G An HH 10 nang cao

Chương II : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ (từ 0
0
đến 180
0
)
(Tiết 15-16)
I. Mục tiêu:
Về kiến thức:
Học sinh nắm được định nghĩa giá trị lượng giác của các góc tuỳ ý từ 0
0
đến 180
0
Về kỹ năng:
Học sinh biết vận dụng tính chất: Hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, còn côsin, tang
và côtang của chúng đối nhau.
II. Phương pháp dạy học:
Giúp học sinh chủ động ôn lại kiến thức cũ ở lớp 9, đồng thời mở rộng trong trường
hợp tổng quát.
III. Chuẩn bị:
- Học sinh ôn lại về các tỉ số lượng giác của một góc nhọn
- Giáo viên chuẩn bị thước kẻ,compa và bảng các giá trị lượng giác của các góc đặc
biệt.
IV. Tiến trình bài học:
Tiết 15 :
Hoạt động 1: Ôn lại các tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Cho ∆ ABC vuông tại A có góc
α
=

B
ˆ
. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng
giác của góc
α
: sin
α
, cos
α
, tan
α
, cot
α
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa
đường tròn tâm O nằm phía trên trục
hoành bán kính R=1 được gọi là nửa
đường tròn đơn vị (h.2.2). Nếu cho trước
một góc nhọn
α
thì ta có thể xác định
một điểm M duy nhất trên nửa đường
tròn đơn vị sao cho
α
=
∧
xOM
. Giả sử M
( )
;
o o

x y
, hãy chứng tỏ :
sin ,cos ,tan ,cot
o o
o o
o o
y x
x y
x y
α α α α
= = = =
sin
α
=
AC
BC
, cos
α
=
AB
BC
, tan
α
=
AC
AB
, cot
α
=
AB

AC
- Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
M trên Ox và Oy
sin
cos
tan
cot
o
o
o
o
o
o
MH OK
y
OM OM
OH
x
OM
y
MH
OH x
x
OH
MH y
α
α
α
α
= = =

= =
= =
= =
20
Hoạt động 2: Mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc
α
bất kì ( 0
0
≤
α
≤ 180
0
)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Định nghĩa: (SGK)
- VD1: Tìm các giá trị lượng giác của góc
135
0
- Gọi H và K là hình chiếu của M trên Ox,
Oy. OHMK là hình gì? cạnh = ? Suy ra toạ
độ của M?
- Dựa vào định nghĩa, tìm các giá trị lượng
giác của góc 135
o
?
- Tương tự đối với các góc 0
0
, 180
0
, 90

0
?
* Chú ý: Xem Ox là tia gốc, vẽ góc
α
=
∧
xOM
theo chiều ngược kim đồng hồ,
xác định toạ độ M, từ đó suy ra các giá trị
lượng giác của góc
α
.
- Khi M nằm trên nửa đường tròn đơn vị
thì tung độ y có giá trị như thế nào?hoành
độ x < 0 khi M ở đâu?x > 0 khi M?
- Vậy sin
α
< 0 khi nào? cos
α
< 0 khi
nào?có thể xét dấu tan, cot dựa vào?
- OHMK là hình vuông đường chéo =1,
suy ra cạnh =
2
2
, suy ra
2 2
;
2 2
M

 
−
 ÷
 ÷
 
y ≥ 0. x < 0 khi M nằm trên phần tư thứ
2. x > 0 khi M nằm trên phần tư thứ 1
sin
α
luôn ≥ 0. cos
α
< 0 khi
α
là góc
tù. Dấu của tan, cot dựa vào dấu của cos
Hoạt động 3 : Quy tắc tìm giá trị lượng giác của các góc tù bằng cách đưa về giá trị lượng
giác của góc nhọn.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Tìm mối liên hệ của hai góc
α
và
α
’?
- Giả sử M(x;y), suy ra toạ độ của M’?
- So sánh các giá trị lượng giác của
α
và
α
’?
- Tính chất hai góc bù nhau: (SGK)

