Sang kien kinh nghiem PTTP

Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng
Một số kinh nghiệm trong cách giải ph-
ơng trình trùng phơng
I) đặt vấn đề
Phơng trình trùng phơng là một trong những dạng phơng trình thờng gặp
ở lớp 9 . Nó có một vai trò không nhỏ trong các đề thi vào lớp 10 cũng nh các
đề thi tốt nghiệp THCS trớc đây . Tuy nhiên đối với HS lớp 9 khi giải phơng
trình trùng phơng thờng là lúng túng cách đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn ,
biện luận số nghiệm cho nên khi kết luận nghiệm của phơng trình thờng là sót
nghiệm và lấy giá trị sai của nghiệm dẫn tới kết quả giải phơng trình bị sai
hoặc kết luận thiếu nghiệm.
Là một giáo viên trực tiếp dạy Toán 9 và bồi giỏi Toán 9 thì theo tôi cần
phải làm cho HS thấy rõ vai trò quan trọng của các bớc giải phơng trình trùng
phơng và cũng đó ta hệ thống đợc các bớc giải phơng trình trùng phơng.
II) giải quyết vấn đề
Trớc hết ta cần phải hiểu rõ khái niệm phơng trình trùng phơng !
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng :
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 ( a

0 ) (I)
Để giải phơng trình này ta có phơng pháp giải tổng quát sau đây
Giải :
Đặt x
2
= t

0

x
4
= t
2
,
Nh vậy phơng trình trên đã đa về dạng at
2
+ bt + c = 0 (I)
Ta giải phơng trình (I) , căn cứ vào nghiệm của (I) suy ra kết luận nghiệm của
phơng trình (I). Giải phơng trình (I)
+ Tr ờng hợp 1 :
Nếu phơng trình (I) at
2
+ bt + c = 0 có a + b + c = 0 thì t
1
= 1 ; t
2
=
a
c

* Nếu t
2
=
a
c
< 0 thì ,
Với t = t
1

= 1 thì x
2
= 1 , ta có x
1
= 1 , x
2
= -1
Với t = t
2
=
a
c
< 0 thì x
2
=
a
c
< 0 ( loại )
Kết luận : Vậy phơng trình ( I ) có hai nghiệm là x
1
=1 ; x
2
= -1
* Nếu t
2
=
a
c
> 0 thì ,
Với t = t

1
= 1 thì x
2
= 1 , ta có x
1
= 1 , x
2
= -1
Phạm tiến dũng
Năm học 2005 - 2006
Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng
Với t = t
2
=
a
c
> 0 thì x
2
=
a
c
, ta có x
3
=
a
c
, x
4
=
a

c

Kết luận : Phơng trình (I) có bốn nghiệm là x
1
= 1 , x
2
= -1, x
3
=
a
c
,
x
4
=
a
c


+ Tr ờng hợp 2 :
Nếu phơng trình (I) at
2
+ bt + c = 0 có a - b + c = 0 thì t
1
= -1 ; t
2
=
a
c

* Nếu t
2
= -
a
c
< 0 thì ,
Với t = t
1
= -1 ( loại)
Với t = t
2
=
a
c
< 0 thì x
2
=
a
c
< 0 ( loại )
Kết luận : Vậy phơng trình ( I ) vô nghiệm
* Nếu t
2
=-
a
c
> 0 thì ,
Với t = t
1

= - 1 ( loại )
Với t = t
2
= -
a
c
> 0 thì x
2
= -
a
c
, ta có x
1
=
a
c

, x
2
=
a
c

Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm là x
1
=
a
c

, x

2
=
a
c

Ví dụ 1 : Giải phơng trình trùng phơng sau .
a) x
4
10x
2
+ 9 = 0 ( 1 )
b) x
4
+ 3x
2
4 = 0 ( 2 )
Giải :
a) x
4
-10x
2
+ 9 = 0 (1) ;
Đặt x
2
= t

