Công thức và bài tập nguyên hàm và tích phân

Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM
1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
m
m- 1
1/ ( c) ' = 0 (c là hằng số)
2/ x ' = mx

( )

4/ ( cosx) ' = - sin x

5/ ( tan x) ' =

( )

3/ ( sin x) ' = cosx

1
cos2 x

( )

x
x
7/ a ' = a lna

6/ ( cot x) ' = 9/ ( ln x) ' =

x
x
8/ e ' = e

1
sin2 x

1
x

2. Các nguyên hàm cơ bản:

( 1) ò dx = x + c
( 3) ò

dx
= ln x + c
x

( 4) ò e dx = e
x

x

( 5) ò axdx =

xn+1
( 2) ò x dx = n + 1 + c ( n ¹ - 1)
dx

1
( 3') ò ax + b = a ln ax + b + c
( 4') ò eax+bdx = a1 eax+b + c ( a ¹ 0)
n

+c

ax
+c
lna

( 6) ò sin xdx = -

cosx + c

( 6') ò sin( ax + b) dx = -

1
cos( ax + b) + c
a

( 7) ò cosxdx = sin x + c

( 7') ò cos( ax + b) dx = a1 sin( ax + b) + c

dx
= tan x + c
( 8) ò cos
x

( 9) ò sindxx = -

2

( 10) ò tan xdx = -

2

ln cosx + c ( 10') ò cot xdx = ln sin x + c

( 11) ò x dx- 1 = 21 ln xx -+ 11 + c ( 11') ò x dx
- a
2

( 12) ò
( 13) ò
( 14) ò

2

dx
2

x +k

cot x + c

2

=

1
x- a
ln
+c
2a x + a

= ln x + x2 + k + c

x 2
1
x + 1 + ln x + x2 + 1 + c
2
2
x 2
k
x2 + kdx =
x + k + ln x + x2 + k + c
2
2

x2 + 1dx =

3. Tính chất:
1. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

2. ∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
Trang 1

Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

AD: Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng định nghĩa.
1
x 3 3x 2
2
1. f(x) = x – 3x +
ĐS. F(x) =
−
+ ln x + C
x
3
2
2x 4 + 3
2x3 3
2. f(x) =
ĐS.
F(x)
=
− +C
3
x
x2
x −1
1
3. f(x) = 2
ĐS. F(x) = lnx +
+C

x
x
( x 2 − 1) 2
x3
1
4. f(x) =
ĐS.
F(x)
=
− 2x + + C
2
3
x
x
4

3

5. f(x) =
6. f(x) =

x+ x+ x
3

1

−3

4

2

x
x
( x − 1) 2
7. f(x) =
x
x −1
8. f(x) = 3
x
2 x
9. f(x) = 2 sin
2
2
10. f(x) = tan x
11. f(x) = cos2x
12. f(x) = (tanx – cotx)2
1
13. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
15. f(x) = sin3x
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)

ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C

ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
5

2

ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C
ĐS. F(x) = x – sinx + C
ĐS. F(x) = tanx – x + C
1
1
ĐS. F(x) = x + sin 2 x + C
2
4
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
ĐS. F(x) = − cos 3 x + C
3
1
ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C
5
1 2x
x
ĐS. F(x) = e − e + C
2

e−x
18. f(x) = e (2 +
)

cos 2 x

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = e3x+1

ĐS. F(x) =

x

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0

5

3
2
4
ĐS. F(x) = 2 x + 3 x + 4 x + C
3
4
5

1 3 x +1
e
+C
3

ĐS. f(x) = x2 + x + 3
x3
ĐS. f(x) = 2 x −
+1
3
8 x x x 2 40
ĐS. f(x) =
−
−
3
2
3
Trang 2


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
1. Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
2. I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
1. ∫ (5 x − 1)dx
2. ∫
(3 − 2 x) 5

∫ (2 x

5.

3x 2

∫

9.

+ 1) 7 xdx

2

5 + 2x3

13.

∫ sin

17.

∫ sin x

4

dx

x cos xdx

dx

e x dx

21.

∫

25.

∫x

29.

∫ cos

e −3
1 − x .dx
2

3

10.