- VD2: Tìm các giá trị lượng giác của
góc 150
0
α
+
α
’ = 180
0
.
α
và
α
’ là 2 góc bù nhau
M’(-x;y)
sin
α
’=sin
α
, cos
α
’=-cos
α
, tan
α
’=-tan
α
,
cot
α
’=cot

α
150
0
bù với 30
0
nên :
Sin150
0
=sin30
0
=
1
2
, cos150
0
=-cos30
0
=-
3
2
,
tan150
0
=-tan30
0
=
3
3
−
,

cot150
0
= – cot30
0
= –
3
21
Hoạt động 4: Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt (SGK)
Hoạt dộng 5: Củng cố:
- Cách xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
α
=
∧
xOM
.
- Định nghĩa các tỉ số lượng giác
- Quy tắc 2 góc bù nhau. Ứng dụng: chỉ cần học thuộc tỉ số lượng giác của các góc ≤ 90
0
- BTVN: 1,2,3 SGK/43
BAØI TAÄP
(Tiết 16)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
-Kiểm tra bài cũ: +Vẽ bảng các giá trị
lượng giác của các góc đặc biệt ≤ 90
0
+Nêu quy tắc 2 góc bù nhau
-Bài 1 và 2a sử dụng quy tắc 2 góc bù
nhau để đưa các góc tù về góc nhọn, sau
đó thay các giá trị lượng giác của các
góc nhọn đặc biệt mà các em đã học

thuộc
-Bài 2b sử dụng quy tắc 2 góc bù nhau
-2 học sinh lên bảng trình bày
0 0 0 0
0 0
1 )cos135 cos 45 , t an150 tan30
cos180 cos0
a = − = −
= −
Suy ra biểu thức đã cho =
0
0 0 0 0
(2sin 30 cos 45 3tan30 )( cos0 cot 60 )
1 2 3 3
(2. 3. )( 1 )
2 2 3 3
2 3
(1 3)(1 )
2 3
− + − −
= − + − −
= − − + +
1b)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 90 cos 60 cos 0 tan 60 cot 45
1 1
1 1 3 1
4 4
= + + − +
= + + − + =

2a)
0 0 0 0
0
sin80 sin80 cos16 cos16
2sin 80
= + + −
=
2b)
22
và định nghĩa tan, cot để rút gọn biểu
thức
-Bài 3a: Quay lại H.32 SGK, có thể thay
2
sin
α
= bình phương độ dài đoạn nào?
2
cos
α
?
MH
2
+ OH
2
= ?
Bài 3b: Điều kiện
0
90
α
≠

để cos
α
?
Như vậy từ bài 3a ta có thể làm như thế
nào để có được đẳng thức ở bài 3b?
Bài 3c: Tương tự điều kiện 0
0
<
α
<180
0
cho biết
α
≠ ? để làm gì?
*Chú ý: Các công thức ở bài 3 cho phép
sử dụng từ đây về sau, học sinh phải học
thuộc 3 công thức cơ bản này
( )
2sin .cot cos .tan . cot
cos sin cos
2sin . cos . .
sin cos sin
2cos cos 3cos
α α α α α
α α α
α α
α α α
α α α
= + −
= +

= + =
2 2 2 2
2 2 2
sin ,cos
1
MH OH
MH OH OM
α
= =
+ = =
0
90
α
≠
để cos
α
≠ 0. Ta có thể chia hai vế
đẳng thức ở bài 3a cho
2
cos
α
2 2
2 2 2
2
2
sin cos 1
cos cos cos
1
tan 1
cos

α α
α α α
α
α
+ =
⇔ + =
α
≠ 0
0
và
α
≠ 180
0
. Vậy sin
α
≠ 0. Ta chia 2
vế đẳng thức ở bài 3a cho sin
2
α
2 2
2 2 2
2
2
sin cos 1
sin sin sin
1
1 cot
sin
α α
α α α