0

x
4

= t
2
, phơng trình (1) có dạng t
2
-10t + 9 = 0 (1)
Giải phơng trình (1) , có a + b + c = 1 -10 +9 = 0

t
1
= 1 , t
2
=
a
c
= 9
Với t = t
1
= 1 thì x
2
= 1

x
1
= 1 ; x
2
= - 1
Với t = t
2
= 9 thì x
2

= 9

x
3
= 3 ; x
4
= -3
Kết luận:Phơng trình (1) có bốn nghiệm là x
1
= 1,x
2
= -1,x
3
=3, x
4
= -3
b) x
4
+ 3x
2
4 = 0 (2)
Đặt x
2
= t

0

x
4
= t

2
, phơng trình (2) có dạng t
2
+3t - 4 = 0 (2)
Giải phơng trình (2)có a + b + c = 1 +3 - 4 = 0

t
1
= 1 , t
2
=
a
c
= -4
Phạm tiến dũng
Năm học 2005 - 2006
Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng
Với t = t
1
= 1 thì x
2
= 1

x
1
= 1 ; x
2
= - 1
Với t = t
2

= -4 < 0 (loại)
Kết luận : Phơng trình (2) có hai nghiệm là x
1
= 1 , x
2
= -1
Ví dụ 2 : Giải phơng trình trùng phơng sau .
a) x
4
+ 4x
2
+ 3 = 0 ( 3 )
b) 5x
4
+ 3x
2
2 = 0 ( 4 )
Giải :
a) x
4
+ 4x
2
+ 3 = 0 ( 3 )
Đặt x
2
= t

0

x

4
= t
2
, phơng trình (3) có dạng t
2
+4t + 3 = 0 (3)
Giải phơng trình(3) có a - b + c=1 - 4 + 3 = 0

t
1
= -1 , t
2
= -
a
c
= -3
Với t = t
1
= -1 < 0 ( loại ) , t = t
2
= - 3 < 0 ( loại )
Kết luận : Vậy phơng trình (3) vô nghiệm
b) 5x
4
+ 3x
2
2 = 0 ( 4 )
Đặt x
2
= t

0

x
4
= t
2
, phơng trình (4) có dạng 5t
2
+ 3t - 2 = 0 (4)
Giải phơng trình (3) , có a- b+ c =5 3 2= 0

t
1
= -1 , t
2
= -
a
c
=
5
2
Với t = t
1
= -1 < 0 ( loại ) ,
Với t = t
2
=
5
2

thì ta có x
1
=
5
2
=
5
10
; x
2
=
5
2

=
5
10

Kết luận: Vậy phơng trình (4) có hai nghiệm là x
1
=
5
10
; x
2
=
5
10

Đối với phơng trình (I) không thuộc các trờng hợp áp dụng hệ thức Vi-et

( nhẩm nghiệm ) thì ta giải thông thờng nh đối với phơng trình bậc hai . Ta xét
công thức nghiệm của phơng trình bậc hai at
2
+ bt + c = 0 (I). Tuy nhiên ta cần
xem xét những trờng hợp phơng trình có nghiệm , vô nghiệm cho chính xác
không để sót nghiệm .
+ Tr ờng hợp 3 :
Nếu phơng trình (I) at
2
+ bt + c = 0 không thuộc hai trờng hợp trên , ta
xét

= b
2
4ac Hoặc


= b
2
ac
* Nếu

< 0
Hoặc


<0 ,
Phơng trình (I) vô nghiệm suy ra phơng trình (I) vô nghiệm
* Nếu

= 0
Hoặc


= 0
Phạm tiến dũng
Năm học 2005 - 2006
Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng
Phơng trình (I) có nghiệm kép là
t
1
= t
2
=
2a
b

t
1
= t
2
=
a
b'

Với t = t
1
= t
2
=

2a
b

< 0 ( loại) Với t = t
1
= t
2
=
a
b'