∫ (x

+ 5) 4 x 2 dx

3

dx

∫

x (1 + x )
sin x
dx
14. ∫
cos 5 x
dx
18. ∫
cos x

2

e tgx
22. ∫
dx
cos 2 x

x

2

6.

x sin 2 xdx

dx

26. ∫
1+ x2
30.

∫x

3.

∫

5 − 2 x dx

7.

∫

x 2 + 1.xdx

ln 3 x
11. ∫
dx
x

∫ cot gxdx

19.

∫ tgxdx

23.

∫

1 − x 2 .dx

∫

x 2 dx

1− x
dx
31. ∫ x
e +1

2

dx

∫

2x −1
x
dx
8. ∫ 2
x +5
12.

15.

27.

x − 1.dx

4.

∫ x.e

x 2 +1

dx

tgxdx
2
x
x
e
dx
20. ∫
x
dx
24. ∫
4 − x2
16.

∫ cos

28.

∫x

32.

∫x

2

dx
+ x +1
x 2 + 1.dx

3

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
Hay:

∫ udv = uv − ∫ vdu

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx
2. ∫ x cos xdx

∫ ( x + 5) sin xdx
7. ∫ x.e dx
ln xdx
11. ∫
x

5.

∫ x sin 2 xdx

6.

9.

∫ x ln xdx

10.

∫ ln

14.

∫ xtg

xdx

15.

18.

∫ x e dx
∫ 2 x ln(1 + x)dx

19.

x

∫ cos x dx
17. ∫ e . cos xdx
21. ∫ x lg xdx
13.

2

x

22.

∫ x cos 2 xdx

3

2

x2

23.

Trang 3

2
4. ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

8.

∫ ln xdx

12.

∫e

∫ sin x dx
∫ x ln(1 + x )dx

16.

∫

24.

∫ ln( x + 1)dx
∫ 2 xdx
∫ x cos 2 xdx

x

xdx
2

2

3.

2

ln(1 + x)
dx

x2

20.

x

dx
2

x

2


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa:

( )

( )

( )

ù, F x là một nguyên hàm của f x . Tích phân của
Cho hàm số f x lên tục trên đoạn é
êa, bû

ú
ë

ùlà một số thực. Kí hiệu:
f ( x) trên đoạn é
ê
ëa, bú
û

b

ò f ( x) dx và được xác định bởi :
a

b

ò f ( x) dx = F ( b) - F ( a)
a

( )

b

( )

ù (hoặc F x
Người ta thường dùng kí hiệu é
êF x û
úa
ë

b

Khi đó:

b
a

( )

b

ò f ( x) dx = éëêF ( x) ùûúa
a

2. Các phương pháp tính tích phân:
b

a. Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức

éF ( x) ùb
f
x
dx
=
(
)
ò
ê
ú
ë

ûa
a

b. Phương pháp đổi biến.
Tính I =

∫

b

a

f [u( x )].u '( x )dx bằng cách đặt u = u(x)

1. Đặt u = u(x) ⇒ du = u '( x )dx
2. Đổi cận:
x a
b
u u(a)
u(b)
3. I =

∫

b

a

u( b )

f [u( x )].u '( x )dx = ∫u a f ( u ) du
( )

c. Dùng công thức tích phân từng phần:
Ta kí hiệu: du = u'dx
;
b

b

ò udv = éëêuvùûú a

a

( )

dv = v'dx
b

ò vdu
a

*Chú ý: Kí hiệu P x là đa thức của x thì :

ésin x ù
ê
ú
ê
údx
+ Nếu gặp ò P ( x) . êcosxú

thì đặt u = P ( x)
êx ú
e ú
ê
ë
û
+ Nếu gặp

ò P ( x) ln( x) dx thì đặt u = ln x

Trang 4

( )

) để chỉ F b - F a .


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1

e

1 1
2
2. ∫ ( x + + 2 + x )dx
x x

1

3
1. ∫ ( x + x + 1)dx
0

π
2

4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx
π
3

2

7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
1

1

5. ∫ (e + x )dx
x

0

π
2

1
8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx

x
π

2

3.

