn nếu ∃( M, m) : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .

Bài Tập
113. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số (un ) sau:
2n2 − 3
b) un = 3n − 2n .
a) un =
.
n
√
u1 = 1
e)
d) un = (−1)n 4n .
un+1 = u2n + 1 với n ≥ 1
114. Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số (un ) sau:
n
.
b) un = 2
a) un = n3 + 5n − 7.
n +1

3n
d) un = 3n − n.
e) un = n+1 .
2
115. Chứng minh (un ) với un =

2n + 3
là một dãy giảm và bị chặn.
3n + 2

116. Chứng minh (un ) với un =

7n + 5
là một dãy tăng và bị chặn.
5n + 7

117. Cho dãy số (un ) xác định bởi
a) Hãy tính u2 , u3 , u4 .

3n
.
n3
u1 = 1

c) un =
f)

u n +1 =

un

.
với n ≥ 1
1 + un

3n2 − 2n + 1
.
√ n+1
n
f) un = n .
2
c) un =

u1 = 3
.
un+1 = un + 5, ∀n ≥ 1
b) Chứng minh un = 5n − 2, ∀n ∈ N∗ .

u1 = 1
.
u n +1 = u n + ( n + 1 ) 2n , ∀ n ≥ 1
b) Chứng minh un = 1 + (n − 1) 2n , ∀n ∈ N∗ .
a) Chứng minh (un ) là một dãy số tăng.

118. Cho dãy số (un ) xác định bởi

20


Chương 3. Dãy Số. Cấp Số Cộng - Cấp Số Nhân

119. Cho dãy số (un ) xác định bởi

√


 u1 = 2
2√
120. Cho (un ) với

2
 u
n +1 =
2
121. Cho dãy số (vn ) xác định bởi
a) Hãy tính v2 , v3 , v4 .


 u1 = 1
 u n +1 =

u2n

2
. Chứng minh (un ) là dãy số không đổi.
, ∀n ≥ 1
+1

. Tìm số hạng tổng quát un .
1−

1 − u2n , ∀n ∈ N∗

v1 = 1

.
3
5
vn+1 = − v2n + vn + 1, ∀n ∈ N∗
2
2
b) Chứng minh vn = vn+3 , ∀n ∈ N∗ .

122. Cho dãy số (un ) xác định bởi un = sin
a) Hãy tính 5 số hạng đầu của dãy số.
123. Cho dãy số (sn ) xác định bởi sn = sin
a) Chứng minh sn = sn+3 , ∀n ∈ N∗ .

nπ
nπ
+ cos
.
3
6
b) Chứng minh un = un+12 , ∀n ∈ N∗ .

(4n − 1) π
.
6
b) Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số.

u1 = 0
.
un+1 = un + 2n − 3, n ≥ 1
a) Chứng minh (un ) bị chặn dưới.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu.

124. Cho dãy số (un ) với

§3. Cấp Số Cộng
• Dãy số (un ) là cấp số cộng ⇔ un = un−1 + d, ∀n ≥ 2. Số d không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
u
+ u k +1
, ∀k ≥ 2.
• Cho (un ) là cấp số cộng ta có uk = k−1
2
• Cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d có số hạng tổng quát là un = u1 + (n − 1)d.
n
n
• Cho cấp số cộng (un ). Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un , ta có Sn = (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d].
2
2

Bài Tập
125. Chứng minh mỗi dãy số (un ) sau là một cấp số cộng và xác định công sai của cấp số cộng đó:
a) un = 19n − 5.
b) un = 3 − 5n.
c) un = an + b.
126. Tính số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng (un ), biết rằng:
u5 = 19
u7 − u3 = 8

a)
.
b)
.
c)
u9 = 35
u2 .u7 = 75

u1 + u2 + u3 = 27
.
u21 + u22 + u23 = 275

127. Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số
hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Hãy tìm cấp số cộng đó.
128. Viết thêm 9 số hạng xen giữa hai số −3 và 37 để được một cấp số cộng có 11 số hạng . Tính tổng của
cấp số cộng đó.
129. Một cấp số cộng có tổng sáu số hạng đầu là 18 và tổng mười số hạng đầu là 110. Tính tổng hai mươi
số hạng đầu tiên.
130. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.
u1 = 1
.
un+1 = u2n + 2, n ≥ 1
a) Xét (vn ) với vn = u2n . Chứng minh (vn ) là cấp số cộng.
c) Tính tổng S = u21 + u22 + ... + u21001 .
b) Tìm công thức số hạng tổng quát un .

131. Cho dãy số (un ) với

21

§4. Cấp Số Nhân
132. Chứng minh rằng nếu ba số dương a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì các số
a2 + ab + b2 , a2 + ac + c2 , b2 + bc + c2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
133. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng nếu a2 , b2 , c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì
a
b
c
các số
,
,
theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
b+c c+a a+b
134. Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
a) a2 + 2bc = c2 + 2ab.
b) a2 + 8bc = (2b + c)2 .
135. Tính tổng S = 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 .

