giáo án gt 12 nâng cao chương 3

Tổ : Tốn ChươngIII§1
 NGUN HÀM.. (Tiết 1, 2 , ngày soạn: 9.8.2008)
I. M ụ c đích bài d ạ y:
- Ki ế n th ứ c c ơ b ả n : khái niệm ngun hàm, các tính chất của ngun hàm, sự tồn tại của
ngun hàm, bảng ngun hàm của các hàm số thường gặp,
- K ỹ n ă ng : biết cách tính ngun hàm của một số hàm số đơn giản
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
Gv, năng động, sáng tạo trong q trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của tốn học
trong đời sống
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong q trình suy nghĩ.
II : Chuẩn bị
• GV : Bảng phụ , Phiếu học tập
• HS : Kiến thức về đạo hàm
II. Ph ươ ng pháp :
- Thuyết giảng , kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
III. N ộ i dung và ti ế n trình lên l ớ p:
1/ Kiểm tra bài cũ : (10 phút)
Câu hỏi 1 : Hồn thành bảng sau :
(GV treo bảng phụ lên u cầu HS hồn thành , GV nhắc nhở và chỉnh sửa )
f(x) f
/
(x)
C
x
α
lnx
e
kx
a
x
(a > 0, a ≠ 1)

cos kx
sin kx
tanx
cotx
Câu hỏi 2 : Nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm
2/ Nội dung bài mới:
TG
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
10
/
10
/
HĐI : Giới thiệu k/n nguyên
hàm.
Bài tốn mở đầu (sgk)
Hỏi : 1) Nếu gọi s(t) là qng
đường đi được của viên đạn
bắn được t giây , v(t) là vận
tốc của viên đạn tại thời điểm
* HS đọc sgk
Trò trả lời
1) v(t) = s
/
(t)
1. Khái niệm ngun ham
Bài tốn mở đầu (sgk)
5
/
10

/
t thì quan hệ giữa hai đại
lượng đó như thế nào ?
2) Theo bài tốn ta cần
phải tìm gì?
Dẫn dắt đến khái niệm
ngun hàm
* Cho hàm số y = f(x) thì
bằng các quy tắc ta luôn tìm
được đạo hàm của hàm số
đó. Vấn đề đặt ra là :” Nếu
biết được f’(x) thì ta có thể
tìm lại được f(x) hay không ?
* Giới thiệu đònh nghóa.Ghi
lên bảng
* Cho HS đọc chú ý (sgk Tr
136)
Cho ví dụ : Tìm nguyên hàm
của :
a/ f(x) = x
2
.
b/ g(x) =
x
2
cos
1
.với x ∈
;
2 2

π π
 
−
 ÷
 
c) h(x) =
x
trên
[
)
+∞
;0
*Gọi HS đứng tại chỗ trả
lời ,GV chỉnh sửa và ghi lên
bảng
Củng cố : Cho HS thực hiện
2) Tính s(t) biết s
/
(t)
Trò trả lời
a/ F(x) =
3
3
x

b/G(x) = tanx
c)H(x) =
xx
3
2

Thực hiện HĐ
1
F
1
(x) = - 2cos2x là
ngun hàm của hàm
số f(x) = 4sin2x
a/ Đ ënh nghéa :
* Hm säú F(x) âỉåüc gi
l ngun hm ca f(x)
trãn K nãúu:
∀
x
∈
K ta cọ:
F (x) = f(x)’
Chú ý : Hm F(x) âỉåüc
gi l ngun hm ca
f(x) trãn [a,b] nãúu
F'(x) f (x), x (a,b)
= ∀ ∈
v
F
/
(a)
= f(a) ;
.v
F
/

(b) = f(b)
Vê dủ:
a. F(x) =
3
3
x
l mäüt
ngun hm ca f(x) = x
2

trãn R
b. G(x) = tgx l mäüt
ngun hm ca g(x) =
x
2
cos
1
trãn khoảng






−
2
;
2
ππ
c) H(x) =

xx
3
2
l mäüt
ngun hm ca h(x) =
x
trên
[
)
+∞
;0
T 2
10
/
10
/
HĐ 2: (SGK)
• Gọi HS đứng tại chỗ
trả lời
* GV nhận xét và chỉnh sủa
Hỏi : Nếu biết F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì ta
còn chỉ ra được bao nhiêu
nguyên hàm của f(x).
Từ đó ta có định lý 1
HĐ 3: Định lý 1
* Ghi định lý 1 lên bảng
Hỏi 1 : Em hãy dựa vào
tính chất F’(x) = f (x) ở hoạt
động trên để chứng minh