< 0 ( loại )
Kết luận : Phơng trình (I) vô nghiệm
Với t = t
1
= t
2
=
2a
b

> 0
thì x
2
=
2a
b

x
1
=
2a
b

;x
2
=-
2a
b

Với t = t
1
= t
2
=
a
b'

> 0
thì x
2
=
a
b'


x
1

=
a
b'

; x
2
= -
a
b'

Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm
x
1
=
2a
b

; x
2
= -
2a
b

x
1
=
a
b'

; x

2
= -
a
b'

* Nếu

> 0
Hoặc


> 0
Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt là
t
1
=
2a
b-
+
, t
2
=
2a
- b-
t
1
=
a
b'-

+
, t
2
=
a
- b'-

Với t = t
1
=
2a
b-
+
< 0 ( loại ),
t = t
2
=
2a
- b-

< 0 ( loại )
Với t = t
1
=
a
b'-

+
< 0 ( loại ) ,
t = t

2
=
a
- b'-

< 0 ( loại )
Kết luận : Phơng trình (I) vô nghiệm
Với t = t
1
=
2a
b-
+
> 0 thì ta có
x
2
=
2a
b-
+

x
1
=
2a
b-
+
, x
2
=

2a
b-
+

t = t
2
=
2a
- b-
< 0 ( loại )
Với t = t
1
=
a
b'-

+
> 0 thì ta có
x
2
=
2a
' b'-
+

x
1
=
a
b'-

+
, x
2
=
a
b'-

+

t = t
2
=
a
- b-

< 0 ( loại )
Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt là
Phạm tiến dũng
Năm học 2005 - 2006
Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng
x
1
=
2a
b-
+
, x
2
=

2a
b-
+

x
1
=
a
b'-

+
, x
2
=
a
b'-

+

Với t = t
1
=
2a
b-
+
> 0 thì ta có
x
2
=
2a

b-
+


x
1
=
2a
b-
+
, x
2
=
2a
b-
+

Với t = t
2
=
2a
- b-
> 0 thì ta có
x
2
=
2a
- b-

x
3
=
2a
b-

, x
4
=
2a
b-


Với t = t
1
=
a
b'-

+
> 0 thì ta có
x
2
=
a
b'-

+

x

1
=
a
b'-

+
, x
2
=
a
b'-

+

Với t = t
2
=
a
- b'-

> 0 thì ta có
x
2
=
a
- b'-



x

3
=
a
b'-


, x
4
=
a
b'-



Kết luận : Phơng trình (I) có bốn nghiệm phân biệt là
x
1
=
2a
b-
+
, x
2
=
2a
b-
+


x

3
=
2a
b-

, x
4
=
2a
b-


x
1
=
a
b'-

+
, x
2
=
a
b'-

+


x
3

=
a
b'-


, x
4
=
a
b'-



Ví dụ 3 : Giải các phơng trình sau:
a) x
4
5x
2
+ 6 = 0 (5)
b) 2x
4
3x
2
2 = 0 (6)
c) x
4
+ 10x
2
+ 24 = 0 (7)
Giải :

a) x
4
5x
2
+ 6 = 0 (5)
Đặt x
2
= t

0

x
4
= t
2
, phơng trình (5) có dạng t
2
5t + 6 = 0 ( 5)
Giải (5), có

= 5
2
4.1.6 = 25 24 = 1 > 0


= 1 ,t
1
=
2.1
1(-5)-

+
= 3 ;
t
2
=
2.1
1(-5)-

= 2
Với t = t
1
= 3 > 0 , ta có x
2
= 3

x
1
=
3
, x
2
= -
3
Với t = t
2
= 2 > 0 , ta có x
2
= 2

x

3
=
2
, x
4
= -
2
Vậy phơng trình có bốn nghiệm x
1
=
3
, x
2
= -
3
, x
3
=
2
, x
4
= -
2
b) 2x
4
3x
2
2 = 0 (6)
Phạm tiến dũng
Năm học 2005 - 2006