454 bài tập toán ôn thi THPT quốc gia

Hà Quốc Văn

y

x


Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương trình a[f(x)]² + bf(x) + c = 0
Cách giải: ðặt t = f(x).
Phương trình trùng phương ax4 + bx² + c = 0
Cách giải: ðặt t = x², ðK: t ≥ 0.
2

e d
Phương trình ax + bx³ + cx² ± dx + e = 0 (ab ≠ 0) với =  
a b
Cách giải: Vì x = 0 không là nghiệm, chia 2 vế phương trình cho x²:
e 
d 
d


a  x2 + 2  + b  x ±
+ c = 0 . ðặt x= x ±

bx 
bx
ax 



4

1 
1


* ðặc biệt a=e; b=d: pt ⇔ a  x 2 + 2  + b  x ±  + c = 0
x
x 


1
1
ðặt t = x + . ðK |t|≥ 2 (hoặc t = x − , t∈R)
x
x
Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d
Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = m.
ðặt t = x² + (a + b)x
Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx² với ab = cd
Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = mx²
ab  
cd 

⇔ x + a + b +
x +c+d+  =m


x 
x 


ab
ðặt t = x +
x
Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c
a+b
a−b
Cách giải: ðặt t = x +
, m=
2
2
4
4
PT ⇔ (t + m) + (t – m) = c ⇔ [(t + m)² + (t – m)²]² – 2(t + m)²(t – m)² = c
⇔ 4(t² + m²)² – 2(t² – m²)² = c.
Phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0
* ðoán nghiệm xO
+ Nếu a + b + c + d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = 1
+ Nếu a – b + c – d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = – 1
m
+ Nghiệm hữu tỉ của pt có dạng x O =
với m là ước số của d, n là ước số của a,
n
thay lần lượt các giá trị xO vào pt ñể tìm nghiệm xO
* Phân tích thành pt tích: ax³ + bx² + cx + d = (x – xO)(ax² + b’x + c’)
+ Phép chia ña thức
+ Thuật toán Horner
Trang 2

1. Giải các phương trình
4
2
1) x − 8x − 9 = 0
2) x4 − 4x2 + 3 = 0
3) (x – 1)4 + (x + 1)4 = 16
4) (2x – 3)4 + (2x – 5)4 = 2
5) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
6) (x – 2)(x –1)(x + 2)(x + 4) = 16x²
4
3
2
7) x + 4x – 23x + 4x + 1 = 0
4
3
2
8) x + 4x – 3x – 14x + 6 = 0
9) (x2 – 6x – 9)2 = x3 – 4x2 – 9x
10) x³ + 2x² – 4x – 3 = 0
11) 27x³ + 54x² – 81x + 22 = 0
12) x³ – 3 3 x² + 7x – 3 = 0
2. Tìm m ñể các phương trình có 3 nghiệm phân biệt:
2
1) x³ − 2(m – 3)x + (m − 2)x + m – 5 = 0
2) x³ + (2 – m)x² + (3 – m)x + 2m + 6 = 0
3) x³ + (1 – m)x² – (m + 5)x – 5 = 0
3. Tìm m ñể các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
1) (x + 1)2 = 2|x + m|
2) |2x² – mx + 2| = |x² + x – 2m +1|

Bất phương trình tích – thương
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
> 0;
< 0;
≥ 0;
≤0
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
→ Tìm nghiệm của tử và mẫu
→ Lập bảng xét dấu: trên mỗi khoảng nghiệm VT chỉ mang một dấu
→ KL

→ Biến ñổi về dạng

4. Giải các bất phương trình
1)
2)
3)

(x 2 − 3x + 2x)(5 − 2x)(4x + 3)
(x − 3x 2 )(2 − x)
x(x 2 − x − 2)(2x − 5)
(x 2 + 3x + 2)(4 − 3x)

x2 − x − 2

≥2−

>0

≤0

3
x +1

x + 3x + 2
x2 − x − 5
3x
4
4)
<
−
x +3 x
x 2 + 3x
5) (x − 2)(x 2 + 3x − 5) < (x − 2)(x 3 − x − 1)
2

Trang 3


Tam thức không ñổi dấu
Cho f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0)
a > 0
f(x) > 0, ∀x∈R ⇔ 
∆ < 0

a < 0
f(x) < 0, ∀x∈R ⇔ 
∆ < 0

5. ðịnh m ñể:
1) f(x) = x² – 2mx – m > 0 , ∀x∈R
2
2) f(x) = –x – 4(m+1)x + m – 3 ≤ 0 , ∀x∈R
2
3) f(x) = x − 2mx + m + 6 ≥ 0 , ∀x∈R
4) f(x) = x2 – 2(m – 1) x + m2 – 3 > 0 , ∀x∈R
6. Tìm m sao cho:
1) f(x) = mx² – 4x + 3m + 1 > 0 , ∀x∈R
2) f(x) = (3 − m)x² − 2(m + 1)x + 3(m − 2) ≤ 0 , ∀x∈R
3) f(x) = (x + 2)(x + 4)(x² + 6x + 10) ≥ m , ∀x∈R
7. Tìm m ñể các bất phương trình vô nghiệm:
2
1) (2m + 1) x + 3(m + 1) x + m +1 < 0
2
2) mx − 4x + 3m + 1 > 0

ðẠO HÀM
ðịnh nghĩa: Cho f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b)
f(x 0 + ∆x) − f(x 0 )
f(x) − f(x 0 )
∆y
f /(x0) = y /(x0) = lim
= lim
= lim

∆x →0 ∆x
∆x →0
x → x0
∆x
x − x0
f(x + ∆x) − f(x)
(Lập tỉ − Tìm lim)
∆x → 0
∆x
∆y
ðạo hàm bên trái : f /(x0−) = lim
∆x → 0 − ∆ x
∆y
ðạo hàm bên phải : f /(x0+) = lim
∆x → 0 + ∆ x
f /(x0−) = f /(x0+) = A ⇔ f /(x0) = A
f(x) có ñạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0
f(x) không liên tục tại x0 ⇒ f(x) không có ñạo hàm tại x0
ðạo hàm trên khoảng: f /(x) = lim

QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM
(u ± v) / = u / ± v /
(uv) / = u /v + v /u ⇒ (uvw) / = u /vw + uv /w + uvw /
(k.u) / = k.u / (k ∈ R)
/

u/ v − uv /
u
⇒ (v ≠ 0)
v =

v2
 

ðạo hàm của hàm số hợp: y=f(u); u=g(x) thì y’x = y’u.u’x
Trang 4


BẢNG CÁC ðẠO HÀM
* c / = 0 (c ∈ R)
(xα )/ = α.xα − 1

* x/ = 1

/

* (ku) / = k.u /
(uα )/ = α.uα − 1u/
/

u/
1
u = − 2
u
 

1
1
x = − 2
x
 

/

/

n.u /
1 
=
−
 n
un+1
u 

n
 1 
 n  = − n+1
x
x 
1
( x )/ =
2 x
1
(n x )/ =
n
n x n−1

/

u/

/

2 u
u/

( u) =

( u)
n

=

n un−1
(sinu) / = cosu.u/
(cosu) / = − sinu.u/
u'
/
(tanu) / =
=
(1
+
tan²u).u
cos 2 u
u'
(cotu) /= − 2 = –(1+cot²u).u/
sin u

(sinx)/ = cosx
(cosx)/ = − sinx
1
(tanx)/ =

= 1 + tan²x
cos 2 x
1
(cotx) /= –
= – (1+ cot²x)
sin2 x

n

ñặc biệt
/

a b
c d

 ax + b 
☺
 =
cx
+
d
(cx + d)2


/

 ax + bx + c 
☺
=
 Ax + B 



2

/

 ax 2 + bx + c 
☺ 2
=
 Ax + Bx + C 



aAx 2 + 2aBx +

b c
A B

(Ax + B)2
x2

a b
a c b c
+ 2x
+
A B
A C B C
(Ax 2 + Bx + C)2
/

ðạo hàm cấp cao: f (n) (x) =  f (n−1) (x)  (n ≥ 2)


8. Tìm m thỏa :

1
x³ – mx² + (m + 1)²x – 5. ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈R
3
2) y = –2x³ – (m + 2)x² + mx – m + 2. ðịnh m ñể y / ≤ 0, ∀x∈R
x 2 − (m + 1)x − m + 2
3) y =
. ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈D
x+2
2
mx − (2m + 1)x − m + 2
4) y =
. ðịnh m ñể y / ≤ 0, ∀x∈D
x −1
1) y =

Trang 5


9. Chứng minh các hệ thức:
1) Cho y = 3 +

5
x

(x ≠ 0) chứng minh xy / + y = 3.

2x − x 2 chứng minh y3.y / / + 1 = 0.
x −3
3) Cho y =
(x ≠ 0) chứng minh 2(y /)2 = (y –1).y / /.
x+4
2) Cho y =

4) Nếu y = x + 1 + x 2 thì 4(1 + x )y + 4xy – y = 0
10. Chứng minh các hệ thức:
/
//
1) Cho y = x.sinx , chứng minh xy – 2(y – sinx) + xy = 0.
2) Cho y = x.tanx chứng minh x2.y / / – 2(x2 + y2)(1 + y) = 0.
//
3) Cho y=3sin5x – 5cos5x chứng minh : y = – 25y
2

//

/

sin 3 x + cos3 x
thì y / / = −y (TNPT 97.98)
1 − sin x cos x
//
5) Nếu y = xsinx thì y + y = 2cosx
1 − sin 2x
6) Nếu y =
thì y / / + y = 0

sin x − cos x
4) Nếu y =

TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C)
Dạng 1: Tiếp tuyến tại tiếp ñiểm M(xO;yO)∈(C)
Hệ số góc tiếp tuyến (∆) với (C) tại M(x0; f(x0)) ∈ (C) là k = f /(x0)
Phương trình tiếp tuyến (∆) với (C) tại tiếp ñiểm M(x0; y0) :
y = f /(x0)(x − x0) + y0
Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước
Tìm phương k
Hai ñường thẳng (D1): y = k1x + b1 và (D2): ): y = k2x + b2 có hệ số góc k1 , k2
(D1) // (D2) ⇔ k1 = k2
(D1) ⊥ (D2) ⇔ k1. k2 = –1
ðường thẳng (D): y = kx + b tạo với trục Ox góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì |k| = tanα
ðường thẳng (D): y = kx + b ⇔ kx – y + b = 0 tạo với ñường thẳng
Ak − B
Ax + By + C = 0 góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì cosα =
k 2 + 1 A 2 + B2

Tìm hoành ñộ tiếp ñiểm: giải f /(x0) = k ñể tính x0 .
Tính y0 ñể có tiếp ñiểm M(x0;y0).
Thay vào phương trình tiếp tuyến y = f /(x0)(x – x0) + y0.
Trang 6


11. Viết phương trình tiếp tuyến của các ñường:
1) y = – x2 + 2x tại ñiểm A(–1;–3).

1

tại ñiểm có hoành ñộ x = 2.
x −1
12. Viết phương trình tiếp tuyến của :
x2 + x + 1
1) y =
tại giao ñiểm của ñồ thị với trục tung.
x +1
2) y =

2) y = 2x − 2x 2 + 1 tại giao ñiểm của ñồ thị với 2 trục tọa ñộ.
13. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong :
3
2
1) y = x + x – 4x – 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1.

x
biết tiếp tuyến song song với (d): y = 3x + 4
2x + 3
x2 + x −1
3) y =
biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 4x + 3y = 0
x +1
14. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong :
3
1) y =
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
x
2) y = x3 + x2 biết tiếp tuyến song song với (d): y = 8x – 1.
3x − 2
3) y =

biết tiếp tuyến song song với ñường phân giác thứ hai.
x −1
x2 − x − 2
biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 3y = 0.
4) y =
x −3
2
5) y =
biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 2y + 6 = 0.
x +1
3
2
6) y = x –2x +2x +1 biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 9x – y + 5 = 0
3
15. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường y = (x − 1) biết :
1) Tiếp ñiểm có hoành ñộ x = 0.
2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 12x – y = 0.
3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x + 3y + 5 = 0.
4) Tiếp tuyến cùng phương với trục Ox.
−4x + 3
16. Cho (C): y = f(x) =
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết góc tạo bởi tia Ox
x −1
và phần tiếp tuyến nằm trên trục Ox bằng 450.
17. * Tìm m, n ñể ñường cong y = x2 + mx + n tiếp xúc với ñường thẳng y = −2x −2 tại ñiểm
có hoành ñộ bằng −2.
3x − 2
18. Cho (C): y =
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết:
x −1