phần a của định lý vừa nêu.
Hỏi 2 : Nếu f
/
(x) = 0 , có nhận
xét gì về hàm số f(x)
Xét
[ ]
/
)()( xFxG
−
= G
/
(x) – F
/
(x) = f(x) – f(x) = 0 , vậy G(x)
– F(x) =C (C là hằng số )
Gv giới thiệu với Hs phần
chứng minh SGK, trang 137,
để Hs hiểu rõ nội dung định lý
vừa nêu.
Cho HS làm ví dụ 2 ( Trang
138, sgk)
* GV nhận xét và chỉnh sửa
GV ghi bảng phần nhận xét
(sgk)
. .
.
* Giới thiệu cho HS : Sự tồn
F
2

(x) = - 2cos2x + 2
là ngun hàm của
hàm số f(x) = 4sin2x
HS trả lời Vä säú,
âọ l : F(x) +C, C
l hàòng säú
Đứng tại chỗ trả lời
.
f(x) là hàm hằng
HS lên bảng trình bày
Thảo luận nhóm để
b/ Âënh l:1
Nãúu F(x) l mäüt ngun
hm ca f(x) trãn K thç:
a) Våïi mi hng
säú C, F(x) + C cng l
ngun hm ca f(x) trãn
K
b)Ngược lại với mi
ngun hm G(x) ca f(x)
trãn K thì tồn tại một hằng
số C sao cho G(x) = F(x) +
C våïi mọi x thuộc K .
Chứng minh: (sgk)
Vê dủ:Tìm ngun hàm của
hàm số
2
f (x) 3x=
trên R thoả
mãn điều kiện

F(1) = - 1
F(x) =
2 3
3x dx x C
= +
∫
F(1) = - 1 nên C = - 2
Vậy F(x) = x
2
– 2
Tóm lại, ta có: Nếu F là một
ngun hàm của f trên K thì
mọi ngun hàm của f trên K
đều có dạng F(x) + C , C
∈
R
Vây F(x) + C là họ tất cả các
ngun hàm của f trên K , kí
hiệu
∫
f(x)dx.
( ) ( )f x dx F x C
= +
∫
Với f(x)dx là vi phân của
ngun hàm F(x) của f(x), vì
dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
“Mọi hàm số liên tục trên K
đều có ngun hàm trên K”
2) Bảng các ngun hàm của

một số hàm số thường gặp
* Treo bảng các ngun
hàm cơ bản (trang 139)
10
/
12
/
ti ca nguyờn hm:
Ta tha nhn nh lý sau:
(Gv ghi bng )
Hot ng 4 :
Hóy hon thnh bng sau:
(Phiu hc tp 1)
* Hotng nhúm
* Gi i din nhúm lờn bng
trỡnh by , gi i din nhúm
khỏc nhn xột , GV chnh sa
T ú cú bng nguyờn hm
* Giồùi tióỷu baớng caùc
nguyón haỡm cồ baớn.(treo
bng ph lờn)
Cho vờ duỷ aùp duỷng
Tỗm nguyón haỡm cuớa
caùc haỡm sọỳ sau : (GV
ghi lờn baớng)
Gi HS lờn bng trỡnh by ,
GV nhn xột v chnh sa
Hot ng 5 : Tớnh cht
ca nguyờn hm
* Ghi tớnh cht ca nguyờn

hm lờn bng
Gv gii thiu vi Hs phn
chng minh SGK, trang 140,
Hs hiu rừ ni dung tớnh
cht 2 va nờu
Cng c : Cho vờ duỷ aùp
duỷng
Tỗm nguyón haỡm cuớa
caùc haỡm sọỳ sau : (GV
ghi lỏn baớng)
* Gi HS lờn bng trỡnh bay
, GV hng dn , chnh
sa
hon thnh bng
nguyờn hm ó cho v
lm cỏc vớ d sau

HS trỡnh by
Chi a tổớ cho maợu
x


Vớ d : Tỗm nguyón haỡm
cuớa caùc haỡm sọỳ sau
1)