§4. Cấp Số Nhân
• Dãy số (un ) là cấp số nhân ⇔ un = un−1 .q, ∀n ≥ 2. Số q không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
• Cho (un ) là cấp số nhân ta có u2k = uk−1 .uk+1 , ∀k ≥ 2.
• Cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q = 0 có số hạng tổng quát là un = u1 .qn−1 .
u1 (1 − q n )
.
• Cho cấp số nhân (un ). Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un , ta có Sn =
1−q

Bài Tập
136. Chứng minh mỗi dãy số (un ) sau là một cấp số nhân và xác định công bội của cấp số nhân đó:
1

a) un = 5.2n .
c) un = 3.(−5)n .
b) un = n .
3
137. Tính số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng (un ), biết rằng:
u5 − u1 = 15
u1 − u3 + u5 = 65
a)
.
b)
.
c)
u4 − u2 = 6
u1 + u7 = 325

u1 .u5 = 25
.
u2 + u3 + u4 = 31

138. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai
bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.
139. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự
đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
140. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân.
Tìm các số đó.
141. Số đo bốn góc của tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Tìm bốn góc đó, biết số đo của góc lớn nhất
gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
u1 = 1
và (vn ) với vn = un + 2
un+1 = 5un + 8, ∀n ∈ N∗

a) Chứng minh (vn ) là một cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của (un ).

142. Cho dãy số (un ) xác định bởi

143. Tìm các số dương a, b, biết rằng a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2 , ab + 5, ( a + 1)2
lập thành một cấp số nhân.
144. Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a) ( a2 + b2 )(b2 + c2 ) = ( ab + bc)2 .
b) a2 + 4c2 − 4ab + 8bc = ( a − 2b − 2c)2 .
145. Tính các tổng sau:
a) S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9.
n số 9

b) Sn =
22

1
3
5
2n − 1
+ + + ... +
.
2 22 23
2n


Ôn Tập Chương 3

Ôn Tập Chương 3

=

n(n + 1)(n + 2)
, ∀ n ∈ N∗ .
6

147. Chứng minh 1.22 + 2.32 + ... + (n − 1).n2 =

n(n2 − 1)(3n + 2)
, ∀n ≥ 2.
12

146. Chứng minh 1 + 3 + 6 + 10 + ... +

n ( n +1)
2

148. Xét tính tăng
√ giảm của mỗi dãy số sau:
2n n
a) un =
3n
149. Cho (un ) với un =

b) un = 2n +

1
.
5n

na + 2
. Tìm a để (un ) là dãy số giảm.
n+1

150. Cho dãy số (un ) với
a) Tính u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 .

u1 =
u n +1

1
.
3
= 4un + 7, n ≥ 1
b) Chứng minh un =

22n+1 − 7
, n ≥ 1.
3



 u1 = 1
3
151. Cho dãy số (un ) với
.

 u n +1 = n + 1 u n , n ≥ 1
n
un

a) Xét dãy (vn ) với vn =
. Chứng minh (vn ) là cấp số nhân.
n
b) Tìm số hạng tổng quát un .
152. Chứng minh rằng 3 số vừa lập thành cấp số cộng vừa lập thành cấp số nhân thì bằng nhau.
153. Cho cấp số cộng a, b, c. Chứng minh rằng: 3 a2 + b2 + c2 = 6( a − b)2 + ( a + b + c)2 .
154. Cho cấp số nhân a, b, c. Chứng minh rằng: ( a + b + c)( a − b + c) = a2 + b2 + c2 .
155. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số x − 1, y +
2, x − 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
156. Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh nếu ba số
thành một cấp số cộng thì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

23

2 1 2
, ,
theo thứ tự lập
b−a b b−c


Ôn Tập Chương 3

24


Chương 4

Giới Hạn
§1. Giới Hạn Của Dãy Số.
1. Dãy số có giới hạn 0.

Định nghĩa 4.1. Dãy số (un ) có giới hạn 0 khi và chỉ khi với mỗi số dương ε nhỏ tùy ý cho trước ta có
|un | < ε, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu là lim un = 0 (hoặc u → 0).
Nhận xét.
• lim un = 0 ⇔ lim |un | = 0.
• lim 0 = 0; lim n1k = 0; lim √1n = 0; lim

1
√
3 n

= 0.

Định lý 4.2. Nếu |un | ≤ vn , ∀n ∈ N∗ và lim vn = 0 thì lim un = 0.
Định lý 4.3. Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0.
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn.
Định nghĩa 4.4. Dãy số (un ) có giới hạn là số thực L nếu lim (un − L) = 0. Ký hiệu là lim un = L. Vậy
lim un = L ⇔ lim (un − L) = 0.
Nhận xét.
• lim c = c, (c = const).
• Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
Định lý 4.5. Giả sử dãy số (un ) có giới hạn
hữu hạn. Khi đó:
√
√
3
3
• lim |un | = |lim un | và lim un = lim un .
√
√
• Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ N∗ thì lim un ≥ 0 và lim un = lim un .

Định lý 4.6. Giả sử (un ) và (vn ) có giới hạn hữu hạn và c là một hằng số. Khi đó:
• lim (un ± vn ) = lim un ± lim vn .
• lim (un .vn ) = lim un . lim vn .
• lim (cun ) = c lim un .
un
lim un
• lim
=
(lim vn = 0).
vn
lim vn
Định lý 4.7. Cấp số nhân (un ) có công bội q với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Đặt S = u1 + u2 + ... +
u1
un + ... Ta có: S =
.
1−q
3. Dãy số có giới hạn vô cực.
Định nghĩa 4.8. Dãy số (un ) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương N0 tuỳ ý cho trước ta có un > N0 ,
kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu là lim un = +∞ (hoặc un → +∞).
Giới hạn −∞ được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
25