5
1) Tung ñộ tiếp ñiểm bằng .
2
2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + y − 3 = 0.
3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x − y − 10 = 0.
19. Cho (P) : y = x2 và A(3 ; 0), M ∈ (P) có xM = a.
1) Tính a ñể AM ngắn nhất.
ðS : a = 1
2) Chứng minh khi AM ngắn nhất thì AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P)
2) y =

Trang 7


x2
20. Cho (C1):y =
và (C2):y =
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), (C2) tại giao
x 2
2
ñiểm của chúng. Tìm góc của 2 tiếp tuyến trên.
4
21. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x – x² – 2 tại ñiểm A có hoành ñộ xO. Suy ra
không có tiếp tuyến nào của (C) qua gốc O.
1
22. Cho (C): y = x³ – 2x² + 4x Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến chắn
3
trên 2 trục tọa ñộ hai ñoạn bằng nhau.
x+2
23. Cho hàm số y =

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), biết tiếp
2x + 3
tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân
tại gốc toạ ñộ.
2x
24. Cho hàm số y =
(C). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến tại M cắt trục
x +1
hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB có diện tích bắng ¼.
x +1
25. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), biết tiếp
2x + 3
tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân
tại gốc toạ ñộ
1
m
1
26. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y = x 3 − x 2 + (*) (m là tham số). Gọi M là ñiểm
3
2
3
thuộc (Cm) có hoành ñộ bằng –1. Tìm m ñể tiếp tuyến của (Cm) tại ñiểm M song song với
ñường thẳng 5x – y = 0.
2x − 1
27. Cho hàm số y =
(C). Cho I(1;2), tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
x −1
tại M vuông góc ñường thẳng IM .
x2 + x −1

28. Cho hàm số y =
có ñồ thị là (C). Gọi A, B là hai giao ñiểm của (C) và trục
x −1
hoành, viết phương trình tiếp tuyến tại A, B của (C).
29. Cho (P): y = x² và ñiểm I(0; 2), viết phương trình tiếp tuyến với (P) sao cho khoảng cách
từ I ñến tiếp tuyến bằng 2.
30. Cho (Cm): y = x³ – m(x + 1) + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao ñiểm của
(Cm) với Oy. Tìm m ñể tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 8.
31. Cho ñồ thị (C) có phương trình y = x² – 2x, viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho
tiếp tuyến song song với phân giác của góc tạo bởi 2 ñường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0 và (d’):
3x – y = 0.
3x − 1
32. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
, biết tiếp tuyến tạo với ñường thẳng (d):
x −3
x + 3y – 3 = 0 một góc 45°.
1

Trang 8


Hình học
Hệ thức lượng trong tam giác
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
a2 = b2 + c2
⇔ BC2 = AB2 + AC2
b2 = a.b'
⇔ AC2 = BC.CH
c2 = a.c'
⇔ AB2 = BC.BH

bc = ah
⇔ AC.AB = BC.AH
2
h = b'.c'
⇔ AH2 = BH.CH
1
1
1
1
1
1
=
+
⇔
=
+
h 2 b2 c2
AH 2 AB2 AC2
sinB = b/a ; cosB = c/a ; tanB = b/c ; cotB = c/b

A
b

c
c'
B

3
2
2

2
2
o
ðịnh lý cosin: a = b + c − 2bc.cosA (A=90 : Pythago)
a
b
c
ðịnh lý sin:
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
ðịnh lý trung tuyến:
2b 2 + 2c2 − a 2
2
2
2
2
2
b + c = 2ma + ½ a hay ma =
4
2
2
AB − AC = 2BC.MH
Diện tích
2S
1. S = ½ aha = ½ bhb = ½ chc ⇒ h a =
a
2. S = ½ bc.sinA = ½ ac.sinB = ½ ab.sinC
abc

abc
3. S =
⇒ R=
4R
4S
S
4. S = pr
⇒ r=
p

b'
C

H

Hệ thức lượng trong tam giác ñều chiều cao = cạnh

5. S =

A

B

H

M

C

p(p − a)(p − b)(p − c) (Hê-rông)

Diện tích tứ giác
1. Hình vuông:
S = a²;
ñường chéo = cạnh 2
2. Hình chữ nhật: S = ab
3. Hình bình hành: S = a.h
4. Hình thang:
S = ½ (a + b)h
ðường tròn
Diện tích hình tròn: S = πR²
Chu vi ñường tròn: 2πR

Trang 9


KHÔNG GIAN
Song song
d / /a
⇒ d / /(P)

a
⊂
(P)


Vuông góc
d ⊥ a,d ⊥ b

a ∩ b ≠ ∅ ⇒ d ⊥ (P)

a, b ⊂ (P)


d
a
P

d / /(P)

⇒ d / /a
d ⊂ (Q)
(P) ∩ (Q) = a


a / /a ', b / /b'
a '∩ b' ≠ ∅

⇒ (P) / /(Q)

a,
b
⊂
(P)

a ', b' ⊂ (Q)
(P) / /(Q)
⇒ d / /(Q)

d ⊂ (P)

a

P

P
b'

a'

P
d
a

d ⊥ (P)
⇒ (P) ⊥ (Q)

d ⊂ (Q)

Q
d

Q
P

d
P
Q

(P) / /(Q)


(R) ∩ (P) = a ⇒ a / /b
(R) ∩ (Q) = b

a / /b
a ⊂ (P)

⇒ d / /a / /b

b
⊂
(Q)

(P) ∩ (Q) = d

R

a
P
b
Q

a
P

d

b
Q

(P) ⊥ (Q)

(P) ∩ (Q) = a

⇒ d ⊥ (P)

d
(Q)
⊂

d ⊥ a
(P) ⊥ (R)

⇒ d ⊥ (R)
(Q) ⊥ (R)
(P) ∩ (Q) = d


Q
d

P

a

d

Q

P
R

a ⊥ d

⇒ a / /b
b ⊥ d
a, b,d ⊂ (P)