4x
4
dx =
5

4
x
5
+ C
2)

x
dx =
3
3
2
x
+ C
3)

cosx/2 dx =2sin
2
x
+
C
3. Caùc tờnh chỏỳt cuớa
nguyón haỡm
Nu f v g l hai hm s liờn
tc trờn K thỡ :
a)
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
=

b) Vi mi s thc k

0 ta cú
( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k
=

Vớ d :

1)

(
x
x 2
2
+
)dx =
dxxdxx


+
2
1
2
1
2
2
1
=
xx 4
3
1
3

+
+ C
2)

(x 1) (x
4
+ 3x ) dx=
dxxxxx )33(
445
+

C
x
x
xx
++
2
3
56
2
3
56
3)

4
sin
2
xdx =

dxx)2cos1(2
= 2x sin2x + C
*.

x
xx 2
3
+
dx =

* Hướng dẫn HS làm bài
Tìm :
∫
x
xx 2
3
+
dx
Hỏi : Âãø tçm nguyãn
haìm cuía haìm säú
3
x 2 x
f (x)
x
+
=
ta laìm nhæ
thãú naìo ?(x > 0)
H Đ 6 ) : Củng cố bài học
• Phát phiếu học tập

• Treo bảng phụ ghi nội
dung phiếu học tập
• Đại diện nhóm lên
bảng trình bày , Gv
nhận xét , chỉnh sửa
∫
x
xx 2
3
+
dx =
∫
dx
x
xx
2
1
3
1
2+
=
∫
(
dxxx )2
2
1
3
2
−
−

+
=
2
1
3
1
4xx
+
+ C
=
xx 43
3
+
+ C
Thảo luận nhóm
dx
x
xx
2
1
3
1
2
+
=
∫
(
dxxx )2
2
1

3
2
−
−
+
=
2
1
3
1
4xx
+
+ C=
xx 43
3
+
+ C
Nội dung phiếu học tập
IV. Củng cố ( 2
/
)
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: Hoàn thành các bài tập 1..4 SGK, trang 141
+ Xem trước bài : Một số phương pháp tìm nguyên hàm
Nội dung các phiếu học tập :
Phiếu học tập 1 : (5 phút )
1) Hoàn thành bảng :
f’(x) f(x) + C
0
αx

α
- 1
1
x
e
kx
a
x
lna (a > 0, a ≠ 1)
coskx
sinkx
2
1
osc x
2
1
sin x
−
Phiếu học tập 2 (10 phút ) :
Tính các nguyên hàm :
1) *
∫
(5x
2
- 7x + 3)dx =
2)
∫
∫
+
2

4cos1 x
dx =
3)
∫
2
x
xxx
+
dx =
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
0dx C
=
∫
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
dx x C
= +
∫

∫
sinkxdx = -
k
1

coskx + C
1
( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

∫
coskxdx =
k
1
sinkx + C
ln ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
os
dx
tgx C

c x
= +
∫

∫
e
kx
dx =
k
e
kx
+ C
2
cot
sin
dx
gx C
x
= − +
∫
Tiết :1,2 ChươngIII§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Ngày soạn:
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần .
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không
quá phức tạp.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
- Lập các phiếu học tập, bảng phụ.
2. Học sinh:
Các kiến thức về :
- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân.
III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp
IV.Tiến trình bài học
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ: (5 phút)
Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm .
b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) =
5
)12(
52
+
x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = 4x(2x
2
+1)
4
.
- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn.
- Nhận xét, kết luận và cho điểm.
Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
5’

- Nếu đặt u = 2x
2
+ 1, thì
∫
+
dxxx
42
)12(4
=
∫
++
dxxx )'12()12(
242
=
∫
duu
4
=
5
5
u
+ C =
- Thông qua câu hỏi b/ , hướng
dẫn hsinh đi đến phương pháp
đổi biến số.
∫
+
dxxx
42
)12(4

=
=
∫
++
dxxx )'12()12(
242
-Nếu đặt u = 2x
2
+ 1, thì biểu
thức ở trên trở thành như thế
nào, kết quả ra sao?
5
)12(
52
+
x
+ C
- Phát biểu định lí 1.
-Định lí 1 : (sgk)
Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.

Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
7’
7’
6’
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
- Đ1:

∫
+
dx
x
x
3
2
1
2
=
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=

∫
−
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3
(x
2
+1)
3
2
+ C
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
Đ2:
∫
+
dxxx )1sin(2
2
=

∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
=
∫
udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C
-HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
Đ3:
∫
xdxe
x
sin
cos
=
= -
∫

dxxe
x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
∫
dxxe
x
)'(cos
cos
= -
∫
due
u
= -e
u
+C = - e
cosx
+C

H1:Có thể biến đổi
∫
+
dx

x
x
3
2
1
2
về dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
được
không? Từ đó suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H2:Hãy biến đổi
∫
+
dxxx )1sin(2
2
về dạng
∫
dxxuxuf )(')]([
? Từ đó
suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H3:Hãy biến đổi
∫
xdxe
x
sin
cos
về dạng

∫
dxxuxuf )(')]([
? Từ đó
suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
Vd1: Tìm
∫
+
dx
x
x
3
2
1
2
Bg:
∫
+
dx
x
x
3
2
1
2
=
∫
++
−
dxxx )'1()1(

2
3
1
2
Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
∫
++
−
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=
∫
−
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3

(x
2
+1)
3
2
+ C
Vd2:Tìm
∫
+
dxxx )1sin(2
2
Bg:
∫
+
dxxx )1sin(2
2
=
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
∫
++
dxxx )'1)(1sin(
22
=
∫

udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C
Vd3:Tìm
∫
xdxe
x
sin
cos

Bg:
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
∫
dxxe
x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
∫
xdxe
x
sin
cos
= -

∫
dxxe
x
)'(cos
cos
= -
∫
due
u
= -e
u
+ c = - e
cosx
+ c
* chú ý: có thể trình bày cách khác:
∫
xdxe
x
sin
cos
= -
)(
cos
osxcde
x
∫
= - e
cosx
+ C
Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm.

V. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145
VI. Phụ lục:
+ Phiếu học tập1:
Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
∫
xdxe
x
2
=
2
1
∫
)(
2
2
xde
x
=
2
1
e
2
x
+ C ; b/
∫
dx
x
xln

=
∫
)(lnln xxd
=
2
1
ln
2
x + C
c /
∫
+
dx
xx )1(
1
= 2
∫
+
+
dx
x
xd
1
)1(
= 2 ln(1+
x
) + C ; d/
inxdxxs
∫
= -xcosx + C

Câu 2.
Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
∫
dxxe
x 2
3
=
3
1
∫
)(
3
3
xde
x
=
3
1
e
3
x
+ C ; b/
∫
xdxx cos.sin
2
=
∫
)(sin.sin
2

xdx
=
3
1
sin
3
x + C
c /
∫
+
dx
xx )1(2
1
=
∫
+
+
x
xd
1
)1(
= ln(1+
x
) + C ; d/
xdxx
∫
cos
= x.sinx + C
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
10’

- Các nhóm tập trung
giải quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của nhóm bạn và
rút ra nhận xét và bổ
sung.
- Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu
HT1 .
- Gọi đại diện một nhóm trình bày.
- Đại diện nhóm khác cho nhận xét.
- GV nhận xét và kết luận.
* Chú ý: Đổi biến số
như thế nào đó để đưa
bài toán có dạng ở bảng
nguyên hàm.
TI T 2Ế
Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần .
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
8’

Đ:
(u.v)’= u’.v + u.v’
⇒
dxvu )'(
∫
=
vdxu
∫
'

+
dxvu '
∫
⇒
dvu
∫
=
dxuv
∫
)'(
+
duv
∫
⇒
dvu
∫
= uv -
duv
∫

Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx
Khi đó du = dx, v = -cosx
Ta có :
xdxx
∫
sin
=- x.cosx +
xdx
∫
cos

= - xcosx + sinx +
C

H: Hãy nhắc lại công thức đạo
hàm một tích ?
Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra
dvu
∫
= ?
- GV phát biểu định lí 3
- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho
duv
∫
tính dễ hơn
dvu
∫
.
- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và
dv như thế nào? Từ đó dẫn đến
kq?
- yêu cầu một HS khác giải bằng
cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq
như thế nào
-Định lí 3: (sgk)

dvu
∫
= uv -
duv
∫

-Vd1: Tìm
xdxx
∫
sin
Bg:
Đặt u = x,dv = sinxdx
Khi đó du =dx,v =-cosx
Ta có :
xdxx
∫
sin
=- x.cosx +
xdx
∫
cos
= - xcosx +
sinx + C
Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
- Học sinh suy nghĩ và tìm ra
hướng giải quyết vấn đề.
Đ :Đặt u = x ,dv = e
x
dx