α
α
+ =
⇔ + =
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
23
(Tiết 17 - 18 - 19)
I. Mục đích – yêu cầu:
Về kiến thức: Học sinh hiểu dược:
- Khái niệm góc giữa hai vectơ
- Các tính chất của tích vô hướng
- Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
- Công thức hình chiếu
Về kĩ năng: Học sinh:
- Xác định được góc giữa 2 vectơ; tích vô hướng của hai vectơ.
- Tính được độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm.
- Vận dụng được các tính chất của tích vô hướng, đặc biệt là
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
- Vận dụng được công thức hình chiếu và biểu thức toạ dộ của tích vô hướng vào giải
bài tập
II. Phương pháp dạy học:
Chủ yếu sử dụng phương pháp suy diễn. giáo viên đưa ra kiến thức , phân tích, và
hướng dẫn học sinh áp dụng vào thực tiễn
III. Chuẩn bị:
Giáo viên chuẩn bị thước kẻ và bảng tính chất của tích vô hướng, các hệ thức quan
trọng về biểu thức toạ độ của tích vô hướng
IV. Tiến trình bài học:
Tiết 17
Hoạt động 1: Xác định góc giữa 2 vectơ

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Định nghĩa góc giữa 2 vectơ: (SGK)
- Khi nào thì góc giữa 2 vetơ = 0
0
? 180
0
?
Hoạt động 1:
-Theo định nghĩa SGK việc chọn điểm O để
từ đó dựng 2 vectơ bằng 2 vectơ đã cho là
rất quan trọng. Ví dụ
*
( )
,BA BC
uuur uuur
ta chọn điểm B làm gốc, dễ dàng
thấy
·
ABC
là góc cần tìm
*
( )
,AB BC
uuur uuur
ta cũng chọn điểm B làm gốc,
nhưng phải dựng thêm
'BA AB=
uuur uuur
để có
·

ABC
mới là góc cần tìm chứ không phải
·
ABC
như sai lầm các em thường mắc phải
- Góc giữa 2 vectơ = 0
0
khi 2 vectơ cùng
hướng, = 180
0
khi 2 vectơ ngược hướng
( )
,BA BC
uuur uuur
=
0
50
=
∧
ABC
( )
,AB BC
uuur uuur
=
0
130'
=
∧
BCA
0

40);(
==
∧
ACBCBCA
-Chọn C làm điểm gốc, dựng
,CE AC CF BC= =
uuur uuur uuur uuur
ta có
0
40);(
==
∧
ECFBCAC
0
140);(
==
∧
ECBCBAC
- Chọn A làm điểm gốc, dựng
AD BA=
uuur uuur
,
ta có
0
90);();(
===
∧
DCAADACBAAC
Hoạt động 2: Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- GV phân tích lại VD vật lý về
công A sinh bởi lực
F
ur
làm cho vật
di chuyển từ điểm O đến điểm O’.
Trong toán học thì A được gọi là
24
tích vô hướng của hai vectơ
F
ur
và
'OO
uuuur
- Vậy các em có thể rút ra định
nghĩa thế nào là tích vô hướng của
2 vectơ
a
r
và
b
r
?
- Như vậy để tìm tích vô hướng
.a b
r r
ta cần những yếu tố gì?
- VD1: Nếu 2 vectơ đã có cùng
điểm gốc, dễ dàng xác định điểm
đầu, ta áp dụng ngay công thức.

Nếu không, ta xác định rõ góc giữa
2 vectơ sau đó mới áp dụng công
thức
- Nhận xét
GA
uuur
và
BC
uuur
có quan hệ
với nhau như thế nào?
( )
, ? . ?GA BC GA BC= ⇒ =
uuur uuur uuur uuur
- Tổng quát, khi nào thì
. 0?a b =
r r
- Bình phương vô hướng: (SGK)
. . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r
-Cần có
,a b
r r
và
( )
,a b
r r
20
2
1

60cos..
ˆ
cos... aaaCABACABACAB
===
Dựng
0
120');('
==⇒=
∧
BCACBACCACA
20
20
2
1
30cos.
2
3
.
3
2
ˆ
cos...
2
1
120cos..
aaBAGABAGABAG
aaaCBAC
===
−==
202

6
1
120cos.)
2
3
.
3
2
(
ˆ
cos... aaGABGBGAGBGA
−===
Dựng
'GB BG=
uuuur uuur
202
6
1
60cos.
3
1
ˆ
'cos... aaAGBGABGGABG
===
GA BC⊥
uuur uuur
nên
( )
0
0