Xác ñịnh hình chiếu của ñiểm
H ∈ (P)
/ (P) ⇔ 
MH ⊥ (P)
1. Trong (P) có A , (d): MA ⊥ (d)
* Trong (P) kẻ (d’) qua A, vuông góc với (d)
* Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’)
2. Trong (P) có A, B: MA = MB
* Trong (P) kẻ ñường trung trực (d’) của AB
* Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’)
3. Có ñường thẳng (a) ⊥ (P)
* Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (M, a)
* Trong ((M, a) kẻ MH // (a) cắt (d’) tại H
4. Có (Q) chứa M và (Q) ⊥ (P)
* Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (Q)
* Trong (Q) kẻ MH ⊥ (d’) cắt (d’) tại H
H = hc

b

P

b

a

a

d ⊥ (P)
⇒d⊥a

a
⊂
(P)


Q

d

d

M

M

Trang 10

d
H

d'

A

M

B
H

d'
A


Xác ñịnh và tính số ño góc
Góc giữa ñường thẳng a và mp (P)
Xác ñịnh hình chiếu a’ của a trên (P)
Chọn góc nhọn giữa a và a’

a

A
H

P

a'

P

Góc giữa 2 mặt phẳng
Xác ñịnh góc giữa 2 mp:
- Tìm d = (P)∩(Q)

- Xác ñịnh (R) ⊥ d
- Tìm (R)∩(P)=a; (R)∩(Q)=b
⇒ (P,Q) = (a, b)
R

a

b
Q

Khoảng cách

M

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñiểm A và (P)
Xác ñịnh hình chiếu H của M trên (P)
d[M(P)] = MH

H
P

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñường thẳng a và (P) song song với a
Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên a ñến (P)
Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 mp song song
Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên mp này ñến mp kia
Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau a và b.
Là ñộ dài ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng

Xác ñịnh ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng a và b
Trường hợp b ⊂ (P) ⊥ a

Trong (P) dựng OH ⊥ b
⇒ IJ là ñoạn vuông góc chung
a

b

O
H

Trường hợp b ⊂ (P) // a
Chọn ñiểm M “thích hợp” trên a
tìm hình chiếu H của M lên (P).
ðường thẳng qua H và // a cắt b tại B.
ðường thẳng qua B và // HM cắt a tại A.
⇒ AB là ñoạn vuông góc chung của a và b.
Nếu 1 bài toán không yêu cầu dựng ñoạn vuông góc
chung AB của a và b thì
d(a,b) = d(a,P) = d(M,P). trong ñó b⊂ P//a
d(a,b) = d(P,Q) trong ñó a ⊂ Q; b ⊂ P và P // Q.
a
A
M

b
P a'

H
B

Trang 11

CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH
Hình chóp
• Hình chóp ñều: Mặt ñáy là ña giác ñều và chân ñường cao là tâm của ñáy. Các cạnh bên
bằng nhau
• Tứ diện ñều: Tất cả các cạnh bằng nhau, các mặt là các tam giác ñều.
• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: ðường cao hình chóp qua ñỉnh và tâm ñường tròn
ngoại tiếp mặt ñáy.
• Hình chóp có 2mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao là cạnh chung của 2 mặt bên ñó.
• Hình chóp có 1mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao của mặt bên ñó là ñường cao hình
chóp
Thể tích :

V=

1
Bh
3
h

Hình chóp thường : Sxq = tổng diện tích các mặt bên
1
Hình chóp ñều : Sxq = pd
2
(p là chu vi ñáy, d là trung ñoạn-chiều cao của mặt bên)

B
S

M

Tỉ số thể tích của 2 tứ diện:

P

VS.MNP SM SN SP
=
. .
VS.ABC SA SB SC

N
A

C
B

Hình lăng trụ
Gọi p là chu vi thiết diện thẳng, S là diện tích thiết diện thẳng
Gọi B là diện tích ñáy, h là chiều cao, l là cạnh bên
Sxq = pl thường dùng Sxq = tổng diện tích các mặt bên
V = Bh = Sl
Phân loại: Hình lăng trụ xiên
Hình lăng trụ ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy (h = l; B = S)
Hình lăng trụ ñều là hình lăng trụ ñứng có mặt ñáy là ña giác ñều

S

l

h
B

ðặc biệt:
Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành
Hình hộp ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật. ðườngchéo d = a 2 + b 2 + c 2 ; V = abc
Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông. ðường chéo d = a 3 ; V= a³
Trang 12


Hình trụ : Bán kính ñáy R, chiều cao h
Sxq = 2πRh (chu vi ñáy X chiều cao)
Stp = 2πRh + 2πR2
V = πR2h (diện tích ñáy X chiều cao)

R

h

Hình nón : Bán kính ñáy R, chiều cao h, ñường sinh l
Sxq = πRl ( ½ chu vi ñáy X chiều cao)
Stp = πRl + πR2
1
V = πR2h ( 1/3 diện tích ñáy X chiều cao)
3

l
Hình cầu :
diện tích mặt cầu : S = 4πR2

thể tích khối cầu : V = 4/3 πR3

h

R

33. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, xác ñịnh hc A/(SBC)
34. Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD)
1) Xác ñịnh hc A/(SBC), hc A/(SBD)
2) Xác ñịnh hc O/(SCD), hc C/(SBD)
35. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân tại A, góc SAB = SAC , tìm chân ñường

cao hình chóp vẽ từ S
36. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD và góc A 'AB = A 'AD , xác ñịnh chân
ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A’ xuống (ABCD)
37. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, mp(P) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Xác
ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ S xuống (P)
38. Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng, góc xOy = xOz , tìm chân ñường vuông góc hạ
từ M trên Ox xuống (yOz)
39. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, lấy ñiểm M bên trong tam giác SAB, tìm hình chiếu
của M trêm (ABCD)
40. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC), tìm chân ñường
vuông góc hạ từ ñiểm M trên cạnh AB xuống (SBC)
41. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật ABCD, SA ⊥ (ABCD)
1) Tìm hình chiếu của ñiểm M trên SA xuống (SBC)
2) Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, mp(P) qua O song song BC, xác ñịnh hình chiếu của S
trên (P)
42. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và ñáy ABCD là hình thoi tâm O
1) Xác ñịnh hình chiếu của O trên (SBC)
2) Xác ñịnh hình chiếu của A trên (SBC)