⇒
du = dx, v = e
x

Suy ra :
dxxe
x
∫
= x. e
x
-
dxe
x
∫
= x.e
x
– e
x
+ C

H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv
như thế nào ? Suy ra kết quả ?
- Vd2 :Tìm
dxxe
x
∫
Bg :
Đặt u = x ,dv = e
x
dx

⇒
du = dx, v = e
x

Suy ra :
dxxe
x
∫
= x. e
x
-
dxe
x
∫
= x.e
x
– e
x
+ C
5’
5’
2’
7’
Đ: Đặt u = x
2
, dv = e
x
dx
du = 2xdx, v = e
x
Khi đó:
dxex
x
∫

2
=x
2
.e
x
-
dxex
x
∫
= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
- Đ: Đặt u = lnx, dv= dx

⇒
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
∫
ln
= xlnx -

dx
∫
= xlnx – x + C
- Đăt u = lnx, dv = x
2
dx

⇒
du =
x
1
dx , v =
3
3
x
Đ :Không được.
Trước hết :
Đặt t =
x

⇒
dt =
x2
1
dx
Suy ra
dxx
∫
sin
=2

dttt
∫
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
⇒
du = dt, v = - cost
⇒
dttt
∫
sin
=-t.cost+
dtt
∫
cos
= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
∫
sin
=
= -2
x
.cos
x
+2sin
x
+C
H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế
nào ? Suy ra kquả ?
- Lưu ý :Có thể dùng từng phần

nhiều lần để tìm nguyên hàm.
- H : Cho biết đặt u và dv như thế
nào ?
- Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho
biết đối với
dxxx
∫
ln
2
thì ta đặt u, dv như thế nào.
H : Có thể sử dụng ngay pp từng
phần được không ? ta phải làm như
thế nào ?
+ Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước,
đặt t =
x
.
* Lưu ý cho HS các dạng thường sử
dụng pp từng phần.
dxxxf
∫
sin)(
,
dxxxf
∫
cos)(
dxexf
x
∫
)(

đặt u = f(x), dv cònlại.
dxxxf
∫
ln)(
, đặt u = lnx,dv =f(x)
Vd3 : Tìm I=
dxex
x
∫
2
Bg :Đặt u = x
2
, dv = e
x
dx
du = 2xdx, v = e
x
Khi đó:
dxex
x
∫
2
=x
2
.e
x
-
dxex
x
∫

= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
Vd4 :Tìm
dxx
∫
ln
Bg :
Đặt u = lnx, dv= dx

⇒
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
∫
ln
= xlnx -
dx
∫
= xlnx – x + C
Vd5: Tìm

dxx
∫
sin
Đặt t =
x

⇒
dt =
x2
1
dx
Suy ra
dxx
∫
sin
=2
dttt
∫
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
⇒
du = dt, v = - cost
⇒
dttt
∫
sin
=-t.cost+
dtt
∫
cos

= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
∫
sin
=
= -2
x
.cos
x
+2sin
x
+C
dx
* Hoạt động 6 : Củng cố
(Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện)
V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146
VI. Phụ lục :
Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý.
( Đối với
dxxf
∫
)(
)
Hàm số Gợi ý phương pháp giải
f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx
f(x) = xe
-x
Đặt u = e
-x

, dv = xdx
f(x) =
x
lnx Đặt u = lnx, dv =
x
f(x) = e
x
sinx Đặt u = e
x
,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = e
x
dx
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
8’
- Cả lớp tập trung giải
quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của bạn và rút ra
nhận xét và bổ sung.
- Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp
chú ý giải quyết .
- Gọi 2 HS trình bày ý kiến của
mình.
- GV nhận xét và kết luận.
Tiết :3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Ngày soạn: ( Luyện tập)
III. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm .
2. Về kĩ năng:

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
IV. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên :
- Bài tập sgk
- Lập các phiếu học tập.
2. Học sinh:
Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần
III. Phương pháp:
IV.Tiến trình bài học
Kiểm tra bài cũ: (10 phút)
Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm?
Áp dụng: Tìm
∫
2
1
x
cos
x
1
dx
Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.
Áp dụng: Tìm
∫
(x+1)e
x
dx
- Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung.