, 90
cos90 0 . 0
GA BC
GA BC
=
= ⇒ =
uuur uuur
uuur uuur
vậy
. 0a b a b⊥ ⇒ =
r r r r
Hoạt động 3: Củng cố
- Để xác định góc giữa 2 vectơ, cần qui về 2 vectơ có cùng điểm đầu
- Định nghĩa tích vô hướng 2 vectơ
- Tính chất đặc biệt về tích vô hướng của 2 vectơ vuông góc với nhau
- Bình phương vô hướng
- Về nhà Hs xem trước phần chứng minh các bài toán 1, 2, 3 trong SGK.
Tiết 18
Hoạt động 1: Tính chất của tích vô hướng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
25
- Quan sát cách chứng minh hệ thức 3
trong SGK, các em hãy chứng minh hệ
thức 1 và 2 bằng cách xem
( ) ( ) ( )
2
.a b a b a b+ = + +
r r r r r r
và áp dụng tính
chất phân phối

- Đẳng thức
( )
2
2 2
. .a b a b=
r r r r
có đúng
không? Lưu ý phép nhân vectơ không có
tính chất kết hợp
- Phải sửa như nào mới đúng?
Bài toán 1 (SGK):
a) Ta sẽ chuyển các độ dài qua vế trái và
biến đổi thành vế phải, bằng cách nhóm
các hằng đẳng thức có dạng A
2
-B
2
để
phân tích ra thừa số. Lưu ý xem
2
AB AB=
uuur
b) Nhắc lại cách chứng minh 2 đường
thẳng vuông góc với nhau bằng cách
dùng tích vô hướng 2 vectơ
- Ở đây cần chứng minh hệ thức gì? Lưu
ý sử dụng lại đẳng thức vừa được chứng
minh ở câu a
Bài toán 2 (SGK):
- Đây là bài toán tìm quỹ tích. Có điểm

nào cố định và điểm nào thay đổi?
- Định nghĩa lại đường tròn tâm O bán
kính R là tập hợp những điểm như thế
nào?
- Như vậy nếu ta gọi O là trung điểm của
AB thì O cũng là điểm cố định, ta sẽ
chèn O vào đẳng thức đã cho, biến đổi
để được đẳng thức có dạng MO= R là 1
số không đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
. . .
. . 2 .
a b a b a b a b a a b b
a b a a b b a a b b
+ = + + = + + +
= + + + = + +
r r r r r r r r r r r r
r r r r r r r r r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
. . .
. . 2 .
a b a b a b a b a a b b
a b a a b b a a b b
− = − − = − − −
= − − + = − +
r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
. .cos , . .cos ,ab a b a b a b a b= =
rr r r r r r r r r
-Có thể sửa lại là:
( ) ( )
2 2 2
2
. .cos ,ab a b a b=
rr r r r r
Đẳng thức tương đương:
2 2 2 2
2 .AB CD BC AD CA BD+ − − =
uuur uuur
Vế trái =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
. .
2 . 2
AB AD CD BC
AB AD AB AD CD BC CD BC
DB AB AD CD BC BD

DB AB AD CD BC
DB AC AC
DB AC BD
− + −
= − + + − +
= + + −
= + − +
= +
= =
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
.CA
uuur uuur
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
2 2 2 2
. 0CA BD CA BD
AB CD BC AD
⊥ ⇔ =
⇔ + = +
uuur uuur
-A, B là những điểm cố định và M là điểm
thay đổi
-Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp
những điểm cách O một đoạn = R
( ) ( )

( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
. .
.
MA MB MO OA MO OB
MO OA MO OA
MO OA MO OA
MO a k
MO a k MO a k
= + +
= + −
= − = −
= − =
⇔ = + ⇔ = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur
Vậy quỹ tích diểm M là đường tròn tâm O,
bán kính R =
2 2
a k+
Hoạt động 2: Công thức hình chiếu, phương tích của 1 điểm đối với đường tròn
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài toán 3 (SGK): yêu cầu HS xem phần
chứng minh trong SGK, GV giải thích 1
26
số chỗ