43. Cho hình chóp S.ABC; tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SA⊥(ABC) Tính
khoảng cách từ B ñến (SAC)
44. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh BC và AD. Hãy tính
góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2 .
Trang 13


a 6
vuông
2
góc với mặt phẳng ñáy (ABC) . Tính khoảng cách từ ñiểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a.
46. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung ñiểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ ñiểm
S ñến ñường thẳng BE.
47. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với
mp(ABCD) và SA = a. Gọi I là trung ñiểm của SC và M là trung ñiểm của AB.
1) Chứng minh IO ⊥ (ABCD)
2) Tính khoảng cách từ ñiểm I ñến ñường thẳng CM.
48. Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân ñỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
1) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)
2) Tính khoảng từ A ñến (SBC)
3) Gọi O là trong ñiểm của AC . Tính khoảng cách từ O ñến (SBC)
49. Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC),
SA=2a. Gọi M là trung ñiểm của AB.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
2) Tính ñường cao AK của tam giác AMC
3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC)
4) Tính khoảng cách từ A ñến (SMC)
50. Hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥(ABCD) và SA=a. Dựng và

tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của các cặp ñường thẳng: SA và AD; SC và BD; SB và CD
51. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
1) Chứng minh rằng OA ⊥ CD.
2) Gọi M là trung ñiểm của CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
52. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2 . Gọi I
và J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC
1) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)
2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB
53. Tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a và
khoảng cách từ D ñến BC là a. Gọi H là trung ñiểm của BC và I là trung ñiểm của AH.
1) Chứng minh BC ⊥ (ADH) và DH=a
2) Chứng minh DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC
54. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA
vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB
cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
55. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60° và có
ñường cao SO=a.
1) Tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SBC)
2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB
56. Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi cạnh a , góc A = 60o .Gọi O và
O’ là tâm của hai ñáy, OO’ = 2a. tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ
57. Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc
BAC = 120°, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung ñiểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I
vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
45. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và cạnh bên SA=

Trang 14

58. Cho tứ diện SABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3 ,

SA⊥(ABC), SA = 2a. Gọi I là trung ñiểm AB
1) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC)
3) Gọi N là trung ñiểm AC ,tính khoảng cách từ ñiểm N ñến mặt phẳng (SBC)
59. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ (ABCD).
1) Tính góc giữa SC và (ABCD).
2) Tính tan của góc giữa SC và (SAB).
3) Tính sin của góc giữa SB và (SAC).
4) Tính sin góc giữa AC và (SBC)
60. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy là tam giác ñều cạnh bằng a . Biết BC' hợp
với (ABB'A') góc 30°.
1) Tính AA'.
2) Tính khoảng cách từ trung ñiểm M của AC ñến mặt phẳng (BA'C').
3) Gọi N là trung ñiểm của cạnh BB1. Tính sin của góc giữa MN và (BA'C').
61. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = SB = SC = a 3
1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)
2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
3) Tính diện tích tam giác SBC
62. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, SA=SB=SC=

a 3
2

1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC)
2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau
3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)
63. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a , SA=SB=SC=2a
1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC).

2) Tính cosin góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
64. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, A = 60°, SA=SB=SD=

a 3
2

1) Tính hình chóp từ S ñến mặt phẳng (ABCD)
2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau
3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A

ñến mặt phẳng (SBD)
4) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), tính diện tích ∆SBD
65. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông tại A, AC=a, BCA = 600 , BC’
tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc α=45°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ
66. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A'B'C' có cạnh ñáy = cạnh bên = a, Gọi I, J là trung ñiểm
BC và BB'
1) Chứng minh rằng BC' ⊥ (AIJ)
2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)
3) Tính diện tích tam giác AIJ
67. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ñáy là hình thoi cạnh a, A = 600 , A’A=A’B=DA’=

a 3
2

1) Tính chiều cao lăng trụ
2) Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau
3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)
4) Tính diện tích tam giác A’BD và diện tích toàn phần của lăng trụ
Trang 15

68. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
1) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau
2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA’ và BD’
3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD)
4) Tính diện tích tam giác D’AC
69. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñường chéo DB’ = 12, CD=6, CC’ = 8
1) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp
2) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp
70. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên = a và hình chiếu của

C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC
1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy,chiều cao của lăng trụ
2) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau ; mặt bên ABB’A’ là hình
vuông. Từ ñó tính diện tích toàn phần của lăng trụ
71. *.Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a .ðường chéo AB’ của mặt bên tạo
với ñáy một góc ϕ = 60o. Gọi I là trung ñiểm BC
1) Xác ñịnh hình chiếu của A trên BB’C’C
2) Tính góc giữa ñường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C)
72. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình
chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm I của AC
1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy
2) Tính chiều cao lăng trụ
73. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A=60°,
D’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên tạo với ñáy một góc ϕ bằng 60°
1) Xác ñịnh góc ϕ và tính chiều cao , cạnh bên của hình hộp
2) Chứng minh rằng BD’ ⊥ A’C’
3) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau
74. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy = a, ñường chéo BC’ tạo với mặt
phẳng (AA’B’B) một góc α = 30°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ

75. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A= 60°; B’O
vuông góc (ABCD) ; cạnh bên bằng a
1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy và thể tích của lăng trụ
2) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau
3) Tính diện tích toàn phần lăng trụ
76. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều ABC cạnh a, ñiểm A’ cách ñều A,B,C
và AA’ tạo với ñáy một góc ϕ = 60°.
1) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật
2) Tính chiều cao lăng trụ
77. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là
trung ñiểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) là 60°. Tính MN, Tính
SO, Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

Trang 16


HÀM SỐ

ðƠN ðIỆU
Cho y = f(x) xác ñịnh trên (a;b)
f /(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) tăng trên (a;b)(dấu “=” xảy ra hữu hạn ñiểm)
f /(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) giảm trên (a;b)
f /(x) = 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) là hàm hằng trên (a;b)
ad − bc
ax + b
Chú ý: ðối với hàm y =
có y / =
cx + d
(cx + d)2
y ñồng biến trên D ⇔ y / > 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra)

y nghịch biến trên D ⇔ y / < 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra)
Xét dấu
• f /(x) là ña thức hay phân thức: xét dấu nhị thức hay tam thức
• f /(x) là hàm vô tỉ, lượng giác, mũ, logarit: giải bất p.trình f’(x) ≥ 0 hay f’(x) ≤ 0
• f /(x) là hàm phức tạp :
o Tìm x0 sao cho f /(x0) = 0 hay f /(x) không xác ñịnh.
o Các số x0 chia miền xác ñịnh của f(x) thành nhiều khoảng.
o Trên mỗi khoảng f /(x) có 1 dấu duy nhất, xác ñịnh dấu mỗi khoảng bằng cách
xét 1 giá trị ñặc biệt.

Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x)
– Tìm tập xác ñịnh của hàm số.
– Tính y’. Tìm các ñiểm mà tại ñó y’ = 0 hoặc y’ không xác ñịnh (gọi là ñiểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y’ (bảng biến thiên). Từ ñó kết luận các khoảng ñồng biến,
nghịch biến của hàm số.
78. Xét chiều biến thiên của :
2
1) y = 2x – 5x + 4.
2
2) y = 4 + 2x – x .
3) y = x4 – 2x2 + 3.
4) Y = 2x4 + 3x² – 5
5) y = x3 – 2x2 + x – 3
6) y = – x³ + 3x² – 3x + 2
7) y = 2x³ – x² + 4x – 1
8) y = (4 – x)(x – 1)²
9) y = – 6x4 + 8x³ – 3x² – 1
79. Xét các khoảng ñơn ñiệu của:

3x − 2

.
4x + 3
x 2 − 2x
2) y =
.
x −1
1) y =

Trang 17


4
.
x −1
x 2 + 3x + 3
4) y =
.
x +1
4x 2 − 15x + 9
5) y =
.
3x
2x − 1
6) y =
.
x2
3x − 2
7) y = 2
.
x +4

x2 − 1
8) y = 2
.
x −4
x2 − x + 1
9) y = 2
.
x + x +1
80. Khảo sát sự biến thiên của:
1) y = x – 2sinx.
2) y = x + cosx.
81. Xét tính tăng giảm của:
3) y = 3x – 2 +

1) y =

x 2 − 5x + 4

− x 2 + 3x − 2
3) y = x + 3 + 2 2 − x
4) y = 2x − 1 − 3 − x
2) y =

5) y = x 2 − x 2
6) y = 3 − 2x − x 2

2x − x 2 ñồng biến trên (0;1) và nghịch biến trên (1; 2).
x +1
83. Lập bảng biến thiên và tìm tập giá trị của hàm số : y =
.

2
x +2
84. Chứng minh các hàm số sau ñơn ñiệu (luôn ñồng biến hoặc nghịch biến) trên từng khoảng
xác ñịnh hoặc tập xác ñịnh của nó:
1) y = x³ + 5x + 13
2) y = x³ – 9x² + 27x – 2
2x − 1
3) y =
1− x
x 2 + 2x − 3
4) y =
x +1
2
x − 2mx − 1
5) y =
x−m
85. Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh hoặc tập xác
ñịnh của nó:
1) y = – 5x + cot(x –1)
2) y = cosx – x
82. Chứng minh y =

Trang 18


3) y = sinx – cosx – 2 2 x
86. Cho hàm số f(x) = 2 – sin²x – sin²(x + a) – 2cosacosxcos(x + a)
1) Tính ñạo hàm của hàm số f
2) Suy ra hàm số f lấy giá trị không ñổi trên R, tính giá trị ñó

x
 π π
2
 4 4
1) Tính ñạo hàm của hàm số f
2) Suy ra hàm số f là hàm hằng trên , tìm hàm hằng ñó
88. Tùy theo m khảo sát sự biến thiên của :
1) y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx.
mx + m − 7
2) y =
.
5x − m + 3
87. Trên  − ;  cho hàm số f(x) = cosx + sinxtan

3) y =

1 3
x
3

– 2x2 + mx –2.

4) y = x + m.sinx.
89. Tìm m ñể các hàm số sau ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh

x+m
x−m
mx + 4
2) y =
x+m

x 2 − 2mx − 1
3) y =
x−m
2
x − 2mx + 3m 2
4) y =
x − 2m
90. Với giá trị nào của tham số thì hàm số tăng trên R
3
2
1) y = x – 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + 2.
2) y = x3 – ax2 – (2a2 – 7a +7)x + 2(2a2 – 5a +3)
1) y =

3) y =

1 3
x
3

– ½ (sina + cosa)x2 + ¾ sina.x

2x 2 − 3x + m
91. Với giá trị nào của m thì hàm số : y =
ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh.
x −1
−2x 2 − 3x + m
92. ðịnh m ñể y =
nghịch biến trong từng khoảng xác ñịnh.
2x + 1

93. Xác ñịnh m ñể các hàm số sau nghịch biến trên R:
1) y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx.
1
3

2) y = – x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x

x 2 − 2ax + 3a 2
nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh
2a − x
x 2 + mx − 5
95. Cho y =
ðịnh m ñể hàm số giảm trên khoảng xác ñịnh.
3− x
2x 2 + (1 − m)x + 1 + m
96. Cho hàm số y =
. Xác ñịnh m ñể hàm số nghịch biến trên từng
−x + m
khoảng xác ñịnh
94. Xác ñịnh a ñể y =

Trang 19


Ứng dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh bất ñẳng thức
ðể chứng minh bất ñẳng thức ta thực hiện các bước sau:
— Chuyển bất ñẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ). Xét hàm số y = f(x)
trên tập xác ñịnh do ñề bài chỉ ñịnh.
— Xét dấu f ’(x). Suy ra hàm số ñồng biến hay nghịch biến.
— Dựa vào ñịnh nghĩa sự ñồng biến, nghịch biến ñể kết luận.

Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét ñược dấu của f ’(x) thì ta ñặt h(x) = f ’(x) và
quay lại tiếp tục xét dấu h ’(x) … cho ñến khi nào xét dấu ñược thì thôi.
2) Nếu bất ñẳng thức có hai biến thì ta ñưa bất ñẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính ñơn ñiệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

π
2

97. Chứng minh hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x ñồng biến trên [0; ) .

π
Suy ra 2sinx + tanx > 3x với mọi x ∈ (0; )
2

π
2

98. Chứng minh hàm số f(x) = tanx – x ñồng biến trên [0; ) .

Chứng minh tan x > x +

π
x3
với mọi x ∈ (0; )
2
3

99. Chứng minh các bất ñẳng thức

x3
< sin x < x , với x>0
6
2
1
π
2) sin x + tan x > x , với 0 < x <
2
3
3
π
3) x < tanx, với 0 < x <
2
π
4) sinx + tanx > 2x, với 0 < x <
2
4
 π
5) tan x ≤ x , với mọi x∈ 0; 
π
 4
1) x −