- Gv kết luận và cho điểm.
Thờ
i
gian
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
Thông qua nội dung kiểm
tra bài cũ
Giáo viên nhấn mạnh thêm
sự khác nhau trong việc vận
dụng hai phương pháp.

- Gọi môt học sinh cho biết Bài 1.Tìm
5’
5’
6’
- Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = sin2x
- Hs2: Đặt u = sin2x

⇒
du = 2cos2xdx
Khi đó:
∫
sin
5
2x cos2xdx =
2
1
∫
u

5
du =
12
1
u
6
+ C
=
12
1
sin
6
2x + C
-Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = 7-3x
2
- Hs2:đặt u=7+3x
2
⇒
du=6xdx
Khi đó :
∫
+
2
373 xx
dx =
=
2
1
∫

u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2
3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2
37 x
+
+C
Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm
từng phần.
Đặt u = lnx, dv =
x
dx
⇒
du =
x

1
dx , v =
3
2
x
2
3
Khi đó:
∫
x
lnxdx =
=
3
2
x
2
3
-
3
2
∫
x
2
3
x
1
dx
cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.

-Gọi môt học sinh cho biết
cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.
H:Có thể dùng pp đổi biến
số được không? Hãy đề xuất
cách giải?

∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
Bg:
Đặtu=sin
3
x
⇒
du=
3
1
cos
3
x
dx
Khi đó:

∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx =
3
1
∫
u
5
du
=
18
1
u
6
+ C=
18
1
sin
6
3
x
+
C
Hoặc

∫
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
=
3
1
∫
sin
5
3
x
d(sin
3
x
)
=
18
1
sin
6
3
x
+ C
Bài 2.Tìm

∫
+
2
373 xx
dx
Bg:
Đặt u=7+3x
2
⇒
du=6xdx
Khi đó :
∫
+
2
373 xx
dx =
=
2
1
∫
u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2

3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2
37 x
+
+C
Bài 3. Tìm
∫
x
lnxdx
Bg:
Đặt u = lnx, dv =
x
dx
⇒
du =
x
1
dx , v =
3
2
x
2
3

Khi đó:
∫
x
lnxdx =
=
3
2
x
2
3
-
3
2
∫
x
2
3
x
1
dx
9’
=
3
2
x
2
3
-
3
2

3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x
2
3
+C
Đ:Dùng pp đổi biến số, sau
đó dùng pp từng phần.
Đặt t =
93
−
x

⇒
t
2
=3x-9
⇒
2tdt=3dx
Khi đó:
∫
e
93

−
x
dx =
3
2
∫
te
t
dt
Đặt u = t, dv = e
t
dt
⇒
du = dt, v = e
t
Khi đó:
∫
te
t
dt=te
t
-
dte
t
∫
= t e
t
- e
t
+ c

Suy ra:
∫
e
93
−
x
dx=
3
2
te
t
-
3
2
e
t
+ c
H:Hãy cho biết dùng pp nào
để tìm nguyên hàm?
- Nếu HS không trả lời được
thì GV gợi ý.
Đổi biến số trước, sau đó
từng phần.
=
3
2
x
2
3
-

3
2
3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x
2
3
+C
Bài 4. Tìm
∫
e
93
−
x
dx
Bg:Đặt t =
93
−
x

⇒
t
2

=3x-9
⇒
2tdt=3dx
Khi đó:
∫
e
93
−
x
dx =
3
2
∫
te
t
dt
Đặt u = t, dv = e
t
dt
⇒
du = dt, v = e
t
Khi đó:
∫
te
t
dt=te
t
-
dte

t
∫
= t e
t
- e
t
+ c
Suy ra:
∫
e
93
−
x
dx=
3
2
te
t
-
3
2
e
t

+ c
Hoạt động 7: Củng cố.(10’)
Với bài toán
∫
dxxf )(
, hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một

mệnh đề đúng.
Hàm số Phương pháp
1/ f(x) = cos(3x+4)
2/ f(x) =
)23(cos
1
2
+
x
3/ f(x) = xcos(x
2
)
4/ f(x) = x
3
e
x
5/ f(x)=
2
1
x
sin
x
1
cos
x
1
a/ Đổi biến số
b/ Từng phần

c/ Đổi biến số

d/ Đổi biến số
e/ Từng phần.
V. Bài tập về nhà:
Tìm
∫
dxxf )(
trong các trường hợp trên.