-Trong tam giác vuông OBB’,
BOA
ˆ
cos
= ?
Thay vào và rút gọn ta sẽ có dòng thứ 2
Vì cos0
0
=1 nên ta có thể nhân vào mà
biểu thức không đổi
( )
, ' ?OA OB =
uuur uuuur
Nên dòng thứ 3 ta có thể viết thành:
( )
. '.cos , 'OAOB OA OB
uuur uuuur
Trường hợp
0
90
ˆ
≥
BOA
:
BOA
ˆ
và
BOB
ˆ
'

là 2 góc có quan hệ
như thế nào? Cos của chúng như thế
nào?
Tương tự ở trên cos
BOB
ˆ
'
= ?
( )
, ' ?OA OB =
uuur uuuur
cos góc này=?
*Tổng quát: tích
.a b
r r
bằng tích của
a
r
với
'b
ur
là hình chiếu của
b
r
trên giá của
a
r
Bài toán 4 (SGK):
-Coi đường thẳng MB là giá,
MA

uuur
là hình
chiếu của vectơ của vectơ nào?
Áp dụng công thức hình chiếu ta có thể
thay
. ?.MA MB MB=
uuur uuur uuur
*lưu ý: Phương tích của 1 điểm đối với
đường tròn có thể tính được bằng 3 công
thức. Có thể dựa vào đó để tính tích vô
hướng, khoảng cách từ 1 điểm đến tâm
đường tròn, bán kính.
OB
OB
BOA
'
ˆ
cos
=
( )
0
, ' 0OA OB =
uuur uuuur
BOA
ˆ
và
BOB
ˆ
'
là 2 góc bù nhau. Cos

của chúng đối nhau
cos
BOB
ˆ
'
=
'OB
OB
( )
0
0
, ' 180
cos180 1
OA OB =
= −
uuur uuuur
HS coi phần chứng minh trong SGK
. .MA MB MC MB=
uuur uuur uuuur uuur
Hoạt động 3 : Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1 (SGK):
a) Áp dụng công thức bình phương
vô hướng
?i =
r
- Quan hệ giữa 2 vectơ
i
r
và

j
r
? Suy
ra được điều gì?
b) Áp dụng định nghĩa toạ độ của
vectơ cho
a
r
và
b
r
?thay vào
. ?a b
r r
c) Suy ra
?a =
r
tương tự
?b =
r
d) Quay lại công thức tích vô hướng
2
2
1
1
. 0
i i
j j
i j i j
= =

= =
⊥ ⇒ =
r r
r r
r r r r
. ; '. 'a x i y j b x i y j
= + = +
r r r r r r
( ) ( )
2 2
. . . '. '.
. '. '. . . . '. . . '.
. ' . '
a b x i y j x i y j
x x i x y j i x y i j y y j
x x y y
= + +
= + + +
= +
r r r r r r
r r r r r r
27
( )
. cos , ?a b a b⇒ =
r r r r
khi
( )
cos , ?a b a b⊥ → =
r r r r
khi đó vế

phải xảy ra điều gì?
* Lưu ý: Đây là cách chứng minh 2
vectơ vuông góc bằng phương pháp
toạ độ rất đơn giản
H5 (SGK): Áp dụng các công thức
vừa được chứng minh ở trên
HỆ QUẢ:
-Nhắc lại công thức toạ độ của
AB
uuur
?
-Suy ra
?AB =
uuur
VD2 (SGK51):
a) Phân tích giả thiết:
?P Ox
∈ ⇒
P cách đều M và N suy ra
điều gì?
b) Góc MON là góc giữa 2 vectơ
nào?Tính toạ độ 2 vectơ đó và
áp dụng công thức góc giữa 2
vectơ
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
. . . . . . .a x i y j x i y j x i y j
x y