100. Cho hai số thực a, b sao cho 0 < a < b <
1) a – sina < b – sinb
2) a – tana 3)

tan b b
<

t ana a

Trang 20

π
, chứng minh:
2


Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng tính biến thiên:
— Phương trình f(x) = 0
Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D
Chọn ñược x0 : f(x0) = 0 ⇒ x0 là một nghiệm của phương trình.
Khi x < x0 : f(x) < f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
Khi x > x0 : f(x) > f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
KL: Phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.
— Phương trình f(a) = f(b)
Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D; a, b ∈ D
pt ⇔ f(a) = f(b) ⇔ a = b thé vào phương trình giải tìm nghiệm
101. Chứng minh phương trình 2x 2 x − 2 = 11 có nghiệm duy nhất
102. Giải các phương trình
1) x 5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0

x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8
 tan x − tan y = y − x

103. Giải hệ phương trình 
5π
2x + 3y = 4

2)

CỰC TRỊ
Kí hiệu : fCð , fCT
ðIỂM TỚI HẠN : f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b)
ðiểm x0 là ñiểm tới hạn nếu f /(x0) không xác ñịnh hay bằng 0
A. Tìm ñiểm cực trị x0
Tìm miền xác ñịnh, tính y /
Tìm các ñiểm tới hạn
Xét dấu y / , lập bảng biến thiên
Nếu y / ñổi dấu từ + sang – tại x0 thì y ñạt cực ñại tại x0
Nếu y / ñổi dấu từ – sang + tại x0 thì y ñạt cực tiểu tại x0
Tìm miền xác ñịnh, tính f /(x) , f / /(x)
Tìm nghiệm x0 của f /(x)
(nếu x0 ∈ D mà f /(x0) không xác ñịnh thì không ñược dùng cách 2)
 Nếu f ”(x0) < 0 thì y ñạt cực ñại tại x0
 Nếu f ”(x0) > 0 thì y ñạt cực tiểu tại x0
 Nếu f ”(x0) = 0 chưa kết luận
Chú ý
x0 : ñiểm cực trị (Cð hay CT) của hàm số
(x0; y0): ñiểm cực trị (Cð hay CT) của ñồ thị
y0 : giá trị cực trị (Cð ay CT) hay gọi tắt là cực trị
Trang 21


104. Dùng dấu hiệu 1, tìm các ñiểm cực trị của :
1) y = 2x³ – 3x².
5) y = − x 2 . x 2 + 2 .
4

2) y = x + 2x² – 3.
6) y = x³(1 – x)².
2x − 1
3
3) y =
.
7) y = (x − 4) x 2 .

x +1
2x 2 − 4x + 2
4) y =
.
2x + 3
105. Dùng dấu hiệu 2, tìm các ñiểm cực trị của :
1) y = x³ – 2ax² + a²x (a>0)
a2
2) y = x +
(a > 0).
x
3) y = sin2x – x.
106. Tìm cực trị của các hàm số sau:
1) y = x³ – 6x² + 9x – 4.
4
2) y = –x + 3x² + 2.
4
3) y = x – 8x² – 1.
107. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3x − 1
1) y =
.

x+2
x
1
2) y = − 3 +
.
2
2x − 1
1
3) y = 2
.
x − x +1
108. Tìm cực trị của các hàm số sau:

4) y = sin2x + cos2x.
5) y = 3 sinx + cosx + x.
6) y = ½.cos2x + cosx + 1.

4) y = (x – 1)³.(2x + 3)4.
5) y = (x – 2)³ + 4x.

4) y = y =
5) y =

4x 2 + 2x − 1

2x 2 + x − 3
3x 2 + 4x + 4
x2 + x + 1

1) y = x x 2 − 4 .

4) y = x 2 − 2x + 5

2) y = 4 − x 2 .

5) y = x + 2x 2 + 1

3) y = 3x − x 2 .
109. Tìm cực trị của các hàm số sau:

6) y = y = x + 2x − x 2

1) y =

3

x 3 − 3x − 2 .
3

2) y = y = x 2 + 1

3

x2
2x + 1
4) y = x – 4sin²x
3) y =

B. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
Tìm miền xác ñịnh, tính f /(x)

Hàm số có cực trị khi f /(x) = 0 có nghiệm và ñổi dấu khi x qua các nghiệm ñó
 Nếu ñề nói rõ cực ñại hay cực tiểu thì phải thử lại bằng BBT hay f / /(x0)
Chú ý: Tìm giá trị cực trị yCð , yCT
Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
xo là ñiểm cực trị thì yo = y’(xo).(mxo + n) + Axo + B = Axo + B
ax 2 + bx + c
−B
Hàm số y =
(aA≠0) có cực trị ⇔ y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác
Ax + B
A
P(x o ) P '(x o )
xo là ñiểm cực trị thì y o =
=
Q(x o ) Q '(x o )
Trang 22


110. Chứng minh các hàm số sau luôn có cực ñại , cực tiểu:
1) y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m³
3) y = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m + 1) x + 1

x 2 + mx − m + 2
2) y =
x − m +1

x 2 + m(m 2 − 1)x − m 4 + 1
4) y =
x−m

111. Xác ñịnh m ñể các hàm số có cực trị :
1) y =

1
3

x3 + mx2 + (m + 6)x –1.

x 2 + mx − 2
2) y =
.
mx − 1
112. Tìm m ñể các hàm số sau không có cực trị:
1) y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4
2) y = mx³ + 3mx² – (m – 1)x –1
− x 2 + mx + 5
3) y =
x −3
x 2 − (m + 1)x − m 2 + 4m − 2
4) y =
x −1
113. Tìm m ñể hàm số :
1) y = mx³ + 3x² + 5x + 2 ñạt cực ñại tại x = 2.
1
π
2) y = sin3x + m.sinx ñạt cực ñại tại x = .
3
3
x 2 − 2mx + 2
3) y =

ñạt cực tiểu tại x = 2
x−m
2
4) y = a.x³ + bx + x ñạt cực ñại tại x=2 và ñạt cực tiểu tại x=1.
5) y =