ChươngIII§3 TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của
tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán
quãng đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn
giản. Vận dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng
đường đi
được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận
tri thức mới .
- Tư duy: hình thành t ư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá
trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :

- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy :
1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
- Tính :
∫
+
dxx )1(
- GV nhắc công thức :
( )
( ) ( )
0
0
0
'
0
lim
xx
xfxf
xf
xx
−

−
=
→
3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang
cong
1
Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
10’
2o’
I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1
3 A
1 D G C
-1 x
O 2 t 6
( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết
các đường thẳng: AB:
f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y
= 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang
ABCD
-Lấy t
[ ]
6;2

∈
. Khi đó diện tích
hình thang AHGDbằng bao
nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có
liên hệ như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và S
ABCD
?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình
thang cong và công thức tính d/t
nó.
y

B
y= f
(x)
A
x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính
diện tích của hình thang cong
aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số
liên tục y = f(x) , f(x)
≥
0, trục
Ox và các đương thẳng x = a , x =
b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk

-Kí hiệu S(x) là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
(C) của hàm số y = f(x), trục Ox
S =
204.
2
37
=
+
S(t) =
4
2
)2(
2
13
2
−+=−
++
t
t
t
t
t
[ ]
6;2
∈
S’(t) = t+1= f(t)
⇒
S(t) là nột
nguyên hàm của f(t) = t+1

S(6) = 20,S(2) = 0
và S
ABCD
= S(6)-S(2)
-Bài toán tích diện tích hình
phẳng giới hạn bởi một đường
cong có thể đưa về bài toán tính
diện tích của một số hình thang
cong
1/ Hai bài toán dẫn đến khái
niệm tích phân:
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
y

y=f(x)
S(x)
x
o a x b
Hình 3
KH: S(x) (a
bx
≤≤
)
2
3’
-Giả sử x
0
là điểm tùy ý cố
định thuộc (a ; b)

*Xét điểm x
∈
(a ; b ]
-Diện tích hình thang cong
MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh
diện tích
S
MNPQ
, S
MNEQ
và S
MNEF
*f(x) liên tục trên [ a; b ]
( )
=
→
xf
xx
0
lim
?
- Suy ra
=
−
−
+
→
0
0

)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?
*Xét điểm x
∈
[a ; b )
Tương tự
=
−
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của
f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?

* S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)
⇒
S =?
-Giáo viên củng cố kiến
S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)
S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF
( )
=
→
xf
xx
0
lim
f(x
0
)
=

−
−
+
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (2)
=
−
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0

)
(3)
=
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)
S(x) = F(x) +C (C: là hằng
số)
S = S(b) – S(a)
y
y=f(x)
F E
f(x)
f(x
0
) Q P
x
o x
x

0 a M N b
Hình 4
*Xét điểm x
∈
(a ; b ]
S
MNEQ
là S(x) – S(x
0
)
Ta có:S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF
⇒
f(x
0
)(x-x
0
)<S(x)-S(x
0
)<f(x)(x-
x
0
)
⇒
f(x
0

)<
0
0
x-x
)S(x-S(x)
<f(x) (1)
Vì
( )
=
→
xf
xx
0
lim
f(x
0
)
(1)
⇒
=
−
−
+
→
0
0
)()(
lim
0
xx

xSxS
xx
f(x
0
)
(2)
*Xét điểm x
∈
[a ; b )
Tương tự:
=
−
−
−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(3)
Từ (2) và (3)ta có:

=
−

−
→
0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)
Hay S’ (x) = f(x
0
)
Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x
∈
(a ;
b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) =
f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của
f(x)
trên [ a; b ]
⇒
S(x)= F(x) +C (C: là hằng
số)
S = S(b) – S(a)
thức BT1

+ Giả sử y = f(x) la một hàm
số liên tục và f(x)
≥
0 trên
[ a; b ]. Khi đó diện tích của
hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị (C) của hàm số y
= f(x), trục Ox và 2 đường
thẳng
x = a, x = b là S = F(b) –
F(a) trong đó F(x) là một
nguyên hàm bất kì của hàm
số f(x) trên [ a; b ]
= (F(b) +C) – (F(a) + C)
= F(b) – F(a)
3
7’
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của
f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x)
của f(x) trong họ các nguyên
hàm đã tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải
dưới sự định hướng của giáo
viên:

I =
dxx
∫
4
=
+
5
5
x
C ( C là
hằng số)
Chọn F(x) =
5
5
x

F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) =
)(
5
31
dvdt
GIẢI:
I =
dxx

∫
4
=
+
5
5
x
C
Chọn F(x) =
5
5
x
( C là hằng
số)
F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) =
)(
5
31
đvdt
Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
Tg Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
8’ -Giáo viên định hướng

học sinh giải bài toán 2
(sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường
đi được của vật cho đến
thời điểm t. Quãng đường
đi được trong khoảng thời
gian từ thời điểm t = a
đến thời điểm t = b là bao
-Học sinh tiến hành giải
dưới sự định hướng của giáo
viên
Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời
điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a)
(1)
b, Quãng đường đi đượccủa1
vật
Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được
trong khoảng thời gian từ
thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a)
(1)
5’
nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ
như thế nào?

+Suy ra f(t) và s(t) có liên
hệ như thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có
liên hệ như thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L
theo F(a) và F(b)?
-Giáo viên định hướng
học sinh giải quyết
nhiệm vụ ở phiếu học
tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của
f(t)?
+Lấy một nguyên hàm
của F(t) của f(t) trong họ
các nguyên hàm đã tìm
được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi
được trong khoảng thời
gian từ t
1
=20 đến t
2
=50
liên hệ như thế nào với
F(20) và F(50)
v(t) = s’(t)
⇒
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của

f(t) suy ra tồn tại C: s(t) =
F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
L= F(b)–
F(a)
-Học sinh tiến hành giải
dưới sự định hướng của giáo
viên
I =
Cttdtt
++=+
∫
2
2
3
)23(
2
F(t) =
tt 2
2
3
2
+
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–
F(20)=3210(m)
v(t) = s’(t)
⇒
s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của
f(t) suy ra tồn tại C: s(t) =
F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
⇒
L= F(b)–
F(a)
GIẢI:
I =
Cttdtt
++=+
∫
2
2
3
)23(
2
F(t) =
tt 2
2
3
2
+
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–
F(20)=3210(m)
4
Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân
Tg Hoạt động của giáo
viên

Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
7’
5’
15’
-Giáo viên nêu định nghĩa
tích phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh.
Trong trường hợp a < b, ta
gọi
∫
b
a
dxxf )(
là tích phân
của f trên đoạn [a ; b ].
Giáo viên yêu cầu học sinh
trả lời câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ
các nguyên hàm của f(x)
-Chọn nguyên hàm F
1
(x) =
g(x)+C
1
bất kì trong họ các nguyên
hàm đó.
-Tính F
1
(a), F

1
(b)?
-Tính
∫
b
a
dxxf )(
?
-Nhận xét kết quả thu được
-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta còn dùng kí hiệu
F(x)|
b
a
để chỉ hiệu số F(b)
-F(a).
-Hãy dùng kí hiệu này để
viết

∫
b
a
dxxf )(

-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta gọi hai số a, b là
hai cận tích phân, số a là cận
dưới, số b la cận trên, f là
hàm số dưới dấu tích phân,
f(x)dx là biểu thức dưới dấu

tích phân và x là biến số lấy
tích phân
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 3
Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ
Học sinh tiến hành giải
dưới sự định hướng của
giáo viên
Giả sử: F(x) =
∫
b
a
dxxf )(
=
g(x)+C
Chọn F
1
(x) = g(x)+C
1
bất kì
⇒
F
1
(a) = g(a)+C
1
F
1
(b) = g(b)+C

1
∫
b
a
dxxf )(
= [g(b)+C
1
]-
[g(a)+C
1
]
= g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách
chọn C
1

⇒
đpcm
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) thì:
∫
b
a
dxxf )(

= F(x)|
b
a

Học sinh giải quyết dưới sự
định hướng của giáo viên:
5
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)
Người ta còn dùng kí hiệu
F(x)|
b
a
để chỉ hiệu số F(b)
-F(a).Như vậy nếu F là một
nguyên hàm của f trên k
thì :
∫
b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a