= + = + +
= +
r r r r r r r
Suy ra :
2 2 2 2
; ' 'a x y b x y
= + = +
r r
2 2 2 2
.
. . .cos( , ) cos( , )
.
. ' . '
. ' '
a b
a b a b a b a b
a b
x x y y
x y x y
= ⇒ =
+
=
+ +
r r
r r r r r r r r
r r
( )
0
cos , cos90 0
. ' . ' 0

a b a b
x x y y
⊥ → = =
→ + =
r r r r
a)
( )
1. 1 2. 0
1
2
a b m
m
⊥ ⇔ − + =
⇔ =
r r
b)
( )
2
2
2 2 2
2
2
1 2 5
( 1) 1
5 1
5 1 2
a
b m m
a b m
m m

= + =
= − + = +
= ⇔ = +
⇔ = + ⇔ = ±
r
r
r r
( )
;
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y⇒ = − + −
uuur
0
P
P Ox y∈ ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3
;0
4
M P M P N P N P
PM PN
x x y y x x y y
P
= ⇔

− + − = − + −
 
⇔
 ÷
 
34
3
ˆ
cos;(
ˆ
−=⇒=
NOMONOMNOM
Hoạt động 4: Củng cố
- Phương tích của điểm M đối với đường tròn tâm O
- Tính tích vô hướng bằng công thức toạ độ
- Độ dài của đoạn thẳng
- Góc giữa 2 vectơ tính bằng toạ độ
28
- BTVN: 4,5,6,10,13,14/sgk/52
BÀI TẬP
(Tiết 19)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
BÀI 4:
-Nhắc lại công thức
.a b
r r
?
-Suy ra
.a b
r r

> 0 khi nào? < 0 khi
nào?
-Nhắc lại về dấu của cos?
.a b
r r
=0 khi nào?
BÀI 5:
-Dựng
( )
, ?AB BC
uuur uuur
-So sánh
·
'B BC
và
·
ABC
?
-Thay các kết quả đã có vào
tổng cần tính
BÀI 6:
a) -Tương tự ở bài 5, hãy
cho biết số đo các góc
sau:
( ) ( ) ( )
, , , , ,AB BC BA BC AC CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Sau đó thay vào để tính giá trị
của biểu thức
b)Tương tự

( ) ( ) ( )
, , , , , ?AB AC BC BA CA BA =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BÀI 7:
- Vì các vectơ này chưa thể rút
gọn nên ta sẽ chèn điểm O bất
kì vào tất cả để có các vectơ
cùng điểm đầu
- Giả sử ∆ABC có 2 đường cao
. . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r
.a b
r r
> 0 khi
( ) ( )
cos , 0, 0 cos , 0a b khi a b> < <
r r r r
Cosx > 0 khi x là góc nhọn, < 0 khi x là góc tù
.a b
r r
=0 khi
a b⊥
r r
Dựng
'BB AB=
uuuur uuur
suy ra :
CBACBBBCBBBCAB
ˆ
180

ˆ
');'();(
0
−===

Tương tự :
BCACABC
ˆ
180);(
0
−=
CBAABCA
ˆ
180);(
0
−=
0
360....);();();(
==++
ABCACABCBCAB
00
150
ˆ
180);(
=−=
BBCAB
0
30
ˆ
);(

==
BBCBA
00
120
ˆ
180);(
=−=
CCBAC
( ) ( )
( )
0 0 0
,
cos , sin , tan
2
cos150 sin 30 tan 60
3 1
3
2 2
AC CB
AB BC BA BC+ +
= + +
= − + +
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. . . .
. . . .
VT OA OD OC OB OB OD OA OC
OC OD OB OA

OAOC OD OC OAOB OD OB
OB OA OD OA OB OC OD OC
OC
= − − + − − +
− −
= − − +
+ − − +
+
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
u r
. . . .
0
OB OD OB OC OA OD OA− − +
=
uu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. 0AD BC DA BC⊥ ⇒ =
uuur uuur
Tương tự
. 0DB CA =
uuur uuur
Suy ra
. 0DC AB DC AB= ⇒ ⊥
uuur uuur
.Vậy 3 đường cao trong
tam giác đồng qui với nhau
-Ta chứng minh hệ thức:
.DA BC +

uuur uuur
.DB CA+
uuur uuur
. 0DC AB =
uuur uuur
29