∫

x + 1dx

1

1

3
6. ∫ ( x + x x )dx
0

1

x
2
9. ∫ (e + x + 1)dx
0

3
2

10. ∫ ( x + x x + x )dx

2

3

1

2

x.dx
13. ∫ 2
x +2
-1
2

( x + 1).dx
16. ∫ 2
x + x ln x
1

2

11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx

3

∫

12. ( x + 1).dx

1

e

−1

2

7x − 2 x − 5
14. ∫
dx
x
1

5

15.

18.

e x − e− x
dx
19. ∫ x
e + e− x
0
ln 3

∫

22.

0

.dx
x
e + e− x

1

20.

0
π
2

e x + e− x

dx
22.
∫0 1 + sin x

2

2
3
25. ∫ (2 x − x − )dx
3
0

∫

e x .dx

∫ x( x − 3)dx

π
4

∫

tgx .dx
cos2 x

2

21.

dx

∫

4x 2 + 8x

1
1

24.

∫ (2 x

2

+ x + 1) dx

−1
4

2

26.

∫

0

6
1

dx
x+2 + x−2

2

π
2

cos3 x.dx
17. ∫ 3
sin x
π

3

27.

∫ (x

2

− 4)dx

−3

−2

1
2

1 
 1
28. ∫  2 + 3 dx
x 
1 x

2

29.

e2

16

31.

∫
1

x − 2x
∫1 x 3 dx

x .dx

32.

e

2

2 x + 5 − 7x
dx
∫1
x

Trang 5

30.

∫
1
e

dx
x

8

1
33. ∫  4 x − 3 2
3 x
1


dx




Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN:
π
2

1

3
2
1. ∫ sin xcos xdx

π
3
π
2

2
3
2. ∫ sin xcos xdx

3.

π
3
π
2

x2 + 1
1
1
dx
15. ∫
(1 + 3x 2 ) 2
0
π
2

16. ∫ e

sin x

x
18. ∫ e

π
6
π
6

∫
1

2
6. ∫ x x + 1dx
1

2
7. ∫ x 1 − x dx
0

∫x

x + 1dx
2

0
1

∫

x3 + 1

0

1

10.

∫x

3

1 − x dx
2

0

2

11.

1

∫x

x +1
1
dx
12. ∫
1 + x2
0

3

1
1

1

13.

dx

1
∫−1 x + 2 x + 2dx

25.

31.

x 2 + 1dx

∫x

1 − x 2 dx

∫x

x 2 + 1dx

3

0
1

x2

∫

x3 + 1

0

dx

1

33.
34.

∫x

3

∫x
1
e

2

+2

35.

xdx

∫
1
e

36.

1 − x 2 dx

2

3

dx
x3 + 1
1 + ln x
dx
x

sin(ln x)
dx
x
1
e

37.

1

∫
∫
1
e

24. ∫ sin xcos xdx
π
3
π
2

∫x

2

3
2
23. ∫ sin xcos xdx

π
3
π
2

29.

0

π
2

dx

1

32.

0

x2

1 + 4sin xcosxdx

1

cosx
21. ∫ e sin xdx

x
22. ∫ e

∫

0

π
4
π

2
π
4
1

π
6
π
6

0

30.

sin x
20. ∫ e cosxdx

1

27. ∫ cot gxdx

1

xdx

π
3
π
2

0

3

+2

3
2
19. ∫ sin xcos xdx

0

0
π
4

0

2

0
π
2

1 + 4sin xcosxdx

26. tgxdx
∫

28.

0

π
4
1

π
4

cosxdx

π
4
π
2

cosx
17. ∫ e sin xdx

4. ∫ cot gxdx

9.

∫

dx

0
π

4

π
4

8.

1

0

sin x

∫ 1 + 3cosx dx

3. tgxdx
∫

5.

14.

1 + 3ln x ln x
dx
x

e 2ln x +1
dx
38. ∫
x

1
e2

sin x

∫ 1 + 3cosx dx
0

2

39.

1 + ln 2 x
∫e x ln x dx

e2

40.

∫ cos
e

2

41.

