CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TOÁN 9

Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO
TOÁN 9

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI
ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC
GV:Đỗ Văn Phú
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
THU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I/ MỤC TIÊU:
-Giải thành thạo các phương trình dạng: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc 3,
phương trình bậc cao, phương trình trùng phương, phương trình bậc hai
- Rèn luyện kỹ năng giải phương trình.
II/ SỐ LƯỢNG : 6 TIẾT
III/ NỘI DUNG:
Cho học sinh ôn lại cách giải phương trình bậc hai, hằng đẳng thức đáng nhớ.
cách giải phương trình trùng phương
1/ Phương trình có ẩn số ở mẫu:
Cách giải:
- Thu tất cả về 1 vế, vế còn lại bằng 0
- Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương
trình.
- Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức, so sánh điều kiện trước khi trả
lời.
Ví dụ: Giải phương trình
1 5
2
2
x
x x

+
− =
−
ĐK: x
≠
0, x
≠
2
MTC: x ( x – 2)
Ta có:
1 5 1 5
2 2 0
2 2
x x
x x x x
+ +
− = ⇔ − − =
− −
⇔
( x +1)(x – 2) – 5x – 2x ( x – 2) = 0
⇔
x
2
+ 2x +2 = 0

'∆ =
1 -2 = -1 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a/

72 72 3
4 2x x
= −
−
b/
4 9( 120)
120
x x
x x
−
=
−
ĐS: a/ x
1
= 16: x
2
= -12
b/ x
1 =
360; x
2
= 72
2/ Phương trình bậc 3: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Cách giải: Biến đổi đưa về phương trình tích.
Ví dụ: Giải phương trình x
3

+ 2x
2
+ 2
2
x + 2
2
= 0
⇔
x
3
+ 2x(x +
2
) + (
2
)
3
= 0
⇔
( x +
2
)( x
2
- x
2
+ 2) + 2x( x +
2
) = 0
⇔
( x +
2

)
( )
2
2 2 2x x
 
− +
 
=0
Phương trình x +
2
= 0 có nghiệm x = -
2
Phương trình x
2
+ ( 2 -
2
)x +2 = 0 vô nghiệm vì
∆
< 0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = -
2
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a/ ( x
2
– 5x + 4)( x
2
– 7x + 10) = 0
b/ ( 3x
2
– 7x + 1)

2
= ( x
2
– 3x + 5)
2
GV:Đỗ Văn Phú
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9
Giải:
a/ phương trình có 4 nghiệm: x
1
= 4; x
2
=1; x
3
= 5; x
4
= 2
b/ ( 3x
2
– 7x +1)
2
= ( x
2
– 3x + 5)
2
⇔
( 3x
2
– 7x + 1)
2

– ( x
2
– 3x + 5)
2
= 0
⇔
(3x
2
– 7x + 1 – x
2
+ 3x – 5)( 3x
2
– 7x + 1 + x
2
– 3x + 5)= 0
⇔
( x
2
– 2x – 2 )( 2x
2
– 5x + 3) = 0
ĐS: Phương trình có 4 nghiệm
3
;1;1 3;1 3
2
+ −
3/ Phương trình bậc cao dạng : ax
4
+ bx
2

+ c = 0 ( a
≠
0)
Cách giải: Đặt ẩn phụ x
2
= y ( y
≥
0) rồi đưa về phương trình bậc hai để giải.
Ví dụ: Giải phương trình x
4
– 34x
2
+ 225 = 0
đặt x
2
= y ( y
≥
0)
Ta có phương trình y
2
– 34y + 225 = 0

∆
’ = 17
2
– 225 = 64
y
1
= 25
⇒

x = 5; x = -5
y
2
= 9.
⇒
x = 3; x = -3
Vậy Phương trình có 4 nghiệm 5; -5; 3; -3.
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
a/ x
4
– 13x
2
+ 38 = 0 b/ x
4
– 8x
2
– 9 = 0
c/ x
4 –
7x
2
– 144 = 0 d/ x
6
+ 2x
3
– 80 = 0
Hướng dẫn:
a/ ĐS: Phương trình có 4 nghiệm: 2; -2; 3; -3
b/ Phương trình có 2 nghiệm: 3; -3

c/ Phương trình có 2 nghiệm 4; -4
d/ Đặt x
3
= y
Phương trình có nghiệm x
1
= 2; x
2
=
3
10−
4/ Phương trình đối xứng bậc 4: Dạng: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 ( a
≠
0)
Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho x
2
( vì x 0) rồi đặt y =
1
x
. Khi đó
y
2
= ( x +
1

x
)
2
= x
2
+
1
x
+ 2
≥
2 + 2 = 4
Do đó
2y ≥
Ví dụ: Giải phương trình
( x + 1)
4
= 2 ( x
4
+1)
⇔
x
4
– 4x
3
– 6x
2
– 4x +1 = 0 (1)
Chia 2 vế cho x
2
( hiển nhiên x