1 3
x
3
2

– 2m2x2 + (m + 2)x – 5m + 1 ñạt cực ñại tại x=1

x −x+m
có một giá trị cực ñại bằng 0
x −1
114. Tìm m ñể hàm số :
1) Hàm số y = mx³ + (m – 3)x² + 5x + 2 ñạt cực trị tại x = 2 .
x 2 − mx + 4
2) Hàm số y =
ñạt cực trị y = 3.
mx − 4
115. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d . Xác ñịnh a, b, c, d ñể hàm số ñạt cực tiểu bằng 0 tại
x = 2 ñạt cực ñại bằng 4 tại x=0
116. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Tính a, b, c, d ñể hàm số có giá trị cực ñại bằng 3 khi
x = 1 và giá trị cực tiểu bằng –1 khi x = 3.
117. Tìm a, b, c ñể hàm số y = ax4 + bx2 + c qua gốc tọa ñộ và ñạt cực trị bằng –9 tại x = 3 .
118. Tìm a, b, c ñể các hàm số :
x 2 + bx + c
1) y =

ñạt cực trị bằng –6 tại x = –1
x −1
ax 2 + bx + ab
2) y =
(a ≠0) ñạt cực trị tại x = 0 và x = 4
bx + a
ax 2 + 2x + b
3) y =
ñạt cực ñại bằng 5 tại x = 1
2
x +1
6) y =

Trang 23


119. Cho hàm số y = mx + x 2 − 2x + 2 .
1) Chứng minh ∀m hàm số không có cực ñại.
2) ðịnh m ñể hàm số có cực tiểu.

Xác ñịnh a ñể y = –2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 có cực ñại.
ðịnh m ñể y = x4 + mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại.
ðịnh m ñể y = mx4 – 2(m2 + 1)x2 + 3m + 2 có 2 cực tiểu và 1 cực ñại.
ðịnh m ñể y = x4 +8mx³ +3(2m+1)x² – 4 chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại
* Tìm a ñể hàm số y = − x4 + (3−a)x3 + 4ax2 − a +1 có ñúng 1 cực trị.
* Tìm m ñể y = x4 – mx² + 4x + m có 3 ñiểm cực trị A, B, C và tam giác ABC nhận gốc
O làm trọng tâm.
x 2 + mx + m − 2
126. Tìm m ñể y =
có 2 ñiểm cực trị nằm 2 phía ñối với trục tung. Chứng

x−m
minh 2 ñiểm cực trị luôn nằm cùng một phía ñối với trục hoành.
x 2 + mx
127. Tìm m ñể y =
có khoảng cách giữa 2 ñiểm cực trị bằng 10.
1− x
x 2 + (m + 1)x + m + 1
128. Chứng minh y =
luôn có ñiểm Cð, CT và khoảng cách giữa 2
x +1
ñiểm ñó bằng 20 .
129. Tìm m ñể y = –x³ + 3x² + 3(m² – 1)x – 3m² – 1 có Cð, CT và các ñiểm cực trị cách ñều
gốc tọa ñộ O.
− x 2 + 2mx + 5
130. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y =
có 2 ñiểm cực trị nằm 2 phía ñối với ñường
x −1
thẳng y = 2x
131. Tìm m ñể y = 2x³ + mx² – 12x – 13 có 2 ñiểm cực trị cách ñều trục tung.
132. Tìm m ñể y = x³ – 3mx² + 4m³ có các ñiểm Cð, CT ñối xứng nhau qua ñường phân giác
thứ nhất
2mx 2 + (4m 2 + 1)x + 32m 2 + 2m
133. Tìm m ñể y =
có 2 ñiểm cực trị nằm trong góc phần tư
x + 2m
thứ nhất và ñiểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa ñộ.
120.
121.
122.
123.

124.
125.

C. ðường thẳng qua 2 ñiểm cực trị
Hàm số bậc ba y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Chia f(x) cho f’(x): f(x) = Q(x).f’(x) + Ax + B
 y = f(x1 ) = Ax1 + B
Giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các ñiểm cực trị thì  1
 y 2 = f(x 2 ) = Ax 2 + B
⇒ Các ñiểm cực trị (x1; y1), (x2; y2) nằm trên ñường thẳng y = Ax + B
ax 2 + bx + c P(x)
Hàm số phân thức y =
=
Ax + B
Q(x)
P '(x o ) 2ax o + b
Giả sử (xO; yO) là ñiểm cực trị thì y o =
=
Q '(x o )
A
Nếu hàm số có 2 ñiểm cực trị thì ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị: y =
Trang 24

2ax + b
A


134. Viết phương trình ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị của các hàm số:
1) y = x³ – 2x² – x + 1
2) y = 3x² – 2x³

3) y= x³ – 3x² – 6x + 8

2x 2 − x + 1
4) y =
x +3
2
x − x −1
5) y =
x−2
135. Tìm m ñể hàm số có Cð, CT và viết phương trình ñường thẳng qua 2 ñiểm Cð, CT của

ñồ thị hàm số:
1) y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m³
2) y = x³ – 3(m – 1)x² + (2m² – 3m + 2)x – m(m – 1)
3) y = – x³ + 3mx² + 3(1 – m²)x + m³ – m²
x 2 + mx − 6
4) y =
x−m
2
x + mx − m + 2
5) y =
x − m +1
136. Tìm m ñể y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x –1 có ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị song

song với ñường thẳng y = – 4x + 1
137. Tìm m ñể y = x³ + mx² + 7x + 3 có ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị vuông góc với ñường
thẳng y = 3x – 8
138. Tìm m ñể y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6m(1 – 2m)x có các ñiểm Cð, CT nằm trên ñường
thẳng y = – 4x
139. Tìm m ñể y = x³ – 3x² + m²x + m có các ñiểm Cð, CT ñối xứng nhau qua ñường thẳng x

– 2y – 5 = 0.
x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m
140. Tìm m ñể y =
có Cð, CT ñồng thời các ñiểm cực trị cùng với
x+2
gốc O tạo thành tam giác vuông tại O

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT − GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
ðịnh nghĩa :
Số M là giá trị lớn nhất của y trên tập D nếu
∀x ∈ D : f (x) ≤ M
kí hiệu: M = max f (x)

∃
x
∈
D
:
f
(x
)
=
M
D
 0
0
Số M là giá trị nhỏ nhất của y trên tập D nếu
∀x ∈ D : f (x) ≥ m
kí hiệu: m = min f (x)


∃
x
∈
D
:
f
(x
)
=
m
D
 0
0

Trang 25