∫ 1+
1

Trang 6

2

1
dx
(1 + ln x)

x
dx
x −1


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1

42.

x
dx
2x +1

∫
0

−x
58. ∫ e dx
0
1

1

43.

∫x

x + 1dx

59.

44.

1
dx
x +1 + x

∫
0
1

45.

1
dx
x +1 − x

∫
0

3

46.

1

e

47.

1
e

e

1 + 3ln x ln x
dx
x

∫
1
e

2

1 + ln 2 x
dx
51. ∫
x
ln

x
e
1

52.

∫

x 2 x 3 + 5dx

0
π
2

53.

∫ ( sin x + 1) cos xdx
4 − x 2 dx

0
4

55.

∫

4 − x dx
2

57.

∫

∫e

0

2 x +3

π
2

∫ cos

78.

3

x3
dx
64. ∫ 2
x + 2x + 1
0

π
4

sin 4x

0

2

x

dx

1

65. (sin 6 x + cos6 x)dx
∫
π
2

3
2
80. ∫ x 1 − x dx
0

0

67. 1 + sin 2xdx
∫0 cos2 x
π
2

4

π
2

81. sin 2x(1 + sin 2 x)3dx
∫

4sin3 x
∫0 1 + cos xdx
π
4

68.

π
4
0
e

∫

83.

2xdx

π
2

1 + sin 2x + cos 2x
dx
sin x + cos x
π

∫
6
1

1
dx .
e +1
0

70. ∫

1
π
4

4

x

dx

1 + ln x
dx
x
1

∫ cos xdx

84.

0
e

1 + ln 2 x
dx
85. ∫
x
1
1

x

1

∫ cos

82.

0

69.

xdx

∫ 1 + cos

79.

π
6

66.

5

0

86.

∫ x (1 − x ) dx
5

3 6

0

71. ∫ (cos x − sin x)dx
4

4

0

87.

π
4

dx
1 + x2

0

0

4x + 11
dx
+ 5x + 6

2

2x − 5
dx
63. ∫ 2
x − 4x + 4
0

π
4

0
1

56.

∫x

77. cos3 x sin 2 xdx
∫

1

4

∫

π
2

0

∫ cos

0
4

54.

61. ∫ x 1 − xdx

0

e 2ln x +1
dx
50. ∫
x
1
e

1

0

sin(ln x)
dx
48. ∫
x
1
49.

x
dx
2x + 1

∫
0

62.

1 + ln x
dx
x

∫

3

1

x +1
dx

x

∫

x

1

60.

cos x
dx
0 5 − 2 sin x
75.
0
2x + 2
dx
75. ∫
2
x + 2x − 3
−2
1
dx
76. ∫ 2
−1 x + 2x + 5
74. ∫

∫ (2x + 1) dx
0

0
1

π
2

1

cos 2 x
dx
0 1 + 2 sin 2 x

72. ∫

π
2

sin 3 x
dx
0 2 cos 3 x + 1

73. ∫

dx

−1

Trang 7

π

6

cos x

∫ 6 − 5sin x + sin
0

3

88.

∫
0

tg 4 x
dx
cos 2x

2

x

dx


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

89.

π
4

π
4

2
101. ∫ 1 − 2 sin x dx
0 1 + sin 2 x

cos x + sin x
∫0 3 + sin 2 x dx
π
2

1

sin 2 x

90. ∫

cos x + 4 sin x
ln 5
dx
91. ∫ x
−x
−3
ln 3 e + 2e
2

0

2

dx

π
2

sin 2 x
dx
2
0 ( 2 + sin x )

92. ∫

π
3

ln(tgx )
dx
93. ∫
π sin 2 x

sin x − cos x
1 + sin 2 x

dx
4 − x2

1
1
dx
105. ∫ 2
x − x +1
0

1 + 3 cos x

π
2

1
∫0 1 + cos x + sin x dx

2
2

dx

1 − x2

110.

1
2
3

∫x

98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx
0

3

101.

1

dx

1+ x −1
e 1 + 3 ln x ln x
100. ∫
dx
x
1

∫
1

112.

∫
2

113.