≠
0 Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình)
Ta có: x
2
– 4x – 6 – 4/x + 1/x
2
= 0
⇔
x
2
+
2
1
x
– 4( x +
1
x
) – 6 = 0 (2)
đặt x +
1
x
= y thì x
2
+
2
1
x
= y
2
- 2 phương trình (2) trở thành

y
2
– 2 – 4y – 6 = 0
⇔
y
2
– 4y – 8 = 0
⇔
y = 2
±
2
3
Với y = 2 +
2 3
ta có x
2
- 2( 1+
3
)x + 1 = 0
x = 1 +
3

±

3 2 3+
Với y = 2 - 2
3
: Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 +
3

±

3 2 3+
GV:Đỗ Văn Phú
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a/ x
4
– 2x
3
– x
2
– 2x + 1 = 0
b/ x
4
+ x
3
– 4x
2
+ x + 1 = 0
Hướng dẫn:
a/ Đưa về y
2
– 2y – 3 = 0
⇔
y = -1 ( loại) ; y = 3
3 5
2
x

±
⇒ =
b/ x
1
= 1; x
2,3
=
3 5
2
±
5/ Phương trình dạng
2 2
ax ax
mx mx
p
bx d cx d
+ =
+ + + +
Cách giải: Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x
≠
0 ta được 1 phương trình mới
rồi đặt ẩn phụ và giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình
2 2
2 7
1
3 2 3 5 2
x x
x x x x
− =

− + + +
ĐK: x
≠
-1; x
≠
2
3
−
x = 0 không là nghiệm của phương trình
Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x
≠
0 ta được
2 7
2 2
3 1 3 5x x
x x
−
− + + +
= 1
Đặt 3x +2 +
2
x
= y Phương trình trở thành
2 7
1
3 3y y
− =
− +
ĐK : y
3≠ ±

Ta có
2( y + 3) – 7 ( y – 3) = ( y + 3)( y – 3)
⇔
2y + 6 – 7y + 21 – y
2
+ 3y – 3y + 9 = 0
⇔
- y
2
– 5y + 36 = 0
⇔
y
1
= -9; y
2
= 4
• y
1
= -9 ta có 3x + 2 + 2/x = -9 có nghiệm x =
11 97
6
− ±
• y
2
= 4 ta có 3x + 2 + 2/x = 4 vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =
11 97
6
− ±
Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:

a/
2 2
4 3
1
4 8 7 4 10 7
x x
x x x x
+ =
− + − +
b/
2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
x x
x x x x
+ =
− + + +
Hướng dẫn:a/ Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 4x +
7
x
ta được y = 9 và y = 16
Đáp số: Phương trình có nghiệm là
1
2
và
7
2
b/ Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 2x +
3

x

ta được y = 1 và y =
11
2
GV:Đỗ Văn Phú
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9
KIỂM TRA
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU
a/ ( 2x
2
– x – 1)
2
– ( x
2
– 7x + 6)
2
= 0 (3đ)
b/ x
4
– 3x
3
– 6x
2
+3x + 1 = 0 ( 3,5 đ)
c/
2 2
3 7
4
3 1 1

x x
x x x x
+ = −
− + + +
( 3,5đ)
ĐÁP ÁN
a/ ( 2x
2
– x – 1)
2
– ( x
2
– 7x + 6)
2
= 0
⇔
( 2x
2
- x – 1 + x
2
– 7x + 6)( 2x
2
– x – 1 – x
2
+ 7x – 6) = 0 ( 0,5đ)
⇔
( 3x
2
– 8x + 5) ( x
2

+ 6x -7) = 0 ( 0,5đ)
⇔
3x
2
– 8x + 5 = 0 hoặc x
2

+ 6x – 7 = 0 ( 0,75đ)
⇔
x = 1; x =
5
3
hoặc x = 1; x = -7 ( 0,75đ)
Vậy phương trình có nghiệm 1;
5
3
; -7 ( 0,5 đ)
b/ x
4
– 3x
3
– 6x
2
+ 3x + 1 = 0 (1)
Chia 2 vế của phương trình cho x
2
ta có x
2
– 3x – 6 +
3

x
+
2
1
x

= 0 ( 0,25đ)
⇔
x
2
+ 1/x
2
– 3( x – 1/x) – 6 = 0 (2) ( 0,5đ)
đặt x -
1
x
= y ( 0,25)
⇒
y
2
= x
2
+
2
1
x
– 2
⇒
x
2

+
2
1
x

= y +2 thế vào phương trình (2) ( 0,25đ)
Ta được y
2
+ 2 – 3y – 6 = 0 ( 0,25đ)
⇔
y
2
-3y – 4 = 0
⇔
y
1
= -1, y
2
= 4 ( 0,5đ)
Với y
1
= -1 ta có x –
1
x
= -1
⇔
x
2
– 1 + x = 0 ( 0,25đ)
Phương trình có nghiệm x =

1 5
2
− ±
( 0,25đ)
Với y = 4 ta có x –
1
x
= 4
⇔
x
2
– 1 – 4x = 0 ( 0,25đ)
Có nghiệm x = 2
5±
( 0,25đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
1,2
=
1 5
2
− ±
; x
3,4
=
2 5±
( 0,5 đ)
c/
2 2
3 7
4

3 1 1
x x
x x x x
+ = −
− + + +
GV:Đỗ Văn Phú