∫

2
3

dx

9 + 3x 2
dx
x2
(1 + x )5

0

dx
1 + cos2 x
0
dx
∫ 2
−1 x + 2x + 2
1
dx
∫
0 1 + 1 + 3x
2 x x −1
dx 120.
∫
1 x−5
1
dx
x2 + 1

8

∫x
3

7

x3

∫

1 + x2

3

0

3

∫x

5

123.
124.

x x2 −1

ex + 2

Trang 8

7
3

∫

∫x

dx

x +1
dx
3x + 1

3

2

125.

2

x 3 + 1dx

0

2 3

126.

dx

1 + x 2 dx
1

∫

0

dx

1

dx

0

ln 2

0

x −1

1− x

119.

122.

1

2

118.

dx

2
2
109. ∫ x 4 − x dx

2

x

x

∫

2

117.

121.

2

π
2

1

4

0

97. ∫ sin 2 x cos x dx
0 1 + cos x

99. ∫

1

∫

cos x

∫
0

0

108.

π
2

2

π

116.

2

1

104.

dx

sin 2 x + sin x

0

1

∫ 1 + x dx
0

107.

0

96. ∫

103.

x
dx
2

x
+
x
+
1
0

94. ∫ (1 − tg 8 x)dx

π
4
π
2

0
1

0

1+ x4
dx
115. ∫
1+ x6
0

1 − x dx

106. ∫

π

4

95. ∫

∫

cos x
dx
7 + cos 2 x

∫
1

2

1

4

π
2

102.

114.

π
2

∫

5

dx
x x2 + 4


Tài liệu: Võ An Thư

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
e

∫

15.

e

2.

∫ x ln xdx
∫ x ln( x

2

+ 1)dx

∫x

ln xdx

3x
∫ x.e dx

17.
18.

0

∫ x ln xdx

∫ (2 − x) sin 3xdx

2

8.

9.

∫x

ln xdx

1
π
2

∫ ( x + cosx)s inxdx

1
10. ∫ ( x + ) ln xdx
x
1
2

11.

∫ ln( x

1
π
3

12.

2

+ x )dx

2

xdx

π
4

3

13. ∫ ln( x − x )dx
2

2

1
3

∫
0

2
∫ x. ln(3 + x ).dx
2

∫ (x

2

2 2x
38. ∫ (x + 1) e dx

1
π
2

40. cos x.ln(1 + cos x)dx
∫
e

1
π

∫x

2

∫ ( x + 1)

42.

∫ xtg xdx

27.

. cos x.dx

0

π
2

ln x

41.

0

1
e

1

2

dx

2

0

1

2x
43. ∫ ( x − 2)e dx
0

0

x cos xdx

1

0

+ 1).e x .dx

∫ x. cos x.dx

ln(1 + x)
dx

2
x
1

∫

2
39. ∫ (x ln x) dx

0

π
2

xdx

e

1
1

25.

2

0

∫ 4 x. ln x.dx

28. ( x 2 + 2 x). sin x.dx

∫

π
2

14.

37.

2
22. ∫ (1 − x ). ln x.dx

24.

∫ x sin x cos

2

e

26.

∫ x tan

35.

0

∫ x ln xdx
1

0

e

π

36. x(2 cos2 x − 1)dx
∫

e

23.

x + sin x
dx
2
cos
x
0

∫
π
4

0

21.

1

π
3

0

∫ x. sin 2 xdx

+ 1)dx

0
e

2

π
2

20.

2
33. ∫ x ln xdx

34.

π
6
0

1
1

xdx

e

∫ ( x − 1) cos xdx

19.

∫ sin
0

π
2

e

∫ x ln( x

0

π2

32.

1

0

2

x
31. ∫ e sin xdx

0

ln 3 x
5. ∫ 3 dx
x
1

7.

1

16. ∫ ( x + cos 3 x ) sin xdx

1
e

6.

0

π
2

0
e

4.

30. x cos2 xdx
∫

xe x dx

0

1
1

3.

π
2

1

ln 3 x
1. ∫ 3 dx
x
1

2

29. ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx
0

Trang 9

1

2
44. ∫ x ln(1 + x )dx
0
e

ln x

1

x

45. ∫

dx